数学在物理中的应用

数学在物理中的应用
现代数学在物理中的应用越来越广泛，使得物理需要依附数学发展——人们需要更先进的数学手段来解决关于M 理论的很多问题；而更早以前，物理中的对称性就需要群论做基础。

为了打好基础将来为数学物理界做贡献，从现在起，我就开始努力运用数学眼光，看待并解决周围的物理问题。

本文将由浅入深，逐步描述一些我今年独立或通过学习更高难度的数学，解决的小物理问题。

例1．（密度计问题）简易密度计刻度疏密问题。

问题概述：柱体密度计在液体中配重对密度疏密的影响。

思路：F 浮=ρ液gV 排，不断使用浮力公式，通过比较法得出结论。

解题：设有两种密度不同液体ρ1,ρ2 ，不妨设ρ1<ρ2底面积相同S 、足够长的两个密度计分别配重G 和G ’(G ’>G)，分别放入液体ρ1 ρ2 中，浸在液体下的高度分别为H,h,H ’,h ’，由F 浮=ρ液gV 排得：
G=SHg ρ1…………………………① G=Shg ρ2…………………………② G ’=SH ’g ρ1…………………………③ G ’=Sh ’g ρ2…………………………④
①- ②：SH ρ1g=Sh ρ2g ，故H=
2
1
h ρρ>h ③- ④：SH ’ρ1g=Sh ’ ρ2g ，故H ’=
2
1
'h ρρ>h ’ ①- ③：(H-H ’)S ρ1g=G ’-G …………………………⑤ ②- ④：(h-h ’)S ρ2g=G ’-G …………………………⑥
做到这里⑤⑥一相减就完了，什么结论也得不出，因为G 和G ’两个关键的未知量不见了，此处要变形：⑤’：H-H ’=(G ’-G)÷(S ρ1g)(∵S,ρ1,g 均不为零)
⑥’：h-h ’=(G ’-G)÷(S ρ2 g) ⑤’-⑥’： (H-h)-(H ’-h ’)=12
G'G 11
()Sg -⨯-ρρ ∵ρ1<ρ 2
∴
1
1
12ρρ>
,
111
02
ρρ->, 又G ’-G>0,Sg>0 ∴(H-h)-(H ’-h ’)=
12
G'G 11
()Sg -⨯-ρρ>0， 因此得出结论，简易密度计配重的增加会使得密度计刻度变疏。

推论：用类似的方法，可以得出：简易密度计底面积的减小会使得密度计刻度变疏。

这样一来，抽象的物理问题，用数学方法的严格推导，得出正确的结论，这是很完美的。

例3.（悬链线的性质分析）
问题概述：对于均匀、柔软绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用下垂。

试分析绳索静止时所成曲线。

思路：以y 轴铅直经过绳索最低点I ，原点与I 的长|OI|为一定值建立xOy 坐标系，作受力分析即可。

解题：如思路建立直角坐标系，设绳索形成的曲线为y=y(x)，取除了I 之外，任意一在曲线上的点A(x,y)，对绳索一段弧IA 分析。

设弧IA 长为s ，s 是x 的函数：s=s(x)。

设绳索的单位长所受重为ρ，则弧IA 重G=ρs 。

由于绳是柔软的，故点在绳上各处受力沿着绳的切线方向，由于I 是最低点，故I 处的张力延水平的切线方向，方向为设其大小为F ；在点A 处所受张力延A 点处的切线方向，与水平成θ角，设A 点处张力大小为T 。

由条件静止，弧IA 所受合外力为0，所以有：
sin s T ρθ=，cos F T θ=，两式相除，得tan F
s θρ
=。

由tan 'y θ=知，0
'F
y s ρ
=
=⎰。

对两边关于x 求导，可得，''y =（这个方程，不怎么好解，但也并非不
能解），可以用分离变量法解决：
设'y t =，则有''dt y dx =
，带入方程，得
dt dx =
F
dx ρ
=
，
又由初值条件00'||0x x y t ====，方程两边作变上限积分，
t
x
F
dx ρ
=⎰
⎰
，即ln(F
t x ρ
=
，（现欲解决掉2
t 这一项）
分别以方程两边为指数，e 为底数，做乘方运算，得，
F
x
t e ρ
=，
F
x
t e
-
=，上下相减，即是我们的终极目标，
1'()2
F
F
x x
y t e e ρρ-==-，等等，好像在哪里见过这玩意儿！
——————图1摘百度百科
如此一来1()2
F F
x x
e e ρρ--很巧的就是一在实数域上的双曲正弦函数，这把人们给乐坏
了，如此一来，1'()sinh 2F F
x x F
y t e e x ρρρ
-==-= (1)
这是要求y 的表达式，仅是一步之遥，而为了最后结论的美观性，充分利用双曲正余弦函数之间的关系，并且得出更优美的物理结论，我们认为强行的“令”|IO|=
F
ρ
，这样一
来，又多了一个初值条件，0|x y a ==（F
a ρ
=
），对方程（1）两边作上限积分，得
0sinh y
x a x
dy dx a =⎰⎰，
cosh x
y a a a a -=-
cosh x
y a a =，
人们称之为 “悬链线”，这实在是非常有趣的结论。

这个例子令我们看到物理和数学
间密不可分的关系——很多曲线都满足一些物理上的性质，值得一提的是，各圆锥曲线都具有某一甚至某些光学性质，在此不赘述，有兴趣的可以去搜阅一些资料。

推论：悬链线每一点处受张力为该点的纵坐标y 与ρ的积y ρ。

在这里给出简要证明：∵sin s T ρθ=，cos F T θ=，而由F
a ρ
=
可得F a ρ=，
∴悬链线cosh
x
y a a
=上每一点M 处张力T 的大小为
T ===
∵20
sinh x
s a a
=
==⎰
⎰
∴2cosh T a x y ρρρ==== 故悬链线每一点处受张力为y ρ
例 3.（阿基米德原理）很久以前对于阿基米德原理证明的理解仅仅停留在“左边有压力，右边有压力，两个压力抵消了；上面向下的压力比下面向上的压力小，故存在浮力。

”学习了第二曲面积分后，我们有了充分的数学手段去解决这个看似困难的物理题。

问题概述：证明对任意一个浸没在水中的立体，它所受浮力为F gV ρ=浮液排。

思路：利用高斯公式计算出立体所受各个方向的水的压力。

图2 （图2为高斯公式）
解题：设有一固体Ω在浸没在液体中，以液体表面为xOy 平面，z 轴铅直向上。

设物体体积为V ，浸没在密度为ρ的液体中。

由于物体每一处都受到水对它的压强并产生了压力，我们把它分解成三个坐标轴方向，利用定向边界曲面积分来积出所有的压力，其实不难解决。

考虑深度z 对应的一块面元dA 上的受压情况：压力元素的大小为
||d F gzdA ρ=-，
设面元外法向量为n ，则
dF gzndA ρ=，（注：原式中因z 的正负而来的负号，由于n 与压力方向的相反被消去
了。

）
这个力对三个方向的分量分别为
x y z dF gzn idA dF gzn jdA dF gzn kdA
ρρρ⎧=⋅⎪
=⋅⎨⎪
=⋅⎩ 这样若积分就显得比较难做，因为α的方向未知，此时就可设α的方向余弦为
cos α,cos ,cos
βγ，于是各分量变为 cos cos cos x y z dF gz idA
dF gz jdA dF gz kdA
ραρβργ⎧=⋅⎪
=⋅⎨⎪
=⋅⎩ 我们先积x 轴方向，
（注意运用高斯公式的地方）
cos 000x F gz idA
gzdydz dxdz dxdy gzidV x
ραρρ∂Ω
∂ΩΩ
==
++∂
==∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
同理，0y F =
cos 001z F gz kdA
dydz dxdz gzkdxdy
gzkdV z
gk dV gVk
ργρρρρ∂Ω
∂ΩΩ
Ω
==
++∂
=∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
所以
F gVk ρ=∑，用文字表述即：一浸在液体中的固体所排液体所受重力的大小，
方向竖直向上。

阿基米德原理得证。

三个例题，是我半年来数学及物理学习生活中的一些收获。

我希望在今后的学习中我能够通过物理和数学的共同发展创造出更好更新的收获。