浅议解决物理问题的数学方法

浅议解决物理问题的数学方法

宝坻一中张玉强

运用数学方法解决物理问题是高中物理课要培养学生的五种能力之一。最近几年的高考不断出现了考查用数学方法解决物理问题能力的题目。尤其是现在又实施了“3＋综”的考试形式，对跨学科的综合能力的考查逐年提高。因此，教师在教学的过程中，应有意识地培养学生利用数学方法解决物理问题的能力。

所谓解决物理问题的数学方法，就是根据物理问题中所遵循的物理规律，经过推理论证、数学运算，导出表示各物理量之间关系的方程式，然后运用数学有关知识解决物理问题。下面就解决物理问题中常用的几种数学方法做如下归纳总结：

一、一般函数的应用

在分析物理问题中的动态问题时，往往需要把要分析的量（Y）与已知代表动态的量（X），通过物理规律建立起一定的函数关系y＝f（x），从而确定要分析的量的变化情况。

例1、图1所示，绳与杆均轻质，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物，现施拉力F，将B端缓慢上拉（均未断），在A杆达到竖直前（）

A、绳子越来越容易断

B、绳子越来越不容易断

C、AB杆越来越容易断

D、AB杆越来越不容易断

解析：设AC＝l1，AB＝l2，BC=l3，BD=a，AD=b，CD=c

由共点力平衡条件得：

⎩⎨⎧=+=G F F F F N

N αθαθcos cos sin sin 得：1222sin cos l Gl a

c l a l b G ctg G F N =⨯+=+=αθθ 故可知AB 杆受力大小不变，所以选项C 、D 都错。

1

33

12sin sin l Gl l b l b

l Gl F F N =⨯==αθ 由于l 3在逐渐减小，故F 逐渐减小，所以选项B 正确

例2、如图2所示的电路，M 、N 两端的电压U

保持恒定，R 为定值电阻，当滑动变阻器R 0

(总阻值也为R ）的滑动端p 从a 端滑向b 端

的过程中，试分析安培表的读数变化情况。

解析：设滑动变阻器ap 部分的电阻为X ，求出通过安培表的电流I 与x 的

函数关系式。

22224

5)2(1R R x UR x R Rx UR x x R Rx x R x R Rx U

I +--=-+=⨯+⨯-++= 可见当2

R x = 时，I 有最小值，故滑动端P 从a 到b 滑动过程中，安培表的读数先减小后增大。

例3、房内高处有一白炽灯s （可视为点光源），如果在s 所在位置沿着垂

直于屏的方向水平扔出一个小球A ，如图3所示，不计空气阻力，则A 在屏上

的影子的运动是（ ）

A 、 加速度逐渐增大的直线运动

B 、加速度逐渐减小直线运动

C 、匀加速直线运动

D 、匀速直线运动

解析：要想确定正确选项，只要求出A 球影子位移S 与时间t 的函数关系

式，即可得解。

设经时间t A 球运动到B 点，影子为C ：d AP =。 由平抛运动规律可知2210gt DB t

v AD ==

又 ABD ∆∽ACP ∆ PC DB AP AD ::= ∴t v gd S PC 0

2== ∴ 0

2v gd v =影 是一定值，故选项D 正确。 二、三角函数的应用

三角函数在解决物理问题中经常要用到，主要涉及到三角函数的正弦定理、

余弦定理和差化积以及积化和差等有关知识。

例4、如图4所示，某轴承厂有一条

滚珠传送带，传送带与水平面的倾角为θ ，

上方有一滚珠送料口，为使滚珠从送料口

的A 点沿光滑斜槽最快地送到传送带上，下列应采取的措施正确的是（ ）

A 、沿竖直方向的A

B 安放滑槽

B 、沿过A 点与传送带垂直的方向A

C 安放滑槽

C 、沿∠BAC 的角平分线方向A

D 安放滑槽

D 、上述三种方案均不行

解析：此题需求出滚珠沿任一与水平方向夹a 角的滑槽滚下，所需的时间

t 的函数关系，则可求出a 为何值时t 有最小值。

设滚珠沿AF 滑槽滚下，AF 长为X ，AE 长为l ， 由正弦定理得：

θθαsin )](180sin[x L =+- ∴ )

sin(sin θαθ+=L x )

2cos(cos sin 4)sin(sin sin 22αθθθθαθθ+-=+==l g L a x t 可见当 θ+2α= 180 ，即α=290θ-

时，t 有最小值

故选项C 正确。 例5、一个物体的质量为m ，放在水平面上，受到一个大小恒定的力F 的

作用，若F< mg ，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求力F 跟水平面的夹角是多大时物体的加速度最大？

解析：设F 与水平方向夹角为θ ，求出此时

物体加速度a 与θ的函数关系式，利用三角函数

知识即可求解。

根据牛顿第二定律得：

()μθμφφπθφπ

θπφθμφμφθμθμθθμθμarctan tan 2tan 2

21tan sin 1sin cos )sin (cos 2=∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++=-+=--=

=c tg g m

F g m F m F m

F g m F m F a 时加速度最大即可见当合 三、数列知识的应用

有些题目要用到各种数列知识才能求解，这就要求学生此方面的知识的熟

练。培养学生把物理问题转化为数列计算。

例6、用一定质量的铁锤沿水平方向将长为l 的铁钉敲入木板，铁锤每次以

相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的K 倍（k>1）若第一次敲击使钉进入木板深度为l ，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？

解析：设第一次敲击时钉受阻力为f ，需敲n 次钉全部进入木板，根据动

能定理得：