数列知识在物理解题中的应用
数学知识在物理解题中的妙用
中外教 育研 完 ・
２０ 年 ８ Ｎ ． ０９ 月 Ｏ８
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数学 知识在物理解题 中的妙 用
何艳敏
【 摘
福 建省 罗源县第二 中学
要 】本文从数列知识、几何知识、二次方程判别式、不等式、平均值和解析几何知识六个方面，结合具体 的例子剖析数学 物理解题 【 文献标识码 】Ａ 【 文章编号 】１０ — ６２（ ０ ９ ８ １３ ０ ０ ６ ９ ８ ２ ０ ）０ —０４ — ２
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例２ ，如 图 １ 示 ，水 平 面上 固定一 光 滑半 球 ，球心 ０ 正上 所 的 方 固定 一 个小 滑轮 ，绳 上拴 一 小球 ，置 于半 球 面上 的Ａ ，另 一 点
题 ，常常 可 以使 问题 简 单化 、条 理化 ，并 收 到简捷 明快 的效果 ， 而且 对于 拓宽 学生 的解题 思 路 ， 提高 学生 分析 和解 决 问题 的能力 以及 多方 位运用 所学 知识 的综 合 素质 ， 是大 有神 益 的。本 文将 都
状态 ，所 以 ，Ｔ 、Ｎ、Ｇ 构 成一 个封 闭 的力 的三角 形 。如 图 ２所
示 ，依 据 数学 的几 何 知识 可 以看 出 ：ＡＡ Ｍ￣ Ｎ Ｏ ｏ ＡＴ Ｇ，依据 相
似 三 角形对 应边 成 比例 ， 有 ＝ ＝ ， 而 解得 Ｔ 从 ＝ ・ Ｇ、
数 列 的求 和 公式得 ：
数列的性质与通项公式
数列的性质与通项公式在数学的广袤天地中，数列就如同繁星般璀璨而神秘。
它既是数学研究的重要对象，也是解决众多实际问题的有力工具。
要深入理解数列，掌握其性质和通项公式是关键所在。
先来聊聊数列的性质。
数列可以分为等差数列和等比数列这两大类，它们各自有着独特的性质。
等差数列，简单来说，就是相邻两项的差值相等的数列。
比如 1，3，5，7，9 就是一个等差数列，相邻两项的差值都是 2 。
对于等差数列，有一个非常重要的性质，那就是如果有三个数 a，b，c 成等差数列，那么 2b ＝ a ＋ c 。
这个性质在解题中经常会用到。
另外，等差数列的前 n 项和也有特定的公式，即 Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ) ／ 2 ，其中 a₁是首项，aₙ 是第 n 项。
等比数列则是相邻两项的比值相等的数列。
例如 2，4，8，16 就是一个等比数列，相邻两项的比值都是 2 。
等比数列也有其重要性质，若 a，b，c 成等比数列，那么 b²＝ ac 。
等比数列的前 n 项和公式稍微复杂一些，当公比q ≠ 1 时，Sₙ ＝ a₁(1 qⁿ) ／（1 q) 。
数列还有一些其他的性质。
比如单调性，一个数列可能是单调递增的，也可能是单调递减的，还可能是不单调的。
如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，那这个数列就是单调递增的；反之，如果每一项都小于它前面的一项，就是单调递减的。
数列的周期性也是一个有趣的性质。
有些数列会按照一定的规律重复出现，这就是周期性。
例如，1，2，3，1，2，3，1，2，3……这个数列就是以 3 为周期的。
了解了数列的性质，接下来我们重点探讨一下通项公式。
通项公式就像是数列的“身份证”，它能够准确地告诉我们数列中每一项的具体值。
对于等差数列，其通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d ，其中 a₁是首项，d 是公差。
比如在等差数列 1，3，5，7，9 中，首项 a₁＝ 1 ，公差 d ＝ 2 ，那么第 n 项 aₙ ＝ 1 ＋（n 1)×2 ＝ 2n 1 。
高二数学《数列》教学反思
高二数学《数列》教学反思
在教学《数列》这一章节时，我发现了一些可以改进的地方。
首先，在教学前，我应该先了解学生的数学基础和掌握程度。
这样可以帮助我更好地
制定教学计划，调整难度和内容，以满足学生的学习需求。
其次，在教学过程中，我应该更加注重培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
数
列这一章节相对较抽象和具有一定难度，所以应该引导学生思考数列的规律性、计算
方法和应用场景，培养学生的分析和推理能力。
另外，我应该注重实际应用和扩展。
数列虽然是一种数学的抽象概念，但是在实际生
活和其他学科中都有广泛的应用。
我可以通过一些实际问题，如金融领域的利息计算、物理学中的运动规律等，来引导学生将数列的概念和方法应用到实际情境中，并且激
发学生的学习兴趣。
最后，我还可以通过一些练习和实例来加强学生对数列的理解和掌握。
这样可以帮助
学生巩固所学知识，提高解题能力。
综上所述，通过加强对学生个体差异的了解，注重培养学生的数学思维能力和问题解
决能力，提升数列的实际应用和扩展，以及通过练习和实例加强学生对数列的理解和
掌握，可以有效改进《数列》这一章节的教学效果。
职中数列知识点总结
职中数列知识点总结一、数列的概念和定义1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，这些数的排列顺序是有规律的，也就是说，数列中的每一个数都有其固定的位置。
数列中的每一个数称为数列的项，数列的第一个数称为首项，数列的最后一个数称为末项。
数列可以用数学符号表示为{a1, a2, a3, ...}，其中ai表示数列的第i个项。
1.2 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中第n个项与n之间的函数关系式，通项公式可以用来表示数列中的任意一项。
通项公式通常用an表示数列的第n个项，可以写成an = f(n)，其中f(n)是一个关于n的函数。
求解数列的通项公式是数列研究中的一个重要问题。
1.3 数列的递推公式数列的递推公式是指数列中一项与前一项之间的函数关系式，也可以用来表示数列中的任意一项。
递推公式通常用an表示数列的第n个项，可以写成an = f(an-1)，其中f(x)是一个关于x的函数。
递推公式和通项公式是数列研究中的两个重要问题。
二、数列的性质2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差都是一个常数的数列，这个常数称为等差，通常用d表示。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
等差数列的常用性质有：n项的和公式Sn = (a1+an)n/2，通项公式的推论an = (2n-1)d/2。
2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比都是一个常数的数列，这个常数称为公比，通常用q表示。
等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。
等比数列的常用性质有：n项的和公式Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)，通项公式的推论an = a1 * q^(n-1)。
2.3 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是其前两项之和的数列，斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...。
斐波那契数列的通项公式可以表示为an = F(n+2) - F(n+1)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
巧用数学知识求解物理问题
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关 系可 得 ： Ｒ一 Ｌ 点 评 ： 学知识有 时会成 为物 理解 题 成功 与否 的关键 ， 数 诸 如 三 角 、 何 、 析 几 何 等 数 学 知 识 都 可 以 成 为 解 题 的 有 几 解
例 １一 个 小 球 从 ｈ高 处 自 由 下 落 ， 到 地 面 后 又 竖 直 ． 碰 弹起 。 由于 小球 与 地 面 碰 撞 后 有 能 量 损 失 ， 回 跳 时 的 初 它 速 度 等 于 前 一 次 落 下 来 速 度 的 ３ ４ 求 小 球 从 释 放 到 停 止 弹 ／，
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用 得 非 常 熟 练 的 方 法 却 在 物 理 解 题 中 运 用 不 出 来 ， 些 都 Ｐ点 ， 时 ， 度 方 向与 Ｙ轴 的 夹 角 为 ３ 。 Ｐ 到 Ｏ 的 距 离 为 这 此 速 Ｏ， 影 响 了 学 生 物 理 成 绩 的 提 高 。 数 学 中 ， 生 熟 悉 了 ａ ｃ 、 Ｌ， 图所 示 ， 计 重 力 的 影 响 ， 磁 场 的 磁 感 应 强 度 Ｂ 的 大 学 ｂ ｄ 如 不 求 ｘ ｚ 他 们 的 解 题 方 法 能 用 得 很 好 ， 母 变 成 了 ｖ ａ ｔＦ、 小 和 ｘ ｙ， 字 、 、、 Ｕ、 ｙ平 面 上 磁 场 区域 的 半 径 Ｒ。 ＩＥ等 ， 们 掌 握 的 数 学 知 识 有 时 很 难 迁 移 过 来 。 为 此 ， 、 他 应
例谈数列在物理解题中的应用
2、递推公式法：(1) 分析物理过程，确立物理过程的重复 特点；(2) 利用相关量第 n 项与第 (n-1) 项的递推关系找出物理 量的变化通项公式。
有些物理问题中还需要用到等差数列求和、等比数列求和 公式进行计算
解：物体在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为 a. 物体第一次碰撞前后速度及反弹路程分别为：
物体第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为：
小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为 h0=5m，小 球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是：
物体第 n 次碰撞前后的速度及反弹路程分别为： 物体 n+1 次碰撞挡板时所经历的总ห้องสมุดไป่ตู้程：
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神州教育
例谈数列在物理解题中的应用
李楠
河北乐亭第一中学高三 (13) 班
摘要：数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透 贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表 述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推 理提供有效方法 . 为物理学的数量分析和计算提供有力工具。 本文拟用两道物理题为例简要说明数列在求解物理过程问题中 的重要性。
[ 例 1] 一弹性小球自 h0=5m 高处自由下落，当它与水平地 面每碰撞一次后，速度减小到碰前的 7/9，不计每次碰撞时间， 计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间。
解：设小球第一次落地时速度为 v0，则： 那么第二，第三，……，第 n+1 次落地速度分别为：
[ 例 2] 如图右所示，小球从长为 L 的光滑斜面顶端自由下 滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而 回，若每次与挡板碰撞后的速度大小 为碰撞前的 4/5，求小球从开始下滑到 最终停止于斜面下端时，物体一共通 过的路程。
物理解题中的数学应用
题， 要讨 论物 理 公式 中变 量之 间的 比例关 系 ， 清楚 公 式 的物 理 意 义， 每 个量 在公 式 中的作 用 ， 所 要讨 论 的 比例关 系 是否成 立 。 例题 ： 如 图所 示 ， 光滑的半球形物 体固定在水平地 面上 ， 球 心 正 上 方 有 一 光 滑 的 小 滑 轮 ．轻 绳 的一 端 系一小球 。 靠 放 在 半 球 上 的Ａ点 ， 另 一 端 绕 过 定 滑 轮后 用 力 拉 住 ， 使 小 球 静 止 。现 缓 慢地 拉 绳， 在 使 小 球 沿 球 面 由Ａ 到Ｂ的过 程 中 ， 半球 对 小球的支持力Ｎ 和 绳 对小 球 的 拉力 Ｔ 的 大小 变 化情况是（ ） Ａ． Ｎ 变大 ． Ｔ 变 小 Ｂ ． Ｎ 变小 ． Ｔ 变 大 Ｃ ． Ｎ 变小 ． Ｔ 先 变 小 后 变 大 Ｄ ． Ｎ 不变 ， Ｔ 变 小
助） 法、 图像 法 、 微元法等。 关键词 ： 中 学 物理 教 学
物 理 解题
数 学方 法
数 学 作 为 工 具 学 科是 猎取 科 学 知识 的重 要 武 器 ，也 是 研 究 物理 学 的 重 要 工 具 。 因 为 用数 学 表 达 概 念 和定 律 ， 可 以达 到 明晰、 简练 、 严 密 的 效 果 。 借 助 数 学 还 能 导致 物理 学 新 规 律 的 发 现和 新 理 论 的 建 立 。这 在 物 理学 的 发 展史 中有 很 多事 例 可 以证 明 。 中学 物 理 教 学 提 出 “ 运用数学解决物理问题的能力” 的 问题 ， 应有两个 涵义 ： （ １ ） 有 用 数 学 方 法 或 数 学 语 言 表 达 物 理 的概 念 和 规 律 ． 即从 物 理 现 象 中和 物 理 过 程 的分 析 中 ， 经 过 概括和分析 ， 把 物 理 问 题 转 化 为 数 学 问题 ， 从 而有 确定 其 定 义 或 建立 公 式 的 能 力 ； （ ２ ） 有综 合运用数 学知识和技巧 ， 正 确 地 解决物理问题的能力。 高 考 物 理 试 题 的解 答 离 不 开 数 学 知 识 和 方 法 的 应 用 ， 可 以 说任 何 物 理 试 题 的 求 解 过 程 实 质 上 是 一个 将 物 理 问题 转 化 为 数学 问题 经 过 求 解 再 次 还原 为物 理 结 论 的 过程 。 物理解题运用的数学方法通常包括方程（ 组） 法、 比例 法 、 数列法 、 函数 法 、 几何 （ 图形 辅 助 ） 法、 图像 法 、 微元 法 等 。
数列的极限与发散性的判断
数列的极限与发散性的判断在数学的广袤领域中，数列是一个极其重要的概念。
而数列的极限与发散性的判断，则是理解数列本质和深入研究数学分析的关键所在。
首先，我们来理解一下什么是数列。
简单来说，数列就是按照一定顺序排列的一组数。
比如 1，3，5，7，9 就是一个数列。
那什么是数列的极限呢？想象一下，有一个数列，当它的项数越来越大，也就是趋向于无穷大的时候，数列中的数会越来越靠近某个固定的值，这个固定的值就是数列的极限。
比如说，数列 1，1/2，1/3，1/4，1/5，…… 这个数列的极限就是 0 。
为什么呢？因为当项数 n 趋向于无穷大时，1/n 就会趋向于 0 。
那么如何判断一个数列是否有极限呢？这就需要用到一些方法和定理了。
一种常见的方法是通过数列的通项公式来判断。
如果数列的通项公式在 n 趋向于无穷大时能够趋近于一个确定的值，那么这个数列就有极限；反之，如果通项公式在 n 趋向于无穷大时没有趋近于一个确定的值，那么这个数列就是发散的。
举个例子，对于数列 an ＝ n ，当 n 趋向于无穷大时，n 也趋向于无穷大，没有趋近于一个确定的值，所以这个数列是发散的。
再比如数列 an ＝ 1 ＋ 1/n ，当 n 趋向于无穷大时，1/n 趋向于 0 ，所以 an 趋向于 1 ，这个数列的极限就是 1 。
另一种判断数列极限的方法是运用夹逼定理。
如果存在两个数列 bn 和 cn ，对于所有的 n 都有bn ≤ an ≤ cn ，并且 bn 和 cn 的极限都存在且相等，那么数列 an 的极限也存在，并且等于 bn 和 cn 的极限。
例如，考虑数列 an ＝ n/（n ＋ 1) 。
我们可以构造两个数列 bn ＝ n/（n ＋ 2) 和 cn ＝ n/（n) ＝ 1 。
显然，对于所有的 n ，都有bn ≤ an ≤ cn 。
而 bn 的极限为 1 ，cn 的极限也为 1 ，根据夹逼定理，an 的极限也是 1 。
接下来，我们说一说数列发散的情况。
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数列知识在物理解题中的应用
物理是中学阶段的一门重要学科。
数列是中学数学中的重要知识点，在求解物理题目时用途巨大。
文章中主要对等差数列、等比数列在物理运动学、动量等问题中的解题应用进行了分析，为数列知识在物理解题中的应用提供了参考建议。
标签：等差数列；等比数列；物理应用
新课改实施后，各学科之间开始渗透，联系日益加强。
物理、数学是中学阶段中的两门重要学科。
两门学科，具有很多共性，如要求学生具备良好的推算能力、思维能力等。
因此中学阶段，物理和数学两门学科的渗透性最强。
一般情况下，主要是将数学知识应用到物理解题中来。
在运用数学知识求解物理题目时，主要有两种类型：第一将物理现象、过程等转换成数学问题进行求解；第二是运用各类数学知识如数列、不等式、几何等求解物理题目。
特别是第二种，在物理解题中应用较为广泛。
数列是中学数学中的重要知识点。
数列是按照一定顺序排列的数。
数列中每一个数都称为数列中的项。
位于第一位的数则称为第一项，第二位的称为第二项，以此类推，位于第n位的数称为第n项。
一般用an表示。
等差数列、等比数列、等和数列、前N项和等是数列中的常见类型。
在应用数学思想求解物理题目时，数列的应用也较为广泛。
近年来数列应用成为高考的必考点，也是高考热点。
学生在解决物理题目时，除了掌握基本的数学应用思想外，还应重视数列知识在物理解题中的作用。
一、等差数列在物理解题中的应用
等差数列是数列中较为常见的一种数列类型。
在一个数列中，如果从第二项开始，每一项和前一项的差是一样的，则说明该数列是等差数列。
每一项和前一项之间的差是常数，该常数是等差数列的公差。
直线运动是物理运动学中的一种。
当物体做匀速直线运动时，便可形成等差数列，利用等差数列求和公式解决匀速直线运动相关问题，能够简化解题思路和过程，提高解题效率。
例1：将相同的长方形木板整齐的放置在光滑平面上，放置方式如图1所示。
长方形木板重量为1N，木板之间的动摩擦因数是0.3。
从上至下，在处于奇数块的木板左侧系上绳子，处于偶数块的木板右侧系上绳子。
左右两边的绳子分别系于两侧的轻质木杆上，木杆垂直于地面。
向两个木杆1/3处的位置分别施加F1、F2的压力，当F1=F2=57N时，将叠加在一起的长方形木板按照均匀速度拉开。
假设木板侧面具有相同的粗糙程度，求长方形木板的数量。
解析：长方形木板放置在光滑平面上，最后一块木板和平面之间不存在摩擦
力。
按照均匀速度拉开木板时，第一块木板和最后一块木板，侧面都会受到动摩擦力，中间的木板两个侧面都会受到与其滑动反反向的摩擦力。
求解时，先将长方形木板从上至下进行编号，并将之按照奇数、偶数分成1组、2组。
假设木板接触面为n（平面接触面除外），则长方形木板数量为n+1。
在水平拉开木板时，接触的木板之间存在滑动摩擦力，摩擦力大小相同，但方向相反。
因此每组木板接受的滑动摩擦力数量是相同的，即为n。
从上至下，每组木板均匀拉开时受到的n各摩擦力构成了等差数列，即0.3、0.6、0.9、1.1、1.4…该等差数列中公差为0.3。
根据Sn=na1+———d，0.3n+———×0.3=57，整理可得n2+n-380=0，因此（n+20）（n-19）=0，故n1=-20（舍去），n2=19。
n+1=20，可求出长方形木板数量为20块。
上述题目，仔细阅读、分析题目后可知，拉开木板时所做的运动为均匀速度。
每组木板受滑动摩擦力数量相同且方向相反，因此在求解该题时可运用数学思想中的等差数列进行求解。
将物理题目转换成等差数列后，可简化该题解题步骤，实现题目的解答。
等差数列除了能解决运动学问题外，还能解决动量相关问题。
二、等比数列在物理解题中的应用
等比数列也是数列中较为常见的一种数列类型。
在一个数列中，如果从第二项开始，每一项和前一项的比是一样的，则说明该数列是等比数列。
每一项和前一项之间的比是常数，该常数是等差数列的公比。
如果公比为1时，则说明该数列为常数列。
物理中的运动学问题、动量问题在求解时，经常用到等比数列。
例2：一小球做自由落体运动，从4.9米高处落下。
下落过程中每次弹回的高度是下落时的一半，求小球静止所花费的时间（不考虑空气阻力和碰撞时间）。
例3：如图2所示，平板小车质量m为2kg，小车后面放了一块质量M为3kg的铁块。
铁块和小车之间的动摩擦因数为μ=0.5。
最初，小车和鐵块在光滑的平面上以v0=3m/s的速度向右位移，直至小车碰到右边的墙面。
假设在极短的时间内小车便会撞到墙，且撞到后小车没有损失。
而碰撞时只有小车碰撞到墙，铁块不会撞到墙。
求小车撞到墙时所走过的路程有多少。
运用数学思想解决物理问题能够检验学生的数学应用能力，也能对学生物理知识理解能力进行验证。
运用数列对物理问题进行求解，是数学思想在物理解题中最为常见的一种应用方法。
在运用数列知识求解物理问题时，学生应对物理问题进行仔细阅读、理解，找出其中存在的数列关系，从而运用数列知识进行求解。
参考文献：
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[2]王伟民，苗跃，杨旭.等差数列在物理解题中的应用[J].数理化学习（高三版），2015（2）：26.
[3]席伟.无穷等比数列求和公式在物理解题中的应用三例[J].中学生理科应试，2014（11）：62-63.
[4]王杏娣，李增蔚.数列知识在物理解题中的应用[J].保定师范专科学校学报，2003（4）.。