2022年高考数学(理)一轮复习文档 第八章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程 Word版含答案

第8讲 曲线与方程1．曲线与方程在平面直角坐标系中，假如某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．1．辨明两个易误点(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的外形、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系； (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； (3)列式——列出动点P 所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简； (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．1．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋y －5＝0，则下列各点中，在曲线C 上的点是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，－3)D ．(3，6)A2．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分D ．直线的一部分B x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.4.教材习题改编 已知方程ax 2＋by 2＝2的曲线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53和B (1，1)，则曲线方程为________．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧259b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3225，b ＝1825.所以曲线方程为3225x 2＋1825y 2＝2，即1625x 2＋925y 2＝1.1625x 2＋925y 2＝1 5．平面上有三个不同点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0， 即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)． y 2＝8x (x ≠0)直接法求轨迹方程(高频考点)直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容． 直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或推断轨迹)； (2)无明确等量关系求轨迹方程．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .由于ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程； (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要留意“翻译”的等价性．角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或 推断轨迹)1．已知点F (0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． 由于QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)， 整理得x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . 角度二 无明确等量关系求轨迹方程2．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，PM ， 则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又由于|PA |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.定义法求轨迹方程已知A (－5，0)，B (5，0)，动点P 满足|PB →|，12|PA →|，8成等差数列，则点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知得|PA →|－|PB →|＝8，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支， 且a ＝4，b ＝3，c ＝5，所以点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≥4)．【答案】x216－y29＝1(x ≥4)若将本例中的条件“|PB →|，12|PA →|，8”改为“|PA →|，12|PB →|，8”，求点P 的轨迹方程．由已知得|PB →|－|PA →|＝8，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的左支，且a ＝4，b ＝3，c ＝5， 所以点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≤－4)．定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则依据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，假如不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．(2021·江西红色七校二模)已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切．求动圆C 的圆心的轨迹方程．圆M ：(x －2)2＋y 2＝64，圆心M 的坐标为(2，0)，半径R ＝8.由于|AM |＝4<R ，所以点A (－2，0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.所以圆心C 的轨迹是中心在原点，焦点为A ，M ，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a＝4，c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝12.所以动圆C 的圆心的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.利用相关点法(代入法)求轨迹方程(2021·石家庄一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【解析】 由于点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)，所以Q 是线段PF 1的中点．设P (x 1，y 1)， 由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－62，y 12， 由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为（x 1－6）264＋y 2140＝1，故点P 的轨迹为椭圆． 【答案】 D(2021·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1、A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x，y 1＝2y x ，③所以x ≠0，且|x |<2，由于点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)．x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0. 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)，距离之差的确定值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16yB 由于M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的确定值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x225＋y29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．3．(2021·珠海模拟)已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4B 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .由于点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上， 所以y 1＝2x 1－4，所以－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .4．已知动圆Q 过定点A (2，0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB 设Q (x ，y )，由于动圆Q 过定点A (2，0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B ．5．(2021·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0，2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9D 由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A 、B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 3.所以点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，所以AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9，故选D ．6．(2021·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内肯定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B ．4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y221＝1 D ．4x 225＋4y221＝1D 由于M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是________．由OP →·OA →|OA →|＝－5，知x ＋2y ＝－5，即x ＋2y ＋5＝0.x ＋2y ＋5＝08．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.y ＝2x －29．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________． 设P (x ，y )，由于△MPN 为直角三角形， 所以|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，所以(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得，x 2＋y 2＝4.由于M ，N ，P 不共线，所以x ≠±2， 所以轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． x 2＋y 2＝4(x ≠±2)10．已知点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q (x ，y )的轨迹方程是________．依题意有|QP |＝|QF |，则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.x 2－y 23＝111．设F (1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， 由于PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)， PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， 所以x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x . 故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .12．(2021·唐山模拟)已知P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1，0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．(1)圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于2 2. 由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22>2＝|AB |， 故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆， 即a ＝2，c ＝1，b ＝1， 所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24（x ＋1），整理得5x 2＋2x －7＝0，解得x 1＝1，x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上， 所以点M 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.13．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD 内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线D 过点P 在平面ABCD 内作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又由于|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1， 即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线， 所以点P 的轨迹为抛物线．14．已知点A ，B 分别是射线l 1：y ＝x (x ≥0)，l 2：y ＝－x (x ≥0)上的动点，O 为坐标原点，且△OAB 的面积为定值2，则线段AB 中点M 的轨迹方程为________．由题意可设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，M (x ，y )，其中x 1>0，x 2>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，①y ＝x 1－x 22.②由于△OAB 的面积为定值2，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12(2x 1)(2x 2)＝x 1x 2＝2.①2－②2得x 2－y 2＝x 1x 2，而x 1x 2＝2，所以x 2－y 2＝2.由于x 1>0，x 2>0，所以x >0，即所求点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝2(x >0)． x 2－y 2＝2(x >0)15．已知实数m ＞1，定点A (－m ，0)，B (m ，0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线的斜率之积为－1m2.(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t ＞0)与曲线C 有且只有一个交点． (1)设点S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m2＝－1m2，即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )． 由于m ＞1，所以轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)若m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0. 令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3. 由于t ＞0，所以t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．16．(2021·郑州质检)已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点(与A 、B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．(1)设点P (x ，y )，由题意可得，（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，不合题意．当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n |m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0，Δ＝4m 2n 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1， S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22，当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．。