考研高数上册所有内容

2013考研数学导学讲义(高数上)——之极限、微分学部分南京海天 王君甫第一章 函数 极限 连续第一节 函 数一、 集合 二、 区间与邻域区间：设,a b 都是实数,且a b <.数集{}x a x b <<称为开区间，记作(,)a b ，即(,)a b ={}.x a x b <<其中,a b 称为开区间(,)a b 的端点,这里(,),(,)a a b b a b ∉∉数集{}x a x b ≤≤称为闭区间，记作[,]a b ，即[,]a b ={}.x a x b ≤≤其中,a b 称为闭区间[,]a b 的端点,这里[,],[,]a a b b a b ∈∈类似地：有限区间 [,)a b ={}.x a x b ≤< (,]a b ={}.x a x b <≤ 无限区间 [,){},a x x a +∞=≥ (,)b -∞={}.x x b <(,)R =-∞+∞ 邻域：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a .设δ是任一正数，则开区间(-,)a a δδ+就是点a 的一个邻域，称为点a 的δ邻域,记作(,),U a δ即(,){}{}. U a x a x a x x a a δδδδ=-<<+=-<称为邻域的中心,δ称为邻域的半径.点a 的去心δ邻域，记作(,),(,)={0<<}.U a U a x a δδδ-oo即 点a 的左δ邻域(,)a a δ-，点a 的右δ邻域(,)a a δ+.三、 函数的概念定义：设,x y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果,x D y ∀∈按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应，则称y 是x 的函数，记作()y f x =，数集 D 称为函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量.y 的取值范围叫函数的值域.1. 反函数：设函数 ()y f x =的定义域为f D ，值域为f V . 反过来，如果把 y 看作自变量，x 看作因变量，即,f y V ∀∈ 存在唯一的f x D ∈与之对应，对应法则记为1f -，得到新函数1()x f y -=，称 1()x f y -=为函数()y f x =的反函数.注意：(1) 只有一一对应的函数才有反函数()⇒单调函数一定有反函数 (2) 原函数与反函数的图像关于直线 y x =对称 2. 基本初等函数（6类函数的图像及性质） (1) 常值函数 y c =，（x R ∈）(2) 幂函数 ()a y x a R =∈ (掌握1,1,2,3a =-的函数图像及性质) (3) 指数函数 (0,1),(0,)x y a a a x R y =>≠∈∈+∞且(4) 对数函数 log (0,1)(0,),a y x a a x y R =>≠∈+∞∈且 与指数函数互为反函数. 记 x e exp ,log ln e x x x ==(5) 三角函数 sin ,cos ,tan ,cot ,()11sec ,csc cos sin y x y x y x y x y x y x x x========图像及性质 (6) 反三角函数arcsin ,arccos ,arctan ,cot ()y x y x y x y arc x ====图像及性质 3. 复合函数：若(),(),()y f u u x x ϕϕ==当 的值域落在()f u 的定义域内时，称 [()]y f x ϕ=是由中间变量 u 复合成的复合函数.4. 初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并能用一个式子表达的函数. 5．非初等函数：a) 常见的分段函数b) 符号函数sgn x c) 狄利克雷函数()D x d) 黎曼函数()R x 四、 函数的基本性质1．有界性：若0,,(),().M x I f x M f x I ∃>∀∈≤则称 在 上有界反之，若不存在这样的正数,().M f x I 则称 在 上无界 2. 单调性：1212()()x x f x f x <⇒< 单调增 1212()()x x f x f x <⇒≤ 单调不减 通常根据导数来判定函数单调性 3. 奇偶性：()()f x f x -= 偶函数 ()()f x f x -=- 奇函数注意：定义域一定要对称；通常按定义判断函数奇偶性 运算性质：奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数；奇函数()⨯÷奇函数=偶函数；偶函数()⨯÷偶函数=偶函数；奇函数()⨯÷偶函数=奇函数；4. 周期性：∃非零常数T ，()()f x T f x += 通常按定义判断函数周期性例 判别下列函数的奇偶性(1) ln(y x = (2) 11()(),0,1,()12xy F x a a F x a =+>≠-其中 为奇函数第二节 极 限一、数列极限定义：lim 0,0,,n n n x a N n N x a εε→∞=⇔∀>∃>>-<使时恒有 极限存在与前有限项的取值无关，即lim lim ()n k n n n x x k +→∞→∞=其中为自然数 数列极限的性质：1. 唯一性 lim ,lim n n n n x A x B A B →∞→∞===若，则.（想想为什么？）2. 有界性 lim ,0,||n n n x A M x M →∞=∃><若则使得.（想想为什么？） 收敛数列一定有界，但是有界数列不一定收敛. 如{1,1,1,1,,1,1}.---L3. 保号性如果 lim 0(0),00(0)n n n n x a a N n N x x →∞=><⇒∃>>><或，当时，都有或 .（想想为什么？）4. 收敛数列与子数列的关系lim lim k n n n k x A x A →∞→∞=⇒=若 反之，不一定.5. 数列极限存在准则(I) 夹逼准则 如果数列{},{}{}n n n x y z 及满足下列条件： a) 从某项起，即00,n N n n ∃∈>当 时，有,n n n y x z ≤≤b) lim ,lim ,n n n n y a z a →∞→∞==那么数列{}n x 的极限存在，且lim n n x a →∞=.(II) 单调有界收敛准则 单调有界数列必有极限 例1 证明 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++L L例2 证明 L 的极限存在，并求该极限.二、 函数极限 1. 函数当0x x →时的极限定义1：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论有多小)，总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或 当简述：00lim ()0,0,0()xxf x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<当 时，有 注意：a) 上述极限表示x 既从0x 的左侧又从0x 的右侧趋向于0x 的，b) 当x 从0x 的左侧(即00x x x δ-<<)趋向于0x 时，那么A 就叫做函数()f x 当0x x →时的左极限，记作00lim ()()x x f x A f x A --→==或 ；类似地，定义右极限，00lim ()()x x f x A f x A ++→==或c) 极限存在与()f x 在点0x 有无定义或定义的值无关. d) 0lim ()x xf x A →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== 2. 函数当x →∞时的极限定义2：设函数()f x 当x 大于某一正数时有定义.如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论有多小)，总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或 当简述：lim()0,0,()x f x A X x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>-<当 时，有 注意：a) x →∞既表示x →+∞也表示x →-∞ b) lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞== 3. 函数极限的性质(1) 唯一性：若lim (),lim ()f x A f x B ==，则A B =(2) 局部有界性：若0lim ()x xf x A →=,则0,0M δ∃>>,使00||x x δ<-<时，|()|f x M ≤(3) 局部保号性：若0lim (),0xxf x A A →=>，则0000(),()()0U x x U x f x ∃∈>， (4) 函数极限与数列极限的关系(归结原则)：若000lim (),lim ()n n x x n f x A x x x x →→∞==≠且，则0lim ()lim ()n n x xf x f x A →∞→== (5) 四则运算：若 lim (),lim ()f x Ag x B ==，则 lim[()()];lim[()()]kf x lg x kA lB kf x g x kA B ±=±⋅=⋅;()lim (0)()f x AB g x B=≠. 两个常用结论：a) ()lim lim ()0lim ()0;()f xg x f x g x =⇒=存在， b) ()limlim ()0lim ()0;()f x f xg x g x ≠=⇒==A 0， 事实上, 除了上述法则外，还应注意：==();()=±±⨯÷⨯÷存在不存在不存在；不存在不存在不一定；存在不存在=不一定不存在不存在不一定；4. 无穷小量和无穷大量 (1) 无穷小量1) 定义：若lim ()0,x f x →*=称()f x 为x 趋于*的无穷小量. 特别地，0也可以看作无穷小量.2) 无穷小量的比较：设lim ()0,lim ()0.x x αβ== 高阶：若()lim0,()x x βα=则称()x β为()x α的高阶无穷小量记为()(()).x o x βα= 同阶：若()lim 0,()x C x βα=≠则称()x β与()x α是同阶无穷小量. 等价：若()lim1,()x x βα=则称()x β与()x α是等价无穷小量.记为()x x αβ~（）. 无穷小的阶：若()lim0,[()]kx C x βα=≠则称()x β是()x α的k 阶无穷小量.例 已知当0x →时，2x n e ax --与 是等价无穷小，求n3) 无穷小量的性质：a) 有限个无穷小量之和仍为无穷小量； b) 常数与无穷小量之积仍为无穷小量； c) 有限个无穷小量之积仍为无穷小量； d) 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量； (2) 无穷大量1) 定义：若lim (),x f x →*=∞称()f x 为x 趋于*的无穷大量2) 无穷大量与无界变量的关系：无穷大量⇒无界变量，反之不一定成立，数列{}n x 是无穷大量：0,,n M N n N x M ∀>∃>>当 时，都有 数列{}n x 是无界变量：0,,.N M N x M ∀>∃>使反例：数列[1(1)]n n x n =+-是无界变量，但不是无穷大量. 3) 无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量(除0外)的倒数是无穷大量. 注意：a) 无穷大量之和(同方向)、之积为无穷大量；无穷大量之差(同方向)、之商结果不一定；无穷大量与有界变量之积不一定(如1lim 1x x x→∞⋅=)，但若lim ()0,lim (),lim ()()f x a g x f x g x =≠=∞=∞则；无穷大量与有界变量之和、之差为无穷大量. b) 在求极限的过程中，x →∞当时，无穷大量 ln (,0,1)x x x x a x a αβαβ>>===三者趋于无穷大的快慢程度不一样决定了三者之间比值的极限也不一样.对于数列无穷大量之间有 ln !(0,1)n n n n a n n a αα>>====如 lim;lim ;lim ;ln ln x xx x x x a a x x x βααβ→∞→∞→∞=∞=∞=∞ ln ln lim0;lim 0;lim 0;x x x x x x x x x a aααββ→∞→∞→∞=== 例lim 1)ln n n n→∞= 5. 求极限的步骤与方法步骤：对于函数极限：步1)能否有理化；步2)考虑等价无穷小代换；步3)考虑重要极限；步4)考虑洛必达法则；步5)利用泰勒公式转化.对于数列极限：步1)能否连续化求对应函数极限；步2)夹逼准则；步3)单调有界准则；步4)利用定积分的定义. 方法1：利用有理运算法则求极限 常用的方法 a) 分子、分母有理化后约分 b) 多项式比值的极限101101,()lim ,().m m m m n n x nn a n m b P x a x a x a n m Q x b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪==>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩L L 当，0，当，当 例x = 方法2：利用重要极限 a) 0sin sin(())lim1lim 1(lim ()0)()x x x x x x ϕϕϕ→=⇒==推广形式当时 b) 11()()lim(1)lim(1())(lim ()0);lim(1())(lim ()()).x xx x A x e x e x x e x x A ϕψϕϕϕϕψ→+=⇒+==+=⋅=推广形式当时当时c) 1x = 例 11cos0arcsin lim()x x x x-→= 方法3：利用等价无穷小代换求极限 常见的等价无穷小，当0x →时，2sin tan arcsin arctan ln(1)111ln ;(1)1;1cos .2x xx x x x x x e a x a x x x x αα+--++-:::::::::注意：有相应的推广形式求极限，等价无穷小只能在乘除法中替换，不能用于加减法.例1 123(1)1limcos 1x x x →+--=例2 0tan 3lim 2x xx→= 方法4：利用洛必达法则（0;0∞∞）设函数(),()f x g x 满足条件：（1）0lim ()0,lim ()0.(lim (),lim ())x x x x x x x xf xg x f x g x →→→→===∞=∞或 （2）00(),()()0;f x g x x x g x '≠都在 的邻域内可导（在 点除外）且 （3）0()lim()x xf xg x →'∞'存在（或 ） 则00()()limlim ()()x xx x f x f x g x g x →→'=' 推广形式求000;;1;;0;∞⋅∞∞-∞∞型极限，前二者可直接化为0;0∞∞型极限，后三者可用幂指数函数极限的方法即()()ln ()lim(())lim g x g x f x f x e =再进一步化为0;0∞∞型极限求. 注意：一般来说对于振荡函数求极限不用洛必达法则.如 当x →∞时，极限式中含有sin ,cos x x ； 当0x →时，极限式中含有11sin ,cos x x. 例方法5：利用泰勒公式展开求极限2332332433433233221();sin ();arcsin ();266cos 1();tan ();arctan ();24!33(1)ln(1)();(1)1().232xx x x e x o x x x o x x x o x x x x x x o x x x o x x x o x x x x x o x x x x o x αααα=+++=-+=++=-++=++=-+-+=-+++=+++例1 2220cos lim[ln(1)]x x x ex x x -→-=+- 例2x →=方法6：利用夹逼准则求极限例_________(0)i n a =>方法7：利用单调有界准则求极限 例 11sin (0,1,2,)n n x x x n π+=<<=L 证明lim n n x →∞存在，并求该极限方法8：利用定积分的定义求极限 例 111lim()12n n n n n→∞++++++L第三节 函数的连续性一、函数连续的概念1. 定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[(+)()]0,x x y f x x f x ∆→∆→∆=∆-=那么就称函数()y f x =在点0x 连续.常用定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果0lim ()(),x x f x f x →= 那么就称函数()f x 在点0x 连续.简述：()f x 在点0x 连续000,0,()()x x f x f x εδδε⇔∀>∃>-<-<当 时，有 左连续：000lim ()()()x x f x f x f x --→==右连续：000lim ()()()x x f x f x f x ++→==函数()f x 在点0x 连续()f x ⇔在点0x 左连续且右连续. 二、函数的间断点及类型1. 第一类间断点：左、右极限都存在的间断点可去间断点：左极限=右极限（000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x +-→→=≠）跳跃间断点：左极限≠右极限（00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→≠）2. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在，只掌握两类 无穷间断点：0x x →时，()f x →∞.振荡间断点：0x x →时，()f x 振荡，例 01limsin x x→ 例 求函数2()lim n n n nn x x f x x x +--→∞-=+的间断点并指出其类型.三、连续函数的性质1. 连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍连续；2. 初等函数在其定义域内处处连续；3. 闭区间上连续函数的性质（往往用于证明方程中ξ的存在性以及方程的根问题）a) 有界性：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有界.b) 最值性：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上必有最大值和最小值.c) 介值性：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对()f a 及()f b 之间任意常数C ,至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()f C ξ=.推论：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可取到介于最小值和最大值之间的任何值.d) 零点定理：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=.例 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()lim0x f x x→∞=，试证存在(,)ξ∈-∞+∞，使得()0.f ξξ+=证明：第二章 导数和微分第一节 导数和微分概念1. 导数的定义设函数()y f x =在点0(,)U x δ内有定义，当自变量x 趋近于0x 即x ∆趋于0时，相应地增量00()()y f x x f x ∆=+∆-与x ∆的比值的极限存在，称函数()y f x =在点0x 处可导，该极限称为()y f x =在点0x 处的导数，记作0()x x y f x =''或 .简述：000000()()()limlimx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''==∆∆ = 推广形式：0000000()()()()()lim lim x x h f x f x f x h f x f x x x h→→-+-'==- . 左导数：0000000()()()()()limlim x x h f x f x f x h f x f x x x h ---→→-+-'==- ； 右导数：0000000()()()()()limlim x x h f x f x f x h f x f x x x h+++→→-+-'==- . 可导⇔左、右导数都存在且相等. 例 研究函数()0f x x x ==在 处的导数.2. 微分的定义设有函数()y f x =，若函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-可表示为()y A x o x ∆=∆+∆的形式，其中A 是不依赖于x ∆的常数，那么称函数()y f x =在点0x 处是可微的.A x ∆叫做函数()y f x =在点0x 相对于自变量的增量x ∆的微分，记作dy ，即.dy A x =∆函数可微的充要条件：()f x 在点0x 可微()f x ⇔在点0x 可导. 且0().dy f x dx '=简要证明：000()():()lim (),();x y o x y y A x o x A f x A dy f x dx x xx ∆→∆∆∆''⇒∆=∆+∆⇒=+⇒===∆∆∆即 00000():lim ()()()()().x y yf x f x y f x x x f x x o x x x αα∆→∆∆''''⇐=⇒=+⇒∆=∆+∆=∆+∆∆∆ 于是函数()y f x =的微分又可记作().dy f x dx '=3. 导数和微分的几何意义(会求曲线的切线方程和法线方程)1). 导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00()x f x （，）处切线的斜率.2). 微分0()dy f x dx '=在几何上表示曲线()y f x =的切线的增量. 4. 连续、可导、可微之间的关系例 讨论函数1sin ,00,0x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩在点0x =处的连续性和可导性以及导函数的连续性.第二节 导数的计算1. 基本求导公式1）()0;C '= 2）1();x x ααα-'= 3）()ln ;x x a a a '= 4）();x x e e '= 5）1(log );ln a x x a '=6）1(ln );x x'= 7）(sin )cos ;x x '= 8）(cos )sin ;x x '=- 9) 2(tan )sec ;x x '= 10) 2(cot )csc ;x x '=- 11) (sec )sec tan ;x x x '=⋅12) (csc )csc cot ;x x x '=- 13）(arcsin )x '= 14）(arccos )x '=15）21(arctan );1x x '=+ 16）21(arccot ).1x x'=-+ 2. 求导法则1) 有理运算法则设(),()u u x v v x ==在x 处可导，则a) ()u v u v '''±=± b) ()u v u v uv '''⋅=+ c) 2()(0)u u v uv v vv''-'=≠ 例 22()5cos x x x'=+2) 复合函数求导法设()u x ϕ=在x 处可导，()y f u =在对应点处可导，则复合函数[()]y f x ϕ=在x 处可导，且()()dy dy du y f u x dx du dxϕ'''==⋅= 例 22sin 1x y x =+，求.dydx3) 隐函数求导法显函数：形如()y f x =，等号左端是因变量的符号，右端是含有自变量的式子，这种方式表达的函数称为显函数. 例如 sin ;ln x y x y x e ==+ 隐函数：由方程(,)0F x y =在一定条件下，当自变量x 取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程(,)0F x y =在该区间内确定了一个隐函数.求导方法：设()y y x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数的可导函数，为求得y '，可在方程(,)0F x y =两边对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '即可.例 设函数()y y x =由方程y e xy e +=所确定，求(0)y ''.4） 反函数求导法若函数()x f y =在区间y I 内单调、可导且()0f y '≠，则它的反函数1()y f x -=在区间{(),}x y I x x f y y I ==∈内也可导，且11[()]()f x f y -'='或1.dy dxdx dy= 证明：由于函数()x f y =在区间y I 内单调、可导(即连续)且()0f y '≠，则()x f y =的反函数1()y f x -=存在，且在对应区间{(),}x y I x x f y y I ==∈内也单调、可导(即连续).任取x x I ∈，给x 以增量(0,)x x x x x I ∆∆≠+∆∈，由1()y f x -=的单调性可知11()()0y f x x f x --∆=+∆-≠，于是有1y xx y∆=∆∆∆，因1()y f x -=连续，故0lim 0x y ∆→∆=，从而10011[()]limlim ()x y y f x x x f y y-∆→∆→∆'===∆'∆∆. 反函数二阶导公式：12131[]1()()[][()]()()[()][()]()[()]d f y f y d d f x f y f y dyf y f x dx dxdxf y f y dy--'''-'''''''=====-''. 5) 参数方程求导法设y 与x 的函数关系是由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩确定的，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.1().()dy dy dt dy t dx dx dt dx dt t dtψϕ'=⋅=⋅='参数方程二阶导公式：2223()()()()()()1()()()()()[][].()()()()()d y d dy d t d t dt t t t t t t t t dx dx dx dx t dt t dx t t t ψψψϕψϕψϕψϕϕϕϕϕϕ''''''''''''''--===⋅=⋅='''''例求参数方程arctan x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩的二阶导数.6) 对数求导法若函数为()()g x y f x =形式，求dydx. 则对函数两边同时取对数得，ln ()ln ()y g x f x =()()()ln ()()[()ln ()()]()()y f x dy f x g x f x g x y y g x f x g x y f x dx f x ''''''⇒=+⇒==+ 例 设2sin (1)x y x =+，求y '.第三节 高阶导数定义：一般地，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数. 我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d ydx，即22()()d y d dyy y dx dx dx''''==或类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，L L ，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作(4)(),,,n y y y'''L 或者3434,,,.n n d y d y d y dx dx dxL计算方法：I) 归纳法：即先求一阶导，二阶导，L ，最后归纳证明出n 阶导数. II) 莱布尼兹公式：()()()0()nn k n k k n k uv C u v -==∑III) 基本公式法：a) ()()[sin()]sin();[cos()]cos();22n n n n n n ax b a ax b ax b a ax b ππ+=+++=++ b) ()11!()(1);()n n n n x a x a +=-++ c) ()[(1)](1)(2)(1)(1).n n x n x αααααα-+=---++L IV) 利用泰勒级数：()()0000()0()()()()()!!()!n n nn n n n n f x f x f x x x a a n n n f x a n ∞==-==⋅∑其中表示展开式中次项的系数，则例 设2()56xf x x x =-+，求()()n f x .例 求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的(2)n n >阶导数.第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理1. 费马引理：设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有00()()(()())f x f x f x f x ≤≥或，那么0()0f x '=.证明：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤(如果0()()f x f x ≥，可以类似地证明).于是，对于00()x x U x +∆∈，有00()()f x x f x +∆≤，从而当0x ∆>时，00()()0;f x x f x x +∆-≤∆当0x ∆<时，00()()0.f x x f x x+∆-≥∆根据函数()f x 在0x 可导的条件及极限的保号性，得00000()()()()lim 0,x f x x f x f x f x x++∆→+∆-''==≤∆00000()()()()lim 0.x f x x f x f x f x x --∆→+∆-''==≥∆所以0()0f x '=.证毕.2. 罗尔定理：如果函数()f x 满足： a) 在闭区间[,]a b 上连续； b) 在开区间(,)a b 内可导； c) 端点值相等，即()()f a f b =， 那么至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明：由于()f x 在[,]a b 上连续，根据连续函数的最值定理知，()f x 有最大值M 和最小值m ，分两种情况讨论：1) M m =,此时()f x 在[,]a b 上必然取相同的值M ，即()f x M =. 由此得()0f x '=.因此，任取(,)a b ξ∈，有()0f ξ'=.2) M m >,因为()()f a f b =，所以M 和m 至少有一个不等于()f x 在区间[,]a b 端点处的函数值.不妨设()(())M f a m f a ≠≠若，可类似证明则必定至少存在一点(,)a b ξ∈使得()f M ξ=.因此任取[,]x a b ∈有()()f x f ξ≤，从而由费马引理有()0f ξ'=.证毕. 想想：几何意义？例 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f a b =，()f b a =，a 与b 同号. 求证：(,)a b ξ∃∈使()()f f ξξξ'=-.二、拉格朗日中值定理(条件比罗尔定理弱多了) 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足： a) 在闭区间[,]a b 上连续； b) 在开区间(,)a b 内可导；那么至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-. 证明：构造辅助函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a-=-+--，于是()F x 刚好符合罗尔定理的条件，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F x f x b a-''=--，所以，()()()f b f a f b aξ-'=-，从而()()()()f b f a f b a ξ'-=-.证毕.想想：几何意义？拉格朗日定理是罗尔定理的推广形式(只需令()()f a f b =即可).例 证明当0x >时，ln(1).1xx x x <+<+ 并有离散形式：1ln(1)ln .1n n n n n<+-<+三、柯西中值定理柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 同时满足： a) 在闭区间[,]a b 上连续； b) 在开区间(,)a b 内可导； c) 对任一(,),()0,x a b F x '∈≠ 那么至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-.证明：首先注意到()()0.F b F a -≠因为()()()()F b F a F b a η'-=-，(,)a b η∈因假定()0,F η'≠又0b a -≠，所以()()0.F b F a -≠ 构造函数()()()()()[()()]()()f b f a x f x f a F x F a F b F a ϕ-=----，易验证()x ϕ适合罗尔定理的条件：()()0a b ϕϕ==；()x ϕ在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导且()()()()().()()f b f a x f x F x F b F a ϕ-'''=-⋅-根据罗尔定理，可知至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0ϕξ'=，即()()()()0,()()f b f a f F F b F a ξξ-''-⋅=-由此得，()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-.证毕.想想：几何意义？柯西中值定理是拉格朗日定理的推广形式(只需令()F x x =即可).例 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 a 与b 同号，求证：,(,)a b ξη∃∈使()()2a bf f ξηη+''=.四、泰勒中值定理泰勒中值定理(拉格朗日型余项)：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对任一(,)x a b ∈，有()20000000()()()()()()()()(),2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L其中(1)10()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ++=-+是介于0x 与x 之间的某个值.(佩亚诺型余项): 如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对任一(,)x a b ∈，有()20000000()()()()()()()()(),2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L其中00()[()],()n n R x o x x x x =-→.如果取00x =，从而泰勒公式变成较简单的形式，称为麦克劳林公式. 常见的麦克劳林公式：(大纲要求掌握)201111()2!!!xn nn n e x x x o x x n n ∞==+++++=∑L3521212101111sin (1)()(1)3!5!(21)!(21)!n n n n n n x x x x x o x x n n ∞+++==-+-+-+=-++∑L2422201111cos 1(1)()(1)2!4!(2)!(2)!n n nn n n x x x x o x x n n ∞==-+-+-+=-∑L2311101111ln(1)(1)()(1),(1,1]2311n n n n n n x x x x x o x x x n n ∞+++=+=-+-+-+=-∈-++∑L2(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(),2!!!nnn n n n x x x x o x x n n αααααααααα∞=---+--++=+++++=∑L L L (1,1)x ∈-例1 求极限1). 30sin cos lim sin x x x x x →-，2). 2220112lim .(cos )sin x x x x e x→+-例 2 设()f x 在[0,1]上三阶可导，且1(0)0,(1)1,()0.2f f f '===求证：(0,1),ξ∃∈使()24f ξ'''≥.第二节 导数的应用一、函数的单调性与曲线的凹凸性和拐点 1. 函数的单调性设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导. a) 如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； b) 如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 注意：在判断函数的单调性及求单调区间的过程中，第一步找出无定义的点、导数不存在的点以及导数为零的点；第二步根据这些点来划分定义区间，在每个区间上讨论()f x '的符号；第三步求出单调区间. 例1 证明：当1x >时，13.x>- 例2 试讨论方程ln 10x x e-+=的实根个数2. 函数的凹凸性及拐点1）定义：设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x 恒有1212()()()22x x f x f x f ++<， 那么称()f x 在I 上的图形是凹的(几何形状?)；如果恒有1212()()()22x x f x f x f ++>， 那么称()f x 在I 上的图形是凸的(几何形状?).判定方法：（联系几何意义记忆）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么： a) 若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上是凹函数； b) 若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上是凸函数.2）拐点定义：如果连续曲线()y f x =在点00(,())x f x 两侧的凹凸性相反，则称点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点. 判定凹凸区间和拐点的方法： a) 求出函数()y f x =定义域； b) 求出二阶导数()f x ''；c ) 求出二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； d) 判断，确定出曲线凹凸区间和拐点.注意：拐点不一定是二阶导为零的点(反例y =0x =)；二阶导为零的点也不一定是拐点(反例4y x =在点0x =). 例 求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸区间.二、函数的极值与最值 1. 函数的极值.定义：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域()ox U 内的任一x ，有0()()f x f x <(或0()()f x f x >)，那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值(或极小值). 1) 极值的必要条件设函数()f x 在0x x =处取得极值，且0()f x '存在，则0()0f x '=. 导数为零的点称为驻点(或稳定点)，注意：驻点不一定是极值点(例3y x =在点0x =)，极值点也不一定是驻点(例函数y x =在点0x =). 2) 极值的充分条件 a) 第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0(,)ox U δ内可导， I ) 若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；II) 若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；III ) 若0(,)ox x U δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值. b) 第二充分条件若00()0,()0f x f x '''=≠，则()f x 在0x 处取得极值.其中当0()0f x ''>取极小值，当0()0f x ''<取极大值. c) 第三充分条件若(1)()0000()()()0,()0,n n f x f x f x f x -'''====≠L 则：I ) 当n 为偶数时()f x 在0x 处有极值；()0()0n f x >取极小值，()0()0n f x <取极大值.II) 当n 为奇数时()f x 在0x 处无极值. 2. 函数的最值函数在定义区间上的最大值和最小值称为函数的最值. 注意：函数的极值是局部概念；函数的最值是整体概念. 函数的极值不一定是最值；最值也不一定是极值. 判断函数极值和最值的方法： a) 求出函数的导数()f x '；b) 找出函数()f x 的全部驻点和无定义点或不可导点；c) 通过判断()f x '符号情况利用充分条件进行确定函数的极值情况； d) 确定出函数所有极值点和极值；并与所有不可导点的值以及区间的端点值作比较，确定出函数在整个区间上的最值. 例 求函数23()(1)1f x x =-+在[2,3]-上的极值与最值.三、函数图形的描绘和曲率 1. 函数的渐近线定义：当曲线()y f x =上的一个动点P 沿曲线移向无穷点或定点时，如果点P 到某定直线L 的距离趋向于零，那么该直线L 就称为曲线()y f x =的一条渐近线.1) 水平渐近线若lim ()(lim ())x x f x a f x a →+∞→-∞==或，则称y a =为曲线()y f x =的水平渐近线. 如：曲线arctan y x =有两条水平渐近线,.22y y ππ==-2) 垂直渐近线若00lim ()(lim ())x x x x f x f x +-→→=∞=∞或，则称0x x =为曲线()y f x =的垂直渐近线.如：曲线1(3)(2)y x x =+-有两条垂直渐近线3, 2.x x =-=3) 斜渐近线 若()lim x f x a x→∞=，lim[()]x f x ax b →∞-=，则称直线y ax b =+为曲线()y f x =的斜渐近线.(想想为什么？可联系几何意义) 例：求曲线32)y =的渐近线方程.2. 函数图形的描绘 方法步骤：a) 确定函数的定义域，并求出函数的一阶和二阶导数；b) 求出一阶和二阶导数为零的点，求出一阶和二阶导数不存在的点； c) 列表分析，确定曲线的单调性和凹凸性； d) 确定曲线的渐近线；e) 确定并描出曲线上的极值点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点；f) 联接这些点画出函数的图形. 3. 曲率、曲率半径 (数三不要求) 曲率是描述曲线弯曲程度的量.曲率3223222;(())(1);((),())()y K y y x y y x y x K x x t y y t x y ''=='+''''''-===''+其中其中 ，曲率半径1R K=.2013考研数学导学讲义(高数上)——之积分学、方程部分南京海天 王君甫第四章 一元函数积分学第一节 基本概念、理论一、不定积分 1. 原函数定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()()()F x f x dF x f x dx '==或，那么()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数.原函数存在定理：如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原函数.注意：a) 如果()f x 有一个原函数，则()f x 就有无穷多个原函数.即设()F x 是()f x 的原函数，则()+F x C 也是()f x 的原函数.b) 如果()F x 与()G x 都为()f x 在区间I 上的原函数，则()F x 与()G x 之差为常数，即()()F x G x C -=.2. 不定积分定义2：在区间I 上，()f x 的带有任意常数项的原函数，称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()f x dx ⎰.注意：a) 如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()()f x dx F x C =+⎰，(C 为任意常数)b) 初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一定是初等函数，也就是下列积分是积不出来的. 如：222sin cos ,,,sin(),cos(),.ln x x x dxe dx dx dx x dx x dx x x x-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 基本性质a) 线性性质：[()()]()()af x bg x dx a f x dx b g x dx ±=±⎰⎰⎰； b) 微分与积分运算：4. 基本积分表1222221);2)(1);3)ln ;114)arctan ;5)arcsin ;6)cos sin ;17)sin cos ;8)sec tan ;9)csc cot ;cos sin 10)sec tan sec x dxkdx kx C x dx C x C xdx x C x C xdx x C x dx dx xdx x C xdx x C xdx x C x xx xdx x μμμμ+=+=+≠-=++=+=+=++=-+==+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰;11)csc cot csc ;12);13).ln x x x xa C x xdx x C e dx e C a dx C a+=-+=+=+⎰⎰⎰()();df x dx f x dx =⎰()() ;d f x dx f x dx =⎰[] ();dF(x) dx F x C dx =+⎰()() C dF x dx F x =+⎰二、定积分 1. 定积分的定义 由曲边梯形的面积导入：定义：设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间 [,]a b 分成个n 小区间 01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -L ，各个小区间的长度依次为1102211,,,n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-L .在每个小区间 1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1i i i x x ξ-≤≤)，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,,i n =L )，并作出和1()(1)ni i i S f x ξ==∆∑L L记12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆L ，如果不论对 [,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间 [,]a b 上的定积分(简称积分)，记作()ba f x dx ⎰，即1()lim ()nbi i ai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰，其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间.利用""εδ-的说法，上诉定积分的定义可以表述如下：设有常数I ，如果对于任意给定的正数0ε>，总存在一个正数δ，使得对于区间[,]a b 的任意分法，不论点i ξ在1[,]i i x x -上怎样选取，只要λδ<时，总有1()ni i i f x I ξε=∆-<∑成立，则称I 是()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰.注意：a) 定积分要求积分区间有限，被积函数在积分区间上有界. b) 积分值与积分变量无关，即()()()b b ba a a f x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰. c) 在几何意义上，定积分表示的是函数图像与x 轴围成的代数面积. 例2. 函数的可积性必要条件：()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 充分条件：a) ()f x 在区间[,]a b 上连续.b) ()f x 在[,]a b 上有界且只有有限个间断点.3. 定积分的性质约定a)：当a b =时，()0ba f x dx =⎰ 约定b)：当ab >时，()()baa b f x dx f x dx =-⎰⎰ 1) 线性性质：[()g()]()()bb baaakf x l x dx k f x dx l f x dx ±=±⎰⎰⎰2) 区间可加性：()()()bcba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (c 为任意的常数) 3) 比较定理：如果在区间[,]ab 上，()0f x ≥，则()0ba f x dx ≥⎰ (ab <) 特别地，如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≥，则()()bba a f x dx g x dx ≥⎰⎰ (ab <) 推论：()()b ba a f x dx f x dx ≤⎰⎰ (ab <) (证明？) 4) 积分估值定理：在区间[,]a b 上，设 ()m f x M ≤≤， 则()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰ (证明？)5) 积分第一中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰ (证明？)推广形式：若()f x 与()g x 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()()()bba a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (证明？) 6)1badx b a =-⎰；设函数()f x 在[,]a b 上连续，非负，且()0ba f x dx =⎰，则()0f x ≡.例1 求极限1lim n x →∞⎰4. 变限积分定义：如果函数()f x 在[,]a b 上连续，则积分上限的函数 ()()xa x f t dt Φ=⎰在上可导，并且它的导数()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ (a x b ≤≤) 注意：如果函数()f x 在[,]a b 上连续，则函数 ()()xa x f t dt Φ=⎰就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数. (即连续函数必有原函数)a) 连续性：若()f x 在[,]a b 上可积，则()xa f t dt ⎰在[,]ab 上连续. b) 可导性：若()f x 在[,]a b 上连续，则()xa f t dt ⎰在[,]ab 上可导，且(())()xa f t dt f x '=⎰c) 变限积分求导法则：()()(())(())()(())()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰ d) 奇偶性：i) 若()f x 为连续奇函数，则0()xf t dt ⎰为偶函数；(证明？) ii)若()f x 为连续偶函数，则0()x f t dt ⎰为奇函数. 例 设()f x 在[,]a b 上连续，单调增.求证：()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰5. 微积分学基本定理——牛顿、莱布尼茨公式 如果函数()F x 是连续函数()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰例 1 设()f x 在[0,)+∞内连续且()0f x >.证明函数00()()()xx tf t dt F x f t dt=⎰⎰在(0,)+∞内为单调增加函数.例2 求 21cos 2limt xx e dt x-→⎰第二节 积分法则1. 第一类换元法(凑微分法) 常见的几类凑微分法：1()()()f ax b dx f ax b d ax b a +=++⎰⎰；11()()n n n nf x x dx f x dx n-=⎰⎰； 111()()n n n n f x dx f x dx x n x=⎰⎰；(sin )cos (sin )sin f x xdx f x d x =⎰⎰；(cos )sin (cos )cos f x xdx f x d x =-⎰⎰；2(tan )sec (tan )tan f x xdx f x d x =⎰⎰；()()x x x x f e e dx f e de =⎰⎰；1(ln )(ln )(ln )f x dx f x d x x=⎰⎰；()()ln ()()()f x df x dx f x C f x f x '==+⎰⎰. 例1 91dx x x +⎰2. 第二类换元法(变量替换法) 1)()1()[()]()()(())x t f x dxf t t dt F t C F x C ϕϕϕϕ=-'==+=+⎰⎰；2) 假设函数()f x 在[,]a b 上连续，函数()x t ϕ=满足条件： a) ()a ϕα=，()b ϕβ=；b) ()t ϕ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且其值域[,]R a b ϕ⊂，则有()[()]()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰3) 常见的三角代换公式：a) sin (cos )x a t a t =令; b) tan x a t =令;c) sec x a t =令.3. 分部积分法——适用于两类函数的乘积形式的积分 1) udv uv vdu =-⎰⎰; 2) bbaab udv uvvdu a =-⎰⎰ 常见的分部法则：a) ()x n p x e dx α⎰；()sin n p x xdx α⎰；()cos n p x xdx α⎰. 将多项式以外的凑到d 上；b) ()ln n p x xdx ⎰；()arctan n p x xdx ⎰；()arcsin n p x xdx ⎰. 将多项式凑到d 上； c) sin x e xdx αβ⎰；cos x e xdx αβ⎰. 凑谁到d 上都可以，关键会算两步. 例1= 例2 =。