2010海天考研数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续
2010海天冲刺班讲义-武忠祥-
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αxα 8 = 则α = 1 + x tan x − cos x 3
.
m
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解 由
lim
x →0
1 0
f ( x) = A 知 lim f ( x ) = 0 知 x →0 x
x
0
lim ∫
x →0
∫ f ( xt )dt xt = u lim
x →0
f (u )du x
= lim f ( x) = 0
x →0
则原极限为“ 1∞ ”型. 又
lim
x →0
∫
1 0
f (tx)dt
sin x
x
= lim
x →0
∫
x
0
f (t )dt
= lim
x→0
∫
x
0
f (t )dt x
2
x sin x
=e .
A 2
= lim
x →0
f ( x) A = . 2x 2
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2010 年考研冲刺班讲义（高等数学） 主讲：武忠祥
一、函数、极限、连续 例 1 设有数列 xn 与 yn ，以下结论正确的是 （A）若 lim xn yn = 0 ，则必有 lim xn = 0 或 lim yn = 0 ；
f (0 + 0) = 0.
1 1 + a2 = (1 + a ) lim 1 = (1 + a ) lim =− 1 x →1 x →1 e 1 x x e −e − 2e x
2
lim f ( x) = lim
x →1 x →1
数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续
第 函数 极限 连续第一节 函 数1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性定义：单调增： ).()(2121x f x f x x <⇒< 单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤⇒< 判定：（1）定义：(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则 a) )(0)(x f x f ⇔≥'单调不减； b) )(0)(x f x f ⇒>'单调增； 2)奇偶性定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义：(2）设)(x f 可导，则：a))(x f 是奇函数⇒ )(x f '是偶函数；b))(x f 是偶函数⇒ )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃则称)(x f 在I 上有界。
判定：（1）定义：（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ⇒在],[b a 上有界；（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ⇒在）（b a ,上有界；（4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ⇒在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数:常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。
了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.题型一 复合函数例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a(C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B)例1．2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==ϕ且,0)(≥x ϕ求)(x ϕ及其定义域。
数学题海班专业知识讲义--大学
7．设 a={-1，2，-1}，b={1，-1，2}，c={3，-4，5}则（ ）．
D．L 与π斜交
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7
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学员专用 请勿外泄
A．a⊥b
B．b⊥c
C．c⊥a
8．方程 y 2 + x 2 -3z=0 所确定的曲面的名称是（ ）． 22
A．椭球面
B．双叶双曲面
4x5
三、解答题
1234
1．把行列式 D 2
3
4
1
化为上三角形行列式，并计算其值．
3412
4123
2．设线性方程组
x1 x1
x2 x3 2x2 ax3
0
0
与方程组 x1 x2 x3 a 1 有公共解，求 a 的值及所有公共
x1
4 x2
a2 x3
0
解．
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6
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B． l1 l 2 m1 m 2 n1 n 2 0
l1
m1
n1
C． l2
m2
n2 0
x1 x2 y1 y2 z1 z2
l1
m1
n1
D． l2
m2
n2 0
x1 x2 y1 y2 z1 z2
4．平面 x 26 y 3z 3 0 与 xoy 面夹角为（ ）．
A．
6
B．
4
C．
3
D．
3 3 6
A．-1
B．0
C．3
D．9
5．设向量 β 可由向量组 α1 ， α2 … αm 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）： α1 ， α2 … αm1 线性表示，
2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)
第一章 函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点 一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。
2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。
这类函数称为分段函数。
例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。
需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。
有时也用1()y fx -=表示。
二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。
高等数学(强化)
口诀（4） ：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 3．单调性： （ i ） 定 义 ： 设 f ( x ) 在 X 上 有 定 义 ， 若 对 任 意 x1 ∈ X ， x 2 ∈ X ， x1 < x 2 都 有
f ( x1 ) < f ( x 2 )[ f ( x1 ) > f ( x 2 )] 则称 f ( x ) 在 X 上是单调增加的[单调减少的]； 若对任意 x1 ∈ X ， x 2 ∈ X ， x1 < x 2 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )[ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 )] ，则称 f ( x ) 在 X 上是
3 − x 3 , x < −2 例 2．求 y = f ( x ) = 5 − x,−2 ≤ x ≤ 2 的值域，并求它的反函数。 2 1 − ( x − 2 ) , x > 2
解： x < −2 ， y > 3 + 8 = 11 ， x = 3 3 − y ，
− 2 ≤ x ≤ 2 ，3 ≤ y = 5 − x ≤ 7 ， x = 5 − y ， x > 2 ， y = 1 − (x − 2) < 1 ， x = 2 + 1 − y ，
x
( )
( ) = f ′(t ) = ln t ， t
x
f ( x ) − f (1) = ∫
x
1
x 1 ln t 1 dt = ln 2 t = ln 2 x 1 2 t 2 1 2 ln x 2
Q f (1) = 0 ，∴ f ( x ) =
三、有关四种性质
例 1．设 F ′( x ) = f ( x ) ，则下列结论正确的是 （A）若 f ( x ) 为奇函数，则 F ( x ) 为偶函数 （B）若 f ( x ) 为偶函数，则 F ( x ) 为奇函数 （C）若 f ( x ) 为周期函数，则 F ( x ) 为周期函数 （D）若 f ( x ) 为单调函数，则 F ( x ) 为单调函数
考研数学考点与题型归类分析总结-数二
1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于0型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→xx x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aadx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aadx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)(；对于⎰2)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-aa 奇函数 、⎰⎰=-aa a2偶函数偶函数。
高数第一章 知识点总结
例 3. f (x) 在[a,b] 上连续，且恒为正，证明对于任意的 x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 并存在一点
ξ ∈[a,b]使 f (ξ ) = f (x1) f (x2 ) .
sinϕ(x) ~ ϕ(x) ， arcsinϕ(x) ~ ϕ(x) ， tanϕ(x) ~ ϕ(x) ， arctanϕ(x) ~ ϕ(x) ，
1− cosϕ(x) ~ ϕ 2 (x) ， 2
ln
(1+
ϕ
(x))
~
ϕ
(x)
，loga
(1 +
ϕ
(x))
~
ϕ( ln
x) a
，eϕ
(x)
−1
~
ϕ
(
x)
，
极限，利用极限的四则运算将其转化为已知函数的极限。
往年考题:
ln⎜⎛1 + f (x)⎟⎞
(11-12) 已知 lim ⎝ x ⎠ = 7 ，求 lim
f (x)
x→0 2 x − 1
x→0 x sin x
( ) (10-11)
设
lim
x→0
x
−
sin x x4
+
f (x)
= 1，则 lim x→0
③ 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = 0 ，且两者是同阶无穷小； g(x)
④ 设 lim f (x)g(x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = ∞ ；
⑤ 设 lim[ f (x) − g(x)] = A ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大。
第01章 《函数、极限、连续》～主要内容
1、连续的定义
定义1 设函数 f ( x )在点 x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量 ∆x 趋向于零时,对应的函数 的增量 ∆y 也趋向于零,即
∆x → 0
lim ∆y = 0
或
∆x → 0
lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0
那末就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连 续点.
图象对称于直线 y = x .
o
6、基本初等函数 1）幂函数 y = x µ
x y = a 2）指数函数
(µ是常数 ) (a > 0, a ≠ 1)
3）对数函数 y = log a x 4）三角函数 y = sin x;
(a > 0, a ≠ 1) y = cos x; y = cot x;
y = tan x;
lim x n = a , 或 x n → a ( n → ∞ ).
n→ ∞
"ε − N "定义
∀ ε > 0, ∃N > 0, 使n > N时, 恒有 xn − a < ε .
定义 2
如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小),
总存在正数 δ ,使得对于适合不等式 0 < x − x 0 < δ 的 一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
(2)
某过程
lim (1 + α )α = e .
1
7、无穷小的比较
定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α );
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其中 lim ( x) 0.
3。极限存在准则 1）夹逼准则： 若存在 N ，当 n N 时， yn xn zn ，且 lim yn lim zn a,
n n
则 lim xn a.
由于以上的两种点 xn 和 y n 在 x 0 的任何邻域内都存在， 则在 x 0 的任何 邻域内既存在的导数为正的点，也存在导数为负的点，则 f ( x) 在 x 0 的任 何邻域内都不单调增.
第二节
1．极限概念 1）数列极限: 2）函数极限:
极 限
lim a n A ： 0, N ( ) 0 ,当 n N 时 | an A | .
x ( x0 , x0 ) 时，f ( x) f ( x0 ) . 若 f ( x0 ) 0 有相应的结论. (利用导数定义
和极限的保号性易证明此结论) 由以上结论知(C)正确. 注：本题选(A)是一种典型的错误，原因是由 f ( x0 ) 0 ，得不到一定存在 x0 的 某邻域，在此邻域内 f ( x) 单调增. 反例如下：
f ( x) g (b) f (b) g ( x)
故应选(A). 例 1.7 设函数 f ( x) 连续，且 f (0) 0, 则存在 0 ，使得 （A） f ( x) 在 (0, ) 内单调增加； （C）对任意的 x (0, ) 有 f ( x) f (0) ； （D）对任意的 x ( ,0) 有 f ( x) f (0) 。 解 本题要用到一个常用的结论: 若 f ( x0 ) 0 ， 则 存 在 0 ， 当 x ( x0 , x0 ) 时 f ( x) f ( x0 ) ； 当 （B） f ( x) 在 ( ,0) 内单调减少；
1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ). x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).
定义：若 M 0, x I , f ( x) M ; 则称 f ( x) 在 I 上有界。 判定： （1）定义： （2） f ( x) 在 [a, b] 上连续 f ( x) 在 [a, b] 上有界； （ 3 ） f ( x) 在 (a, b) 上连续，且 f (a 0)和f (b 0) 存在 f ( x) 在 上有界； （a, b） （4） f ( x) 在区间 I （有限）上有界 f ( x) 在 I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数: 常数， 幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。 了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.
x
lim f ( x) A
x
x
lim f ( x) lim f ( x) A
x
（2）自变量趋于有限值时函数的极限
x x0
lim f ( x) A ： 0, ( ) 0 ,当 0 | x x0 | 时 | f ( x) A | 。
1 2 x
在 (0,1) 内无界，则
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 0, 则当a x b 时，有
（A） f ( x) g (b) f (b) g ( x); （B） f ( x) g (a) f (a) g ( x);
3
（C） f ( x) g ( x) f (b) g (b); 解 令 F ( x)
x x0
左极限： lim f ( x) f ( x0 0); 右极限： lim f ( x) f ( x0 0);
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0
1
几个值得注意的极限： lim e x , lim arctan
n
（1）自变量趋于无穷大时函数的极限
lim f ( x) A ：
x x
0, X ( ) 0 ,当 | x | X 时 | f ( x) A | .
x
lim f ( x) A 和 lim f ( x) A 的定义与 lim f ( x) A 类似。
（4）无穷小的阶: 若 lim 5。无穷大量
1) 无穷大量的概念: 若 lim f ( x) ，称 f ( x) 为 x x0 时的无穷大量。
x x0
2）无穷大量与无界变量的关系： 3）无穷大量与无穷小量的关系：
无穷大量 无界变量
无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。
（D） f ( x) g ( x) f (a) g (a);
f ( x) , 则 g ( x)
F ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 0, g 2 ( x)
F ( x) 单调减，由 a x b 知 F (b) F ( x) ，即
f (b) f ( x) g (b) g ( x)
lim[ f ( x) g ( x)] A B ；
lim f ( x) A ( B 0) g ( x) B
两个常用的结论：1） lim
f ( x) 存在， lim g ( x) 0 lim f ( x) 0; g ( x)
f ( x) A 0, lim f ( x) 0 lim g ( x) 0; g ( x)
（1）高阶： 若 lim
( x) 0 ； 记为 ( x) ( ( x)); ( x)
（2）同阶： 若 lim
( x) C 0； ( x)
6
（3）等价：
若 lim
( x) 1 ；记为 ( x) ~ ( x); ( x)
( x) C 0 ，称 ( x) 是 ( x) 的 k 阶无穷小. [ ( x)]k
2) lim 3）保号性：
设 lim f ( x) A
x x0
（1） 如果 A 0 ,则存在 ,当 x U ( x0 , ) 时， f ( x) 0 . （2） 如果当 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 0 ,那么 A 0 . 4）函数值与极限值之间的关系：
由于 f ( x) 在 (0,1) 内有界，则 f ( x) 在 (0,1) 内有界，故选（C）. 解法 2 排除法.
令 f ( x)
1 1 ，则 f ( x) 2 ，显然， f ( x) 和 f ( x) 都在 (0,1) 内连续，但 f ( x) x x
在 (0,1) 内无界，则（A） （B）都不正确. 令 f ( x) x ，显然 f ( x) 在 (0,1) 内有界，但 f ( x) （D）不正确. 故应选（C） 例 1.6 设 f ( x), g ( x) 是恒大于零的可导函数，且
x 0
sin t 1 1 （D） sin 在 (0,) 上无界。 dt 在 (0,2010] 上无界； t x x
例 1.5 以下四个命题中正确的是 （A）若 f ( x) 在 (0,1) 内连续，则 f ( x) 在 (0,1) 内有界； （B）若 f ( x) 在 (0,1) 内连续，则 f ( x) 在 (0,1) 内有界； （C）若 f ( x) 在 (0,1) 内有界，则 f ( x) 在 (0,1) 内有界； （D）若 f ( x) 在 (0,1) 内有界，则 f ( x) 在 (0,1) 内有界。 解法 1 直接法：
x 0 x 0
1 x2 1 . ， lim e x , lim arctan x, lim x x x x x
2。极限性质 1）有界性： 收敛数列必有界； 若 lim f ( x) A, lim g ( x) B .
5
2）有理运算性质：
那么: lim[ f ( x) g ( x)] A B ；
试求 f [ g ( x)], g[ f ( x)] .
2
解
0, 1 x 2 f [ g ( x)] 1, x 1或 x 2
x0 x0
2 , g[ f ( x)] 1,
题型二
例 1．4 下列结论正确的是 （A） x sin (C)
函数性态
1 1 1 在 (0,) 上无界； （B）当 x 0 时 2 sin 为无穷大量； x x x
n
2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。 4。无穷小量 1 ） 无 穷 小 量 的 概 念 : 若 lim f ( x) 0 ， 称 f ( x) 为 无 穷 小 量 ( x x0 或
x ).
2) 无穷小的比较: 设 lim ( x) 0, lim ( x) 0 .
题型一
例 1.8
极限的概念、性质及存在准则
“ 对 任 意 给 定 的 (0,1) ， 总 存 在 正 数 N ， 当 n N 时 ， 恒 有
题型一
(A) [1, a 1] (C) [a, a 1] 解 应选 (B)
2
复合函数
(B) [1, a 1] (D)
[a 1, a]
例 1．1 已知 f ( x 1) 的定义域为 [0, a], (a 0), ，则 f ( x) 的定义域为
例 1．2 已知 f ( x) e x , f [ ( x)] 1 x, 且 ( x) 0, 求 ( x) 及其定义域。 解 由 f ( x) e x ， f [ ( x)] 1 x, 知
第一章
函数 极限 连续
函 数
第一节
1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： 单调不减： 判定： （1）定义： (2）导数：设 f ( x) 在区间 I 上可导，则 a) f ( x) 0 f ( x) 单调不减； b) f ( x) 0 f ( x) 单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 f ( x) f ( x); 奇函数 f ( x) f ( x). 判定：(1）定义： (2）设 f ( x) 可导，则： a) f ( x) 是奇函数 f ( x) 是偶函数； b) f ( x) 是偶函数 f ( x) 是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3)周期性 定义： f ( x T ) f ( x) 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性