南京海天数学名师姜晓千解读13数学真题线代概率难点
姜晓千冲刺班线代讲义
A 有 n 个线性无关的特征向量 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量
A 可相似对角化的充分条件
（1） A 有 n 个不同的特征值 （2） A 为实对称矩阵
题型三
实对称矩阵
【解题思路与方法】若 A 是 n 阶实对称矩阵， （一）实对称矩阵四条主要性质 （1）特征值全为实数； （2）不同特征值的特征向量正交； （3） A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 P ，使得 P AP ； （4） A 可正交相似对角化，即存在正交矩阵 Q ，使得
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海天冲刺线代概率主讲：姜晓千
Ax b 有唯一解 r ( A) r ( A) n Ax b 有无穷多解 r ( A) r ( A) n
推论 1 推论 2 有解 r ( A) r ( A) . A x b 当 r ( A) m 时，则 r ( A) r ( A) m，从而 Ax b 有解，即 Ax b 有解的充分条件为
海天冲刺线代概率主讲：姜晓千
2015 考研数学线性代数冲刺班
第一部分 重要题型及方法
行列式
第一章
题型 矩阵运算的行列式
【解题思路与方法】本章命题重点是结合矩阵运算计算行列式.若 A ， B 是 n 阶矩阵，主要有以下公 式： （1） | kA | k | A | ；
n
（2） | AB || A || B | ； （3） | A || A | ；
, s ) r (1 , 2 ,
通常将向量组能否线性表示、如何线性表示转化为非齐次线性方程组是否有解、进步求解的问题.
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海天冲刺线代概率主讲：姜晓千
题型二
线性相关与线性无关
, s 线性相关的充要条件
【解题思路与方法】 （1）向量组 1 , 2 ,
专题 概率的进一步认识章末重难点题型(举一反三)
专题概率的进一步认识章末重难点题型【举一反三】【考点1 可能性的大小】【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【例1】（春金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（）A．指针落在标有5的区域内B．指针落在标有10的区域内C．指针落在标有偶数或奇数的区域内D．指针落在标有奇数的区域内【变式1-1】（春市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（）A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多C．她不可能吃到豆沙馅汤圆D．她一定能吃到枣泥馅汤圆【变式1-2】（资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【变式1-3】（张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：线路/公交车用时的频数/公交车用时30≤t≤3535≤t≤4040≤t≤4545≤t≤50合计甲59 151 166 124 500乙50 50 122 278 500丙45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定【考点2 确定与不确定事件】【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【例2】（秋十堰期末）下列说法中不正确的是（）A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6【变式2-1】（春常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（）A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+aB．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形【变式2-2】（春滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形C．矩形的两条对角线相等D．菱形的每一条对角线平分一组对角【变式2-3】（襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（）A．任意画一个四边形，它的内角和是360°B．若a＝b，则a2＝b2C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5【考点3 概率与方程】【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【例3】（齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）A．27 B．23 C．22 D．18【变式3-1】（南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个【变式3-2】（大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（）A．10 B．8 C．6 D．4【变式3-3】（厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（）A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）【考点4 几何概型】【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
考研数学重中之重的知识点
考研数学重中之重的知识点更多内容请访问海天考研官网：http://www.ht 海天考研官方微博：/jiaoyuhaitian到了9月份强化阶段，同学们基础阶段已经过去了，课本基本的定义、性质、定理、方法都应该掌握好了。
9月份强化阶段重点的工作是干什么呢？海天考研官方网站认为应该围绕考研数学历年的重难点熟练掌握。
下面以高等数学为例，海天姜晓千老师把每章每节重点难点以及历年的考查情况跟大家详细说一下。
高等数学第一章求极限，极限的计算方法，这个地方可以说是每年必考，不管是大题小题。
比方2011年考的大题，2010年考小题。
第二章重点内容是导数的计算和应用，以及微分中值定理的应用。
尤其是导数的应用特别重要。
2011年考了两个大题，一个题是考利用导数研究方程的根，另一个是用导数证明不等式。
2010年也考查了导数应用，考大家用导数研究单调性与极值，详细内容见海天考研官方网站。
第三章最重要的是积分的计算和应用，今年数1数2的同学考了一个大题，考积分的应用来求做功。
重点说一下关于数2的同学，积分的物理应用特别重要。
数1、数2、数3共同掌握的是积分几何应用。
第五章多元微分学重点掌握多元复合函数求偏导、多元隐函数求偏导，多元函数求极值、条件极值与最值。
今年考了一个复合函数求偏导的大题，2010年考的是多元隐函数求偏导的小题，2009年考了多元函数求极值。
第六章多元函数积分学重点说一下，数2、数3的同学不考曲线积分，不考曲面积分，也不考什么格林公式，你们需要掌握二重积分的计算，这是重点，可以说每年必考。
2011年考的是二重积分，数1、数2、数3都考了。
数1的同学，除了二重积分掌握以后，三重积分、一类线积分、二类线积分、一类面积分、二类面积分，以及相应的高斯公式、格林公式，斯托克斯公式，这些也是重点。
比方2010年考了一个一类面积分的计算。
第七章非常重要的一个考点是幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的判定，另一个考点就是幂级数展开与求和。
(整理)启航教育--全面解析考研大纲及复习策略.
大纲解析之数学体系成熟，大纲稳定（解析人：海天考研姜晓千、刘妍）今年的数学考研大纲与去年相比，可以从三个方面进行解读：第一，试卷的内容。
今年的考试大纲依然保持了数学一和数学三在高等数学占比是56%。
线性代数和概率各占22%。
数学二，依然是高等数学占了78%，线性代数占了22%。
从试卷内容的结构上，跟往年来比没有任何变化。
第二，试卷的题型结构。
试卷的题型结构保持了三种题型。
第一种题型是选择题。
第二种题型是填空题。
第三种题型是解答题。
题型的比例依然是保持了8、6、9的分布，8个选择、6个填空、9个大题。
分值和题型的结构跟往前是保持一致的。
第三，也是最主要的方面，就是考点和要求。
经过对比发现，数学大纲与去年相比并没有发生变化，广大考生对自己的数学复习不需要做任何调整，按部就班进行后续的复习即可。
今年考研数学的难度，首先要看近几年数学考研难度的变化，2008年和2009年考研数学的难度是基本保持一致的。
2010年，数学一的难度稍微有所上升，数学二和数学三保持了平稳的难度。
2011年，2011年数学一和数学二、数学三的难度都略有微调，一、二、三的平均分较往年有所上升。
预计与往年相比，尤其与去年相比，2012年的考研难度可能会有所上升，但是总体的难度是保持平稳发展的，难度适中。
数学复习重点及策略：把握重点，熟练掌握（解析人：海天考研姜晓千、刘妍、张宇）在复习数学的过程中，9月份之前，课本基本的定义、性质、定理、方法都应该掌握好，进行地毯式复习；9月份强化阶段的重点工作是围绕考研数学历年的重难点熟练掌握。
高等数学在复习中的重点有求极限、一元函数微分学、导数的计算和应用、微分中值定理的应用、积分的计算和应用、多元复合函数求偏导、多元隐函数求偏导、多元函数求极值、条件极值与最值、掌握二重积分的计算、三重积分、曲线积分、曲面积分及相应的公式、幂级数收敛半径区间域的判定、幂级数展开与求和、一阶微分方程、二阶常系数微分方程等等。
考研数学一大纲重难点解析高等代数部分知识点详细解读
考研数学一大纲重难点解析高等代数部分知识点详细解读高等代数是考研数学一科目中的重要内容之一，也是考生们普遍认为难度较大的部分。
在准备考研数学一科目时，对高等代数的重点知识点的详细解读和解析是非常关键的。
本文将就考研数学一大纲中高等代数部分的重难点进行讲解，帮助考生们更好地掌握这一部分内容。
一、线性空间与线性变换1.1 线性空间的定义与基本性质线性空间是高等代数中的基本概念，它包含了向量空间、函数空间等多种实例。
在本部分中，我们将介绍线性空间的定义与基本性质，包括线性空间的封闭性、零向量与零子空间等概念的解读。
1.2 线性变换的定义与性质线性变换是线性空间中的一类特殊映射，具有保持线性组合和零向量的性质。
本节中，我们将详细解析线性变换的定义与性质，包括线性变换的定义、线性变换的代数表示以及线性变换的核与值空间的解释。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组的解法与性质线性方程组是高等代数中的重要内容，其解的存在性和唯一性是考生们经常关心的问题。
在本部分中，我们将介绍线性方程组的解法与性质，包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的判别条件，以及线性方程组解的结构和解的个数等问题的详细解析。
2.2 矩阵的运算与性质矩阵是线性方程组中的重要工具，它具有良好的运算性质和代数性质。
在本节中，我们将详细解读矩阵的运算与性质，包括矩阵的加法、数乘和乘法运算，以及矩阵的转置、逆矩阵和秩等性质的解析。
三、特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义与性质特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是高等代数考试中的重点内容。
在本部分中，我们将详细解析特征值与特征向量的定义与性质，包括特征值与特征向量的几何意义，以及求解特征值与特征向量的方法的讲解。
3.2 对角化与相似矩阵对角化是线性代数中的一种重要的矩阵变换方法，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中起着重要的作用。
本节中，我们将详细解读对角化和相似矩阵的概念与性质，包括可对角化矩阵的判定条件和对角化的方法的解析。
《线性代数》(经科社2013版)习题解答
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E , 故(A + E )−1 = (A − 3E ).
3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样 处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
2005年高中数学联赛第13题的背景及解法讨论
2005 年高中数学联赛第13 题的背景及解法议论广东深圳市育才中学王扬商讨一些比赛试题的背景和演变是一件十分存心义的工作，它即可发掘知识之间的纵横联系，又能够培育学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还能够揭露命题人的思想方法，为学生发现问题的实质供给思路和供借鉴的模式，让他们也能享遇到做科学研究的乐趣，使他们此后在科学研究的道路上走的更好些，更远些。
下边我们对2005 年的一道全国高中数学联赛13 题的解法及来历作以商讨，供感兴趣的读者参照。
一．题目。
2005 年全国高中数学联赛13 题为：12数列a n知足：a01, a n 1(7a n45a n36), n N, 证明：（1）对随意n∈N，a n为整数。
（ 2）对随意n∈ N， a n+1a n-1 为一个完整平方数。
二．先看此题的解法。
（1）一般有三种解法。
解法一：递推并利用根与系数关系。
对原递推式移项，再两边平方整理便得a n217a n1an a n290①再递推得a n27anan 1a n2190更换一种表达方式得a n217a n 1 a n a n290②能够看出， a n 1 , a n 1为下边对于 x 的一元二次方程：x27 xa n a n29 0的两个根，因此an 1an 17a n，即an 17a n - a n-1③据a01及原递推式知a15，再联合数学概括法知对于随意n N， a n都是整数。
解法二：递推并分解因式。
对原递推式移项，再两边平方整理便得a n217a n 1 an a n290再递推得a n27anan 1a n2190，这两式作差并分解因式，得(a n 1a n 1 )( a n 1a n 17a n ) 0④但据原递推式7an 12an a n a n 1，∴ 由（4）知a n 1an 17a n 0 ，以下同解法一。
解法三：解方程法对原递推式移项，再两边平方整理便得a n217a n 1 an a n290再递推得a n 27a nan 1a n2190 ，视为 a n-1 的方程，求出 a n-1 获得an 11 (7a n 45a n 236), （ a n-1＜ a n 由条件知求根公式取负号）⑤2联立原递推式与⑤，知a n 1a n 17a n ， 。
2013硕士研究生考研讲义数学强化班(海天版)
′′ ( x, y ) 、 f yx ′′ ( x, y ) 称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数. 其中 f xy
以上的偏导数统称为高阶偏导数. 4. 可微 定义 如果函数 z= f (x, y)在点(x, y)的全增量 Δz= f(x+Δx, y+Δy)−f(x, y) 可表示为
xy ，试证极限 lim f ( x, y ) 不存在． x →0 x + y2
2
y →0
【 证 】 这 个 证 明 过 程 比 较 经 典 , 请 记 住 . 当 P ( x, y ) 沿 着 直 线 y = kx 趋 于 点 (0,0) 时 ， 有
lim
x →0 y = kx →0
xy kx 2 k = = lim 2 ，结果随 k 的变化而变化，故二重极限 lim f ( x, y ) 不存在． 2 x →0 x →0 x + k 2 x 2 x +y 1+ k 2
x → x0 y → y0
y)−A|<ε 成立, 则称 A 为函数 f(x, y)当(x, y)→(x0, y0)时的极限, 记为 lim f ( x, y ) = A .这极限也称为二重极
限. 这里有两点说明. 第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子. 【例 1】设 f ( x, y ) = ⎨
x
2
2
∂2 z . ∂x∂y
第三节
1、极值与最值的概念 极值定义
多元函数的极值与最值问题的理论
本部分是这几年的重要考点，几乎都是大题，分值很高，请大家关注. 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于 ( x0 , y0 ) 的点
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南京海天数学名师姜晓千：解读13数学真题线代概率难点
专访姜晓千
主持人：各位网友大家好，欢迎大家来到海天考研2013真题点评的直播间，我们今天已经结束了考研的数学科目的考试，上午考试结束后，我们也第一时间请到了海天教育集团辅导名师姜晓千老师来到我们访谈的现场第一时间点评真题。
首先，欢迎姜晓千师的到来，请老师也给各位同学打个招呼。
姜晓千：各位同学大家好！各位网友好。
主持人：姜老师，今天考试结束后，你拿到了2013年的数学真题，你针对线代概率部分做一下特点和难度的点评吧。
姜晓千：好，我抓紧时间看了一下每个题，做了一遍。
张宇老师把高等数学系统全面解读了，下面咱们把线代概率好好说一下，整个难度跟去年还是比较适中的，特点还是以基础题为主，另外有个别的很有特色的题目，下面结合真题给大家解读一下。
首先看一下线性代数第五题，说AB等于C，这个数考向量组等价冲刺班里给大家补充过向量组等价，向量组等价不是秩相等的问题，而是互相线性表示的。
你能把AB分块掌握好了，这个题就不难解答了，答案应该选B，A和C是互相等价的，也就是说可以互相线性表示的。
第六题，给了实对称的相似这个不只相似，包括等价，合同，每一个的定义，每一个的判定，彼此之间的关系，整个知识体系给大家分析得很清楚，今年没有考合同，而是考相似。
充要条件有相同的特征值，这个同学们把特征值求出答案没有什么，答案选B.接着看第7题概率统计，出的八大分布，第二章核心的问题把握住八大分布，尤其重点在于正太分布，这个反复考，今年考正太分布标准化的问题，只要想到标准化这个题就没有什么问题，答案选A.第8题涉及到T分部，F分部，这是统计量里面的三抽。
此题把这两个分布掌握好，就没有问题了。
接着往下看，填空题13题，大家只要听过冲刺班看下讲义，第一页第一题a=正负A等等一系列结论，a如果等于负的A行列式等于负1，直接选一秒钟拿分。
填空题14题，八大分布必须掌握所有的分布，这个题是考指数分布，你可以把这个概率转化成分布函数带上去做，你也可以直接用指数分布无记性，Y小于等于1，1-e的负一次方，这是题的标准答案。
小题就说这些，然后把大题给大家详细剖析一下，线代20题，之前开篇说过今年题有基础的题目，也有新颖的。
如果说线代和概率新颖题就这一个20题，给的是一个矩阵方程这个题包括强化班，冲刺班都没有给同学们明确提矩阵方程，但是跟张宇老师出的一系列的书，线代10讲，在59页解矩阵方程这个地方，4.10很接进原题，你要做的是什么？你把矩阵每一个数，X1，X2，X3，X4设上解出来就可以了，这个特解为1000，对应齐次通解1-110，另一个1001，然后线性组合就可以了。
接着看第21题线性代数的，首次看二次型矩阵，这个题第二问挺有意思，冲刺班是原题，当时写成阿尔法贝塔转置第八题我记得没错的话，要求标准型，标准型就是求特征值量，右边乘阿尔法得特征值2，右边乘贝塔得特征值1，另外一个在哪？学过同学们就一个字，秩。
阿尔法乘阿尔法转置这种典型告诉你RA等于2，说明行列式等于0，另外一个特征值肯定等于0，说明210就是标准型。
关于概率统计22题，23题给大家说一下，22题考的是一维随机变量函数分布，之前给大家在第二章说过，第二章唯一可能考大题的就是一为随机函数的分布，06年以后再次考这个题。
今年有一点意外的就是今年没考二维随机变量，不管是二维离散或者连续的分布还是函
数的分布，还是协方差、相关系数的这些都没有。
23题，第七章，第六章最可能考大题的无非是极大似然估计，今年就给了概率密度，直接构造似然函数找最大值就可以了，这个重点是很明确。
给大家插一句，考试之前，强化班冲刺班很多同学问，区间估计，假设检验会不会考？这10多年没考，今年也没有考。
2014年准备的同学这个也不是重点，不要操心这个。
关于2013年真题咱们就说这些…
主持人：好，姜晓千老师针对2013年线代概率所有题目给大家进行了点评和讲解，老师2013年考过去了，13年考数学的学生有的比较高兴，有的比较忧伤，您对13年学生有什么比较想说的话呢？
姜晓千：我给大家说一下，咱们同学，包括老师都已经尽力了，尽力就没有遗憾，但是不管怎么样还是祝福每一位同学，只要你付出了，都能考出高的成绩。
主持人：好的，对于14学生他们可能更关心我14年考研，数学这一块能考什么样的成绩，想考比较高的成绩，姜晓千老师针对14年线代概率这方面考比较好得分数，给大家一个建议。
姜晓千：我给大家说一下，高等数学，有基础，强化还有冲刺。
线代概率，一个是分值低，另外就是难度低，根本不需要，或者压根不需要学线代概率，听好强化班，听好冲刺班，基本上线代概率就没有问题，这是整个宏观的规划，关于线代概率具体怎么样搞定呢？线性代数有6章，前两章是基础，不是说基础不重要，没有基础学不动，有了基础水到渠成，线代学把第一章，第二章基础打好，这会结合强化班和冲刺班的课程，帮助同学们。
前两章基础必须打好，第三章第四章大题考一个，5、6章大题小题考一个，这是规律，多少年不变的。
好了关于概率和线代是一样的！一章二章是基础，虽然不是重点但是要打好基础，如果基础没有打好后边就不用学了，后面第三章第四章这个地方考大题和小题，另外第六章第七题关于统计量以及参数估计问题考一个大题一个小题，基本上每年规律都是这样，好咱们就说这些。
2014学生踏踏实实的，前面先把高数学好再说。
主持人：我们谢谢姜晓千老师建议，同时感谢姜晓千老师抽出时间，第一时间来到真题点评间，我们今天的点评就结束了，感谢姜老师，感谢网友。
姜晓千：谢谢！。