有理数乘方的概念
有理数的乘方知识点精析
有理数的乘方知识点精析
1.乘方的意义
求n个相同因数的积的运算，叫乘方,其中,n为自然数，乘方的结果叫幂.
一般地,a·a·...·a（n个a）记作an,其中a叫底数,n叫指数,读作a的n次方或a的n次罪。
指数为1时,可省略不写，底数是分数或负数的应添括号.
应用乘方的定义时，要注意分清底数、指数，如(-3)2与-32中,前者底数是-3,后者底数为3；前者指数对负数起作用，后者指数“管不住”负号，这两个幂不相等,是互为相反数.
注意(1)任何数的偶次幂都是非负数.
(2)-1的偶次幂得1,-1的奇次幂为-1.
(3)1的任何欢幂都得1,0的任何次幂都为0.
2.科学记数法
一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数，这种记数方法叫科学记数法.。
有理数的乘方
有理数的乘方知识点一：有理数乘方的意义1.定义：一般地，求n个相同因数的乘积的运算叫；乘方运算的结果叫；要点诠释：（1）一般地，n个a相乘，即：aaaaaan....记作，其中a叫，n叫，叫做a的n次幂或a的n次方，用图表示为：2.在a n中，a叫做底数（相同的因数）n叫做指数（相同因数的个数）。
练习一：94读作底数是指数是（－3）5读作底数是指数是（1）23的4次方，记作，其中底数是，指数是．－2的5次方，记作，其中－2是，5是．练习二：把下列各式写成乘方运算的形式：6×6×6= (－3) ×(－3) ×(－3) ×(－3)=－2.1×2.1×2.1×2.1×2.1= ⨯21⨯21⨯21⨯21⨯2121=3×3×2×3×3= 2 ×(－4) ×(－4) ×(－4) ×(－4) =注意:当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号,这也是辩认底数的方法.例1、说出下列各式的底数、指数、并计算.总结: (1)乘方是利用来定义的．所以乘方的运算可以利用的运算来计算．(2)乘方运算的符号法则：①正数的任何次幂都是；②负数的奇次幂是，负数的偶次幂是；③任何一个数的偶次幂都是，如20a≥．练习三、不用计算，直接说最后的符号(-3)15；（-5）8；（－7）6；（－10）25；123； 169；1264；05；0843-()43-()62--45小结：一定要先找出底数和指数，确定符号后再去计算。
例2：计算：(1) 521⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，(2)（53）3，(3)533，(4)432⎪⎭⎫ ⎝⎛-，(5)432 比一比：(2)与(3)一样吗？(4)与(5)一样吗？总结：小结：一定要先找出底数和指数，确定符号后再去计算。
负数和分数的乘方书写时，一定要把整个负数和分数用小括号括起来。
有理数的乘方概念
有理数的乘方概念
有理数的乘方是指一个有理数的底数和指数都是有理数的运算。
其中底数是一个有理数，指数也是一个有理数。
乘方的结果是一个有理数。
乘方的计算可以使用以下规则：
1. 如果指数是正整数，可以将底数连乘多次。
例如：2的3次方等于2×2×2=8。
2. 如果指数是负整数，可以将底数取倒数，然后连乘多次。
例如：2的负3次方等于1/(2×2×2)=1/8。
3. 如果指数是0，无论底数是多少，结果都是1。
例如：2的0次方等于1。
4. 如果底数是0，指数是正整数，则结果为0。
因为0的任何正整数次方都等于0。
例如：0的5次方等于0。
5. 如果底数是0，指数是负整数，则结果不存在。
因为0的倒数是不存在的。
例如：0的负5次方是不存在的。
6. 如果底数是1，无论指数是多少，结果都是1。
例如：1的任何次方都等于1。
7. 如果底数是负数，指数是分数，则结果可能是有理数也可能是无理数。
例如：(-1)的1/2次方等于根号下(-1) = ±i (虚数单位)。
需要注意的是，有理数的乘方结果可能是有理数也可能是无理数。
如果结果是无
理数，可能无法精确表示，并且只能通过接近值或近似值来表示。
有理数的乘方
底数
n a
指数 幂
观察 & 发现
形式 记作 读作
a的1次方或a的一次幂
a的平方或a的二次方
a的立方或a的三次方
a的四次方
a
a×a a ×a×a a ×a×a×a
a ×a×…×a n个a
a
a2
a3
a4
an
a的n次方
小结 & 练习☞
写出下列各幂的底数与指数，并说出意义:
4 (1)在64中,底数是___,指数____; 6
这样捏合到第 7 次后可拉出128根面条。
(2)在a4中,底数是___,指数是____；
a
4
5 -6 (3)在(-6)5中,底数是 ___, 指数是______; 2 3 (4)在23中,底数是____,指数是____;
3
(5)在 1 4
5
5 中,底数是 1/4 指数是___; ___,
议一议
－32与(－3)2 有什么不同？结果相等吗？ －32＝-(3 ×3)=－9
创设 & 情境
1个细胞30分钟后分裂成2个， 经过5小时，这种细胞由1个 能分裂成多少个？
2
2×2 =22
2×2×2 =23
2×2×··· ··×2×2 ··
=
10个2
一.有理数的乘方定义
2×2×··· ··×2×2 ··
=
记作 210 记作 an
10个2
a×a ×… ×a ×a n个a
定义：求n个相同44073709551616 第64格: 264 =
…
262144
…
…
…
18446744073709551616粒米
一斤米约有20000粒,约有9223万亿斤 2010年我国的粮食产量是10928亿斤
初一上册-有理数的乘方
精讲提升题型一：有理数乘方 【知识梳理1】1、定义:n 个相同因数a 相乘,即a ·a ·…·a(个),记作a n ,读作a 的n 次方. 求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在a n中,a 叫做底数,n 叫做指数.读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2、运算法则：负数奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.【例题精讲】例1 判断下列乘方的幂的符号.（1）223- （2）3(0)a a < （3）21(2)n +-例2 计算（1）31(1)2- （2）3(0.75)- （3）4(2)-- （4）23(2)⨯- （5）548(2)÷- （6）32(2)(3)-⨯-解：（1）331327(1)()228-=-=-（2）33327(0.75)()464-=-=- （3）4(2)16--=- （4）23(2)3412⨯-=⨯= （5）5348(2)48(32)2÷-=÷-=- （6）32(2)(3)8972-⨯-=-⨯=-例3 当2a =-，23b =，14c =-时，求222a b c +-的值。
解：当2a =-，23b =，14c =-时，222222214155(2)()()4434916144a b c +-=-++-=+-= 例4 （1）如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ）9(1)=-871()88⨯=20032002()1()()...()(5)(5)...(5)=5555-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--个个(1)1(1)10-++⋅⋅⋅+-+=；2011(1)(1)(1)(1)(1)1-⨯-⨯-⨯-⋅⋅⋅-=-；是有理数，且211(1)024x x y ++-+=，求y x 的值。
0≥，21(1)04x y -+≥， 又因为)(2011-所以10,30,310,a b c -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩所以1,3,1.3a b c ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩所以1a b c ⨯⨯=-，93211(27)39a b c ⨯⨯=⨯-⨯=-，所以125125()(1)1a b c ⨯⨯=-=-， 所以125()a b c ⨯⨯÷932()a b c ⨯⨯=(1)-÷(3)-=13.题型二：科学记数法【知识梳理2】把一个大于10的数表示a×10n 的形式(其中a 是整数数位上只有一位的数,n 是正整数).这种表示方法叫科学记数法.【例题精讲】例1：用科学记数法记出下列各数：(1)696 000； (2)1 000 000； (3)58 000； (4)―7 800 000。
《有理数的乘方》教学
设计一些需要灵活运用乘方运算规则的问题，培养学生的思维灵 活性和解题能力。
高级思考题
结合其他数学知识，设计综合性强、难度较大的问题，挑战学生 的数学思维和解题技巧。
答案解析及思路点拨
答案解析
提供练习题和思考题的详细答案，并对解题 过程进行解析，帮助学生理解并掌握解题方 法。
思路点拨
针对一些难度较大或思路较为独特的问题， 给出思路点拨，引导学生找到正确的解题方 向。
02 有理数乘方运算方法
正整数指数幂运算方法
底数不变，指数相乘
01
对于同底数的幂相乘，底数保持不变，指数相加。
幂的乘方，底数不变，指数相乘
02
幂的乘方是指数的乘法运算，底数保持不变。
积的乘方，等于各因式乘方的积
03
对于多个因式相乘后再整体取幂，可以分别对每个因式取幂后
再相乘。
零指数幂和负整数指数幂处理技巧
幂都等 于1，即$a^0=1(a≠0)$。
负整数指数幂
负整数指数表示倒数，即 $a^{n}=frac{1}{a^n}(a≠0)$。
特殊处理
对于底数为0或负数的情 况，需要特别注意定义域 和值域的限制。
分数指数幂转换与计算方法
分数指数幂的定义
分数指数幂可以表示为根 式形式，即 $a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{ a^m}$。
物理学中单位换算问题处理
单位换算基本方法
在物理学中，经常需要进行单位换算，如有理数的乘方可以用于长度、面积、体积等单位的换算。
乘方在单位换算中的应用
例如，将平方米转换为平方厘米时，需要进行有理数的平方运算；将立方米转换为立方厘米时，则需 要进行有理数的立方运算。
其他领域应用拓展
人教版七年级数学上《有理数的乘方》知识全解
《有理数的乘方》知识全解【课标要求】理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）．能运用有理数的运算解决简单的问题．【知识结构】有理数乘方的意义及相关概念有理数乘方的符号法则有理数的混合运算【内容解析】1．有理数乘方的意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．2．底数、指数、幂：在a n中，a叫做底数，n叫做指数，a n的结果叫幂．3．a n的读法：a n读作“a的n次方”或“a的n次幂”．4．有理数乘方的书写：底数与同行中其它数字一样大小，指数写在底数的右上角，写小些．负数、分数做底数时，负数、分数要带括号．5．有理数乘方的符号法则：负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．注意：1的任何次幂都是1，（–1）的奇数次幂等于–1，（–1）的偶数次幂等于1．6．用计算器计算乘方时，指数的转换键是“∧”．7．有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算，运算时，先算高级运算，再算低一级的运算．【重点难点】有理数乘方的意义及运算是本节课的教学重点，本小节的另一个重点是依据运算法则和运算顺序进行有理数的混合运算，教师要精选适量的练习以提升学生的运算能力．有理数乘方中幂，指数，底数的概念及其相互间关系的理解是本节课的教学难点．可以实施通过补充一些计算问题和提高题，帮助学生突破难点．【教法导引】１．教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，根据新课程标准提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程，从而使学生在对数学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念，力求“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式．在小学已学的正方形面积，正方体体积的基础上进一步探究棋盘、拉面、细胞分裂等实际问题，在师生的互动中生成对乘方的理解．２．在引入例1之前，创设与例题有关的问题，让学生讨论交流，教师鼓励学生积极发言，为学生提供表现的机会，使学生在这个环节中弄清底数与指数之间的相互关系，认识到“a n等于多少的问题”是可以通过转化为乘法运算来实现的，从中体会转化的思想，为引入例题的学习做好铺垫．３．教师要预设学生的易错点，应强调指出．如–32与（–3）2的区别；底数为负数或分数时的书写要明了；“–1”的幂的特征可以进行归纳；及时纠正学生在运算顺序上的错误等．4．课程标准强调“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”．教师在进行本节教学时，要放手学生自己去领悟、归纳、熟练．教师放手学生操作，把课堂还给学生，如在寻找“–2，4，–8，16，–32…的规律是千万让学生自主探索．【学法建议】1．“自主探索、动手实践、合作交流”为学生学习的主要方式．2．要认真观察，仔细比较，善于发现，正确归纳．像–42与（–4）2的区别要细细领悟．3．多动手计算，不能盲目依赖计算器．4．正确理解概念．乘方是一种运算，幂是乘方的结果，底数是相乘时的因数，指数是相乘时因数的个数，指数是1就是指只有一个因数，所以一个数可以看作这个数本身的一次方．5．练习时，要紧扣运算顺序与意义、法则，出现负号时千万多加小心．在进行混合运算时，可以采取多种方法来检验自己的运算结果的正确性．对于比较复杂的运算，先笔算，再用计算器进行验证．。
有理数的乘方课件
(3) 某种细菌在培养过程中, 每半小时分
裂一次(由一个分裂成两个),经过两个小时,
这种细菌由１个可分裂成
( B)
A. 8个 B. 16个 C. 4个 D. 32个
(4) 一根长1m的绳子,第一 次剪去一半,第
二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第六次
剪后剩的绳子长度为
(C )
A .( 1 ) 3 B .( 1 ) 5 C .( 1 ) 6 D .( 1 )12
anaaa a
n个
示意图为：
a 幂
n 指数
底数
?思考:
(1) 23 与 32 有什么不同？
(2) (-2)3 与-23 的意义是否相同？
运算结果是否相等？
2. 乘方的计算:
a n 是n个 a相乘, 所以可以利用有理数
乘法运算来进行有理数乘(2) 2 = 4
(3) 23 = 8 (4) (－２)３ = -8
(5) 24 =16 (6) (－２)４ = 16
(7) 25 =32 (8) (－２)５ = -32
负数的幂的符号规律: 当指数是_奇__数时,负数的幂是负数， 当指数是_偶__数时,负数的幂是正数.
你能判断下列各式的符号吗?
(2)5 , (2)6 , (5)7 , (5)8 , 0 101.
2
2
2
2
(5) 下列说法中正确的是 ( C ) A. 一个数的平方一定大于这个数. B. 一个数的平方一定不小于这个数. C. 一个数的平方不可能是负数. D. 一个数的平方小于它的绝对值.
(0.5)4 ＝__16 _;
( 1 1 ) 3 ＝____. 64
3
27
1n 1 (1)2n 1
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有理数乘方的概念
有理数乘方是数学中一个重要的概念，它指的是一个有理数连乘自身的运算。
例如，2的平方就是2乘以2，等于4；3的立方就是3乘以3乘以3，等于27。
有理数的乘方有以下几个特点：
1. 任何数的平方都是非负数，任何数的立方都可能是正数、负数或零。
2. 相同底数的乘方，可以合并为底数不变指数相加的形式。
例如，2的四次方等于2的平方的平方，等于4的平方，即16。
3. 相反数的乘方，可以变为对应正数的乘方的倒数。
例如，-2的三次方等于-8，而2的三次方等于8，-2的三次方的倒数就是
1/8。
有理数乘方在数学中有着广泛的应用，例如在代数式的化简、函数的求导等方面都有着重要的地位。
因此，掌握有理数乘方的概念和规律，对于数学学习和应用都具有重要意义。
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