【例题与讲解】有理数的乘方
《有理数的乘方》优质课课件
• 3.教学手段分析：
• 利用多媒体教学，目的之一是使课堂生动、形
象又直观，能激发学生的学习兴趣，目的之二 是增大教学容量，增强教学效果。
• 2．学法分析：
• 从实际问题出发,创设有助于学生自主学习的 问题情境,借助多媒体展示实际生活中的问题, 并分析问题中的数量关系,引导学生主动探索， 发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括， 形成能力。通过合理的问题设计，让学生亲历 探究，突出学生在教学中的主体地位；通过适 当的练习，及时的进行信息反馈，使学生体会
思考：用乘方式子怎么表示 3的3 相反数？ 答案： - 33
1. 5看成幂的话，底数是 5,指数是 1 。
2. 在（ 5）15中，底数是 -5 ，指数是1 ， （5）15 读作-5的15次方（幂） 。 5
3.在（- 2）4 中，底数是（ -2 ），指数是（ 4 ），
读作（-2的4次方（幂）），意义（4个-2相乘 ） 结果是（ 16 ）
1、1×1×1×1×1×1×1= 1；7
2、3×3×3×3×3= 3；5
3、（－3）×（－3）×（－3）×（－3）= ；34
4、5 5 5= 5
6666
； 5 4 6
把下列乘方写成乘法的形式：
1、 0.=93 0.9 0；.9 0.9
9
4
2、 7=
9 7
9 7
；79
9 7
3、a
有理数的运算是数学中许多其他运算的基础，培养学 生正确迅速的运算能力，是数学教学的一项重要目标。有 理数的乘方是初一年级上学期第一章第五节的教学内容， 是有理数的一种基本运算，从教材编排的结构上看，共需 要4个课时，此课为第一课时，是在学生学习了有理数的 加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘 法的推广和延续，又是后继学习有理数的混合运算、科学 记数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用。 在这一课的教学过程中，可以培养学生观察问题、分析问 题和解决问题的能力，以及转化的数学思想，通过这一课 的学习，对培养学生的这些能力和转化的数学思想起到很 重要的作用。
有理数的乘方例题与讲解
有理数的乘方1．乘方的意义(1)乘方的定义求n个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)． 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数．(2)乘方的意义a n 表示n 个a 相乘．即a n ＝n aa a a a ⨯⨯⨯⋯⨯个.如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．释疑点 (－a )n 与－a n 的区别①(－a )n 表示n 个－a 相乘，底数是－a ，指数是n ，读作：－a 的n 次方；②－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.(3)乘方的书写①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写．②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，⎝⎛⎭⎫322不能写成322. 【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________．(2)120137111777⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭个写成乘方的形式是__________，读作__________． 解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数的个数；(2)把n 个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中⎝⎛⎭⎫－17是底数，相同因数的个数2 013写成指数．答案：(1)10个－1.2相乘 －1.2 10(2)⎝⎛⎭⎫－17 2 013 负17的2 013次幂⎝⎛⎭⎫或负17的2 013次方 2．乘方运算的符号法则乘方运算的符号法则乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27. ①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数；③负数的偶次幂是正数；④0的奇次幂、偶次幂都是0.任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a 2n ≥0(n 为正整数)；若用n 表示正整数，则2n 表示偶数，而用(2n ＋1)表示奇数，则(－1)2n ＝1，(－1)2n ＋1＝－1.【例2】 下列说法不正确的是( )．A ．(－2)2 013是负数B ．－4200是正数C ．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身D ．－1的38次幂等于它的相反数解析：－4200表示4的200次方的相反数，是负数，故B 错误．答案：B3．有理数乘方的运算乘方运算的方法如下：与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：①确定幂的符号；②进行乘法的运算．析规律 对于乘方的理解①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果． ②因为a n 表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．4．绝对值与乘方非负性的综合运用(1)平方、立方及平方的非负性在a n 中，若n ＝2，则为a 2，读作a 的2次幂，也读作a 的平方；当n ＝3时，a 3可读作a 的3次方，也可读作a 的立方．平方、立方是乘方中最常见的．①根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数．②平方等于它本身的数：0,1；立方等于它本身的数：0,1，－1.(2)绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是非负数，即|a |≥0.(3)非负数的性质性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.比如：若|a |＋b 2＝0，则a ＝0，且b ＝0.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3】 计算：(1)(－2)4；(2)－34；(3)⎝⎛⎭⎫453；(4)⎝⎛⎭⎫－1232；(5)－472；(6)(－1)2 014. 分析：根据乘方的意义和符号法则求解．(1)(－2)4表示4个(－2)相乘；(2)－34表示34的相反数；(3)⎝⎛⎭⎫453表示3个45相乘；(4)⎝⎛⎭⎫－1232表示2个⎝⎛⎭⎫－53相乘；(5)－472表示4除以7的2次方的相反数；(6)(－1)2 014表示2 014个(－1)相乘．解：(1)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；(3)⎝⎛⎭⎫453＝45×45×45＝64125； (4)⎝⎛⎭⎫－1232＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－53＝259； (5)－472＝－47×7＝－449； (6)(－1)2 014＝()()()()20141111--⨯-⨯⋯⨯-个＝1.【例4－1】 下列说法正确的有( )．①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身；⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数．A ．3个B ．4个C ．5个D ．2个解析：① × 乘方是特殊的乘法运算，两数相乘，同号得正，异号得负，故①，②都为正数② √ ③ √ 0的平方等于0,1的平方等于1④ √ 1的立方是1⑤ × －1的平方是1，－1的倒数是－1，所以不相等⑥ √ 0的平方是0，正数和负数的平方都是正数答案：B【例4－2】 若x ，y 为有理数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 013的值为( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：因为(5－x )4和|y ＋5|都是非负数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，所以由非负数的性质得(5－x )4＝0，|y ＋5|＝0，即5－x ＝0，y ＋5＝0.解得x ＝5，y ＝－5.所以⎝⎛⎭⎫x y 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－5 2 013＝(－1)2 013＝－1.故选B. 答案：B5．有理数乘方规律探究及应用(1)有理数乘方规律探究①观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连续奇数等知识，探究其中的规律．②根据其规律，按要求进行计算或解答．(2)乘方的应用生活中乘方的应用主要是裂变和对折．①裂变：将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变．裂变规律：裂变一次即原来的数量乘21，裂变两次乘22，裂变三次乘23，…，裂变n 次乘2n .②对折：一张纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间次数 1 2 3 … n层数 2 4 8 … 2n折痕数 1 3 7 … 2n －1单面占 的比例12 14 18 … 12n 【例5－1】 (只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为：(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11.按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________．(说明：20＝1)解析：从例子中可以看出，把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算．二进制数的进率是2，右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1，右边第二数位代表21，右边第三位代表22，右边第四位代表23，依此类推，相加即可转化为十进制数．所以(1001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9.答案：9【例5－2】 面积是128平方分米的一张纸片，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，第三次再将剩下的一半剪去，…，如此下去，剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米？分析：解：128×⎝⎛⎭⎫126＝128×164＝2(平方分米)． 答：剪完第6次后剩下的面积还有2平方分米．。
有理数的乘方
第六讲 有理数的乘方教学目的1、 通过本讲学习，使学生理解乘方的概念及意义2、 会进行有理数乘方的运算3、 了解乘方的一些简单特点，会解乘方的一些实际问题主要知识点1、 有理数的乘方2、 有理数的混合运算3、 （1（3（1（4【当堂检测】1、52表示 个 相乘， 是底数， 是指数。
2、33()4-的底数为 指数为 写成乘法的形式为 。
3、把（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3）写成乘方的形式为 。
4、 计算(1)(－31)3 (6)(－2)14×(－21)15(2)－32×23 (7)－(－2)4(3)(－3)2×(－2)3 (8)(－1)2001(4)－2×32 (9)－23+(－3)2(5)(－2×3)2 (10)(－2)2·(－3)25、1米长的小棒，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？第二部分 有理数的乘方综合【典型例题4】若a 为有理数，则下列各式的值一定为正数的是 （ ）（A ）a +1 （B ）|a| （Ｃ）a 2 （D ）a 2 + 1【典型例题5】已知 0 < a < 1 ，那么 、a 、a 2 这三个数的大小关系是（ ）（A ） <a < a 2 （B ） a < < a 2（C ）a 2 < a < （D ）a <a 2 <【典型例题6】(－1)2n +(－1)2n +1=______(n 为正整数).【典型例题7】若25,3a b ==-,试确定19992000ab +的末尾数字是几？【当堂检测】1、互为相反数的两个非零有理数的任何同次幂，它们 （ ）（A ）一定相等 （B ）偶次幂相等，奇次幂不相等（C ）一定不相等 （D ）奇次幂相等，偶次幂不相等2、如果6 个不等于零的有理数的积是负数，那么正因数最多只能有 （ ）（A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个3、如果一个数的平方等于这个数的绝对值，则这个数是（ ）45A C6789、若1001014,4,()a ba b a b a b a b ==+=-+-且，求的值10、观察2的正整数次幂：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，27 = 128， 28 = 256，29 = 512，… 根据你的观察，请判断 22003 的个位数字是几？11、已知：代数式1a -与2(2)ab -互为相反数， 求111+++ 的值.12、（2。
《有理数的乘方》 讲义
《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界里，有理数的运算多种多样，其中有理数的乘方是一个非常重要的概念。
它不仅在数学计算中经常出现，还在实际生活中有着广泛的应用。
那么，什么是有理数的乘方呢？让我们一起来探索吧！二、有理数乘方的定义乘方，简单来说，就是指同一个数相乘若干次的简便运算形式。
比如，2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³整体叫做幂。
再比如，（－3)×（－3)×（－3)×（－3)可以写成(－3)⁴，其中-3 是底数，4 是指数。
一般地，aⁿ 表示 n 个 a 相乘，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，aⁿ 叫做幂。
需要注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，例如 5¹＝ 5。
三、有理数乘方的运算1、正数的乘方正数的任何次幂都是正数。
例如，3²＝ 9，3³＝ 27 。
2、负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
比如，（－2)³＝－8 ，（－2)²＝ 4 。
3、 0 的乘方0 的任何正整数次幂都是 0。
即0ⁿ ＝ 0（n 为正整数）在进行有理数乘方运算时，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。
四、有理数乘方的规律1、底数为 1 或-11 的任何次幂都为 1，即1ⁿ ＝ 1。
－1 的奇次幂为-1，－1 的偶次幂为 1 。
2、底数互为相反数如果两个底数互为相反数，指数相同，那么它们的幂互为相反数。
例如，2³和(－2)³，2³＝ 8 ，（－2)³＝－8 。
3、指数变化规律当底数大于 1 时，指数越大，幂越大；当底数大于 0 小于 1 时，指数越大，幂越小。
五、有理数乘方的应用1、计算面积和体积例如，正方形的边长为 a ，则面积为 a²；正方体的棱长为 b ，则体积为 b³。
2、科学记数法在表示较大或较小的数时，经常用到科学记数法，例如 560000 可以写成 56×10⁵。
专题1.20 有理数的乘方(知识讲解)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练
专题1.20 有理数的乘方（知识讲解）【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数， n 叫做指数.特别说明：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 2. 性质：要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．特别说明：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 特别说明：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】类型一、有理数的幂的概念的理解1．填表： 乘方65(－5)43(12)- －27na a a a n ⋅⋅⋅=个na a【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．解：填表如下：【点拨】本题考查了有理数乘方的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．举一反三：【变式1】把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）2222 ()()()() 5555+⨯+⨯+⨯+．【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为3；（2）（+25）4，底数为+25，指数为4．【分析】（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.解：（1）(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)＝(﹣3)3，底数为﹣3，指数为3；（2）22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝25⎛⎫+⎪⎝⎭4, 底数为+25，指数为4.【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作a n，其中a叫做底数，n叫做指数.【变式2】小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）x+3=1，求x的值，他解出来的结果为x=2，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？小明解答过程如下：解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3=1，x=2．且2+3=5故（2x﹣3）x+3=（2×2﹣3）2+3=15=1，所以x=2你的解答是：【答案】x=2或3或1．【解析】试题分析：分别从底数等于1，底数等于- 1且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．解：①①1的任何次幂为1，所以2x- 3=1，x=2．且2+3=5，①（2x - 3）x+3=（2×2 - 3）2+3=15=1，①x=2；①① - 1的任何偶次幂也都是1，①2x - 3= - 1，且x+3为偶数，①x=1，当x=1时，x+3=4是偶数，①x=1；①①任何不是0的数的0次幂也是1，①x+3=0，2x - 3≠0，解得：x= - 3，综上：x=2或3或1．【点拨】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．类型二、有理数乘方的运算2．计算：（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．【答案】- 90.【分析】根据有理数混合运算的运算顺序, 先算乘方再算乘除最后算加减, 计算即可.. 原式=﹣48÷（﹣8）﹣100+4=6﹣100+4=﹣90．【点拨】本题考查的是有理数的混合运算能力. 注意要正确掌握运算顺序.举一反三：【变式1】计算：﹣32+[9﹣（﹣6）×2]÷（﹣3）【答案】- 16.【分析】原式先计算乘方运算,再计算括号内及乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.解：原式=﹣9+（9+12）÷（﹣3）=﹣9+21÷（﹣3） =﹣9+（﹣7） =﹣16．【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【变式2】 小明做了这样一道题，他的方法如下：1110101010111111133313333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请你用他的方法解下面题目．设201420151(2013)2013M ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯-- ⎪⎝⎭，求2019()M N +的值． 【答案】 - 1【分析】先根据小明的方法求出M ，N 的值，然后代入代数式去接即可；解：①20142014201511(2013)20132013201320132013M ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯--=⎪⎝⎭101(5)(6)(6)200830⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 620082014--=-．①20192019()(20132014)1M N +=-=-．【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，准确计算是解题的关键． 类型三、有理数乘方的逆运算3、若6x =，24y =，且x ＜y ，求：x y -的值.【答案】 - 8或 - 4.【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x 、y ，再判断出x 、y 的对应情况，然后相减计算即可得解．解：①|x |=6，y 2=4，①x=±6，y=±2， ①x<y ， ①x=−6，y=±2，当y=2时，x - y= - 6 - 2= - 8， 当y=−2时,x−y= - 6 - ( - 2)= - 4， 故x y -的值.为 - 8或者 - 4.【点拨】本题考查有理数的减法，绝对值方程，有理数的乘方.能求出x 和y 的值并根据不等关系分情况讨论是解决本题的关键. 举一反三：【变式1】若点M 、点N 在数轴表示的数分别是x 、y ，223x +=，225y =(0)y <，求点M 、点N 两点之间的距离． 【答案】123或233【分析】根据绝对值的意义和乘方运算得到x 和y 值，再根据两点之间的距离得到结果． 解：①223x +=，225y =(0)y <， ①x+2=23，y= - 5， ①x= - 223=223-或113-，①点M 、点N 两点之间的距离为：223- - （ - 5）=123或113- - （ - 5）=233． 【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义和乘方运算，解题的关键是注意分类讨论．【变式2】()()2016920171122⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭．【答案】2．【分析】先计算有理数的乘方和乘方逆运算，再计算有理数的乘法即可得．解：原式201620161(1)(2)(2)2⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()20161222⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，201621=⨯，21=⨯， 2=．【点拨】本题考查了有理数的乘方和乘方逆运算、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．类型四、有理数乘方运算的符号规律4、计算:（1）()110.51 3.75542⎛⎫---+⎛⎫ ⎪⎝⎭-+ ⎪⎝⎭ （2）()()()20220358624361⎛⎫- ⎪-⨯+----⎝⎭÷【答案】（1）1-；（2）6- 【分析】（1）先把减法转化为加法，再把同号的两个数相加，即可得到答案；（2）先计算绝对值，乘方运算，再利用乘法的分配律计算乘法运算，除法运算，最后计算加减运算即可得到答案．解：（1）原式0.5 1.25 3.75 5.5=-++-()()0.5 5.5 1.25 3.75=--++.65=-+1=-.（2）原式()353684146⎛⎫=⨯-+-÷-⎪⎝⎭ 273021=---6=-【点拨】本题考查的是求一个数的绝对值，乘方符号的确定，含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． 举一反三：【变式1】如果|m ﹣5|＋（n ＋6）2＝0，求（m ＋n ）2020＋m 3的值． 【答案】126【分析】根据绝对值和平方非负的性质求出m ，n 的值，代入所求的代数式计算即可． 解：①m ，n 满足|m ﹣5|＋（n ＋6）2＝0，①m ﹣5＝0，n ＋6＝0， 即：m ＝5，n ＝﹣6，①（m ＋n ）2020＋m3＝（5﹣6）2020＋53＝1＋125＝126．【点拨】本题考查的非负数的性质，掌握绝对值和平方非负的性质，理解当这几个非负式子相加为0时，这个式子都为0是解题的关键．【变式2】 记a 1＝﹣2，a 2＝（﹣2）×（﹣2），a 3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……a n ＝n 个 - 2相乘．（1）填空：a4＝ ，a23是一个 （填“正”或“负”）； （2）计算：a5+a6；（3）请直接写出2020an+1010an+1的值． 【答案】（1）16，负；（2）32；（3）0． 【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）利用规律计算即可；（3）对原式进行变形，得出与规律有关的式子，即可得出结果． 解：（1）根据规律可知：a 4＝(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)＝16，a 23是23个﹣2相乘，是负数； （2）由规律可总结出：()2nn a =-，()()565622326432a a ∴+=-+-=-+=；（3）120201010n n a a ++=()110102n n a a ++ =()()12221010nn +⨯-+-⎡⎤⎣⎦=()()()22211020n n⨯-+-⨯-⎡⎤⎣⎦=10100⨯ =0【点拨】本题考查规律型：数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．类型五、有理数乘方的应用5、（1）若|2x +6|+（y ﹣2）2＝0，求y 2﹣x 的值．（2）|a |＝8，|b |＝3，且|a ﹣b |＝b ﹣a ，求a +b 的值．【答案】（1）7；（2）﹣11【分析】（1）利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可求出值；（2）利用绝对值的代数意义求出a 与b 的值，代入原式计算即可求出值． 解：（1）∵|2x+6|+（y ﹣2）2＝0，∴2x+6＝0且y ﹣2＝0， 解得：x ＝﹣3，y ＝2， 则原式＝4+3＝7；（2）∵|a|＝8，|b|＝3，且|a ﹣b|＝b ﹣a ， ∴a ＝±8，b ＝±3，a ﹣b ＜0，即a ＜b ，当a ＝﹣8，b ＝3时，a+b ＝﹣5；当a ＝﹣8，b ＝﹣3时，a+b ＝﹣11．【点拨】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.也考查了绝对值的意义. 举一反三：【变式1】已知327x =，216y =，求2x y +． 【答案】11【解析】根据乘方的意义求出x ，y 的值，代入2x y +计算即可. 解：①327x =，216y =，①3x =，4y =①232411x y +=+⨯=．【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值，根据乘方的意义求出x ，y 的值是解答本题的关键.【变式2】已知51381x -=，求()345x -的值． 【答案】 - 1【解析】把原式变形为51433x -=，列出关于x 的方程求解即可.解：①5143813x -==，① 514x -=， 解得1x =，把1x =代入()345x -，得 原式=（4 - 5）31=-．【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值，根据乘方的意义求出x 是解答本题的关键. 类型六、有理数加减乘除混合运算6、计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)； (2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018. 【答案】(1)7；(2)9 【分析】（1）注意运算顺序，先算乘除再算加减，减去一个数等于加上这个数的相反数，减法变为加法；（2）注意运算顺序，先算乘方再算乘除最后算加减.注意()201811-=，1-的偶次方为1，奇次方为1-.解：(1) 原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5 ＝7；(2) 原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1 ＝9.【点拨】本题考查了有理数的混合运算，注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算.在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序. 举一反三： 【变式1】计算：（1）3.47( 2.7)( 3.47)( 2.3)+-+-+- （2）(32)17(65)5----+（3）111(12)234⎛⎫+-⨯-⎪⎝⎭（4）4211[2(3)]6--⨯--【答案】（1） - 5；（2）21；（3） - 7；（4）16【分析】（1）根据有理数的加法运算法则计算；（2）根据有理数的加减混合运算法则计算； （3）利用乘法分配率计算即可；（4）先算乘方，再算括号内的，再算乘法，最后算加法． 解：解：（1）3.47( 2.7)( 3.47)( 2.3)+-+-+-=3.47 - 2.7 - 3.47 - 2.3 = - 5；（2）(32)17(65)5----+= - 32 - 17+65+5 =21； （3）111(12)234⎛⎫+-⨯-⎪⎝⎭ =()()()111121212234⨯-+⨯--⨯- =643--+ = - 7； （4）4211[2(3)]6--⨯-- =()11296--⨯-=716-+=16【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算律． 【变式2】计算：（1）251(24)386⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭； （2）43116(2)|31|-+÷-⨯--； 【答案】（1）5；（2） - 9.【分析】（1）根据乘法分配律简便计算；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．解：（1）（–23+58–16）×（–24）=–23×（–24）+58×（–24）–16×（–24）=16–15+4=5；（2）–14+16÷（–2）3×|–3–1|=–1+16÷（–8）×4=–1–8=–9．【点拨】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．类型七、有理数加减乘除混合运算的实际运用7、-22-(-3)3×(-1)4-(-1)5【答案】24【分析】在进行有理数的混合运算时，一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算，即先乘方，后乘除，再加减．同级运算按从左到右的顺序进行．有括号先算括号内的运算．解：原式= - 4 - ( - 27)×1+1= - 4+27+1=24【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算的顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左至右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.举一反三：【变式1】计算：（1）3557212212⎛⎫--+- ⎪⎝⎭（2）111(370)0.2524.55424⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）17111236329126⎡⎤⎛⎫--+⨯÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】（1）2-；（2）100；（3）12【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行求解即可； （2）根据有理数的混合运算直接进行求解即可；（3）先算括号里的，然后再由有理数的混合运算进行求解即可．解：（1）原式=3557+=112221212⎛⎫----=- ⎪⎝⎭； （2）原式=()11370+24.5+5.5=400=10044⨯⨯； （3）原式=171111112363636322833629126232⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯÷=-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 【变式2】有个写运算符号的游戏：在“3□（2□3）□43□2” 中的每个□内，填入+， - ，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）请计算琪琪填入符号后得到的算式：()2432323⨯÷-÷； （2）嘉嘉填入符号后得到的算式是()43233÷⨯⨯□22，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是103-，请推算□内的符号． 【答案】（1）53;（2）□里应是“－”号. 【分析】(1)根据有理数的混合运算法则计算可以解答本题； (2)根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； 解：(1) ()2432323⨯÷-÷=2413334⨯-⨯ =123-=53； (2) ()43233÷⨯⨯=4363÷⨯=1423⨯ =23, 因为23□22=103-，即23□4=103-所以23-123=103- 所以“□”里应是“－”号．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法． 类型八、程序流程图与有理数运算8、根据下边的流程图回答下列问题：（1）输入54后，得到的输出结果是____________．（2）如果输出的结果34，请推测输入的数可能是那些？并写出结果． 【答案】（1）14（2）512或2512【分析】（1）根据流程图直接进行列式求解即可； （2）根据题意分两种情况：一是大于23输出的结果，二是小于或等于23输出的结果，然后分别求解即可．解：（1）由流程图可得：533=454⨯， 3243>， ∴311424-=； 故答案为14；（2）①当输出的结果是由大于23计算而得的，则有： 31325+=42512⎛⎫÷ ⎪⎝⎭； ①当输出的结果是由小于或等于23计算而得的，则有： 3135=42512⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭； 答：输入的数可能是512或2512． 【点拨】本题主要考查分数的混合运算，熟练掌握分数的混合运算是解题的关键． 举一反三：【变式1】李海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，他若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？若开始输的是－4呢？【答案】若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．【分析】根据题意，把2输入，得（2 - 8）×9= - 54，其绝对值小于100，所以再把- 54从头输入，计算输出的数．根据题意，把- 4输入，得（- 4 - 8）×9= - 108，其绝对值大于100，所以- 108就是输出的数．解：把2输入，得（2 - 8）×9= - 54，①| - 54|＜100，①再把- 54从头输入，得（- 54 - 8）×9= - 558，①| - 558|>100，①输出- 558．若输入的数是－4，得到（- 4 - 8）×9= - 12×9= - 108，因为| - 108|>100，①输出- 108．答：若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．【点拨】本题考查程序框图、有理数的混合运算和绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2】如图，按程序框图中的顺序计算，当运算结果小于或等于100时，则将此时的值返回第一步重新运箅，直至运算结果大于100才输出最后的结果.若输入的初始值为1，则最后输出的结果是多少？【答案】256【分析】把1代入依次计算，当结果大于100时输出.解：1×12÷（-14）= - 2＜100；- 2×12÷（-14）=4＜100；4×12÷（-14）= - 8＜100；- 8×12÷（-14）=16＜100；16×12÷（-14）= - 32＜100；- 32×12÷（-14）=64＜100；64×12÷（-14）= - 128＜100；- 128×12÷（-14）=256＞100；故输出为256.【点拨】本题考查循环结构，通过运算规则求解最后运算结果，是算法中一种常见的题型．类型九、“24”点运算9、暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是，积为_．（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是，商为．（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）【答案】（1）－5和－3，15 ；(2) －5和＋3，53-；(3)3[5(3)]0-⨯--++（答案不唯一）【分析】(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可.(2)要想商最小，必须商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可.(3)把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24，然后找到合适的卡片能够通过运算得到24的因数即可.解：(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘则有（+3）×（+4）=12，（- 5）×（- 3）=15积最大为15，所以选择卡片- 5和卡片- 3(2) 要想商最小，必须商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.则有( - 5)÷3=53-，( - 5)÷4=54-，4÷（- 3）=43-商最小为53-，所选择卡片- 5和卡片+3(3) 把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24等形式.当2×12=24时，2=（- 3）-（- 5），12=3×4则[( - 3) - ( - 5)]×3×4=12故选择卡片数字为：- 3，- 5，+3，+4当3×8=24时，可得- 3×（- 8）=24，则- 8=（- 5）- 3则- 3×[( - 5) - 3]=24.同理可继续推导.故答案为（1）－5和－3，15 ；(2) －5和＋353-；(3)3[5(3)]0-⨯--++（答案不唯一）【点拨】本题综合性的考察了有理数的计算，因为正数大于负数，所以在本题中务必理解两个数乘积最大值只有在正数里面选择，两数商最小值，只有在负数里面选择.举一反三：【变式1】做游戏：24点游戏是利用扑克牌中的52张（去掉大王、小王），任意抽取4张，利用混合运算，可以是加、减、乘、除法，也可以是乘方（底数、指数均是这4个数之中的），只要结果得到24即可．（每个数都要用且只能用一次）【答案】[5÷（- 5）+9]×3=24．（答案不唯一）【分析】假设抽取的4张扑克：黑桃3，梅花5，红桃5，黑桃9；首先用5除以- 5，构造出- 1；然后用- 1加上9，构造出8，再用8乘3，即可使其结果等于24．解：解：抽取的4张扑克：黑桃3，梅花5，红桃5，黑桃9.[5÷（- 5）+9]×3=24．故答案为：[5÷（- 5）+9]×3=24．（答案不唯一）【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【变式2】如图，现有5张写着不同数的卡片，请按要求完成下列问题：（1）从中任选2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，则该乘积的最大值是多少？ （2）从中任选4张卡片，用卡片上的数和加、减、乘、除四则运算（可用括号，每个数都要用且只能用一次）列出两个不同的算式（每个算式可选用不同的卡片），使其计算结果为24．【答案】（1）18；（2）()()536324⨯----=（答案不唯一） 【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数，所以选−6和−3； （2）根据有理数的混合运算即可求解. 解：解：（1）依题意选−6和−3 （−6）×（−3）=18， ①此时乘积的最大值为18；（2）答案不唯一：如()()536324⨯----=；()()336524----⨯=.【点拨】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力． 类型十、含乘方的有理数运算10、计算：43116(2)31-+÷-⨯--． 【答案】 - 9.【分析】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．解：原式()11684189=-+÷-⨯=--=-．【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三： 【变式1】计算：（1）（－1）2×5＋（－2）3÷4； （2）52()83-⨯24＋14÷3(12)-＋|－22|【答案】（1）3；（2）19 【解析】试题分析：（1）按照先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算；（2）按照先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算，522483⎛⎫-⨯⎪⎝⎭部分可按照乘法分配律计算. 解：（1）（－1）2×5＋（－2）3÷4=1×5+( - 8) ×14=5 - 2 =3 ；（2）3521124228342⎛⎫⎛⎫-⨯+÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =52112424228348⎛⎫⨯-⨯+÷-+ ⎪⎝⎭=()115168224-+⨯-+ =15 - 16 - 2+22 =19.【变式2】计算：()()213142--+÷-⨯．【答案】 - 5【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案．解：()()213142--+÷-⨯()1932=+÷-⨯ 132=-⨯()16=+-5=-．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键． 类型十一、计算器 - 有理数11、用计算器求下列各式的值:(1)24.12×2+3.452×4.2；(精确到0.1)；(2)(2.42- 1.32)×3.1+4.13；(精确到0.01)【答案】（1）1161.62；（2）81.538.【解析】试题分析：先计算，再四舍五入.≈.(1) 24.12×2+3.452×4.2= 1211.61051211.6≈(2) (2.42 - 1.32)×3.1+4.13=81.53881.54举一反三：【变式1】利用计算器计算( - 8.9)×( - 11.2)【答案】99.68【解析】试题分析：利用计算器计算即可，注意按键顺序.试题解析：先输入—8.9，然后输入乘号，最后输入—11.2，即可得答案是99.68.【变式2】有一张厚度是0.1mm的纸，假设我们能将它连续对折30次，这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔(8844.43m)吗？请用计数器帮你得出答案.【答案】能，107374.1824m【分析】每对折一次即扩大1倍，对折30次相当于扩大230倍．解：0.1×230=107374182.4mm=107374.1824m>8845m.答：将一张厚度是0.1mm的纸,连续对折30次后,它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔高度(8845米)【点拨】此题考查计算器—有理数，解题关键在于熟练运用计算器.。
2.11有理数的乘方例题与讲解
2.11 有理数的乘方1．有理数乘方的概念(1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝⎛⎭⎫546，不能记作564； ③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同． ⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝⎛⎭⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积． 【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)；(2)25×25×25×25； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5；(2)25×25×25×25＝⎝⎛⎭⎫254； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算：(1)(－3)2；(2)1.53；(3)⎝⎛⎭⎫－434；(4)(－1)11； (5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9；(2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375；(3)⎝⎛⎭⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1；(5)(－1)2＝1；(6)(－1)2n ＝1；(7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果． 因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘． 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】 计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－0.25)10×412＝(0.25)10×412＝[(0.25)10×410]×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉n次呢？(请把探索的结果填入下表中)分析：第一次拉出2＝2根，第二次拉出2＝4根，第三次拉出2＝8根，所以第n次拉出2n根．解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.面条根数248163264...2 (2)5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或⎝⎛⎭⎫12n 求解．【例5－1】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？ 分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)．(2)(220×0.1)毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长？分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝⎛⎭⎫127×1＝1128(米)．。
《有理数的乘方》典型例题
《有理数的乘方》典型例题例1 计算： （1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)31(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值．解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-⨯-⨯-⨯-=-（2）.512)8()8()8()8(3-=-⨯-⨯-=-（3）.811)31()31()31()31()31(4=-⨯-⨯-⨯-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)31(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方．例2 计算：（1）3)7(--；（2）45.0-|分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--；（2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-．解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=-例3 计算12104)25.0(⨯-的值．分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(⨯⨯⨯=⨯⨯==-．这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．解 12104)25.0(⨯-1210425.0⨯=个个1210444 25.025.025.0⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=)44( )425.0()425.0()425.0(10⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=个16 11110⨯⨯⨯⨯=个|.16=说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来．例4 选择题：（1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个．A ．18B ．19C ．10D ．9（2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个．A ．7B ．8C ．10D ．12分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻找．819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========，而100102=（不合题意），所以共计10个数．（2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有6443=，就有64)4(3-=-，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数．解 （1）选C （2）选A ．说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂．（2）第（2）问还可以怎样给出呢如果把其中的“D ”改为13个，你又怎样解出呢要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．。
有理数的乘方知识点以及分类练习(含解析)
有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1：有理数的乘方的概念和计算】1. 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中，a叫做底数， n叫做指数．2. 有理数的乘方特点（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．3.符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如a n≥0．【知识点1：有理数的乘方的概念和计算 练习】1. 比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ） A ． 它们底数相同，指数也相同 B ． 它们底数相同，但指数不相同C ． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ． 虽然它们底数不同，但运算结果相同 2. 下列说法中，正确的是（ ）．A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方一定是正数C ．一个数的平方一定小于这个数D ．一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数，那么这个数是（ ） A ．1B ．0C ．1或0D ．1或1-4. 计算()23-的结果是（ ） A ．9-B ．9C ．6-D ．65. 下列说法正确的是（ ） A ．-23的底数是2- B ．23读作：2的3次方 C ．27的指数是0 D ．负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2020D ．﹣20207. 对于式子（-2）3，下列说法不正确的是：（ ） A ．指数是3B ．底数是2-C ．幂为6-D ．表示3个2-相乘8. 下列各组数中，互为相反数的有（ ）①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A ．④B ．①②C ．①②④D ．①③④9. 下列每对数中，相等的一对是（ ） A ．（-1）3和-13 B ．-（-1）2和12 C ．（-1）4和-14D ．-|-13|和-（-1）310. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．2与0.5B ．（-1）2与1C ．-1与（-1）2D ．2与|-2|11. 下列各组数中，结果相等的是（ ） A ．52与25 B ．﹣22与（﹣2）2 C ．﹣24与（﹣2）4 D ．（﹣1）2与（﹣1）2012. 下列运算中错误的是（ ） A ．（-2）4＝16 B ．233=827 C ．（-3）3＝-27 D ．（-1）104＝113. 式子−435的意义是（ ）．A ． 4与5商的立方的相反数B ．4的立方与5的商的相反数C ．4的立方的相反数除5D ．−45的立方 14. （﹣1）2016的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 15. 下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．016. 在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在235中底数是________，指数是________． 17. 计算：﹣（﹣3）2＝ ．18. -（-3）＝ ；-25＝ ；−(−13)3= ；225= ．19. -[-（-3）]3＝ .20. 已知a ＜2，且|a-2|＝4，则a 3的倒数的相反数是 ．【知识点：有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.在运算过程中注意运算律的运用．【知识点：有理数的混合运算 练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．22. 计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ） A ．﹣2 B.2 C ．﹣22014D ． 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0，则(a −b)2020的值是（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100＝（ ） A ．223300B ．333300C ．443300D ．4333005. 计算(－2)2009＋3×(－2)2008的值为( ) A ．－22008B ．22008C ．(－2)2009D ．5×220086. 计算−32×(−13)2−（−2）3÷（−12）2的结果是（ ）． A ．-33 B ．-31 C ．31 D ．337. 如果()()01122=-++b a ，那么()2a b -的值为( ) ．A ．0B ．4C ．－4D ．28. 已知n 表示正整数，则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是 （ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法确定，随n 的不同而不同9. 若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（ ）A ．2B ．3C ．2020D ．202110. 设三个互不相等的实数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，,bb a的形式，则20192020a b +的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．1D ．211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0，且m ＋2n ＝0，则−(n m )2= ． 12. 看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空． 13. 若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，则（a ＋b ）2＋a 2003＝ ． 14. 如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为 ．15. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x 的值为 ． 16. 计算：（1）4×（﹣12−34+2.5）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．17. 计算：（1）-14－（1－0.5）×13－[2－（-3）2]（2）（-2）4÷（-4）×（12）2－1218. 计算：（1）-81÷214-（-94）÷（-16） （2）-15-213+415÷（-3）×（-521）（3）（-2）3×214+（-32）2÷（-12）3 （4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)（5）（-1）5-[-3×（-23）2-113÷（-2）2]19.用简便方法计算：(1)（35−12−712）×（60×37−60×17+60×57）(2)[113×（1-14）2－（-112）2×316]×（-513）20.某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？a⨯的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|＜10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如：42000000＝4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如：-3000＝-3×103；3.把一个数写成a×10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【知识点：科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元，将这个数据用科学记数法表示为( )A．9×1013元B．9×1012元C．90×1012万元D．9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×105人 B．7.6057×106人C．7.6057×107人 D．0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是____________．5.用科学记数法表示：（1）3870000000；（2）3000亿；（3）-287.6.（1）___________（2）________（3）___________1.探索规律的一般方法：（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，大胆猜想，做出结论，并验证结论正确与否；S（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。
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有理数的乘方1．有理数乘方的概念 (1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面： ①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝ ⎛⎭⎪⎫546，不能记作564；③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同．⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝ ⎛⎭⎪⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积．【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么 (1)(－× (－×(－×(－×(－； (2)25×25×25×25； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－×(－×(－×(－×(－＝(－5； (2)25×25×25×25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254；(3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算： (1)(－3)2；(2)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434；(4)(－1)11；(5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9； (2)＝××＝；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1； (5)(－1)2＝1； (6)(－1)2n ＝1； (7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘．在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－10×412的值．分析：直接求(－10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－10＝，表示10个相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－10×412＝10×412＝[10×410]×42＝×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条若拉n次呢(请把探索的结果填入下表中)8根，所以第n次拉出2n根．解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12n求解． 【例5－1】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米 (2)对折20次后，厚度为多少毫米分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×＝23×0.1毫米，对折4次是16×＝24×0.1毫米，对折5次是32×＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)×22＝(毫米)． (2)(220×毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝ ⎛⎭⎪⎫127×1＝1128(米)．。