上海市2018届高三数学复习数学归纳法与数列极限专题练习

数学归纳法与数列极限

一、 填空题

1. lim 2n 3n 1 .

1.

lim n 1 n . n 2n 1 3n

2. 1.34 化为分数是 . 1 1 1

已知 f(n) ... ，则 f (k 1) f(k) n 1 n 2 n n

7.

某个命题与非零自然数 n 有关，满足若当 n k(k N *) 时该命题成立，可以推得当

n k 1时该命题也成立。现已知 n l 0(l 0 N *)时该命题不成立，那么可以推

断 . 时，该命题不成立

l n imT n .

11. 已知等比数列 ｛ a n ｝的首项为 a 1 ，公比为 q ，且 l n im( 1a1q q n ) 12 ，则首项 a 1的取值范围 是 . 12.点A 1(1,0) ，点 A 2(9,0) ，点A 3是A 1A 2中点，点 A 4是A 2 A 3中点，以此类推，点 A n (n 3)是 A n 2A n 1的中

点，如此一直下去，则点

A n 的极限位置是

.

选择题

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯

3. 4.

lim( n 2 2n n) n

5. 数列｛a n ｝中，a 1 5，S n 是前 n 项和，当 n 2时，a n S n 1

3S n ，则l n im S S n n 1 13

6. 用数学归纳法证明 12 22 32 42 ... ( 1)n 1n 2 ( 1)

n(n 2

1)

(n N ) 时，在假设 n k

时等式成立后，要证明n k 1时等式也

成立，这是要证明的等式

an 2 2n bn 2

)1

则a

9. ｛a n ｝是公差为 d 的等差数列，

na

S

n

是其前 n 项和且 S n 0 ，则 l n im

10. 设首项为 1 ，公比为 q (q 0) 的等比数列的前

n 项和为 S n ，又设 T n

S n

S

n 1

(n 1,2...)

，则

n

时，此时等式的左边是( )

A. 1

B. 1 a

C. 1 a a 2 a 3

D. 1 a a 2 a 3 a 4

15. 某个命题与自然数 n 有关。如果当 n k(k N * )时，该命题成立， 那么可以推得当 n k 1

时该命题也成立，现为了推得 n 9 时该命题不成立，那么需要已知(

)

A. n 8时命题不成立

B. n 8 时命题成立

C. n 10 时命题不成立

D. n 10时命题成立

222

16.已知点 A(0, 2) ，点 B(0, 2) ，点C(4 2,0) ，其中 n 为正整数，设 S n 表示 ABC 外接圆的

n nn

面积，则 lim S n 等于(

)

n n

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

三、

解答题

17.已知数列 {a n } 满足：

2

a 1 2， a n 1 a n

na n 1,n N

1) 求 a 2,a 3,a 4，猜测数列 {a n } 的通向公式 a n 2) 用数学归纳法证明( 1)中的猜测

18.直线 a,b 相交于 O ，交角为锐角 ，在直线 a 上取点 A 1，使 OA 1 m ，过 A 1作 A 1A 2 b ， 垂足为 A 2，过

A 2作 A 2A 3 a ，垂足为 A 3 ，依次无限继续下去，得垂线段 A 1A 2 、 A 2A 3 、⋯、 . 若

lim( A 1 A 2 A 2 A 3 ... A n A n 1) 3m ，求 cos 的值 .

13.

)条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充分必要

D. 既非充分又非必要

14. 用数学归纳法证明

2 2( n 1)

1 a a ... a

1a

2n 3

1a

(a 1,n N * )时，在证明 n 1 等式成立

A n A n 1 、

a n

b n ) 与 l n im( a n b n )存在是

19. 是否存在常数a ，使得n2 (n 1)2 ... (n n)2 n(n 1)(an 1)对任意正整数n 都成立，6

并证明你的结论。

20.已知数列{a n} 的通项公式为：(3)n，能否从数列{a n} 中挑出无穷等比数列，使得它的各项和等于1。若能的话，请写出所有满足条件的数列的通项公式？若不能的话，请说明8

理由。

21.已知f(n) 2n 23n5n 21(n N*) ，g(n) 37n 21

(1) 试比较f (n)与g(n) 的大小；

(2) 是否存在正整数m，使得f(n) 都能被m整除。若存在，求出最大的m值，并证

2）略

1. 3

121 90

6. ( 1)k 1 k(k 1) ( 1)k (k 1)2 ( 1)k

7.

n l 0 1 8.

a 4,

b 2

9.

2

1(0 q 1)

10.

lim T n

1

n n

(q 1)

q 1

11.

0 a 1 1 且 a 1

或 a 1 3

2

12. (139,0)

13. C. 14. D. 15. C. 16. C.

17 答案：(1) a 2 3,a 3 4,a 4 5 ；

明你的结论；若不存在，请说明理由。

参考答案

3. 1 (2k 1)(2k 2)

(k 1)(k 2)2

n1

4. 1

3