分形分析的几个重要原理
[转载]分形---自相似性
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[转载]分形---⾃相似性原⽂地址：分形---⾃相似性作者：凯分形, 简单的讲就是指系统具有“⾃相似性”和“分数维度”。
所谓⾃相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采⽤什么样⼤⼩的测量“尺度”，物体的形状不变。
如树⽊不管⼤⼩形状长得都差不多, 即使有些树⽊从来也没见过, 也会认得它是树⽊；不管树枝的⼤⼩如何，其形状都具有⼀定的相似性。
所谓分形的分数维, 是相对于欧⽒⼏何中的直线、平⾯、⽴⽅⽽⾔的, 它们分别对应整数⼀、⼆、三维，当然分数维度“空间”不同于⼈们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。
说起来⼀般⼈可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对⼀个⾜够⼤的海岸线⽆论采⽤多么⼩的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于⼀个确定值！⽤数学语⾔来描述即是海岸线长度与测量标尺不是⼀维空间的正⽐关系，⽽是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
⾃相似性⼜揭⽰了⼀种新的对称性，即画⾯的局部与更⼤范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧⼏⾥德⼏何的对称，⽽是⼤⼩⽐例的对称，即系统中的每⼀元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
⽆论放⼤多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
但是，注意观察上图，我们会发现：每次放⼤的图形却并不和原来的图形完全相似。
这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的⾃相似特性。
分形能够保持⾃然物体⽆限细致的特性，所以，⽆论你怎么放⼤，最终，还是可以看见清晰的细节。
周期性是⾃然界发展变化的基本规律之⼀，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲⼈类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。
随机波动曲线具有“⾃相似性”。
价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线⼀样表现为精确的⼏何图形，随机性是这种曲线⾛势的基本特征；曲线⾃相似性的意义是突出随机过程中的关联效应。
一、分形算法的基本原理与实现
一、分形算法的基本原理与实现1 概述超越Barnsley 编码方案的局限，Jacquin 提出了基于分块迭代函数系统(Partitioned IFS)的分形块编码算法。
这是首次利用计算机进行数字图像的分形压缩的自动算法，对分形图像压缩方法的实用化起了奠基的作用。
分形图像编码PIFS 方法，本质上是假设自然图像中不同区域间存在着跨尺度冗余——不同尺度下的冗余来实现图像压缩的。
对于自然图像，我们不难找出其不同区域间确实存在这种不同尺度下的相似性，例如照片中不同远近、不同位置的物体，如标准测试图像“boat ”中的桅杆（图1a ）。
此外，仔细观察标准测试图像“Lena ”也不难发现这个事实：肩膀处嵌套的两个区域、帽沿处的小区域与右下角的大区域，两个大区域缩小一定比例就分别与各自的小区域基本吻合（图1b ）。
2 基本原理设(R ,)N N d ×是N ×N 灰度图像空间，灰度值范围是{0, 1, 2, … , l -1}（l 一般为256，即8 bit 量化）。
因此，一幅图像I 可以表达为一个矩阵()ij N N I ×，ij I 表示图像在(i , j )处的灰度值。
d 是用作失真判据（distortion criteria ）的完备度量，在分形编码文献中常常选择为均方根（RMS ，Root Mean Square ）：1/222,11(,)RMS(,)||,,R N N N ij iji j d x y x y x y x y N ×= ==−∈ ∑ (1)为了更好地理解PIFS 编码，把灰度图像（image ）看成二元函数:z S R →，(,)(,)x y z x y a 的图象（graph ）是方便的。
其中2S R ⊂是灰度图像的支持或背景，(,)z x y 是象素点(,)x y 的亮度或灰度值，它取有限个非负值（一般为0～255）。
分形编码的任务就是要寻找一个压缩变换W ，使得W 的不动点尽可能接近待编码图像。
分形背景知识
分形谁创立了分形几何学？ 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：1、从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
2、在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？康托尔三分集——最简单的分形在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成Koch曲线立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
分形维数浅释
分形维数(Fractal Dimension)浅释笔者：喻麟佑博士(美国亚利桑那大学物理学博士) 2012年3月于广州.、八、-刖言：最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。
简化以后，大意可以由下图描述：三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1 + 1不就等于.2 了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。
其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。
现在，我们来了解一下分形的原理。
正文：分形(Fractal)，又称“碎形”或“残形”。
这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。
自从20世纪80年代开始［注一］，“混沌(chaos) ”，“奇异吸引子(strangeattractors) ”，“分形(fractal) ” ,还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。
无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。
分形几何，有若干特性，例如“自相似性(self-similarity )”等等。
本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数(Fractal Dimension)。
并且，也借此讨论过程，得以对分形(碎形)有更深入的了解。
首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度 （Dime nsio n ）是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或 一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为 3维然而，分形，却具有非整数的维数。
这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：1 ------------------- L —1t £A11 —! L ---------------------------- 1、一飞" £L一Ti T jdJC* -■ 11 ■ --------------------- 1 -------- ——1=4 cj ■‘4—11~<—1_<—*~*—*—M 二 £是=—38** 图一如果我们把此线段分割一次，则n 1， NI 2， i -L2式中L 是一个常数，n 是分割的次数，N n 乃分割n 次后的总碎片数，第二次分割（每个线段再分割一次）：2n 2，2 4 2,第三次分割（每个线段再分割一次）：n 3，N 3 8 23，L L8 23是分割n 次后的每碎片的长度因此，我们不难知道，分割 n 次后, 总碎片数：心2n , 每一碎片大小:现在，让我们来定义一个维数 D :式一也可写成（先暂不管 n ）:L D-D n等式两边取自然对数：Dln — In N nnD In — In N nnD 哼或D In — In L In 丄nn严格来说，分割的次数n 为无穷大（n ）因为In 丄？ I nL ,我们也不难得到 nInN nIn 丄n..In N n Iim n0 I n =nnIim In no I nLnN nInn（式二）N n n (n ) （式一）式中，L 的D 次方（即维数）等于，分割 n 次后的总碎片数，乘上每一碎片长 度的D 次方。
分形理论的详细介绍
（三）标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，
对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的 形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它 的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。 所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果 用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看 到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放 大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标 度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的 koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它 放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很 显然，它具有标度不变性。 因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关 的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明， 自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一 切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形 和不具有特征长度的图形。对于特征长度，并没有严 格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度， 就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方 体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物 体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特 征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加 简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有 太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高 度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错； 如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替 身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说， 关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
分形几何在信号滤波中的应用
分形几何在信号滤波中的应用信号滤波是数字信号处理中一个重要的环节，其主要目的是通过去除噪声和不需要的频率成分，使信号更加清晰和准确。
而分形几何是一种研究自相似性的数学理论，近年来在信号处理领域中得到了广泛的应用。
本文将探讨分形几何在信号滤波中的应用，以及其在提高信号处理质量方面的潜力。
一、分形几何的基本原理分形几何是由波兰数学家Mandelbrot于20世纪70年代提出的，它研究的是自相似性和不规则性的几何形态。
分形几何通过定义简单的几何操作和规则，可以生成自相似且无限递归的结构，这些结构能够以相似的方式出现在不同的尺度上。
分形几何的主要特点包括维度的非整数性、自相似性、局部规则性和无限递归等。
二、分形几何在信号分析中的应用1. 分形维度的估计分形维度是分形几何的重要参数，在信号分析中可以用于对信号的复杂程度进行表征。
通过计算信号的分形维度，可以定量地描述信号的自相似性和规则性。
在信号滤波中，通过估计信号的分形维度，可以帮助选择适当的滤波算法和参数，从而提高滤波效果。
2. 分形压缩分形压缩是一种基于分形几何理论的信号压缩方法，其原理是利用信号的自相似性进行编码。
通过将信号划分为多个自相似的子区域，只需要保存其中一个子区域的信息以及其在整个信号中的位置和尺度关系，即可恢复出原始信号。
分形压缩在信号滤波中的应用主要体现在去噪和降低信号冗余方面，可以有效地减小信号的数据量，提高信号传输和存储效率。
3. 分形插值分形插值是一种通过分形几何理论实现信号重构的方法。
其基本思想是利用已知的信号片段和分形几何的自相似性，来推测信号在未知区域的数值。
在信号滤波中，分形插值可以用于去除信号中的噪声和干扰，填补信号中的缺失数据，从而提高信号的质量和完整性。
三、分形几何在信号滤波中的优势和潜力分形几何在信号滤波中具有一些独特的优势和潜力。
首先，分形几何可以捕捉信号的非线性结构和自相似性，对于那些传统滤波方法难以处理的信号具有很好的适应性。
利用分形理论解释自然现象
利用分形理论解释自然现象
分形是一种几何形状，具有自相似性的特点。
它可以在不同的尺度
上重复出现，并且形状复杂多样。
分形理论被广泛应用于自然科学领域，用来解释各种自然现象。
本文将利用分形理论来解释一些常见的
自然现象，从而更好地理解自然界的奥妙。
首先，我们来看看山的形状。
山脉的轮廓线常常呈现出分形结构，
即使在不同的尺度上观察，都可以看到类似的形状。
这是因为山脉的
形成过程中，受到了地质构造和气候等多种因素的影响，形成了复杂
的结构。
分形理论可以很好地解释这种现象，帮助我们更好地理解山
脉的形成过程。
其次，我们来看看云的形状。
云的形态也常常表现出分形特征，不
论从近距离还是从远处观察，都可以看到类似的形状。
这是因为云是
由水蒸气在大气中凝结形成的，受到风力和气温等因素的影响，形成
了各种各样的形态。
分形理论可以帮助我们理解云的形成规律，进而
更好地预测天气变化。
另外，我们再来看看河流的走势。
河流的轨迹同样表现出分形结构，河岸的曲线呈现出复杂多样的形状。
这是因为河流受到地形地貌的影响，形成了不规则的河道。
分形理论可以解释河流的形成机制，帮助
我们更好地研究河流的演变过程。
总的来说，分形理论可以帮助我们理解自然界中各种复杂多样的现象。
通过分形理论的解释，我们可以更好地认识自然界的规律，探索
宇宙的奥秘。
希望本文对读者有所启发，让大家更加热爱自然，关心
环境，共同保护我们美丽的地球家园。
愿人类与自然和谐共处，共同创造美好未来。
‘分形’结构的形成原理中隐藏的‘宇宙、生命’奥秘
‘分形’结构的形成原理中隐藏的‘宇宙、生命’奥秘解开光的奥秘揭开能量波操控下的宇宙真相前文提示：第一节：初探光的本质第二节：一个全新的发现！能否彻底解开‘双缝干涉’的百年谜题？第三节：光的‘波粒’四像性第四节：‘分形’结构的形成原理中隐藏的‘宇宙、生命’奥秘当我们身处自然，你是不是经常会被自然界的‘美’所打动。
小到一片树叶，一朵花，一只蝴蝶一片雪花，一个贝壳，还有人人生厌的细菌大到一颗树，一个珊瑚，乃至我们观测到的宇宙结构当你沉醉于它们艳丽的色彩时，有没有被它们那美丽的外形深深的折服？这时你有没有发现：这美丽的外形是一个个近似或相同图案不断重复的结果，表现出明确的‘分形’特征。
提到‘分形’，大多数人会感到比较陌生，因为它是近几十年才发展起来的一门新兴学科，目前主要是通过数学的方法来研究‘分形’的规律。
‘分形’在现实生活中已被广泛应用，尤其在电影场景的特效设计中更是取得了非常巨大的成就。
利用分形原理设计出的电影场景已经达到了以假乱真的地步。
然而对于自然万物产生‘分形’的原因，能深入到原子角度进行分析的文章我还没有查到过（可能有，只是我没找到）。
所以本文将以‘雪花’的形成为切入点，以‘能量=>粒子波动论’为依托，从‘分子’结构入手，详细解读‘雪花’的形成过程和原理，然后逐步揭开世间万物产生‘分形’的背后原因，以及其中隐藏的宇宙运行规律和生命的奥秘。
1.0解析雪花的形成过程，揭开分形结构成因之谜对于雪花的形成原理，目前的科学解释是：首先是冷凝作用导致水分子的凝结，其次在凝结过程中，水分子之间的‘氢—氧’键（有的解释为‘氢—氢’键，也可能是笔误）相互结合生成晶体结构，并最终形成美丽的雪花。
但是，对于‘氢—氧’键（或‘氢—氢’键）相互结合生成晶体结构，这样的解释我认为有一个至关重要的问题它无法解答：雪花为什么会呈现出‘片状’结构形态，而非‘球型’？我们都知道，下雪要么是‘干冷空气’入侵到‘相对湿热的空气’环境造成的，要么是‘湿热的空气’侵入到‘相对干冷的空气’环境造成的。
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分形分析的几个重要原理
金融市场的分形分析方法依据分形的基本原理和市场
的分形特性，其方法最大的优点是可以准确完整地界定市场的主流趋势性质，也就是市场变化的稳定方向；并且可以较准确地界定市场的趋势边界以找到最好的进场位置，从而融入并顺应趋势交易。
它的可信度以及客观全面的分析方法源自几个重要的原理。
其一是市场的极端最大化原理。
这主要指的是市场的自激励、自扩张、自强化作用。
这是众多的交易者可以直接从市场中经验到的作用。
作为开放系统的金融交易市场，只要有机会，只要出现明确的趋势，就会吸引交易者并活跃成交。
一个盈利者会带动3—5个交易者入市，而3—5个交易者同样会成倍数地吸引更多的交易者，使趋势不断被强化。
最后，所有对趋势有推动作用的题材和资金全部被发掘完毕，市场走到自己的反面，也就是极端最大化的地方。
在这个地方，市场对立的交易双方会进行性质截然相反的交换（交易就是交换），而迅速改变市场性质。
这就是物极必反。
但是相反的交换一旦开始，就会立即扭转为相反的趋势。
相反的交换又会产生新的自激励作用，新的趋势又开始运行了。
市场就是以这种形式寻求价值发现的。
分形是有主体和层次的。
在极端最大化的地方，分形的主体和层次会发生极其强烈的分
形矛盾，市场会用分形来预示市场到了极端最大化的地方。
分形结构、分形边界、分形空间等都可以明确预示市场的极端。
但在趋势未到极端最大化之前，任何对趋势的主观臆断都是违背市场真相的。
市场是不受控制的，没有谁可以改变市场的极端最大化的作用机制。
有了这样的原理机制，就可以运用分形对市场的趋势做完整的界定，找到市场的主流趋势分形，而避免发生根本的市场错误。
其二，偏差与反偏差的必然交替原理。
趋势绝不是一条直线，市场更不是通常的线性事物。
对于主流趋势而言，市场由偏差和反偏差组成。
与趋势同方向的偏差会不断出现，也就是趋势在运行中短时间向前走得太远的偏差，或者叫正偏差。
反偏差就是向趋势相反方向出现的偏差。
反偏差相对于趋势而言是一种错误。
市场总会诱惑许多交易者向反偏差方向交易而犯这样的错误。
对于交易者而言，交易的根本目标就是市场的错误，也是其他交易者的错误。
在对手交易错了的地方，自己才会有机会。
而反偏差就是市场的错误。
市场由一连串的反偏差所组成。
反偏差总会发生的，其根源在与人性和人性所组成的市场本性。
它的出现是必然的。
所以一个趋势总是给交易者许多机会，并附带许多陷阱。
有了这样的原理，交易者就有许多机会可以加入趋势的行列，并且有许多机会可以纠正自己的错误。
所以人人有机会，时时有机会。
这是开放性复杂事物的根本特征之一，也是分形的根本特性。
那些短线交易者正是在这些偏差与反偏差之间寻求如鱼得
水的机会，而忽略趋势的主导制约。
对于主流趋势而言，反偏差就是明确的市场错误，是追逐趋势的最好交易位置。
但那里往往是人性制约最强烈的地方。
很多人难以跨越人性的限制。
当反偏差出现的时候，怎么识别它呢？分形的性质、空间、结构都会给出清晰的回应。
其三，分形共同指向原理。
分形是否可靠？分形分析的方法是否真的与市场的实际最接近？是否真与市场的客观相一致？这个原理可以告诉交易者，分形是非常可靠的。
当市场出现重要的反偏差位时，或是出现其它重要分形转折时，市场不同层面的分形，会共同指向一个方向，而几乎找不到一个与之相违背的分形。
这就是分形共同指向。
它是分形方法运用的确定性之一。
它使交易者对市场的位置和方向可以做出准确的界定，毫不含糊。
从而使交易者的行为积极主动，而不是盲目试错，或是在机会到来时观望。
这时，阻碍交易者行为的唯一障碍，就是交易者潜意识下的日常情绪反应，它必然与分形的共同指向相矛盾。
而分形所显示的却是市场的真实本相。
此处举美国黄金期货2月29日的下跌分形为
例来简单介绍分形共同指向。
只要看到了美国黄金期货的走势图，用分形来分析，就一目了然了。
上面是美国黄金期货
的日收市价线图，从右侧指标的柱状负值往左数第三根就是2月29日下跌4.3%的收市走势。
价格从上沿一口气跌到下沿。
分形共同指向在下跌前一日已经非常充分。
结构分形上，首先是明确的日线上沿正A，同样的位置周线上也是一个正A，这是可信的复合正A；均线分形上，日50均线向日119线的推动接近结束；指标分形上，最后一个上升结构的正值出现反偏离，即将出现正负值转换，就是正值区向负值区过渡（过渡区是最容易下跌或上涨的）。
这是一个确定的分形转折位，没有一个主要分形提供上升的空间和结构，相反，往下的空间却是清晰地给出了日线的下沿。
而当日的下跌直接从上沿1786跌到了下沿1645，将前面的获利空间一下子用完。
可见成熟的市场对于分形上体现的利益是多么清楚。
这再一次表明人性对于利益的追逐和对真相的追求才是市
场的根本动力。
上面说的几点中，极端最大化就是“太极”分形的具体体现。
易经的太极图上有两个太极区，事物总是在达到最大化后向自己的相反方向转变。
这在期货市场或其它金融市场是司空见惯的事情。
交易者可以凭借经验与理性来认识它。
而分形分析是最好的工具。
此处要特别强调的是，基本面也是分形事物，也可以用分形的方法对其进行分析，其与市场价格的分形分析是完全一致的，两者不仅不会矛盾，而且会相互印
证，甚至基本面的分形有时候更加重要。
因此可以说分形分析不是一个玄学的怪癖的分析工具，而是与市场整体、与客观整体完全相一致的分析工具和方法。
用分形来看待基本面是一种新的视野，而这正是分形分析所强调的。
分形容纳一切，分形分析当然也容纳一切。
所有的复杂事物都是分形的，市场正是如此。
易经是讲世界的一般分形模式，其分形演化是一种逻辑计算。
而对于市场的分形来说，重要的方法也是进行逻辑计算。
这或许开启了人们对于市场的新的认识大门。
它使中华文化在期货等金融交易市场中可以发挥难以想象的巨大作用。
一切仅仅是开始。