灰色系统理论与应用学习指南
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论是一种用于研究不完全可信息的系统分析方法，可以用来模拟和预测系统的动态行为。
它的主要特点是以不确定性和不确定性作为基础，开发出一套灰色系统模型，用于分析和研究各种灰色的系统。
灰色系统理论的出现可以追溯到20世纪70年代，它是基于系统动力学理论的。
灰色系统理论的应用非常广泛，可以应用于各种系统，包括社会系统、经济系统、生态系统等。
它可以用于分析和预测各种复杂系统的动态行为，为改进系统结构和性能提供了重要依据。
例如，它可以用于分析社会经济发展的潜力，进而改善经济政策；也可以用于分析和改善生态系统的结构和功能，以解决生态系统的问题。
此外，灰色系统理论也可以用于企业管理，可以帮助企业更好地管理和控制其经营状况，从而提高企业的效率和生产力。
通过灰色系统理论，企业可以分析其经营状况，识别存在的问题，并采取有效措施来改善企业管理水平。
综上所述，灰色系统理论是一种用于分析和预测复杂系统的动态行为的理论，它的应用非常广泛，并可以用于企业管理，为改善系统性能和企业管理水平提供了重要依据。
南京航空航天大学经济管理学院 - 灰色系统理论及其应用
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第一章：灰色系统的概念与基本原理
二、灰色系统与几种不确定问题方法的比较。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对 象 具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验， 借助于隶属函数进行处理。 概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计 规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定” 现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是， 大样本，且对象服从某种典型分布。 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”
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第三章灰色系统理论及其应用
第三章灰色关联分析一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。
我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制……数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。
但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服从某个典型分布。
灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。
例如某地区农业总产值X,0种植业总产值X，畜牧业总产值2X和林业总产值3X，从11997-2002年共6年的统计数据如下：X=（18，20，22，35，41，46）X=（8，11，12，17，24，29）1X=（3，2，7，4，11，6）20X =（5，7，7，11，5，10）从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。
因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。
3.1灰色关联因素和关联算子集进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一步明确影响系统行为的有效因素。
如要作量化研究分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。
定义3.1.1设((1),(2),,())ii i i X x x x n =为因素i X 的行为序列，1D 为序列算子，且1111((1),(2),,())i i i i X D x d x d x n d =其中1()()(1)0;1,2(1)i i i i x k x k d x k nx =≠=，则称1D 为初值化算子。
灰色系统理论及其应用
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
将时刻 k 2,3,, n 视为连续变量t 则数列 x(1) 就可视为时间 t 的函数，x(1) x(1) (t) GM(1,1) 的白化型为：
dx(1) ax(1) (t) b dt
5 灰色模型
5.2 GM(1, N)模型
GM (1, N) ：模型是一阶的，包含N个变量的灰色模型
x(1) 的灰导数为： d (k) x(0) (k) x(1) (k) x(1) (k 1), k 2,3,, n
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
x(1) 的紧邻均值序列为： z(1) (z(1) (2), z(1) (3),, z(1) (n))
z(1) (k) 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1), k 2,3,, n
1 n
n
( k
k 1
)2
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
（5）小误差概率合格模型： 小误差概率为：
p P k 0.67445S1
给定 p0 0, p p0 称模型为小误差概率合格模型
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
常用精度等级：
6 灰色预测
6.3 Verhulst GM (2,1) DGM
2 2
可容覆盖区域：(e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理：
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
数据列可用为模型的预测数据 数据列需进行变换处理
平移变换
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
1.2几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。
其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。
也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。
模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。
比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。
概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。
要求大样本，并服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。
1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。
灰色系统理论在科学研究中的应用
灰色系统理论在科学研究中的应用灰色系统理论是一种新兴的多学科交叉的理论，它包含了数学、物理、化学、经济等多个领域的知识，具有高度的综合性和灵活性。
灰色系统理论的主要特点是它能够用极少的信息来进行研究和预测，且能够处理不完备、不确定、不精确的问题。
如此奇妙的特点让灰色系统理论在科学研究中被广泛应用，本文将对其应用进行详细阐述。
1. 灰色系统理论在物理学研究中的应用在物理学研究中，灰色系统理论可以用于分析和预测系统的动态特性。
例如利用灰色系统理论分析海洋水温变化规律，可以得出未来一段时间内海洋水温变化趋势，在中长期的气候预测中具有重要的应用价值。
此外，灰色系统理论也可以用于学术界基础物理和应用物理研究中。
例如在一些射线物理研究中，利用灰色系统理论可以方便地对射线的内部结构进行分析和预测，以便更好地研究射线的应用和制作。
2. 灰色系统理论在经济学研究中的应用在经济学研究中，由于经济发展具有复杂性、不确定性和非线性，利用灰色系统理论进行经济分析和预测展现出广泛的应用前景。
例如利用灰色系统理论可以预测市场的变化情况，发掘交易法则，为投资者提供支持和指导。
同时，还能利用灰色系统理论对传统APR模型进行改进，以便更好地预测和分析供应量、消费量、价格等相关经济指标的变化。
3. 灰色系统理论在化学研究中的应用在化学领域，利用灰色系统理论可以对化学反应和物质性质进行研究。
由于灰色系统理论可以利用少量的信息对物质性质进行刻画，能够方便地预测未知物质的相关性质，并帮助提高化学实验的效率和精度。
例如在药物设计、石油化学和化工等领域，利用灰色系统理论可以对未知物质的反应活性、物理化学性质进行预测和分析，以便更好地进行药物、石化和化工产品的开发与制造。
4. 灰色系统理论在生物学研究中的应用在生物学研究中，利用灰色系统理论可以分析生物大数据，探寻生物系统的本质和特性，提高生物分析的效率和准确性。
例如对于未来的生物药物研究，利用灰色系统理论可以对药物的安全性、稳定性等方面进行预测，以便更好地保障人类健康。
第6章 灰色系统理论(高等教学)
XiD4 (xi (1)d4, xi (2)d4, , xi (n)d4)
其中
xi (k )d4 1 xi (k ); k 1,2,, n 则称 D4 为逆化算子， X i D4 为 X i 在逆化算子 D4 下的像
，简称逆化像。
行业学习
26
定义 3.1.6 设 Xi (xi (1), xi (2), , xi (n)); 为
(k)
x(0) (k) x(0) (k 1)
,
k
2, 3,
, n.
为序列 X (1) 的级比。
行业学习
18
5. 累加生成的灰指数率
定义 设序列X (0) x(0) 1, x(0) 2, , x(0) n 为非负
的准光滑序列，则其一次累加生成序列 X (1)具有准 指数规律。原始序列越光滑，生成的指数规律越明 显。
因素 X i 的行为序列，D5 为序列算子，且
Xi D5 (xi (1)d5, xi (2)d5, , xi (n)d5)
其中
xi (k)d5 1 xi (k); k 1,2,, n
则称 D5 为倒数化算子，X i D5为倒数化像。
行业学习
27
3.2 灰色关联公理与灰色关联度 命题 3.2.1 设系统特征行为序列 X 0为增长序列， X i为相关因
10
9
8 7
X (1)
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
行业学习
13
2. 逆累加生成算子 IAGO （ Inverse Accumulated Generating Operation,
第3讲灰色系统理论的应用
xiongw@
3.灰色预测模型
Data model and Decision
基于灰色建模理论的灰色预测法，按照其预测问题的特征，可 分为五种基本类型，即数列预测、灾变预测、季节灾变预测、 拓扑预测和系统综合预测。这五种类型的预测方法，都是区域 开发研究中重要而且常用的预测方法。 灰色系统理论认为一切随机变量都是在一定范围内、一段时间上 变化的灰元及灰过程。微分方程是背景与各阶导数的某种组合。 对灰元的处理不是去寻找它的统计规律和概率分布，，而是从无 规律的原始数据中找出规律。 （1）生成模块（白色） 即将原始数据生成的序列数据 （2）建立模型 GM（n，h）为 n 阶 h 个变量的微分方程。 （3）用OLS解灰参数 （4）求导还原 （5）模型诊端与应用（灰色模块）
Δ ij (t ) =| xi (t ) − x j (t ) |,
Δ max = max max Δ ij (t ), Δ min = min min Δ ij (t )
i j i j
k为介于[0，1]区间上的灰数。一般取0～0.5。 不难看出，△ij(t)的最小值是△min
xiongw@
x (t ) = ∑ x ( 0 ) (k )
(1) k =1 t
x(1)(1)=x(0)(1) x(1)(2)=x(0)(1)+x(0)(2) x(1)(3)=x(0)(1)+x(0)(2)+x(0)(3) ……… 其随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加。对于这样的新数列 ，其变化趋势可以近似地用如下微分方程描述：
Δ j (i ) =| y (i ) − ~ j (i ) | x i = 1,
ρ ∈ (0，１ )
, T；j = 1,
i
,n
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灰色系统理论与应用学习指南第一章 灰色系统的概念与基本原理一、识记1、灰色系统理论的产生与发展动态；2、灰色系统的基本概念；3、灰色系统的基本原理；4、灰数的概念与分类；5、灰数白化及灰度的概念。
二、理解1、几种不确定性方法的比较；2、区间灰数的运算；3、灰数白化的规则与算法。
4、灰数灰度的公理化定义。
三、思考与练习1、下面那个不是常用的不确定性系统的研究方法 （ ）A 概率统计B 模糊数学C 灰色系统D 运筹学2、试简述概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法的异同点。
3、试分析灰色系统理论在横断学科群中的地位。
4、请概述灰色系统的概念，并举出两个实际生活中灰色系统的例子。
5、请简要回答灰色系统的六个基本原理。
6、设1⊗∈[3, 4]，2⊗∈ [1, 2]，试求下列各式的值：12⊗-⊗，12⊗+⊗，11-⊗，12⊗⋅⊗，12⊗⊗7、请简述灰数白化的具体含义？并解释等权白化、等权均值白化、典型白化权函数的定义及其特征。
8、什么是灰度？你对灰度的测度有什么好的建议或想法？第二章序列算子与灰色序列生成一、识记1、冲击扰动序列、算子和缓冲算子概念；2、缓冲算子公理；3、均值生成算子、序列的光滑性概念；4、序列的光滑比和准光滑序列；5、累加生成算子和累减生成算子的概念。
二、理解1、缓冲算子的性质；2、实用缓冲算子的构造；3、强化缓冲算子的设计；4、弱化缓冲算子的设计；5、利用均值生成构造新序列；6、累加与累减生成算子的计算；7、级比生成算子；8、准指数规律。
三、应用1、利用缓冲算子来模拟系统行为数据序列。
2、分别利用不同的算子来模拟。
四、思考与练习1、什么是弱化算子？试举例说明。
2、什么是准光滑序列？3、什么是一次累加生成算子？4、下面哪个不是缓冲算子公理（）A 不动点公理B 信息充分利用公理C 唯一性公理D 解析化，规范化公理5、若序列)XD为（）,(X，则二阶缓冲序列21015535388,23480,12588A （10155，12588，23480，35388）B（15323，17685，29456，34567）C （22341，34215，31625，43251）D（27260，29547，32411，35388）6、什么是光滑连续函数?7、什么是序列的光滑比及其意义？8、简要说明累加生成的灰指数律.9、计算：河南省长葛县乡镇企业产值数据（1983-1986年）为X = (10155,12588,23480,35388)其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%，参与该县发展规划编制工作的各阶层人士（包括领导层、专家层、群众层）普遍认为该县乡镇企业产值今后不可能一直保持这么高的发展速度。
用现有数据直接建模预测，预测结果人们根本无法接受。
经过认真分析和讨论，大家认识到增长速度高主要是由于基数低，而基数低的原因则是过去对有利于乡镇企业发展的政策没有用足、用活、用好。
要弱化序列增长趋势，就需要将对乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中，求其二阶弱化算子。
第三章 灰色关联分析一、识记1、灰色关联与回归分析、方差分析、主成分分析等方法的差别；2、灰色关联因素和关联算子集的概念；3、均值像、逆化像的概念；4、范数的概念和类型；5、灰色关联度的定义；6、灰色关联序的定义；7、灰色关联矩阵。
二、理解1、灰色关联四公理的含义；2、灰色相对关联度与绝对关联度的联系和差别；3、灰色绝对和相对关联度的性质；4、灰色综合关联度；5、灰色斜率关联度、灰色点关联度；6、优势分析。
三、应用1、灰色相对和绝对关联度在实际中的应用；2、运用优势分析来分析影响因素；3、灰色关联分析在经济指标时差分析中的应用；四、思考与练习1、名词解释：（1）灰色绝对关联度（2）距离空间2、下面那个不是灰色关联四公理：（ ）A 规范性B 整体性C 偶对称性D 非接近性3、灰色相对关联度有什么性质?4、灰色相对关联度与.灰色绝对关联度的联系与区别？5、计算：某市工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：工业： )9.41,3.42,4.43,8.45())4(),3(),2(),1((11111==x x x x X农业： )9.44,9.43,6.41,1.39())4(),3(),2(),1((22222==x x x x X运输业：)5.3,5.3,3.3,4.3())4(),3(),2(),1((33333==x x x x X商业： )7.4,4.5,8.6,7.6())4(),3(),2(),1((44444==x x x x X分别以21,X X 为系统特征序列，计算灰色关联度。
6、计算：设序列)16,14,14,15,9,10())7(),5(),4(),3(),2(),1((0000000==x x x x x x X )98,70,46())7(),3(),1((1111==x x x X试求其绝对关联度01ε。
7、计算：设序列)16,14,14,15,9,10())7(),5(),4(),3(),2(),1((0000000==x x x x x x X )98,70,46())7(),3(),1((1111==x x x X试求其相对关联度01ε。
8、计算：设序列)16,14,14,15,9,10())7(),5(),4(),3(),2(),1((0000000==x x x x x x X )98,70,46())7(),3(),1((1111==x x x X试求其综合关联度01ε。
9、计算：设)8.235,4.216,197,174,170(1=Y )85.89,7.80,8.76,74.70,55.57(2=Y )4.103,83.99,38.85,70,56.68(3=Y为系统特征行为序列：)367,346,295,310,58.308(1=X )7.222,205,2.189,9.189,4.195(2=X)57.14,1.15,2.12,21,6.24(3=X )30,2.29,3.23,6.25,20(4=X)655.27,5.23,3.22,19,98.18(5=X为相关因素行为序列，试作优势分析。
10、计算：河南省长葛县乡镇企业经济的灰色关联分析80年代中期，长葛县乡镇企业发展比较快，1983年到1986年，平均每年递增51.6%，乡镇企业经济在全县经济发展中占有重要地位。
1986年全县乡镇企业产值达35388万元，占工农业总产值的60％。
如何有效地加速乡镇企业发展，促进经济起飞，是当时全县上下普遍关心的问题。
据分析，乡镇企业产值主要与固定资产、流动资产、劳动力、企业留利四个因素有关。
长葛县乡镇企业产值及相关因素行为数据如表1所示。
表1 单位：万元年份 1983 1984 1985 1986 变量X 0（产值） 10155 12588 23408 35388 X 1（固定资产） 3799 3605 5460 6982 X 2（流动资产） 1752 2160 2213 4753 X 3（劳动力：人） 24186 45590 57685 85540 X 4（企业留利） 1164 1788 3134 4478第四章 灰色聚类评估一、识记1、灰色关联聚类；2、灰色聚类的定义；3、白化权函数；4、灰色定权聚类；5、灰色评估系数向量的熵。
二、理解1、灰色关联聚类；2、灰色变权聚类的运用；3、灰色定权聚类的运用；4、基于三角白化权函数的灰色评估的步骤。
三、应用1、运用灰色关联聚类分析变量相关性；2、运用灰色变权和定权聚类进行分类；3、综合应用各种方法来进行聚类分析。
四、思考与练习1、何为灰色聚类评估？什么情况下要用灰色聚类评估？2、试简述下限测度白化权函数、适中测度白化权函数、上限测度白化权函数的特点，并作出其函数的特征图像。
3、下面的四个图像中，那个为白化权函数))4(),3(,,(k j k j k j x x f --的图像 （ ）A B 4、简述灰色变权聚类和灰色定权聚类的不同点。
5、简述灰色定权聚类的计算步骤。
6、简述基于三角白化权函数的灰色评估方法的具体步骤。
7、何为灰色评估系数向量i σ的熵？8、计算：设有三个经济区，三个聚类指标分别为种植业收入、畜牧业收入、工副业收入。
第i 个经济区关于第j 个指标的样本值ij x )3,2,1,(=j i 如矩阵A 所示：)(ij x A ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6090103030401002080333231232221131211x x x x x x x x x 试按高收入类、中等收入类、低收入类进行综合聚类。
第五章 GM 系列模型一、识记1、五步建模思想；2、GM （1，1）模型形式；3、白化方程的含义；4、GM （1，1）模型；5、GM （2，1）模型；6、Verhulst 模型的含义。
二、理解1、GM （1，1）模型的计算；2、残差GM （1，1）模型的应用；3、GM （1，1）模型群，比较新信息模型和新陈代谢模型；4、GM （1，1）模型的适用范围；5、GM （1，N ）模型和GM （0，N ）模型；6、GM 模型的参数优化；三、应用1、应用GM （1，1）模型来模拟数据拟合；2、用GM （1，1）模型群来建模；3、应用不同GM 模型来模拟数据。
四、思考与练习1、请简述灰色系统的五步建模法的原理及步骤。
2、简述灰色作用量的概念及其存在的意义。
3、什么是近邻均值生成序列？4、简述三种GM(1,1)模型的异同。
5、什么是新陈代谢GM(1,1)？6、计算：对于原始数据序列)679.3,39.3,337.3,278.3,874.2()0(=X补充新信息85.3)6()0(=x 。
试建立新信息模型和新陈代谢模型，并进行比较。
7、比较新信息模型、新陈代谢模型和老信息模型预测效果的优劣。
8、简述GM(1,1)模型的适应范围。
9、计算： 设原始序列为))5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(x x x x x X = =（2.874，3.278，3.337，3.39，3.679） 试建立GM(2,1)模型。
10、计算：试对序列)8.3,77.3,679.3,39.3,278.3,874.2()0(=X 建立DGM(2,1)模型。
11、计算：我国太阳能热水器1995年至2000年的销售量（万台）如下：试用GM(1,1)模型b k az k x =+)()()1()0(进行模拟。
第六章灰色组合模型一、识记1、经济计量学模型中出现问题的主要原因；2、建立灰色经济计量学模型的步骤；3、C-D生产函数模型；4、灰色生产函数模型的形式；5、灰色-周期外延组合模型建模的步骤；6、灰色马尔可夫链。