偏导数学习课程
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《高数课件23偏导数》课件
可以使用极限定义或利用偏导数的性质来计算混合偏导数。
3. 隐函数偏导数
1 定义
隐函数是由方程表达的 函数，其中的某些变量 无法用其他变量来显式 表示。
2 隐函数偏导数的计
算
可以使用全微分或利用 偏导数链式法则来计算 隐函数的偏导数。
3 隐函数定理的应用
通过隐函数定理，可以 求得隐函数的导数，进 一步进行相关计算。
2
几何意义
偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的斜率，可用于描述曲面上某点的切线方向。
3
计算
可以利用基本的导数规则，如链式法则等，计算偏导数。
2. 高阶偏导数
定义ห้องสมุดไป่ตู้
高阶偏导数是对多元函数的多个变量进行多次求导得到的导数。
混合偏导数的概念
混合偏导数指对一个多元函数的某两个变量进行连续求导得到的偏导数。
混合偏导数的计算公式
2 泰勒公式的应用
泰勒公式可用于求函数的特定阶导数、函数在某一点的近似值等。
3 泰勒展开的计算方法
可以使用泰勒公式的展开和导数来计算函数在某一点的近似值。
6. 应用实例
1
实际问题的建模
通过建立数学模型，将实际问题转化
应用偏导数解决实际问题的例
2
为数学问题，进行相关计算。
子
利用偏导数可以求解实际问题中的最
4. 最值问题
极值的定义
极值是指函数在某个特定区间 上取得最大值或最小值的点。
求解极值的方法
最值问题的应用
可以使用导数测试、二阶条件、 拉格朗日乘数法等方法来求解 极值问题。
最值问题可应用于现实生活中 的优化场景，如最大化收益、 最小化成本等。
5. 泰勒公式
1 定义
3. 隐函数偏导数
1 定义
隐函数是由方程表达的 函数，其中的某些变量 无法用其他变量来显式 表示。
2 隐函数偏导数的计
算
可以使用全微分或利用 偏导数链式法则来计算 隐函数的偏导数。
3 隐函数定理的应用
通过隐函数定理，可以 求得隐函数的导数，进 一步进行相关计算。
2
几何意义
偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的斜率，可用于描述曲面上某点的切线方向。
3
计算
可以利用基本的导数规则，如链式法则等，计算偏导数。
2. 高阶偏导数
定义ห้องสมุดไป่ตู้
高阶偏导数是对多元函数的多个变量进行多次求导得到的导数。
混合偏导数的概念
混合偏导数指对一个多元函数的某两个变量进行连续求导得到的偏导数。
混合偏导数的计算公式
2 泰勒公式的应用
泰勒公式可用于求函数的特定阶导数、函数在某一点的近似值等。
3 泰勒展开的计算方法
可以使用泰勒公式的展开和导数来计算函数在某一点的近似值。
6. 应用实例
1
实际问题的建模
通过建立数学模型，将实际问题转化
应用偏导数解决实际问题的例
2
为数学问题，进行相关计算。
子
利用偏导数可以求解实际问题中的最
4. 最值问题
极值的定义
极值是指函数在某个特定区间 上取得最大值或最小值的点。
求解极值的方法
最值问题的应用
可以使用导数测试、二阶条件、 拉格朗日乘数法等方法来求解 极值问题。
最值问题可应用于现实生活中 的优化场景，如最大化收益、 最小化成本等。
5. 泰勒公式
1 定义
《高等数学偏导数》课件
6. 总结
偏导数在数学中扮演着重要的角色，它不仅可以帮助我们解决实际问题， 还可以拓展我们对多元函数的理解。 随着技术的进步和研究的深入，偏导数的应用将愈发广泛。
7. 参考文献
• 常用高等数学 课件
让我们一起探索高等数学中的偏导数，了解它的定义、性质、应用和几何意 义。这是一门重要而有趣的数学概念，深入了解它将帮助我们更好地理解多 元函数和曲面切平面的关系。
1. 引言
什么是偏导数？偏导数是用来描述多元函数中某个自变量变化对应的函数 变化率的工具。 了解偏导数的应用和重要性将帮助我们解决实际问题，优化函数以及在工 程、经济学等领域中进行分析。
2. 偏导数的定义和求法
• 多元函数的概念 • 偏导数的定义 • 常见偏导数的求法
3. 偏导数的性质
• 可微性和连续性 • 混合偏导数的对称性 • 微分的链式法则
4. 偏导数的应用举例
1. 流量与速度 2. 梯度和方向导数 3. 泰勒公式及其应用
5. 偏导数的几何意义
• 曲面切平面 • 二阶微分与极值判定 • 条件极值
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
THANKS
感谢观看
边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
隐函数的偏导数课件
约束条件下的最优化
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可 以将微分方程转化为代数方程组，从 而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳 定性，例如判断系统是否会趋于稳定 或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计 算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步 骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求 解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏 导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研 究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来 可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某 个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个 二元函数。
隐函数与偏导数的应用
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可 以将微分方程转化为代数方程组，从 而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳 定性，例如判断系统是否会趋于稳定 或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计 算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步 骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求 解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏 导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研 究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来 可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某 个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个 二元函数。
隐函数与偏导数的应用
《高数偏导数》课件
《高数偏导数》PPT课件
# 高数偏导数
基础知识
多元函数
学习多元函数的概念和特 性，为理解偏导数打下基 础。
偏导数的定义
掌握的意义。
偏导数的几何意义
通过几何图形和实例解释 偏导数的几何意义，加深 理解。
求偏导数的方法
1 隐函数求导
介绍如何求多元函数中的隐函数偏导数。
3 优秀的学习资源推荐
推荐一些优质的学习资源，帮助学生深入学习和提高。
偏导数在计算机科学中的应用
最小二乘法
解释最小二乘法如何利用偏 导数来进行参数估计和数据 拟合。
支持向量机
介绍支持向量机和偏导数在 机器学习中的关联。
神经网络
阐述神经网络及其反向传播 算法中偏导数的作用。
总结
1 复习提醒
总结复习重点，为巩固知识提供指导。
2 特别注意的要点
强调解题过程中需要特别注意的关键要点。
2 利用公式求导
学习利用公式计算多元函数的偏导数，掌握基本技巧。
3 高阶偏导数
引入高阶偏导数的概念，并介绍求解高阶偏导数的方法。
偏导函数的性质
1
连续性
讨论偏导函数的连续性条件，深入研究其数学性质。
2
求导法则
总结偏导函数的求导法则和常见推广公式，为后续应用打下基础。
3
需要注意的问题
强调在处理偏导数时需要注意的特殊情况和常见错误。
# 高数偏导数
基础知识
多元函数
学习多元函数的概念和特 性，为理解偏导数打下基 础。
偏导数的定义
掌握的意义。
偏导数的几何意义
通过几何图形和实例解释 偏导数的几何意义，加深 理解。
求偏导数的方法
1 隐函数求导
介绍如何求多元函数中的隐函数偏导数。
3 优秀的学习资源推荐
推荐一些优质的学习资源，帮助学生深入学习和提高。
偏导数在计算机科学中的应用
最小二乘法
解释最小二乘法如何利用偏 导数来进行参数估计和数据 拟合。
支持向量机
介绍支持向量机和偏导数在 机器学习中的关联。
神经网络
阐述神经网络及其反向传播 算法中偏导数的作用。
总结
1 复习提醒
总结复习重点，为巩固知识提供指导。
2 特别注意的要点
强调解题过程中需要特别注意的关键要点。
2 利用公式求导
学习利用公式计算多元函数的偏导数，掌握基本技巧。
3 高阶偏导数
引入高阶偏导数的概念，并介绍求解高阶偏导数的方法。
偏导函数的性质
1
连续性
讨论偏导函数的连续性条件，深入研究其数学性质。
2
求导法则
总结偏导函数的求导法则和常见推广公式，为后续应用打下基础。
3
需要注意的问题
强调在处理偏导数时需要注意的特殊情况和常见错误。
《偏导数的应用》课件
《偏导数的应用》 ppt课件
目录
• 偏导数的定义与性质 • 偏导数在几何中的应用 • 偏导数在优化问题中的应用 • 偏导数在经济学中的应用 • 偏导数在物理学中的应用 • 偏导数的实际应用案例分析
01
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
电场与磁场
总结词
在电磁学中，偏导数可以用于描述电场和磁场的变化。
详细描述
电场和磁场的变化可以用偏导数来描述，通过求解偏导数方程，可以深入理解电磁场的 特性和规律。这对于电磁波的传播、电磁力的计算以及电磁感应的研究等都具有重要意
义。
06
偏导数的实际应用案例分 析
最优价格策略案例
总结词
通过分析需求函数和成本函数，利用偏 导数确定最优价格策略。
在经济学中，边际分析使用偏导数来计算边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出最优决策。边际成本是生产 成本对产量变化的敏感度，边际收益是销售收入对销量变化 的敏感度，而边际利润则是两者之差。
弹性分析
总结词
弹性分析是偏导数的另一个重要应用，它通过计算因变量对自变量的反应程度，来描述函数在不同自变量值下的 变化规律。
偏导数的求法
通过求极限的方式计算偏导数，具体 方法包括求导法则、链式法则和隐函 数求导法则等。
偏导数的几何意义
01
切线斜率
对于二维平面上的曲线，偏导数 在几何上表示曲线在某点处切线 的斜率。
02
03
梯度
方向导数
对于向量场，偏导数可以组成梯 度，表示函数值增长最快的方向 。
对于高维空间中的曲面或超曲面 ，偏导数可以计算方向导数，表 示函数在给定方向上的变化率。
目录
• 偏导数的定义与性质 • 偏导数在几何中的应用 • 偏导数在优化问题中的应用 • 偏导数在经济学中的应用 • 偏导数在物理学中的应用 • 偏导数的实际应用案例分析
01
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
电场与磁场
总结词
在电磁学中，偏导数可以用于描述电场和磁场的变化。
详细描述
电场和磁场的变化可以用偏导数来描述，通过求解偏导数方程，可以深入理解电磁场的 特性和规律。这对于电磁波的传播、电磁力的计算以及电磁感应的研究等都具有重要意
义。
06
偏导数的实际应用案例分 析
最优价格策略案例
总结词
通过分析需求函数和成本函数，利用偏 导数确定最优价格策略。
在经济学中，边际分析使用偏导数来计算边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出最优决策。边际成本是生产 成本对产量变化的敏感度，边际收益是销售收入对销量变化 的敏感度，而边际利润则是两者之差。
弹性分析
总结词
弹性分析是偏导数的另一个重要应用，它通过计算因变量对自变量的反应程度，来描述函数在不同自变量值下的 变化规律。
偏导数的求法
通过求极限的方式计算偏导数，具体 方法包括求导法则、链式法则和隐函 数求导法则等。
偏导数的几何意义
01
切线斜率
对于二维平面上的曲线，偏导数 在几何上表示曲线在某点处切线 的斜率。
02
03
梯度
方向导数
对于向量场，偏导数可以组成梯 度，表示函数值增长最快的方向 。
对于高维空间中的曲面或超曲面 ，偏导数可以计算方向导数，表 示函数在给定方向上的变化率。
《二节偏导数》课件
几何意义
偏导数表示函数曲面在某一点的切线 斜率，即函数值随该变量变化的速率 。
偏导数在几何上的应用
切线方程
通过偏导数可以求出函数曲面在某一点的切线方程。
函数值变化趋势
通过偏导数可以判断函数值随某变量的变化趋势，如增减性、极值点等。
偏导数的计算方法
定义法
根据偏导数的定义，对函数进行求导，得 到偏导数的值。
《二节偏导数》ppt课件
CONTENTS
• 偏导数的定义 • 二阶偏导数的概念 • 二阶偏导数的连续性 • 二阶偏导数的可微性 • 二阶偏导数的极值问题
01
偏导数的定义
偏导数的定义及几何意义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
解释
性质1和性质2说明，二阶偏导数 的连续性对一阶偏导数和二阶偏 导数本身的连续性和极限行为都 有一定的约束。
二阶偏导数连续性的应用
应用1
在微分学中，二阶偏导数的连续性是证明一些微分中值定理（如拉 格朗日中值定理和柯西中值定理）的重要前提条件。
应用2
在实变函数中，二阶偏导数的连续性是研究函数的光滑性、可微性 和可积性的重要依据。
解释
在实际应用中，二阶偏导数的连续性对于分析函数的局部行为和性 质具有重要意义，特别是在处理一些复杂的数学模型时。
04
二阶偏导数的可微性
二阶偏导数的可微性定义
要点一
定义
如果函数在某点的二阶偏导数都存在，并且在该点的邻域 内连续，则称该函数在该点具有二阶偏导数的可微性。
要点二
数学表达式
设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的二阶偏导数分别为 $f_{xx}(x_0, y_0)$、$f_{xy}(x_0, y_0)$和$f_{yy}(x_0, y_0)$，若这三个二阶偏导数都存在，并且$f_{xx}(x, y)$、 $f_{xy}(x, y)$和$f_{yy}(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的邻域内连 续，则称$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$具有二阶偏导数的可微 性。
偏导数表示函数曲面在某一点的切线 斜率，即函数值随该变量变化的速率 。
偏导数在几何上的应用
切线方程
通过偏导数可以求出函数曲面在某一点的切线方程。
函数值变化趋势
通过偏导数可以判断函数值随某变量的变化趋势，如增减性、极值点等。
偏导数的计算方法
定义法
根据偏导数的定义，对函数进行求导，得 到偏导数的值。
《二节偏导数》ppt课件
CONTENTS
• 偏导数的定义 • 二阶偏导数的概念 • 二阶偏导数的连续性 • 二阶偏导数的可微性 • 二阶偏导数的极值问题
01
偏导数的定义
偏导数的定义及几何意义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
解释
性质1和性质2说明，二阶偏导数 的连续性对一阶偏导数和二阶偏 导数本身的连续性和极限行为都 有一定的约束。
二阶偏导数连续性的应用
应用1
在微分学中，二阶偏导数的连续性是证明一些微分中值定理（如拉 格朗日中值定理和柯西中值定理）的重要前提条件。
应用2
在实变函数中，二阶偏导数的连续性是研究函数的光滑性、可微性 和可积性的重要依据。
解释
在实际应用中，二阶偏导数的连续性对于分析函数的局部行为和性 质具有重要意义，特别是在处理一些复杂的数学模型时。
04
二阶偏导数的可微性
二阶偏导数的可微性定义
要点一
定义
如果函数在某点的二阶偏导数都存在，并且在该点的邻域 内连续，则称该函数在该点具有二阶偏导数的可微性。
要点二
数学表达式
设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的二阶偏导数分别为 $f_{xx}(x_0, y_0)$、$f_{xy}(x_0, y_0)$和$f_{yy}(x_0, y_0)$，若这三个二阶偏导数都存在，并且$f_{xx}(x, y)$、 $f_{xy}(x, y)$和$f_{yy}(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的邻域内连 续，则称$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$具有二阶偏导数的可微 性。
《函数偏导数的应用》课件
详细描述
经济增长模型通常采用偏导数来分析各种经济变量对经济增 长的影响。例如，政府可以通过调整投资、消费、技术进步 等变量的偏导数大小，来预测经济增长的变化，从而制定相 应的经济政策。
牛顿冷却定律
总结词
牛顿冷却定律是描述物体温度随时间变 化的规律，通过偏导数可以分析温度变 化的速率。
VS
详细描述
根据牛顿冷却定律，物体的温度随时间的 变化率与物体和周围环境的温差成正比。 通过引入偏导数，可以进一步分析温度变 化的速度和方向，从而更好地理解物体冷 却或加热的过程。
偏导数的几何意义
在二维平面上，偏导数表示函数图像 在某一点的切线的斜率。在三维空间 中，偏导数表示函数图像在某一点的 切平面与坐标轴的交点。
偏导数的性质
线性性质
对于两个函数的和或差，其偏导数等于各自 偏导数的和或差。
常数倍性质
对于常数倍的函数，其偏导数等于该常数乘以函数 的偏导数。
高阶偏导数
对于一个多变量的函数，其偏导数可以多次 求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数的计算 方法与一阶偏导数类似。
信号特征提取
利用偏导数可以提取信号的特征，通过求导数找到信号的突变点 或峰值点，从而提取出信号的特征。
信号分类
利用偏导数可以对信号进行分类，通过求导数找到不同类信号的 特征，从而实现信号的分类。
06
偏导数的实际案例分析
经济增长模型
总结词
经济增长模型是偏导数在实际中应用的经典案例，通过偏导 数分析自变量对因变量的影响程度，为政策制定提供依据。
系统稳定性分析
利用偏导数可以分析控制系统的 稳定性，通过求导数找到系统失 稳的临界点，从而采取相应的措 施提高系统的稳定性。
控制系统优化
经济增长模型通常采用偏导数来分析各种经济变量对经济增 长的影响。例如，政府可以通过调整投资、消费、技术进步 等变量的偏导数大小，来预测经济增长的变化，从而制定相 应的经济政策。
牛顿冷却定律
总结词
牛顿冷却定律是描述物体温度随时间变 化的规律，通过偏导数可以分析温度变 化的速率。
VS
详细描述
根据牛顿冷却定律，物体的温度随时间的 变化率与物体和周围环境的温差成正比。 通过引入偏导数，可以进一步分析温度变 化的速度和方向，从而更好地理解物体冷 却或加热的过程。
偏导数的几何意义
在二维平面上，偏导数表示函数图像 在某一点的切线的斜率。在三维空间 中，偏导数表示函数图像在某一点的 切平面与坐标轴的交点。
偏导数的性质
线性性质
对于两个函数的和或差，其偏导数等于各自 偏导数的和或差。
常数倍性质
对于常数倍的函数，其偏导数等于该常数乘以函数 的偏导数。
高阶偏导数
对于一个多变量的函数，其偏导数可以多次 求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数的计算 方法与一阶偏导数类似。
信号特征提取
利用偏导数可以提取信号的特征，通过求导数找到信号的突变点 或峰值点，从而提取出信号的特征。
信号分类
利用偏导数可以对信号进行分类，通过求导数找到不同类信号的 特征，从而实现信号的分类。
06
偏导数的实际案例分析
经济增长模型
总结词
经济增长模型是偏导数在实际中应用的经典案例，通过偏导 数分析自变量对因变量的影响程度，为政策制定提供依据。
系统稳定性分析
利用偏导数可以分析控制系统的 稳定性，通过求导数找到系统失 稳的临界点，从而采取相应的措 施提高系统的稳定性。
控制系统优化
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
(请自己写出)
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于
返回
结束
例5. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数. z z x 2 y 解: 2 e x2y e y x
z x2y e 2 x 2 z x2y 2e y x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
2 2
2
2z 2 e x2y x y
2 z x2y 4e 2 y
z z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
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定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
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一、 偏导数定义及其计算法
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定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
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证明 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号;
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 直接求导
利用定义
• 求高阶偏导数的方法 逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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函数在某点各偏导数都存在, 注意： 但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然 依定义知在 (0, 0) 处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
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y 求证 ） ， 例2. 设 z x ( x 0, 且 x 1 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z y x ln x y
2z
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f1( x0 , y0 ) .
f ( x0 x) f ( x0 ) d y lim f ( x0 ) x 0 x d x x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z)当三阶混合偏导数 , 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
(请自己写出)
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于
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例5. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数. z z x 2 y 解: 2 e x2y e y x
z x2y e 2 x 2 z x2y 2e y x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
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(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
2 2
2
2z 2 e x2y x y
2 z x2y 4e 2 y
z z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
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定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法
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定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
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内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号;
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 直接求导
利用定义
• 求高阶偏导数的方法 逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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函数在某点各偏导数都存在, 注意： 但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然 依定义知在 (0, 0) 处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
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y 求证 ） ， 例2. 设 z x ( x 0, 且 x 1 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z y x ln x y
2z
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f1( x0 , y0 ) .
f ( x0 x) f ( x0 ) d y lim f ( x0 ) x 0 x d x x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z)当三阶混合偏导数 , 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )