小波分析在信号奇异性检测中的应用
Matlab小波变换对奇异点的检测
Matlab 小波变换对于奇异点的检测 1．信号的突变性突变信号又称奇异信号，突变信号的突变点经常携带比较重要的信息,是信号的重要特征之一。
在数字信号处理和数字图像处理中具有非常重要的作用和地位，信号的突变性检测是先对原信号在不同尺度上进行“磨光”，再对磨光后信号的一阶或二阶倒数检测其极值点或过零点。
对信号进行磨光处理，主要是为了消除噪声而不是边缘。
传统的信号突变检测方法是基于傅立叶变换的，由某一函数的傅立叶变换趋近于零的快慢来推断该函数是否具有突变性，但它只能反映信号的整体突变性，而对信号的局部突变则无法描述。
这样我们就引入小波变换算法。
2．信号的突变点的检测原理设h(t)是函数f(t)和g(t)的卷积，即：)()()(t g t f t h ⊗=则根据傅立叶变换的性质有：)()()]()([)]('[ωωωω∧∧=⊗=g f j t g t f F j t h F=)()]([ωωω∧∧g f j =)]()[(ωωω∧∧g j f=)]('[)]([)]([)]('[t g F t f F t g F t f F ⊗=⊗所以得到：)(')()()(')('t g t f t g t f t h ⊗=⊗=若将函数f(t)看作是信号，g(t)看作是滤波器，那么信号的导数与滤波器的卷积结果可以看作是滤波器的导数与信号的卷积。
例如，如果选g(t)为高斯函数，则利用其导数可以构造Morlet 小波和Maar 小波，因此，小波变换的突变点和极值点与信号f(t)的突变点和极值点具有对应关系，利用小波可以检测突变信号。
具体过程如下：设)(t θ是一个起平滑作用的低通平稳函数，且满足条件⎰∞∞-=,1)(dt t θ0)(lim =∞→t t θ 通常取)(t θ为高斯函数，即2/221)(t e t -=πθ假设)(t θ是二次可导的，并且定义2/)1(221)()(t te dt t d t --==πθψ 2/222)2(2)1(21)()(t e t dt t d t --==πθψ 则函数)()1(t ψ、)()2(t ψ满足小波的容许条件：⎰∞∞-=0)()1(dt t ψ，⎰∞∞-=0)()2(dt t ψ 因此可用做小波母函数。
储罐底板的漏磁检测信号处理中小波奇异性检测理论的应用
和频域特性 ， 分析 了基于小波变换的漏磁信号奇异点的定位方法和奇异性程度 的计算方法 ， 对漏磁 信号进 行处理 ， 使信号便于 存储和分 析 ， 仿真结果表明该方法是有效的 。
关键词 ： 漏磁检测 ； 波变 换 ； 异性检测 小 奇
中图分类号 ： ２ ４ ２ ＴＰ ７ ．
文献标识码 ： Ａ
仪 器 仪 表 与检 测 技 术
ｎ ｔｕｍｅｎ ａ ｉ ｎ ａｎ ｅ ｓ ｅ ｔ ｓｒ ｔ ｔｏ ｄ Ｍ ａ ｕｒ ｎ ｍ
自 化 术 应 》０ 年 ９ 第 期 动 技 与 用 ２１ 第２卷 ６ ０
储 罐 底 板 的 漏 磁 检 测 信 号 处 理 中
小 波 奇 异 性检 测 理 论 的 应 用
ｓｇ ａ ｏｓ ｅ ｓ ｓｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｆ ｌｒ ｅ ｄ ｔ ｎ ｏ ｓ ． ｃ ｕ ｅ ｔ ｅ ｓｇ ａ ｅ ｉ ｉ ｎ ｙ ｕ ｕ ｌ ｘｐ ｅ ｓ ｓ ｓｇ ａ ｔ ｔｏ ， ｉｎ ｌ ｐ ｓ ｓ ｅ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ｔ ｏ ｇ ａ ａ ａ ｄ ｎ ｉ ｅ Ｂｅ ａ ｓ ｈ ｉ ｎ ｌ ｆｃ ｅ ｃ ｓ ａ ｌ ｅ ｒ ｓ ｅ ｉ ｎ ｌｍｕ ａ ｉ ｎ ｃ ａ ｄ ｙ
１ 引 言
漏磁 检 测法采 集到 的信号 ， 由于 漏磁 信号 为非 平稳 信号 ， 到现场环 境和被 测钢 板 的铁 磁性 表面条 件 的影 受 响 ， 测信 号往往 带有 大量 的 噪声 ， 接用 于缺 陷识 别 检 直 会 影响结 果 的正 确性 。若 函数在 某 处有 间断 点或 某 阶
张 重 阳 ．张 丽 娜
（． １ 中石化股份天津分 公司机械研究所 ， 天津 ３ ０ ７ ； ０ ２ ｌ
２． 中国石化 中原油 田分公 司天然气产销厂 天然气大流量 站 ， 阳 ４ ７ ０ ） 濮 ５ ０ １
第2章2.7应用小波变换进行信号奇异性检测2015秋修
设实函数 θ ( x) 满足∫−∞ θ ( x)dx = 1且 θ ( x) = Ο(1 (1 + x 2 )) ， 如果我们选择小波函数为它的一阶导数，即
dθ ( x ) 1 x ϕ ( x) = θ ( x ) = θ ( ) ，这时，小波变换： ，同时记 s dx s s
∞
dθ s d WT f ( s, x) = f ( x) ∗ ϕ s ( x) = f ( x) ∗ ( s )( x) = s [ f ( x) ∗θ s ( x)] dx dx
本例中，信号跃变发 生的时刻为500，在 所有层次的小波系数 中都体现了这个变化。 但是相对而言，高分 辨率的系数对阶跃时 刻的定位有着更高的 精度。从图中可以看 出，在第一层的系数 中，阶跃的范围非常 窄，可以很方便地定 位出阶跃发生的时刻。
即小波变换 WT f ( s, x) 可表示为信号f(x)在尺度s被 θ s ( x) 平滑后的一阶导数。
例： x0，x2是信号f(x)的突变点；x1是f(x)慢变区间的转折点。 x0，x2是 f ∗θ s ( x) 的快变化点；x1对应 f ∗θ s ( x) 化点。 这两种拐点可以通过观察 WT f ( s, x) 的极值点是极大 点还是极小点分辨出来。 x0，x2对应 WT f ( s, x) 的极大 WT f ( s, x) 的极 点；x1对应 小点。
(1) ψ (t ) 的反对称小波； 检测边沿宜采用如 ( 2) ψ (t ) 的对称小波。 检测尖峰脉冲宜采用如
要使奇异检测有效，必须满足适当条件：
ψ (1) (t ) ， ψ ( 2) (t ) 应是某一平滑函数的一、二阶导数；
尺度a必须适当，以便使y(t)的突变点基本上能反映 待分析信号x(t)的突变点；且只有在适当尺度下各突变 点引起的小波变换才能避免交叠干扰。
基于小波变换的信号奇异性指数计算方法及其应用
换模极大值沿尺度具有不同的传播行为 , 使得小波
变换具有去噪能力 。
2 信号奇异性指数的计算方法
由奇异信号的小波变换特性可知 , 在小波变换
域 ,信号的光滑程度能够由不同尺度上小波系数绝
对值的衰减来估计 , 其定量指标即是信号的奇异性
指数 (Lipschitz 指数 α) ,它包括全局奇异性指数和局
述信号局部奇异性大小 。可以证明 ,对于调和分布 , 其小波变换具有相似的性质[7] ( - 1 ≤α < 0) 。另
外 ,白噪声是一个几乎处处奇异的随机分布的噪声 , 它具有负的 Lipschitz 指数 α= - 1/ 2 - ε, Πε> 0 , 白
噪声引起的小波变换模极大值与信号引起的小波变
2 j - ( N - M) l + 2 j - ( N - M)
3 电力设备故障检测
实测电力系统及设备故障时 , 其电流或电压一 般是包含工频基波分量 、各次谐波分量 、突变暂态分 量和一些噪声的混合信号 。因此 , 为了研究信号奇
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定理 2[7 ] 对ε> 0 , 定义 S ( x0 , j ,ε) = { k ∈Z ;
sup p (ψ j , k ) ∩( x0 - ε, x0 +ε) ≠ψ} , 若对某一ε> 0
及 α> 0 ,存在
max| k ∈S
W2jf ( k) |
≤c2 - j (1/ 2 +α)
(2)
则 f ( x) ∈Cαx0 ( R) 。
小波变换在信号处理中的应用
小波变换在信号处理中的应用一.小波变换应用于噪声抑制：利用Mallet算法对输入信号f(t)进行小波分解，再根据对信号和噪声的先验知识分离信号和噪声。
提过滤波形成新的小波分量，最后重建信号。
f(t)S(t)N(t)W(f)W(S)W(N)小波分解滤波重建信号信号与噪声被小波变换分离：Donoho去噪方法：不同阀值选取算法的去噪结果：研究重点：信号与噪声在小波变换域上的特征。
小波基的选择。
阈值的选取方法。
二.小波变换应用于信号检测：瞬时信号检测问题。
在噪声中检测短时，非平稳，波形和到达时间未知的信号。
H0:H1:某(t)n(t)某(t)S(t)n(t)t[0,T]其中：S(t)只在[t0,t0T0]非零。
n(t)为噪声。
T0T我们可以假设：S(t)Aie某p{ai(tti)}in(i(tti)i)u(tti)i1N其中：Aiaiti信号幅度；衰减系数到达时间频率初始相位ii由cj,kS,j,k|cj,k|在kti两边呈指数衰减，且达到局部极值。
2j由于小波变换得多尺度特性，我们可以选择不同的j,利用不同的时域和频域分辨力，了解信号的的全貌，从而使基于小波变换的信号检测器具有较好的鲁棒性。
可以得到:(1)(2)(3)若在观测时间内，有多个信号到达，我们可以选择适当的j,使时间尺度尽可能的小，从而使不同信号的峰值出现在不同的上，由此分离信号。
k方法：对输入信号进行多尺度的小波变换，检测其变换结果的局部极值点。
性能：优于能量检测器，接近与匹配滤波器。
小波变换应用于信号分析(信号的奇异性分析)若f(t)在某处间断或某阶导数不连续，则称f(t)在此点有奇异性。
Fouier变换可以分析函数的整体的奇异性，但不能推断奇异点的空间(时间)分布情况。
定义：设nn1,若在某点某0,存在常数A与h0,及一个n阶多项式Pn(h),使f(某0h)Pn(h)A|h|a则称f(某)在点某0具有Lipchitz指数0hh0注：()若A和与某0无关，则称为一致1Lipchitz指数。
小波分析在信号奇异性检测中的应用
小波分析在信号奇异性检测中的应用[摘要]: 信号的局部奇异性包含了信号的许多重要的信息。
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它突破了傅立叶分析在时域和频域方面的局部化能力, 因而它是一种检测奇异性的有力工具。
[关键词]：小波分析；特征提取；奇异信号；对比检测中国分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1002-6908(2007)0120017-021．小波分析应用介绍小波理论是近几十年发展起来的一种新的数学方法。
近年来，小波的发展基本上沿着两个不同的方向，一方面构造同时具有多种优良性质的新型小波，如M-带小波、多小波、第二代小波等；另一方面，随着小波理论的日臻完善，小波在地震勘测、计算机视觉、数值分析、微积分方程数值解等方面都得到了广泛的应用。
总之，小波分析作为一种新理论，已经和正在科学界掀起了一场轩然大波。
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。
由于小波分析克服了传统傅氏分析的不足，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因此小波分析被誉为“数学显微镜”。
2．信号的奇异性分析几乎一切信号都很难根据原始观察数据来作解释，总要提取一些特征来表示它。
而信号的奇异性常常是分析特征的关键。
信号中的奇异点及不规则的突变部分经常携带有比较重要的信息，它是信号的重要特征之一。
长期以来，傅立叶变换是研究信号奇异性的主要工具，其方法是研究信号在频域的衰减速度以推断此信号是否具有奇异性及奇异性的大小。
但是，由于傅立叶变换缺乏时域局部性，它只能确定信号奇异性的整体性质，而难以确定奇异值点在时域的位置及分布情况。
用小波变换分析信号的奇异性及奇异点的位置和奇异度的大小是有效的。
小波变换的一个重要性质就是具有在时间、频率上突出信号局部特征的能力。
在对信号进行表示和描述中，通常信号的奇异点（如过零点、极值点等）更能够刻画信号的细节，并在对信号进行区分中起着重要作用，因此，可以利用信号在多尺度上的综合表现来描述信号，特别是他的突变点或瞬态特征。
多小波在信号奇异性检测中的应用的开题报告
多小波在信号奇异性检测中的应用的开题报告1.研究背景在信号处理领域中，奇异性检测是一个重要的问题，涉及到信号的稳定性、可靠性、有效性等方面。
而小波分析作为一种有效的信号处理方法，在奇异性检测中得到了广泛应用。
据此，本文将重点探讨多小波在信号奇异性检测中的应用。
2.研究目的本文旨在分析多小波在信号奇异性检测中的应用，探究其优势和不足之处，提出优化方案，并对其应用进行实验验证，为信号处理领域中的奇异性检测提供一种新的技术方法。
3.研究内容（1）介绍小波分析的基本原理和多小波的概念。
（2）分析多小波与其他方法在奇异性检测中的优缺点。
（3）提出多小波的优化方案，提高其在奇异性检测中的性能。
（4）设计实验验证方案，对多小波在奇异性检测中的应用进行实验验证。
（5）分析实验结果，总结结论并展望未来发展方向。
4.研究意义本文的研究对于信号处理领域中的奇异性检测方法研究具有重要的意义。
研究结果对于提高奇异性检测的准确性、可靠性、有效性等方面具有一定的促进作用，同时也可以为相关领域的研究提供一些新的思路和方法。
5.研究方法本文主要采用文献研究法、实验法和分析法进行研究。
其中，文献研究法为理论研究提供依据；实验法主要用于对优化方案进行实验验证；分析法则用于对实验结果进行分析和总结。
6.论文结构本文将分为以下几个部分：第一部分为绪论，主要阐述本研究的背景和目的、意义；第二部分为多小波的基本原理和概念，介绍多小波及其在信号处理中的应用情况；第三部分为多小波与其他方法的对比分析，分析多小波在奇异性检测中的优缺点；第四部分为多小波的优化方案，提出优化思路并进行实验验证；第五部分为实验结果分析，对优化方案的实验结果进行统计和分析；第六部分为结论和展望，总结本文研究结果并探讨未来发展方向。
基于小波变换的奇异性检测在信号分析中的应用
定 义 １ 设 信号 （ ） ｔ ｔ在 附近具 有 下述特 性 ：
ｔ Ｉ （ ０＋ｈ ）一尸 （０＋ｈ ≤ ｊ ｊ ｆ ）ｊ 厶 “ ７ 口＜ ＋ｌ ＜ （） １
一
பைடு நூலகம்
种类 型的 间断点 ； 号在外 观上 光滑 ， 信 幅值 没有 突变 ， 是信号 的某 阶导 数发 生突 变 ， 为第 二种类 型 但 称 的间断点 。信 号 的突变 点在数 学上 用奇 异性 指数来 描述 。Ｆ ｕｉ 变换 是研 究 函数奇 异性 的 基本 工具 ， ｏｒ ｒ ｅ
但是 它 只能确定 信 号是 否具有 奇异性 以及奇 异性 的强弱 ， 却不 能对奇 异点 进行 准确 的定位检 测 ， 乏空 缺
关键 词 ： 小波变换； 奇异性；ｐｈｔ 指数； ｌｃｓｚ ｉ ｉ 信号识别
中图分 类号 ： Ｐ９ ．１ 文献 标识 码 ： 文章 编号 ：６２４１（０６０— ５— Ｔ ３１４ Ａ １７— ０２０）３ ２００ ４ ０ ５
信号 的突 变点处 含有 可供 识别 的丰 富信息 。通 常情 况 下 ， 信号 的 突变 点分 成 第 一种 类 型 的间 断点 和第 二种类 型 的 间断点 … 。信 号在某 一时 刻 内幅值 发生 突 变 ， 引起 信 号 的断续 ， 产生 信 号 断点 ， 称为 第
摘 要 ： 找到美元图像 ４个边缘的宽度， 为了 首先对图像进行长、 宽方向的投影。投影信号 中的突变最激烈
的点就是边缘的起始处和终止处 ， 小波 变换检测信 号的奇异性理论应 用于这种 突变点的检测 中。详细地分 将
析 了如 何 选 择 合 适 的 小波 基 以及 如 何 选择 合 适 的尺 度 来 进 行 突 变 点 的 定位 方 法 。
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图 2 5 层 db2 小波分解细节信号
4 小波变换与傅里叶变换仿真结果比
较分析
原始信号采用如式 8 所示的分段正弦信号 :
sin (0. 05 t) 1 ≤ t ≤500
s ( t) = sin (0. 5 t) 501 ≤ t ≤1000
(8)
其频谱图如图 3 所示 。对该分段正弦信号分别进行
分辨力 。
小波变换是可逆的 ,则信号 f ( t) 的重构公式
∫∫ f ( t)
=
1 Ch
+∞ +∞
-
∞
-
Wf
∞
(
a
,
b)
Ψab
(
t)
1 a2
d
ad
b
(4)
式中 :
∫ Ch =
+∞ -∞
{φ^ (ω) { {ω {
2
dω
(5)
2 应用小波变换对奇异信号进行检测
傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具 。但
傅里叶变换及小波变换 。如图 4 所示 ,经过傅里叶
变换后 ,从信号的频谱中不能确定信号奇变点的位
置 ,只能判断出原始信号所包含的频率 ,原因是傅里
叶变换不具备局部分析能力 ,从而无法判断出信号
频率瞬变的时间 。应用 db5 小波对信号进行 5 层分
解后 ,得到的细节信号如图 6 所示 ,可以看出 ,在细
(7)
则称( x0 , y0) 为小波变换模极大值(过零) 点。尺度空间
中所有的模极大值点的连续称为模极大值线 。关于模 极大值与信号的突变(奇异) 点有下面的定理。 定理 :设 n 为一严格的整数 , Ψ为具有 n 阶消失矩 、n 次连续可微和紧支集的小波 , f ( t) ∈ L1 ( c , d) ( [ c , d ] 为某一实数区间) ,若存在尺度 x0 > 0 , 使得 Π x < 0 , t ∈ ( c , d) , { Wf ( x , y) { 没有局部极大值点 , 则在区间 ( c +ε, d - ε) 是一致Lipschitz a (ε为任意 小的正数) 。一般来讲 , 函数在某一点的 Lipschitz 指 数 a 表征了该当的奇异性大小 , a 越大 ,该点的光滑 度越高 ; a 越小 ,该点的奇异性越大[3] 。
小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方 法的限制 ,在时域和频域上可同时对信号实现局部 化处理 ,这更符合信号非平稳的变频带结构特征 ,因 而在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值 。 本文简要地介绍了小波应用在信号奇异性检测方面
— 58 —
变换的基本原理 ,并通过仿真实验进行了验证 。
1 小波变换的基本概念
Abstract : Unlike the traditional Fourier transform ,the wavelet transform has good localization property both in time and frequency domains. This paper introduces the concept of wavelet transform and the application of the wavelet transform in the detection of the singularity. The simulation validates is also made. It is proved that the technique has specific property for singular detection. Key words : wavelet transformation ; singularity detection ; signal processing
∫ 1
-∞
f ( t) Ψ
a +∞
ta
b
dt
(3)
由上式可知 a 的变化不仅改变连续小波的频谱结
构 ,也改变其窗口的大小与形状 。随着 a 的减小 ,
Ψab ( t) 的频谱就向高频方向移动 , 而 Ψab ( t) 的宽
度则越来越狭小 。这就满足了信号频率高相应的窗
口应该小 ,因而它在时间或 (空间) 域上均有较高的
图 1 5 层 db5 小波分解细节信号
312 第二类间断点的检测 利用 Matlab 调入含有奇变点的 nearbrk 信号 。
从原始信号来看 ,原始信号是一条光滑直线 ,但是它 的一阶微分有突变 。利用‘db2’小波进行分解后 ,该 信号的第二类间断点就显现出来了 。在第二类间断 点的检测中 ,选择小波的正则性非常重要 ,如果所选 择小波不具有正则性 ,将检测不出第二类间断点 。 如图 2 所示 。
设 Ψ( t) 为 一 平 方 可 积 函 数 , 即 Ψ( t) ∈ L2 ( R) ,若其傅里叶变换 Ψ(ω) 满足条件 :
∫ CΨ =
{ Ψ (ω) {ω {
{
2
dω
<
∞
(1)
R
则称 Ψ( t) 为一个基本小波或小波母函数 , 我们称
式 (1) 为小波函数的可容许性条件 。其中 t 为时间 ,
中图分类号 :TN911 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 2552 (2008) 05 - 0058 - 03
小波分析在信号奇异性检测中的应用
郭黎利 , 刘 微 , 叶桂林
(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院 , 哈尔滨 150001)
摘 要 : 小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制 , 在时域和频域上可同时对信 号实现局部化处理 , 因而在检测信号奇异性等方面具有广泛的应用价值 。现介绍了小波变换的 基本理论以及在检测信号奇异性中的作用 。并在 Matlab 下进行了两种奇异信号仿真试验 , 取得 了一定的效果 。实验结果表明 , 小波变换在奇异信号的检测中是有效的 。 关键词 : 小波变换 ; 奇异性检测 ; 信号处理
Application of wavelet analysis on testing singular signal
GUO Li2li , LIU Wei , YE Gui2lin
( College of Information and Communication Engineering , Harbin Engineering University , Harbin 150001 , China)
节信号部分能清晰地显示出该信号的频率间断点的
准确位置 ,而第一层细节信号中对信号的不连续性 显示的相当的明显 。
图 4 傅里叶变换后分段正弦信号频谱 图 5 小波分解后分段正弦信号各层逼近信号
图 3 分段正弦信号波形
5 结束语
小波变换被誉为分析信号的显微镜 ,能精确刻 画信号在小波变换下的局部奇异性 。同时 ,各奇异 点的位置 ,也可以由小波变换的局部模极大值性质 检测出来 。实验仿真结果表明小波变换在信号奇异 点检测是可行的 ,尤其在时频分析方面有着傅里叶 变换所无法比拟的优越性 。
西安 :西安电子科技大学出版社 ,2002. 责任编辑 :张荣香
利用 Matlab 调入含有奇变点的 freqbrk 信号 。 从原始信号来看 ,在具有低频信号特征的正弦信号 的后半部分加入了具有中高频特征的正弦信号 。用 ‘db5’小波将信号分解到第 5 层 ,来检测第一种类型 的间断点 。由图 1 可以看出 ,在信号的低高频变化 部分清晰的显示出了间断点的准确位置 ,在该信号 的小波分解中 ,第一层和第二层 (d1 和 d2) 将信号的 不连续部分表现得很明显 。
工业出版社 ,2002. [5 ] 徐佩霞 , 孙功宪. 小波分析与应用实例[M] . 合肥 :中国科学技
术大学出版社 ,1996. [ 6 ] Walker J S. Fourier Analysis and Wavelet Analysis[J ] . Notice of Amer
Math. Soc ,1997 ,44 (6) :658 - 670. [7 ] 胡昌华. 基于 MATLAB 的系统分析与设计 ———小波分析 [ M] .
— 60 —
图 6 小波分解后分段正弦信号各层细节信号
参 考 文 献:
[1 ] 程正兴. 小波分析算法与应用 [ M] . 西安 : 西安交通大学出版 社 ,1998.
[2 ] 董长虹. Matlab 小波分析工具箱原理及应用[ M] . 北京 :国防工 业出版社 ,2004.
[3 ] 胡广书. 现代信号处理教程[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2004. [4 ] 马拉特 ,杨力华 ,戴道清. 信号处理的小波引导[ M] . 北京 :机械
3 基于小波变换的奇异信号检测仿真
选择合适的小波可以提高检测的准确度 。适合 于检 测 奇 异 信 号 的 小 波 基 需 要 满 足 以 下 条 件 : ①Ψ( t) 有紧支集 ; ②Ψ( t) 连续可微 ; ③Ψ( t) 具有 对称性 ; ④Ψ( t) 有阶消失矩 。 3. 1 第一类间断点的检测
是傅里叶变换缺乏空间局部性 , 它只能确定一个函 数奇异性的整体性质 , 而难以确定奇异点在空间的 位置和分布情况 。小波分析具有空间局部化性质 ,因 此 ,利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异点的 位置和奇异度的大小是比较有效的 。
信号的奇异性一般分为两种情况 :一种是信号 在某一个时刻内 ,其幅值或频率发生突变 ,幅值或频 率发生突变处是第一种类型的间断点 ; 另一种是信 号外观上很光滑 ,幅值没有突变 ,但是信号的一阶微 分有突变产生 ,且一阶微分是不连续的 ,称为第二种 类型的间断点[2] 。
ω为频率 , R 为实数集合 , L2 ( R) 为实数域平方可积
空间 , 由函数 Ψ( t) 经过伸缩和平移得到的一族