(详细解析)2000年上海高考数学(理)

2000上海高考试卷

理科数学

考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分

一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知向量(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA AB ⊥，则m = ． 【答案】4

【解析】(4,2)AB m =-，42(2)0OA AB OA AB m ⊥??=-+-=，∴4m =．

2．函数221

log 3x y x

-=-的定义域为 ． 【答案】)3,21(

【解析】

211

0(21)(3)0(21)(3)0332

x x x x x x x ->?-->?--

3．圆锥曲线4sec 1

3tan x y θθ=+??=?

的焦点坐标是 ．

【答案】(4,0),(6,0)-

【解析】参数方程化为普通方程

22

(1)1169x y --=，∴焦点为(15,0),(15,0)-+，即 (4,0),(6,0)-．

4．计算：lim(

)2

n

x n n →∞

=+ ． 【答案】2

-e

【解析】2222212

lim(

)lim()lim[(1)]221n n

n x x x n e n n n

?--→∞→∞→∞==+=++

．

5．已知b x f x +=2)(的反函数为1()f x -，若1()y f x -=的图象经过点)2,5(Q ，则

b = ．

【答案】1

【解析】若1()y f x -=的图象经过点)2,5(Q ，则b x f x +=2)(过点(2,5)P ，将点P 的坐标代入得2

52b =+，∴1b =．

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年． （按：1999年本市常住人口总数约1300万） 【答案】9

【解析】由题设条件可得4035(19)4035

21300(10.08)1300

n n +≥?

+%%，解得lg 28.9lg1.081n ≥≈，∴9n ≥． 【编者注】上海考生可以使用计算器．

7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题 A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥． 【答案】．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质． 根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．

8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线

段AB ，则在区间[1,2]上()f x = ． 【答案】x

【解析】由题设(1,1)B '-关于点B 对称，由周期性将B A '向右平移两个单位得BA '，BA '所在的直线过原点，∴在区间[1,2]上()f x x =．

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示） 【答案】462-

【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为511462C -=-．

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ． 【答案】

14

1 【解析】本小题考查等可能事件的概率．3

93211

14

P C ??==．

11．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则

=AB ．

【答案】32

【解析】化为普通方程：3x =和22(2)4x y -+=，将3x =

代入得y =

∴AB =

12．在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式121219n n a a a a a a -++

+=+++

(19,)n n N <∈成立，类比上述性质，相应的：在等此数列{}n b 中，若91b =，则有等

式 成立． 【答案】12

1217(17,)n n bb b bb b n n N -=<∈

【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理． ∵91b =，根据等边数列的性质和类比有12

1217(17,)n n bb b bb b n n N -=<∈．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

13．复数3(cos

sin )55

z i π

π

=--（i 是虚数单位）的三角形式是 A ．3[cos()sin()]55i ππ-

+- B ．3(cos sin )55i ππ

+ C ．443(cos sin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55

i ππ+ 【答案】C

【解析】443(cos sin )3(cos sin )5555

z i i π

πππ=-+=+．

14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题： ①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a

其中正确的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】A 【解析】略．

15．若集合{}{}

2

|3,,|1,x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则s

T 是：

A ．S

B ．T

C ．?

D ．有限集

【答案】A

【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以s T S =．

16．下列命题中正确的命题是

A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则sin 5

α=

B ．同时满足1sin ,cos 2αα=

=的角α有且只有一个 C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正

D ．三角方程tan()3

x π

+={}Z k k x x ∈=,|π

【答案】D

【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．

正；tan()tan 33

x ππ

+==，由周期性知,x k k Z π=∈．

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）

已知椭圆C

的焦点分别为1(F -

和2F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的中点坐标．

【解】设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=， ……………（2分）

由题意3,a c ==1b =，

∴椭圆C 的方程为2

219

x y +=． ……………（4分） 由22

219

y x x y =+???+=??得2

1036270x x ++=， 因为该二次方程的判别式0?>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185

x x +=-

， 故线段AB 的中点坐标为91

(,)55

-． ……（12分） 18．（本题满分12分）

如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC

中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为10

10

arccos

，求四面体A BCD -的体积．

【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）

由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为

(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-，……（6分）

设BE 与AD 所构成的角为θ，

则22BE AD θ?=?=-．

且AD 与BE 所成的角的大小为， ∴2

221

cos 410

z θ=

=+， 得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分）

又1

6

ABCD V AB BC BD =??，

因此四面体A BCD -的体积8

3

． ……（12分）

解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．

DAF ∠是异面直线BE 与AD 所成的角，

∴DAF ∠= ……（4分） ∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，

2AF BE == ……（6分）

又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==．

∴DF DA =． ……（8分） 三角形ADF 是等腰三角形，20cos 1

2=∠?=DAF

AF AD ， 故422=-=

AB AD BD ， ……（10分）

又1

6

A BCD V A

B B

C B

D -=

??， 因此四面体A BCD -的体积是3

8

． ……（12分）

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数22(),[1,)x x a

f x x x

++=

∈+∞． （1）当2

1

=

a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．

【解】（1）当12a =

时，1

()22f x x x

=+

+， )(x f 在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分） )(x f 地区间),1(+∞上最小值为2

7

)1(=

f ， ……（6分） （2）解法一：在区间),1(+∞上，

22()0x x a f x x

++=>恒成立220x x a ?++>恒成立， ……（8分）

设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，

1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，

∴当1=x 时，a y +=3min ， ……（12分） 于是当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，

故3a >-． ……（14分） （2）解法二：()2,[1,)a

f x x x x

=+

+∈+∞， 当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分） 当0a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a =+， ……（12分） 于是当且仅当min ()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立，

故3a >-． ……（14分） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ．

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．

（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确

到小数点后两位）．

【解】（1） 45,24==θr ，得指令为)， ……（4分） （2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分）

则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有

|17|x -= ……（8分）

即01611232

=+-+x x ，得3

23

-

=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ， 故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分） 所给的指令为)13.98,5( -． ……（14分） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b ，对每个自然数n ，点n

P 位于函数2000(

)(010)10

x

a y a =?<<的图象上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶点的等腰三角形．

（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式．

（2）若对每个自然数n ，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围． （3）设12

()n n B bb b n N =∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}

n B 的最大项的项数．

【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21

)10

(2000

+

=n n a b ． ……（4分） （2）∵函数2000(

)(010)10

x

a y a =?<<递减， ∴对每个自然数n ，有12n n n

b b b ++>>，则以21,,++n n n b b b 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n n b b b +++>， 即2(

)()101010

a a

+->， ……（7分）

解得5(1a <-或a >，

∴1)10a <<． ……（10分）

（3

）∴1)10a <<，∴1

277,2000()10

n n a b +==， ……（12分）

数列{}n b 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ． 于是当1≥n b 时，1-≥n n B B ，当1n b <时，1n n B B -<， 因此，数列{}n B 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b +<． 由1

272000(

)110

n n b +=≥，得20.8n ≤， 20n ∴=． ……（16分）

22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知复数01(0)z mi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,||2||w z z w z =?=．

（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；

（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．

当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程； （3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 【解】（1）由题设，002w z z z z z =?==，02z ∴=，

于是由2

14m +=，且0m >

，得m =， ……（3分） 因此由i y x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+?-='+'，

得关系式,

.

x x y y ?'=??'=-?? ……（5分）

（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足

(11)1,

x x y x ?'=+??

'=-?? ……（7分） 消去x ，得232)32(+-'-='x y ，

故点Q 的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分） （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分） 解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该

直线上，∴b y x k y x ++=-)3(3，即b x k y k +-=+-)3()13(， 当0≠b 时，方程组??

?=-=+-k

k k 31)13(无解，

故这样的直线不存在． ……（16分） 当0=b

时，由

1)1k k

-+=

， 得03232

=-+k k ， 解得3

3

=

k 或3-=k ， 故这样的直线存在，其方程为x y 3

3

=

或x y 3-=， ……（18分） 解法二：取直线上一点)0,(k b P -

，其经变换后的点)3,(k

b k b Q --仍在该直线上， ∴b k

b

k k b +-=-

)(3，得0=b ， ……（14分） 故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上．

∴)31(3k k k +=-， ……（16分）

即03232

=-+k k ，得3

3

=

k 或3-=k ，

故这样的直线存在，其方程为x y 3

3

=

或x y 3-=， ……（18分）