紧凸超曲面在一类带外力场的平均曲率流下的收缩
当初 始 曲面是 严格 凸 时 ， 面在 有 限时 间 内 收缩 为 曲
点 ， 下 面定 理 ： 即
定 理 ２令
在 这篇 文章 中我 们 主要研 究
ｄＦ
： 一
（ 日一（ ∞， ） ）
一 ，
（） １
“
ｄＦ
： 一
（ 一＜Ｆ， ） ｃ ） ； 一 ，
（） ２
定 理 １ 如 果 日（ ） ≠０ 且 Ｖ６ Ｃ ，ｃ是 一 ， ０＝ Ｘ
２ 准 备 工 作
本节 我 们 给 出一 些 曲率 量 的发 展 方 程 ， 定理 为 ２的证 明准备 ． 命题 １ 在 流 （ ） ２ 光滑 解存 在时 间 内 ， 均 曲率 平
、
个 常 向量 场 ， 么 凸性 保 持 ， 如果 那 即
缩 为一 点．
关 键 词 ： 物 方 程 ；平 均 曲 率 流 ；张 量 的极 值 原 理 抛 中 图 分 类 号 ：Ｏ ７ ．５ １６ １ １ ５ ２ ；Ｏ ８ ．２ 文 献 标 志 码 ：Ａ 本 文 对 上 面定 理 结 论 做 了更 细 致 的研 究 ， 明 证
带 外 力 场 的 平 均 曲率 流
７ ４
北 京 工 商 大学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
２１ ０ ０年 ７月
Ｏ ｌ 日
￣ Ａ Ｉｃ ￣ ｌ
～
△日 一 ｎ 一 一 Ｈ
。：
＝一日（ １ ｔ－（
）
．
（） ５
ｎ 日
Ｉ Ｉ Ａ ｚ＋ ｎ 日
Ｈ △ＩＩ一 。 ＩＩ Ｈ一 Ｈ。一１ 日一 。 Ａ。 Ａ Ａ Ｈ｜ ＿ △ ｎ
详见 文献 ［ ９ ．而关 于带 外力 场 的 四阶 曲线 流 的 ８— ］ 研究 见 文献 ［０ ． １］
超导 方程 漩 涡运动 的研究 ， 见 文 献 ［ 详 ２—３ ，我们 ］ 称之 为带 外力 场 的平均 曲率 流．关 于这类 流我 们做 了一 系列 的研 究 ， 给 出 ｒ光 滑 解 长 时 间存 在 近乎 并 最优 的条 件 ， 见文 献 ［ ］ 详 １ 和文 献 ［ ６ ． ３— ］ 在文 献 ［ ］ １ 中作 者证 明 了下 面结论 ：
定 理 ３ 若在 Ｍ Ｈ ＞ ， ｌ ，０ ＜ ≤ ＜ 上 ０ Ｊｘ ￣
ｎ
＿
２
卢＜１ 有 ｓ ｇ ≤ｈ ≤卢 成 立 ， ， 日 则对 ０ ＜ ， ≤ｔ 该不 等式在 Ｍ， 仍然成 立． 注： 这个定 理说 明流 （ ） ２ 在解 的存在 时 间 内 ， 总
的特解对 平 均 曲率 流 的 研究 有 着 重 要 的 研究 意义 ，
度 场．整篇 文章 中我 们用 （ ） 表 示 Ｒ 中标 准 内 ，来 这个 流推 广 了著 名 的平 均 曲率 流 （ 就是 一 也
ｃｎｔ 情 形 ） 它 来 自 于 对 非 均 匀 Ｇｎｂ ｒ—ａ ｄｕ ｏｓ的 ， ｉｚｕｇＬ ｎ ａ
这 里 Ｆ： ， ＝Ｆ（・ ｔ ： —｝ ， ） ” ，
“
如果 Ｃ ＜０是 一 个 常 数 ， 若 且
—
是严格 凸的， 当 则
是 一族光 滑 的浸入 ， ＝ Ｆ （ 且 Ｍ 是． 中紧致 Ｍ， ，Ｍ） 重 定 向超 曲面 ， 表 示 Ｍ， 关 于 外 单 位 法 方 向 的 日 的 平 均 曲率 ， 足 一 个 Ｖ０ ３
第２ ８卷 第 ４期
２ １ 年 ７ 月 ００
北京工商大学学报 ｃ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｅ ｉ ｅｈｏｏｙａｄＢ ｓ ｅｓＵ ｉ ｒｔ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔｎ ｏ ｒａ ｏ ｉｎ Ｔｃ ｎｌ ｎ ｕｉ ｓ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔｒ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） Ｂ ｊｇ ｇ ｎ ｅｉ ｌ ｎ ｉ
有Ｈ ＞ ０成 立 ．
Ｖ（ ． ８ ＮＯ ４ ） ２ ． １
Ｊ１ ２ ０ ｕ ． ０１
７ ３
文 章 编 号 ：６ １１ １ （ ０ ０） ４０ ７ －５ １ ７ —５ ３ ２ １ ０ —０ ３ ０
紧 凸超 曲 面 在 一 类 带 外 力 场 的 平 均 曲 率 流 下 的 收 缩
刘 艳 楠
（ 京 工商 大学 计 算机 与信 息工程 学 院 ，北京 １ ０ ４ ） 北 ０ ０ ８ 摘 ห้องสมุดไป่ตู้要 ： 文献 ［ ］ 在 １ 中作 者们证 明 了， 外力 场 函数是 某类 线性 函数 时 ， 外 力场 的平 均 曲率 流 短 若 带 时间存在 ， 且保 持 凸性 ．在 此基 础 上证 明 了若初始 曲面是严 格 凸 紧超 曲面 时 ， 曲面在 有 限 时 间 内收
积．
时， 曲面 收缩为 一点 ， 我们 主要利 用 Ｈ ｉ ｅ ｕｓ ｎ在 文 献 ［ ］ ｋ ７ 中的 方 法 对
中 光滑 函数 的标 准 梯
定 理 ２进 行证 明．在 第二节 我们 做些 必 要 的准备 工 作， 并将 在第 三 节给 出定理 ２的证 明． 本 节 最后 我 们 想 指 出 ， 平移 解 作 为平 均 曲率 流
Ｅ＇ １ ４
程为 ：
ｄ Ｈ
：
时间． Ｉ 表 示第 二基 本形 式模 的平方． ４Ｊ
收 稿 日期 ： ０ ０— １ ２ ２ １ ０ ０
△ —（ ｖ Ｈ ｃ Ｆ， 日）＋ Ｊ — ｃ ＡＩ ｚ 日，
（） ３
基 金 项 目 ：北 京 『 属 高校 科 技 创 新 平 台资 助 项 目 （０ ０ ８ ． ｆ ２ １９ ） 作 者 简 介 ：刘艳 楠 （９ １ ） 女 ， 蒙古 赤 峰人 ， 师 ， 士 ， １ ８ ， 内 讲 博 主要 从 事 几 何 分 析 方 面 的 研 究
是凸 的， 则
ｔ
对 ｔ ０ Ｔ 有 是 凸 的 ， 且 当 ￡ ∈（ ， ） 并 一 时 ， ａ ｍ ｘ ４Ｉ ｆ ＝
第二 基本 形 式 平 方 Ｊ ＡＪ 体 积 元 和
的 发 展 方
ｍａ （ ｌ一 ∞．这 里 Ｔ＜∞是 流 （ ） ｘ ） ｌ Ａ １ 的最 大 存 在
中山大学物理名词解释
1.rigid body(刚体）：如果一个物体在外力的作用下，它的各个部分之间的距离都保持不变，或它的形状和大小都不发生变化，则这个物体叫做刚体。
2.Angular momentum(角动量）：设有一质点作圆周运动，圆心到质点所在位置的径矢为r，动量为mv,那么质点在该圆周上某一点的动量与径矢的乘积叫做质点对圆心的角动量。
3.Stream line（流线）：某一时刻流体在空间的分布状况，在流体中假设画出一些曲线，这些曲线上每一点的切线方向与流体质点在该点的速度方向保持一致，这种曲线称为流线。
4.Ideal fluid（理想流体）：为便于分析忽略次要因素突出主要因素而引入的一种绝对不可压缩、完全没有内摩擦力的的流体理想化物理模型。
5.Steady flow（定常流动）：若流体中各质点的速度、压强和密度都不随时间变化，则这种流动叫做定常流动。
6.Continuity equation（连续性方程）：Δt时间内，流进截面S1的流体质量必然等于流出截面S2的流体质量。
即：S1V1ρ1=S2V2ρ27.Vicious force(粘滞力）：由于流体的各流层的流速不同，相邻流层间有相对运动，便在接触面上产生一种相互作用的剪切力，这个力叫做流体的内摩擦力，也称为粘滞力。
8.Ideal gas(理想气体）：严格遵从气态方程(PV=(m/M)RT=nRT)(n为物质的量）的气体，叫做理想气体。
9.surface tension(表面张力）：液体自由表面存在一种沿液体表面、使表面具有收缩倾向的力存在，这种力叫做表面张力。
10.Additional pressure(附加压强）：在凹液面或凸液面由于表面张力的合力的作用，液面每一个面积元紧压液体或拉离液体而产生的一个额外的压强叫做附加压强。
11.Internal energy(内能）：物体或系统内分子的各种运动的动能和势能的总和，叫做物体或系统的内能。
12.Electric field(电场）：电荷在周围的空间内形成电场。
一类几何流方程周期解的爆破
一类几何流方程周期解的爆破汪瑶瑶【摘要】研究双曲平均曲率流中一类几何流方程周期解的爆破问题.引入合适的黎曼不变量,将该方程化为对角型的一阶拟线性双曲型方程组.该方程组在Lax意义下不是真正非线性的.假设初值是周期的,且在一个周期内全变差很小,此外假设初值还满足一定的结构条件,可以证得该几何流方程的周期解必在有限时间内发生爆破,解的生命跨度估计可以给出.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2017(033)001【总页数】16页(P44-59)【关键词】几何流方程;拟线性双曲型方程组;周期解;爆破;生命跨度【作者】汪瑶瑶【作者单位】安徽师范大学计算机科学学院,安徽芜湖241003【正文语种】中文【中图分类】O175.2平均曲率流是一类非线性偏微分方程组,用以研究曲面或流形随时间的演化,其特征是速度向量等于流形法向向量乘以某个几何量,这个几何量可以是曲率、平均曲率和逆平均曲率等.平均曲率流已被用来成功解决若干几何和拓扑问题,例如文献[1]提出的逆平均曲率流,成功证明了黎曼流形中的Penrose不等式.而近年来,对于双曲型几何流的研究越来越得到重视,做了不少工作.2009年,文献[2]提出如下的双曲平均曲率流:这里M是黎曼流形,X(·,t):M→ℝ1+n是光滑映射,H(u,t)是平均曲率,(u,t)表示外法向量,T是一个正常数.上述方程组是二阶的非严格双曲型偏微分方程.运用一些分析的技巧,文献[1-2]将方程组化为严格双曲型的,进而得到解的局部存在唯一性,维数大于4的欧式空间的非线性稳定性也得到证明.此外,文献[1]给出了曲率所满足的非线性波动方程.文献[3]通过包含动能和内能的泛函导出一类如下的非线性几何发展方程,这里表示局部能量密度.该方程组描述超曲面沿着平均曲率向量方向的运动,也称为双曲平均曲率流,或者法向平均曲率流.文献[3]得到初值问题解在Sobolev空间中的局部适定性、解爆破准则以及对图形式存在的解,它在更广阔熵解类中是唯一的.对于图形式存在的流形,映射X满足:特别地,对于一维情形,文献[3]推导出如下的方程:设初值为：初值问题(1)和(2)可用来刻画无穷长弦的振动,上述u0(x),u1(x)分别表示弦的初始位置和初始速度.文献[3]证明了当初值的BV模小时,初值问题(1)和(2)的熵弱解是整体存在的.2011年,文献[5]考虑如下关于凸超曲面的双曲曲率流:其中 F被称为drving force,bij是一致凸超曲面第二基本形式的逆.文献[5]指出,选择不同的F,可以导致不同非线性双曲型方程,例如可以导出双曲型的Monge-Amp`ere方程.此外,文献[5]证明了对于一大类F,方程组(3)的局部可解性,并考虑了解的爆破性质以及解的渐近行为等.2009年,文献[4]研究了对于平面曲线的双曲平均曲率流,即如下偏微分方程组的初值问题:其中F(z,t)表示未知量,k(z,t)是曲线F(z,t)的平均曲率,N(z,t)表示单位法向量,T(z,t)是单位切向量,F0(z)表示初始曲线,而h(z)和N0(z)分别代表初始速度大小和初始曲线的法向量;函数ρ(z,t)由下式定义,这里s是弧长参数.文献[4]得到了初值问题(4)的局部适定性,特别地,他们研究了以图形式存在的曲线F(x,t)=(x,u(x,t))的周期运动.由于相应的双曲型方程组在Lax意义下不是真正非线性的,周期解的讨论并不简单.通过引入黎曼不变量,上述方程组可化为对角型双曲型方程组.文献[4]通过详细研究两族特征的相互作用,得到在初值具有小变差以及满足一定的结构条件时,平均曲率流方程组的周期解会发生爆破,且给出了解生命区间的估计.此同时,文献[6]研究在双曲平均曲率流(4)下平面闭曲线的运动.考虑将曲线支撑函数作为未知量,得到一类双曲型的Monge-Amp`ere方程.基于此,Kong、Liu和Wang证明了相应初值问题的经典解仅仅在区间[0,Tmax)存在,且当t→Tmax时,解收敛到一点或者激波或者其他间断解.文献[4]在此基础上,考虑了Minkowski时空中的平均曲率流方程组和可化约的一阶双曲型方程组的周期初值问题,并得到解的生命跨度.本文研究上述几何流方程组(1)和(2)的周期解问题.对于双曲型方程组的周期解问题,目前也已经有了很多的研究.文献[9]利用黎曼不变量研究2×2双曲型方程组的周期解和奇性形成,并讨论了解的大时间衰减刻画.文献[10]研究了非线性振动弦初值为周期的柯西问题的爆破,解的生命跨度依赖于平衡态附近的非线性效应.文献[8]将他们的结果推广到一般的可化约的一阶双曲型方程组.文献[7]研究了双曲型微分方程周期解的存在问题.文献[13]研究了2×2的拟线性双曲方程组的周期解的爆破问题,爆破的产生也是源于同族特征线的相交.文献[15]将Glimm、Lax的结果推广到3×3的双曲型方程组,考虑非等熵Euler方程组的周期初值问题.通过选取合适的黎曼不变量和推广的Glimm泛函,他们得到了当初值具有小变差ε时,初值问题熵解的生命跨度是O(ε−2).文献[18]也研究了一类非等熵Euler方程组的周期初值问题,所用方法是基于文献[13].本文结构如下:第2节给出本文的主要结果,同时给出一些准备工作;第3节将证明一些重要的引理;第4节给出定理的证明.在给出本文主要结果之前,我们先做些准备工作.命题 2.1方程组(6)是严格双曲型方程组,具有两个互异的特征值(8),右特征向量可取为(9)式;同时,由(10)式可知,方程组(6)在Lax意义下不是真正非线性的.下面是本文主要结果.定理 2.1给定 R0(x),S0(x)是 C1光滑函数,如果 R0(x),S0(x)满足 (21)-(22),且假设(23)式或者(24)式成立,那么初值问题(19)-(20)的C1解在有限时间内将发生爆破,解的生命跨度T(δ)满足现在考虑初值问题(1)和(2)的周期解问题.设初值u0(x),u1(x)是C1的光滑函数,且满足:这里P是非负常数.由定理2.1可得如下结果.定理 2.2由上述讨论,可取则R0(x),S0(x)是C1光滑的以P为周期的函数.此外，假设(23)式或者(24)式成立,则初值问题(1)和(2)的C1解在有限时间内发生爆破,且解的生命跨度T(δ)满足本节我们做些准备工作,引入若干引理,为定理2.1的证明作铺垫.下面给出若干引理,它们将在后面证明和讨论中起重要作用.引理 3.1定义证明证明可参见文献[4],此处从略.引理 3.2在初值问题(19)和(20)C1解的存在范围内,始终成立这里及以后,记号O(1)均表示有界量.引理 3.3给定α,∀β≤α,定义t1(β;α)使得给定β,∀α≥β,定义t2(α;β)使得则证明证明方法类似于文献[4],此处省略.引理 3.4(i)成立如下估计式：(ii)(a)若β2≤β1≤α,则(b)若β≤α1≤α2,则(iii)对Y1和Y2有引理 3.5成立如下估计:和即我们已经证明了(52).类似地,可证得(53).引理 3.6假设成立如下不等式【相关文献】[1]He C L,Kong D X,Liu K F.Hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,246:373-390.[2]Huisken G,Ilmanen T.The inverse mean curvature fl ow and the Riemannian Penrose inequality[J].Di ff erential Geom.,2001,59:353-437.[3]Le fl och P G,Smoczyk K.The hyperbolic mean curvature flow[J].Math.Pures.Appl.,2008,90:591-614.[4]Kong D X,Wang Z G.Formation of singularities in the motion of plane curves under hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,247:1694-1719.[5]Chou K S,Wo W F.On hyperbolic Gauss curvature fl ows[J].Di ff erential Geometry,2011,89:455-485.[6]Kong D X,Liu K F,Wang Z G.Hyperbolic mean curvature fl ow:Evolution of plane curves[J].Acta Math.Sci.,2009,29:493-514.[7]Cesan Lamberto.Existence in the large of periodic solutions of hyperbolic partial di ff erential equations[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1965,20:170-190. [8]Cheng K S.Formation of singularities for nonlinear hyperbolic partial di ff erential equation[J].Contemp.Math.,1983,17:45-56.[9]Glimm J,Lax P D.Decay of solutions of systems of nonlinear hyperbolic conservation laws[J].Mem.Am.Math.Soc.,1970,101:1-112.[10]Klainerman S,Majda A.Formation of singularities for wave equations including the nonlinear vibrating string[J],Comm.Pure Appl.Math.,1980,33:241-263.[11]Kong D X,Wang Z G.Formation of singularities in the motion of plane curves underhyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,247:1694-1719. [12]Li T T.Global Classical Solutions for Quasilinear Hyperbolic Systems[M].Paris:Wiley-Masson,1994.[13]Li T T,Kong D X.Blow up of periodic solutions to quasilinear hyperbolicsystems[J].Nonlinear Anal., 1996,26:1779-1789.[14]Lax P D.Hyperbolic systems of conservation laws II[J].Comm.PureAppl.Math.,1957,10:537-556.[15]Qu P,Xin Z P.Long time existence of entropy solutions to the one-dimensional non-isentropic Euler equations with periodic initial data[J].Arch.RationalMech.Anal.,2015,216:221-259.[16]Wang Z G.Hyperbolic mean curvature fl ow in Minkowski space[J].Nonlinear Analysis,2014,94:259-271.[17]Wang Z G.Blow-up of periodic solutions to reducible quasilinear hyperbolic systems[J].Nonlinear Analysis, 2010,73:704-712.[18]Xiao J J.Some topics on hyperbolic conservation laws[D].Hong Kong:The Chinese University of Hong Kong,2008.。
共形平坦流形的一类具常平均曲率的完备超曲面
的 Ｒｃｉ ｉ 曲率的上 、 ｃ 下确界 ． 该结果是 文［ ，］ １２ 中结论的推广 ．
中图分类号 ： １６ ０ ８
文献标识码 － Ａ
１ 引 言和 结 果
设 是单位球面 ． ’１ 中具常平均曲率 的紧致超 曲面 ， 表示 的第二基本形式模长的平方． ｓ （ （） ． ｓ 文 ［］ 到 ， Ｓ＜２／ｎ一１ ， 是 ． （ ） １得 当 、 ／ 时 Ｍ ｓ ” １的超 球 面 ； Ｓ＝２、 ｎ一１ ， 或 为 ． （０ ， 为环 面 ． （ ） 当 ／ ／ 时 Ｍ ｓ ｒ） 或 “ ｓ ｒ× ． （ １ ， ｓ ￣ 一ｒ）其中 ｒ＝ｎ （ ２ ／ 一１ ， ＝１（ ＋ － 一１． ２将外围空间 ． １推广到局部对称 ／ ２ ｏ ／ ｎ＋ 、 ｎ ） ｒ ／ １ ｊ ｎ ）文［］ ／ ｓ （） ”
ｃ时 ， 部地 ， ＝Ｓ （ ×Ｓ－ （ ， 中 局 Ｍ １ ） ｎ １ ）其
，
－
当外围流形 ＋为截面曲率 ｃ １ 的球面 ． （ ） ， ｓ ｃ 时 显然 Ｍ 的法向量是 ． （ ） Ｒｃ 主方 向， ” ｓ ｃ 的 ｉｉ ｃ 且此时 Ｒ＝ｒ ｌ， ：， Ｃ＝ｃ 因此 由定理 １ ｃ ， 有 推论 １ 设 是 ． （ ） ｓ ｃ 中具常平均曲率的完备超曲面 ， ” 则 （） １ Ｓ＜２ ／ｎ一１时 ， 是 全 脐超 曲面 ． 、 ／
的联 络形 式 ． ＋的结构 方程 为 １
＆ Ａ： 一∑Ｏ Ｂ ． ，ｔ ．Ａ：０ ｏ ． ＾ｃ Ｏ Ｂ＋￣ ｔ Ａ Ｏ ． Ａ Ｏ Ｂ
＆ Ａ 一∑ ｃ ．Ｂ＋ １∑ Ｋ ＢＯ ｃ Ｏ ＯＢ： ＾￣ Ｏ Ｃ ＡＣ￣ ＾Ｃ Ｏ Ｄ
．
（．） ２ １ （．） ２ ２
其 中 ＫＢＤ ＡＣ是 ＋的 曲率 张量 分量 ． １ 限制在 上 ， 有
anti—de Sitter空间中紧致类空超曲面的积分公式及其在常高阶平均曲率下的应用
项正是为了使得平均 曲率 向量场 Ｈ ＝日Ⅳ， 这样，在一点 Ｐ∈Ｍ 处 Ｈ（ ｐ ）＞０当且仅 当 Ｈ（） Ｎ（） 向；当 ｒ＝２时， ｐ与 ｐ同 与 Ｍ 的数 量 曲率 ｓ 差 一个 常数 ，简单 的计算表 明 相 ｓ＝ｎｎ一１（一 ）当 ｒ＝几时 ， （ ）１ ； ＝ （ ）ｄｔＡ） 这个类 空超 曲面 的 Ｇ ｕｓ ｏｅｋｒ 一１ ｅ（ 是 ａ ｓ— ｎｃｅ Ｋｒ 曲率 ． 对于任意一个固定向量 。 ， ∈Ｅ 考虑 Ｍ 上的高度函数 （ ） 从 。 ． ， （ ａ ） ＝Ｘ＜， ） （ Ｖ＜， ， Ｘ） ａ ＝ ａ ， ） ａ ） Ｘ ∈Ｃ ｒ ， ＝（， ，Ｖ （Ｍ） ，
Ｅ— ａｌ ｉｈｅ ｇｈ ｍ ｉ：ｚｓ ｎ ｕ＠ｙ ｏｏＣ ｒ ．ｎ ａｈ ．Ｏ ｃ ｎ
基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ７ 资助 １３ １４ ）
维普资讯
Ｎｏ２ ．
徐 森林 等 ： ａｔｄ ｉｅ 空 间 中紧 致类 空超 曲面 的积分 公式 ｎｉ ｅＳｔ ｒ — ｔ
摘要：该文对 ａ ｔ ｄ ｉ ｅ ｎｉ ｅＳｔ ｒ空间 日 中的紧致类空超 曲面建立 了积分公式 ，并应用它们在 — ｔ ＋ 常高阶平均 曲率的条件下讨 论了 口 １中紧致类空超 曲面的全脐问题． ＋
关键词 ：ａ ｔ ｄ ｉ ｅ ｎ ｉ ｅＳｔ ｒ空间；类 空超 曲面；高阶平均 曲率；积分公式． — ｔ
３３ ０
熟知 ， ａｔｄ ｉｅ 空 间 日 是 标准 的单连 通具 常截 曲率 一１的 Ｌ ｒｎｚ空间形 式 ． ｎｉ ｅ ｔ ｒ — Ｓｔ “ ｏｅｔ 如果 ： ｎ一 日 ｃ日 Ｍ ＋ ＋ 是 一个 光滑 Ｒｅ ｎ ｉ ｍａｎ浸 入 ，则 称 ｎ维 （ ２ 连 通流形 Ｍ ｎ ） 为 日 中的类 空超 曲面． “ 本 文将讨 论 ａｔｄ ｉ ｅ 空 间中的紧致 类空超 曲面 ． ｎｉ ｅ ｔ ｒ — Ｓｔ 注意到 ａｔｄ ｉ ｅ 空 间中的每个 ｎｉ ｅＳｔ ｒ — ｔ 紧致类 空超 曲面 Ｍ ｎ都 有一 个整 体类 时单位 法 向量场 Ⅳ， 们将 Ⅳ 视作 这个 浸入 的 Ｇａ ｓ 我 ｕｓ 映射 ，且 说 的定 向 由 Ⅳ 决 定 ． 霹 ， Ｍ 的 Ｌ ｖ Ｃｖ ａ 日 ＋和 ｅｉ ｉｔ 联络分别记作 。 和 ． （ ｏ ， ：一 Ｘ） — ｉ ， 由 ｖ ｒ ） （ 和 （ ） ， ＝一１ 我们 有 ，
欧氏空间中常高阶平均曲率紧致凸超曲面与高斯映像
欧氏空间中常高阶平均曲率紧致凸超曲面与高斯映像王琪【摘要】For an oriented, compact and convex hypersurface M without boundary in the ( n+1 )-dimensional Euclidean space Rn+1, we apply a known integral formula and put out a new skill to prove that if there exits an integer r (1≤r≤n-1) such that the r-mean curvature Hr is a constant and if the Gauss map of M is a topological homeomorphism onto the standard unit sphere Sn, then M is totally umbilical.%针对(n+1)维欧氏空间Rn+1中紧致无边凸超曲面M,利用一个已知的积分公式,并提出一种新的技巧,证明了:如果存在一个整数r(1≤r≤n-1)使得M的第r阶高阶平均曲率Hr是常数,并且M的高斯映照是到标准单位球面Sn的拓扑同胚,则M全脐.【期刊名称】《福州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(046)003【总页数】4页(P307-310)【关键词】欧氏空间;凸超曲面;高阶平均曲率;高斯映照;全脐性质【作者】王琪【作者单位】贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳 550005【正文语种】中文【中图分类】O186.160 引言2004年， Alencar等[1]研究球面空间Sn+1中常高阶平均曲率的紧致无边超曲面，建立起一类积分公式，并通过这些公式，利用高斯映像来刻画超曲面的全脐性质得到了定理1. 文献[2]研究欧氏空间Rn+1中以低维球面为边界, 具有常数高阶平均曲率的紧致超曲面. 其建立了相应的积分公式，同时利用高斯映照的一种条件，讨论超曲面的性质，得到了定理2. 本研究讨论欧氏空间Rn+1紧致无边超曲面, 通过一个已知的积分公式，并采用一种新的“分割”技巧，利用高斯映照来刻画超曲面的性质，得到了一个新的定理，即以下定理3.1 预备知识设n维黎曼流形M等距浸入到一个(n+1)维黎曼流形中，并设λi(1≤i≤n)是M的主曲率函数，则M第r阶高阶平均曲率Hr有以下定义[1-4]:同时定义H0≡1.当M可定向时， M具有整体的单位法向量场N. 记Sn是n维标准单位球面，则M的Gauss映照定义为φ:M→Sn，φ(p)=N(p) (∀p∈M)需要使用一个积分公式，即下列引理1.引理1 [4] 设M是Rn+1中紧致无边定向超曲面. 用x表示M在Rn+1中的位置向量， N表示M的光滑单位法向量场. 则以下积分公式成立其中：〈, 〉表示Rn+1的欧氏内积， dx表示黎曼流形M的n维黎曼体积元.2 主要结果定理1 [1] 设M是单位球面Sn+1空间中紧致无边超曲面. 假设M的某一个高阶平均曲率Hr(1≤r≤n-1)是正常数，同时下列不等式处处成立Hr-1≥0， H1Hr-1≥Hr>0如果M的高斯映照像落在一个闭的半球面内，则M是全脐的.定理2[2] 设M是Rn+1中定向紧致带边界超曲面，且假设M的某个高阶平均曲率Hr(2≤r≤n)是常数，同时M⊂π的边界为圆球面Sn-1. 如果M的高斯映照像落在一个超平面π的一侧，则M一定是n维圆盘或球面盖.定理3 设M是Rn+1中紧致无边定向凸超曲, 且M的某一个高阶平均曲率Hr(1≤r≤n-1)是常数. 如果M的高斯映照是到标准单位球面Sn的拓扑同胚，则M是全脐的.证明因为M是凸的，所以M整个落在其每一点之切超平面的一侧，则可以适当选择M的单位法向量场的指向，那么在M的每一点处，其主曲率函数λi(1≤i≤n)均为非负.因为M是紧致无边的，根据文献[4]的论证， M必有严格椭圆点，即：在该点处必有Hr>0.而本研究假设Hr是常数，所以有Hr>0 (∀x∈M)根据文献[1-2]，产生代数不等式结合以上两式有Hi>0，∀x∈M (i=1, 2, …, r)根据另外一个熟知的代数不等式[1-8]，可得∀x∈M (i=1, 2, …, r)(1)由以上分析立即有H1≥H2/H1≥…≥Hr/Hr-1≥Hr+1/Hr (∀x∈M)(2)现在，应用引理1的积分公式，有(3)(4)因为Hr为常数，由式子(3)可得(5)再由式子(4)～(5)可知(6)注意到式子(2)则有H1Hr-Hr+1≥0 (∀x∈M)(7)为完成证明，本研究将采用“分割法”：即分部分来证明M的脐性.首先，因为M是凸的和闭的，所以M必定包围一个(n+1)维的凸区域D. 则M 恰是某个凸区域D的边界，即M=∂D.任意取定D的一个内点O∈D，并且以点O作为Rn+1的原点.任意取定Rn+1的一个通过原点的n维超平面n，即Σn是Rn+1的一个线性子空间. 同时记Sn是n维标准单位球面.记Σn-1=Sn∩Σn=Sn-1则Σn-1=Sn-1即是Sn的一个(n-1)维赤道，而Σn就是相应的n维赤道面.因为Σn经过Rn+1的原点，所以可以假定Σn={x=(x1, …, xn, xn+1)∈Rn+1:xn+1=0}今写M的单位法向量场N为N=(τ1, …, τn, τn+1)并记于是坐标平面Σn将单位球面Sn划分为上、中、下三个部分，即：而且互不相交.注意到本研究的假设：高斯映射φ:M→Sn是拓扑同胚，若记则M的这三个部分互不相交，而且M=M+∪M-∪M0现在，可以将式子(6)重新写作(8)其中以下分别估计上面三项： A、 B和C.首先，因为假设高斯映射φ:M→Sn是拓扑同胚，而拓扑映射保持维数不变，所以M0=φ-1(Sn-1)是Rn+1中一个(n-1)维子集. 于是有(9)其次，因为高斯映射φ:M→Sn是拓扑同胚，所以，将落在n维坐标面Σn的同一侧，否则将破坏φ-1的连续性. 再注意到：事实上有M0=φ-1(Sn-1)=M∩Σn，于是的位置向量x与其单位法向量N(x)的夹角必须是锐角，所以〈x, N〉=〈x, N(x)〉>0 (∀x∈M+)(10)由式子(7)和式子(10)，有(11)另一方面，只能落在n-维坐标面Σn的另外一侧，因此有〈x, N〉=〈x, N(x)〉>0 (∀x∈M-)(12)由式子(7)和式子(12)，可得(13)现在，由式子(6)、 (9)以及式子(12)～(13)，事实上有A=B=0(14)再次注意到式子(7)、 (9)以及式子(11)、 (13)，可得H1Hr-Hr+1=0, ∀x∈M+ (∀x∈M-)(15)至此，由式子(15)可知：在M+和M-的每一点处，式子(7)的不等式，事实上都取到了等号.再由式子(1)中任意一个不等号取到等号的条件，可得： M+和M-的每一点都是脐点.最后，因为Rn+1的坐标原点可以在M所包围的凸区域的内部任意取定，而且Sn的赤道平面Σn也是可以任意旋转的，所以M是全脐的.参考文献：[1] ALENCAR H, ROSENBERG H, STANTOS W. On the Gauss map of hypersurfaces with constant scalar in spheres[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2004, 132(12): 3731-3739.[2] 张远征. Rn+1中常高阶平均曲率超曲面[J]. 数学学报， 2005, 48(4):647-652.[3] HARDY G, LITLEWOOD J, POLYA G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.[4] KHO S E. A characterization of round spheres[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1998, 126(12): 3657-3660.[5] 王琪. 正曲率空间形式中超曲面的全脐性与高阶平均曲率[J]. 数学学报, 2014, 57(1): 47-50.[6] 王琪. anti de Sitter 空间中全脐类空超曲面与高阶平均曲率[J]. 山西大学学报(自然科学版), 2016, 39(3): 403-405.[7] 王琪. de Sitter空间中紧致类空超曲面的全脐性与高阶平均曲率[J]. 安徽大学学报(自然科学版), 2016, 40(1): 7-10.[8] 王琪. 双曲空间中全脐超曲面与高斯映照像[J]. 浙江大学学报(理学版), 2016, 43(5): 537-538， 549.。
中山大学固体物理第五章参考答案
4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子能量函数En(k) 能量
最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。
二度简并
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你认为其晶体能带相 对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准连续的。
反。
构造一虚拟的 空穴带，以描 述空穴动力学
k
逸失一电子 后的价带
2、能隙的由来？利用能带理论解释导体、 半导体以及绝缘体？
要点：本质是由于原子与原子的相互作用能 级分裂成能带，能带之间即是能隙。晶体中 是由于周期性势场的影响，在布里渊区边界 处bloch波的散射形成了能隙。
导体半导体绝缘体：电子的填充+能隙的大 小
(3)空穴：k(状态)空间的一种状态空缺，是存在这一空缺的整
个能带的描述，同其它电子一样，在真实空间的位置不确定，
在k空间的运动方向与其它电子相同，总带正电荷。
k 如果轨道中一个波矢为
能带是对称的，有
Ee
(ke
)
Ee
(ek的e ) 电Eh子(k逸e ) 失Eh,(k则h )，空显穴然的有波矢E为h (k-h
边界条件：波函数和它的一阶导数在x=c,和a处连续
U(x)
U0
1区 2区 3区
b x
0 ca Aeic Beic Cei 'c Dei 'c , ( Aeic Beic ) '(Cei 'c Dei 'c ) Cei 'a Dei 'a eika ( Aeia Beia ), '(Cei 'a Dei 'a ) eika ( Aeia Beia )
金属材料成型加工复习资料(名词解释、简答、论述)
塑性变形包括晶内变形和晶间变形。
通过各种位错运动而实现的晶内一部分相对于另一部分的剪切运动就是晶内变形，常温下有滑移和孪生，当T>0.5TR时，可能出现晶间变形，高温时扩散机理起重要作用。
孪生。
孪生后结构没有变化，取向发生了变化，滑移取向不变，一般孪生比滑移困难，所以形变时首先发生滑移，当切变应力升高到一定数值时才发生孪生，密排六方金属由于滑移系统少，可能开始就形成孪晶。
扩散对变形的作用：一方面它对剪切塑性变形机理可以有很大影响，另一方面扩散可以独立产生塑性流动。
扩散变形机理包括：扩散-位错机理；溶质原子定向溶解机理；定向空位流机理。
扩散-位错机理：扩散对刃位错的攀移和螺位错的割阶运动产生影响；扩散对溶质气团对位错运动的限制作用随温度的变化而不同。
溶质原子定向溶解机理：晶体没有受力作用时，溶质原子在晶体中的分布是随机的，无序的，如碳原子在α-Fe,加上弹性应力σ（低于屈服应力的载荷）时，碳原子通过扩散优先聚集在受拉棱边，在晶体点阵的不同方向上产生了溶解碳原子能力的差别，称之为定向溶解，是可逆过程。
定向空位机理则是由扩散引起的不可逆的塑性流动机理。
屈服强度是指金属抵抗塑性变形的抗力，定量来说是指金属发生塑性变形时的临界应力。
金属的实际屈服强度由开动位错源所需的应力和位错在运动过程中遇到的各种阻力。
实际晶体的切屈服强度=开动位错源所必须克服的阻力+点阵阻力+位错应力场对运动位错的阻力+位错切割穿过其滑移面的位错林所引起的阻力+割阶运动所引起的阻力。
面心立方金属单晶体的应力-应变曲线。
1.硬化系数θ较小，一般认为在此阶段只有一个滑移系统起作用，强化作用不大，称位易滑移阶段。
2.硬化系数θ最大且大体上是常数，对于各种面心立方金属具有相同的数量级，故称为线性硬化阶段。
3.硬化系数θ随变形量的增加而逐渐减小，故称为抛物线强化阶段。
面心立方金属形变单晶体的表面现象。
1.除了照明特别好（暗场），用光学显微镜一般看不到滑移线。
贵州大学18级能源动力工程 工程流体力学名词解释
名词解释：1.流体：在任何微小的剪切力的作用下都能够发生连续变形的物质2.连续介质假说：将流体视为由连续分布的质点构成，流体质点的物理性质及其运动参量是空间坐标和时间的单值和连续可微函数。
3.理想流体：假想没有粘性的流体。
4.牛顿流体：剪切应力和流体微团脚变形速度成正比的流体即符合牛顿内摩擦定律的流体。
5.质量力：作用于流场中每一流体质点上的力，属于非接触力，其大小与质量成正比。
单位质量流体所受到的质量力称为单位质量力。
6.毛细现象：由于内聚力和附着力的差别使得微小间隙液面上升和下降的现象。
7.浸润现象：当液体和固体壁面接触时，若内聚力小于附着力，液体将在固体壁面上伸展开来，浸润固体壁面。
8.毛细压强：由表面张力引起的附加压强。
9.计示压强：以大气压为基准度量的压强，a e P -P P =。
10.绝对压强：以绝对真空为基准度量的压强，gh ρ+=a P P 。
11.压力体：由曲面和自由液面或者其延长面所包容的体积。
12.等压面：在流体中压强相等的点组成的面。
13.欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。
14.拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。
15.当地加速度:t∂∂υ,是某一空间点上由于速度随时间变化引起的加速度，称为当地加速度，是由流场的不稳定性所产生的。
16.迁移加速度：速度对坐标求偏导所得的项()υυ•∇，是由于不同空间点上的速度不同引起的，是流场的非均匀性所产生的。
17.定常流动：流场中流动参量均不随时间变化的流动。
18.流线：速度场的矢量线，任一时刻t ，曲线上每一点处的切向量都与该点的速度向量相切，沿流线微分方程：0=⨯v r d 。
迹线：流体质点的运动轨迹曲线。
19.缓变流：流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。
20.急变流：流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、弯管等处的流动为急变流。
西工大——材料性能学期末考试总结
材料性能学第一章材料单向静拉伸的力学性能一、名词解释。
1.工程应力:载荷除以试件的原始截面积即得工程应力σ，σ=F／A0。
2.工程应变：伸长量除以原始标距长度即得工程应变ε，ε=Δl／l0。
3.弹性模数：产生100％弹性变形所需的应力。
4.比弹性模数（比模数、比刚度）：指材料的弹性模数与其单位体积质量的比值。
（一般适用于航空业）5.比例极限σp：保证材料的弹性变形按正比关系变化的最大应力，即在拉伸应力—应变曲线上开始偏离直线时的应力值。
6.弹性极限σe：弹性变形过渡到弹-塑性变形（屈服变形）时的应力。
7.规定非比例伸长应力σp：即试验时非比例伸长达到原始标距长度(L0)规定的百分比时的应力。
8.弹性比功(弹性比能或应变比能) a e: 弹性变形过程中吸收变形功的能力，一般用材料弹性变形达到弹性极限时单位体积吸收的弹性变形功来表示。
9.滞弹性：是指材料在快速加载或卸载后，随时间的延长而产生的附加弹性应变的性能。
10.粘弹性：是指材料在外力作用下，弹性和粘性两种变形机理同时存在的力学行为。
11.伪弹性：是指在一定的温度条件下，当应力达到一定水平后，金属或合金将产生应力诱发马氏体相变，伴随应力诱发相变产生大幅的弹性变形的现象。
12.包申格效应：金属材料经预先加载产生少量塑性变形（1-4%），然后再同向加载，规定残余伸长应力增加，反向加载，规定残余伸长应力降低的现象。
13.内耗：弹性滞后使加载时材料吸收的弹性变形能大于卸载时所释放的弹性变形能，即部分能量被材料吸收。
（弹性滞后环的面积）14.滑移：金属材料在切应力作用下,正应力在某面上的切应力达到临界切应力产生的塑变,即沿一定的晶面和晶向进行的切变。
15.孪生：晶体受切应力作用后,沿一定的晶面(孪生面)和晶向(孪生方向)在一个区域内连续性的顺序切变,使晶体仿佛产生扭折现象。
16.塑性：是指材料断裂前产生塑性变形的能力。
17.超塑性：在一定条件下，呈现非常大的伸长率(约1000％)，而不发生缩颈和断裂的现象。
常曲率和拟常曲率Riemann流形中的常平均曲率超曲面
广西大学硕士学位论文常曲率和拟常曲率Riemann流形中的常平均曲率超曲面姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***2001.5.1１．摘要本文采用ＥＩｉｅＣａｒｍａｎ活动标架法，研究了常曲率和拟常曲率Ｒｉｅｍａｎｎ流形的常平均曲率超曲而，得到了超曲面为全测地的一个充分条件和三个推论，所得主要结论如下：１。
设Ｍ是常曲率Ｒｉｅｍａｎｎ流形Ⅳ”１向≯的常平均曲率为Ｈ的紧致可定向超曲面，若Ｍ的第二基本形式长度平方Ｓ锄ｃ＋ｎ２Ｈ２且Ｍ的Ｒｉｃｃｉ曲率Ｒ。
＝ｍ一２Ｊｃ，则Ｍ是全测地的。
２。
设Ｍ是拟常曲率Ｒｉｅｍａｎｎ流形Ⅳ”７中的常平均曲率为片的紧致可定向在Ｍ上处处成超曲面，ｒｌ∈ＴＭ，若Ｋ＝ｍ＋１ＪＬＳ＜丁＋月。
∥且Ｒ。
立，则Ｍ是全测地的。
关键词：拟常曲率空间，常平均曲率，全测地，第二基本形式ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｓｔｕｄｙｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｉｎｆｌＲｉｅｍａｎｎｍａｎｉｆｏｌｄｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｃｕｒｖａｔｕｒｅａｎｄｗｉｔｈｑｕａｓｉｃｏｎｓｔａｎｔｃｕｒｖａｔｕｒｅｂｙｔｈｅｕｓｅｏｆｍｏｖｉｎｇｆｒａｍｅｓｂｙＥｌｉｅＣａｒｔａｎａｎｄｇｅｔｔｗｏｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｔｈａｔａｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅＭｂｅａｔｏｔａｌｌｙｇｅｏｄｅｓｉｃｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅ，ｉｎｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｒｅｅｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓｆｒｏｍｏｎｅｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒａｒｅｔｈａｔ１。
ＬｅｔＭｂｅａｃｏｍｐａｃｔｏｒｉｅｎｔｅｄｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅＨｉｎａＲｉｅｍａｎｎｍａｎｉｆｏｌｄＮ肿１（ｃ）ｏｆｃｏｎｓｔａｎｔｃｕｒｖａｔｕｒｅＩｆｓ＜砌ｃ＋＂２序ａｎｄｔｈｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｏｆｔｈｅＲｉｃｃｉｔｅｎｓｏｒｆｏｒＭａｒｅＲ０２ｍ一２Ｊｃ，ｔｈｅｎＭｉｓｔｏｔａｌｌｙｇｅｏｄｅｓｉｃ２。