(新)高中数学2_1_3超几何分布学案新人教B版选修2-3

2.1.3 超几何分布

1.理解超几何分布及其推导过程.(重点、难点)

2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 超几何分布

阅读教材P 44～P 45例1以上部分，完成下列问题.

设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为P (X ＝m )＝C m M C n －m

N －M

C n

N (0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)超几何分布的模型是不放回抽样.(√)

(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.(×) (3)超几何分布中的参数是N ，M ，n .(√)

(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.(√)

2.设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 3

7

C 510表示( )

A.5件产品中有3件次品的概率

B.5件产品中有2件次品的概率

C.5件产品中有2件正品的概率

D.5件产品中至少有2件次品的概率

【解析】 根据超几何分布的定义可知C 2

3表示从3件次品中任选2件，C 3

7表示从7件正品中任选3件，故选B.

【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

超几何分布概率公式的应用

从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球

得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率.

【精彩点拨】 摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.

【自主解答】 设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝25，M ＝10，n ＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P (X ＝2)＝C 2

10C 3

15

C 525

≈0.385，

即恰好得7分的概率约为0.385.

1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解.

2.注意公式中M ，N ，n 的含义.

[再练一题]

1.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列.

【解】 X 的可能取值是1,2,3. P (X ＝1)＝C 1

6·C 2

2C 38＝3

28；

P (X ＝2)＝C 2

6·C 1

2C 38＝15

28；

P (X ＝3)＝C 3

6·C 0

2C 38＝5

14

.

故X 的分布列为

X 1 2 3 P

328

1528

514

超几何分布的分布列

袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设

取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.

(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率.

【精彩点拨】 写出X 的可能值→求出每个X 对应的概率→写出分布列 【自主解答】 (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.

P (X ＝5)＝C 14C 3

3C 47＝4

35，

P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝18

35，

P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝12

35，

P (X ＝8)＝C 44C 47＝1

35.

故所求分布列为

X 5 6 7 8 P

435

1835

1235

135

(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝

12

35＋135＝1335

.

求超几何分布的分布列时，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值，分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.

[再练一题]

2.在本例中，设X 1为取得红球的分数之和，X 2为取得黑球的分数之和，X ＝|X 1－X 2|，求X 的分布列.

【解】 从袋中任取4个球的情况为： 1红3黑，X 1＝2，X 2＝3，X ＝1； 2红2黑，X 1＝4，X 2＝2，X ＝2； 3红1黑，X 1＝6，X 2＝1，X ＝5； 4红，X 1＝8，X 2＝0，X ＝8.

P (X ＝1)＝C 14C 3

3C 47＝435，P (X ＝2)＝C 24C 2

3C 47＝18

35，

P (X ＝5)＝C 34C 1

3C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 4

4C 47＝1

35.

故所求的分布列为：

X 1 2 5 8 P

4

35

1835

1235

135

[探究共研型]

超几何分布的综合应用

探究 从含有5件次品的100件产品中任取3件.这100件产品可分几类？取到的次品数X 的取值有哪些？求次品数X ＝2的概率.

【提示】 产品分两类：次品和非次品；X 取值为：0,1,2,3；P (X ＝2)＝C 25C 1

95

C 3100

.

在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元

的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列.

【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布.

【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.

P (X ＝1)＝C 1

4C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝3

5.

因此X 的分布列为

X 0 1