河北省邢台市第一中学2018-2019学年高一直升班上学期期末数学试题(原卷版)
邢台市第一中学2019直升级部高一（上）期末测试数学
第I 卷
一､选择题
1.已知集合2{|1}A x x ==，2{|2}B x x x ==，则A B =U （ ）
A. {1,0,1,2}-
B. {0}
C. {1,1,2}-
D. {1,2}
2.若45o 角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ）
A. 3
B. 32-
C. 1
D. 32 3.已知sin tan 0αα<，
tan 0cos αα<，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,2，则2(log f =（ ）
C. 12
D. 1 5.设向量12,e e r r 是平面内的一组基底，若向量123a e e =--r r r 与12
b e e λ=-r r r 共线，则λ=（ ） A. 13 B. 1
3- C. 3- D. 3
6.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为1005Q x =-，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ）
A. 15元
B. 13元
C. 11元
D. 10元
7.设函数1,{|21,}()1,{|2,}x x x k k Z g x x x x k k Z -∈=-∈⎧=⎨∈=∈⎩
，则下列结论不正确的是（ ） A. ()g x 的值域为{1,1}-
B. ()g x 不单调函数
C. ()g x 是奇函数
D. ()g x 是周期函数
8.已知1(0,5)P ，2(2,1)P -，3(1,4)P -，则向量12PP u u u u v 在向量13PP u u u u v 方向上的投影是（ ）
A. 4
B. 210
C. 22
D. 105
9.函数()sin()f x x ωφ=+(0,)2π
ωφ><的部分图像如图所示，以下说法：
①()f x 的单调递减区间是[21,25]k k ++，k Z ∈；
②()f x 的最小正周期是4；
③()f x 的图像关于直线3x =-对称；
④()f x 的图像可由函数sin
4
y x π=的图像向左平移一个单位长度得到. 正确的个数为（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 10.设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A. a b c <<
B. a b c >>
C. b a c >>
D. c a b >> 11.已知奇函数()y f x =的图像关于点(
,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ）
A. ()1sin f x x =--
B. ()1sin f x x =-
C. ()1cos f x x =--
D. ()1cos f x x =- 12.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6
A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mA
B nA
C +=u u u v u u u v u u u v ，则2n m -=（ ）
A. 199
B. 4122-
C. 111-
D. 1711
第Ⅱ卷
二､填空题
13.已知半径为2的扇形OAB 的弦长22AB =__________．
14.函数1()1
x f x x +=-，[2,6]x ∈的最大值为__________． 15.已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______．
16.若函数222,1()43,1
x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是__________． 三､解答題
17.已知集合A
是函数2log (62)y x =-{|11}B x x a =-<-≤.
（1）当1a =-时，求A B U ；
（2）当A B B =I 时，求实数a 的取值范围.
18.已知α第二象限角，3sin()cos()tan()22()tan()sin()
f ππαααπααπαπ-+-=----. （1）化简：()f α；
（2）若3tan 4
α=-，求()f α的值. 19.设单位向量1,e r 2e r 的夹角是3π，且()122,a e e =-+r r r 1245b e e =-r r r .
（1）求||a r ；
（2）求a r 与b r 的夹角.
20.已知函数()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4.
（1）求a 的值以及()f x 的单调递减区间；
（2）当[,]22
x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 21.设sin ,sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r cos ,sin ,4b x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭r ()2f x a b =r r g . （1）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
π时，求()f x 的最大值和最小值； （2
）已知2f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且当22παπ≤≤时，求()f α值. 22.
已知函数()log )a f x x =（0a >且1a ≠）.
（1）判断函数()f x 的奇偶性；
（2）判断函数()f x 在(0,+)∞上的单调性，并证明你的结论；
（3）当1a >
时，若不等式()0f f mx +-<对于(0,+)x ∈∞恒成立，求m 的最大值.。
河北省邢台市第一中学2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题(含解析)
邢台一中2018——2019学年下学期第一次月考高一年级数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分），，的一个通项公式为（，），，1. ，数列B. A.D.C.C 【答案】【解析】【分析】以为首项，其次数列各项绝对值构成一个以首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，1 2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．a，{【详解】∵数列，}各项值为，，，，n∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，an﹣2∴|1|＝n又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，C故选：．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其n na．﹣11＝（﹣）（2）∴n规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．） 2.，则若等差数列中，为（C. 4D. 3B. 6A. 8D 【答案】【解析】解：由等差数列的性质可知：.本题选择D选项. 1，则公差（7 ）3.项和在等差数列，前中，已知D. -3C. -2A. 2B. 3B 【答案】【解析】得列中前知项可已所和为因等差数，，以，B.，故选4，设等比数列中，前项和，已知 B.A.C.D.A 【答案】【解析】，成等比数列，则试题分析：因为是等比数列，所以．即，故选A，解得，即考点：等比数列的性质及其应用．，则5.（的内角）所对的边分别是，已知D.C.A.B.【答案】C【解析】【分析】，变形得，根据余弦定理可求得由余弦定理可得答案．【详解】根据题意，若，则有：，，整理得：可得：，2中，又在，．C故选：．【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．6.，且在等比数列）中，若成等差数列，则其前项和为（C.B.A.D.B 【答案】【解析】【分析】，再利用等比数列的求和公式，即，设等比数列的公比为，根据题设条件求得.可求解公比为【详解】由题意，设等比数列，因为，所以，，解得的成等差数列，所以，又由解得，即，B. 所以，故选其中解答中熟记等比通项公式和前n项和公式的应用，【点睛】本题主要考查了等比数列属于基准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数列的通项公式和求和公式，的. 础题知的取值范围是（件的三角形有两个，则）D.A.B.C.A 【答案】【解析】【分析】在，即可求解。
河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
河北省邢台市2018-2019学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B∴故选：B2. 一个等差数列的首项与第3项分别为2，10，则该等差数列的公差为（）A. 4B. -4C. 3D. 8【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由题意得：∴故选：A3. 已知，是两个变量，下列四个散点图中，，虽负相关趋势的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由图可知C选项中的散点图描述了随着的增加而减小的变化趋势，故选：C4. 已知等比数列的公比为一2，且,则（）A. -8B. 8C. -4D. 4【答案】D【解析】由题意可知：故选：D5. 下列四个数中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，故选：C6. 某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号，依从小到大的编号顺序平均分成50个小组，组号依次为1，则第7小组抽到的号码是（）A. 100B. 110C. 120D. 126【答案】B【解析】由已知得，解得，∴第7小组抽到的号码是.故选：B7. 设集合，，若，则（）A.的最大值为-7B.的最大值为-8C.的最小值为-7D.的最小值为-8【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴，即.∴的最小值为-7故选：C8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，，输出的，则输入的的值不可能为（）A. 100B. 1000C. 2000D. 10000【答案】C【解析】若运行程序框图后，输出的，若，运行程序框图后，输出的，故选：C9. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴函数为奇函数，排除B，D.又，故排除C，故选：A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．10. 某商场在周末推出购物满100元赠送一次抽奖机会的活动，抽奖是这样进行的：一盒子内放有大小完全相同编号为2，4，5，6，8，9的6个小球，每次从中随机摸出3个小球.若这3个小球的编号可以构成等比数列，则获得一等奖：若这3个小球的编号可以构成等差数列，则获得二等奖。
【全国百强校】河北省邢台市第一中学2019年高一直升班上学期期末考试数学试题
邢台市第一中学2019直升级部高一（上）期末测试数学考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修1、必修4．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|1A x x ==，{}2|2B x x x ==，则A B =U （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}0C ．{1,1,2}-D ．{1,2} 2．若45︒角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ）A ．3B ．32-C ．1D ．323．已知sin tan 0,αα<tan 0cos αα<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知幂函数()y f x =的图象经过点2,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则(2log f =（ ）A B C ．12 D ．15．设向量1,e r 2e r 是平面内的一组基底，若向量123a e e =--r r r 与12b e e λ=-r r r 共线，则λ=（ ）A ．3B ．13C ．-3D ．13- 6．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为1005Q x =-，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ）A ．15元B ．13元C ．11元D ．10元7．设函数1,{|21,}()1,{|2,}x x x k k g x x x x k k -∈=-∈⎧=⎨∈=∈⎩Z Z ，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．()g x 的值域为{1,1}-B ．()g x 不是单调函数C ．()g x 是奇函数D ．()g x 是周期函数 8．已知1(0,5),P 2(2,1),P -3(1,4)P -，则向量12PP u u u u r 在向量13PP u u u u r 方向上的投影是（ ）A ．4 B． C． D9．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，以下说法：①()f x 的单调递减区间是[21,25],k k ++k ∈Z ；②()f x 的最小正周期是4；③()f x 的图象关于直线3x =-对称；④()f x 的图象可由函数sin4y x π=的图象向左平移一个单位长度得到． 正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设6log 3,a =lg5,b =14log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>11．已知奇函数()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()1cos f x x =-，则当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =--B ．()1sin f x x =-C ．()1cos f x x =--D ．()1cos f x x =-12．在ABC V 中，2,AB =3,AC =5cos 6A =，若O 为ABC V 的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则2n m -=（ ）A ．199B ．4122-C ．111-D ．1711第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB =________．14．函数1()1x f x x +=-，[2,6]x ∈的最大值为________． 15．已知tan()1,a β+=tan()7αβ-=，则tan 2β=________．16．若函数222,1()43,1x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是________． 三、解答題：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A是函数2log (62)y x =-{|11}B x x a =-<-≤．（1）当1a =-时，求A B U ；（2）当A B B =I 时，求实数a 的取值范围 18．（12分）已知α为第二象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()a a a f a a a πππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----． （1）化简()f α；（2）若3tan 4α=-，求()f α的值． 19．（12分）设单位向量1,e r 2e r 的夹角是3π，且()122,a e e =-+r r r 1245b e e =-r r r ． （1）求||a r； （2）求a r 与b r 的夹角．20．（12分）已知函数()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图象经过点,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求a 的值以及()f x 的单调递减区间；（2）当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求使()1f x <成立的x 的取值集合． 21．（12分）设sin ,sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos ,sin ,4b x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2f x a b =⋅． （1）当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值；（2）已知2a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22a ππ≤≤时，求()f a 的值．22．（12分）已知函数)()log a f x x =（0a >且1a ≠）． （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并证明你的结论；（3）当1a >时，若不等式()0f f mx +-<对于(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的最大值．。
河北省邢台市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
邢台一中2022-2023学年上学期期末考试高一年级数学试题第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin(-1320o )=（）A.1 B.12-C.D.2.已知集合2121(12x x A x +-⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，304x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.{}34x x -<< B.{}33x x -<< C.{}34x x -<≤ D.{}33x x -<≤3.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是（）A.ln y x=- B.tan()y x =- C.3y x =- D.1y x=4．函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为（）A ．()4,3--B ．()3,e --C ．()e,2--D ．()2,1--5.命题p ：0x R ∃∈，使得200680kx kx k -++<成立．若p 是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.[]01,B.(0,1]C.(,0)(1,)-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞⋃+∞6．已知幂函数()y f x =的图象过()4,2A ，()cos1,B m ，()sin1,C n 三点，则m 与n 的大小关系为（）A ．m n>B ．m n<C ．m n=D ．不能确定7.已知tan()22απ-=-，则31cos()sin()22π14ππααα+--+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A.22B. C.12D.18.“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系ax b y e +=（,a b 为常数），若该果蔬在5C o 的保鲜时间为216小时，在20C o 的保鲜时间为8小时，那么在10C o 时，该果蔬的保鲜时间为（）小时．A ．72B ．36C ．24D ．162二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下到说法错误．．的是（）A.若α终边上一点的坐标为(3,4)(0),k k k ≠则3cos 5α=B.α为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0αα<C.将函数()cos(2)3f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()cos 2g x x =的图象D.若1sin cos 5αα+=，且0απ<<，则4tan 3α=-10．已知b a ,为正数，41a b +=，则下列说法正确的是（）A.114a b+的最小值为4 B.ba 11+的最小值为9C.(41)(1)a b ++的最大值为94D.(1)(1)a b ++的最大值为9411.已知函数()()4log 1,1,411x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（）A ．若()1f a =，则5a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则14k ≥12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()2f x f x c +=（c 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有（）A.3y x = B.tan y x= C.2sin y x=D.y =第II 卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}22(28)10A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则a 的取值集合为______.14.已知函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.15.如图，在Rt PBO V 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧AB 等分POB V 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.16.函数()f x 为定义在00∞⋃+∞（-，）（，）上的奇函数，且(3)1f =，对于任意()1212,0x x x x ∈+∞≠，，，都有112212()()0x f x x f x x x ->-成立，则()3f x x≤的解集为_________四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）设R a ∈，集合(){}(){}22|log 2|30A x x a B x x a x =+<=-+<，，（1）若2a =，求A B⋃（2）若R 3()A B ∈⋂ð，求a 的取值范围.18.（12分）函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）部分图象如图所示，已知41x x π-=.再从条件①112x π=、条件②26x π=、条件③32x π=这三个条件中选择两个作为已知.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()6f x π-的单调增区间.19.（12分）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）[,]46x ππ∈-时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求,a b的值。
河北省邢台市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题
河北省邢台市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,,(0,)a b c ∈+∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于23．下列导数公式正确的是( ) A ．()nnxnx '=B ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin cos x x '=-D ．()xxe e'=4．cos 12π的值为（ ）5．函数()sin2xx f x e=的大致图像是（ ）A. B.C. D.6．若平面中，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知()()2ln 1f x x =+，()1()2xg x m =-，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是( ) A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．已知等差数列{}n a 中，111a =，前7项的和735S =，则前n 项和n S 中( ) A.前6项和最大 B.前7项和最大 C.前6项和最小D.前7项和最小9．曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．2eB ．24eC ．22eD ．292e 10．“0x ∀>，2sin x x >”的否定是( ) A.0x ∀>，2sin x x < B.0x ∀>，2sin x x ≤ C.00x ∃≤，002sin x x ≤D.00x ∃>，002sin x x ≤11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A.2- B.1-C.0D.212．已知集合 ，，则（ ）A.B.C.D.二、填空题 13．已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点到右焦点的距离为______．14．正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB AG ?________.15．已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项12017a =，前n 项和为n S ，若2a 是4a 与6a 的等差中项，则2017S =__________．16．已知非零向量,,a b c 满足：(2)(2)=0a c b c -⋅-，且不等式||||||a b a b c λ++-≥恒成立，则实数λ的最大值为________.三、解答题 17．已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间。
高一第一学期期末考试试题及答案
高一第一学期期末考试试题及答案2018-201年度第一学期期末考试高一数学考试说明：本试题分为第I卷和第II卷两部分。
考试时间为120分钟，满分150分。
第I卷和第II卷答案填涂在答题卡上，考试结束后只上交答题卡。
考生在答卷前务必将姓名、班级、准考证号填写在答题纸规定的位置上。
第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑。
如需改动，先用橡皮擦干净，再选择其他答案标号。
第II卷必须用中性笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
第I卷（选择题，60分）一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1.设集合U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,4}，则C=U(A∪B)=（）A。
{3} B。
{2} C。
{1,2,4} D。
{1,4}2.下列四个集合中，是空集的是（）A。
{x|x+3=3} B。
{(x,y)|y=-x,x,y∈R} C。
{x|x<x} D。
{x|x-x+1=0}3.若函数f(x)=x(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是（）A。
单调递减的偶函数 B。
单调递增的偶函数 C。
单调递减的奇函数 D。
单调递增的奇函数4.已知log2 3=a，log2 5=b，则log2(3^2×2^a/b)=（）A。
5 B。
a-2b C。
2a-2b D。
b/5a5.已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log3(x+1)，则f(-2)=（）A。
1 B。
-1 C。
0 D。
无意义6.计算2^(-1/2)+(-4)^2/1/2+(1/2-1)-5的结果是（）A。
1 B。
2 C。
2^(2) D。
27.设f(x)=lg(x+1)/ln(e^x+x)，g(x)=ex+x，则（）A。
f(x)与g(x)都是奇函数 B。
f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 C。
f(x)与g(x)都是偶函数 D。
河北省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．设、、、、是均含有个元素的集合，且，1A 2A 3A L 7A 217A A ⋂=∅()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记，则中元素个数的最小值是（ ） 1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ B A ． B ．C ．D ．5678【答案】A【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由1x 2x L ()4n x n ≥B 4n ≥n 小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合1x 2x L ()4n x n ≥B 3n =12A A ⋂≠∅乎题意.①假设集合中含有个元素，可设，则，B 4{}112,A x x ={}24634,A A A x x ===，这与矛盾；{}35712,A A A x x ===17A A ⋂=∅②假设集合中含有个元素，可设，，B 5{}1612,A A x x =={}2734,A A x x ==，，，满足题意. {}351,A x x ={}423,A x x ={}545,A x x =综上所述，集合中元素个数最少为. B 5故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.2．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的()f x R ()()10f x f x ++=()f x （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解. ()()10f x f x ++=()()2f x f x +=【详解】由得，， ()()10f x f x ++=()()1f x f x +=-所以，，即.()()()()()()()111fx f x f x f x ++=-+=--=()()2f x f x +=所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件. ()()10f x f x ++=()f x 如下图是一个周期为得函数，2得不出，()()10f x f x ++=所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件. ()()10f x f x ++=()f x 所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件. ()()10f x f x ++=()f x 故选：A.3．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假p 2[1,2],0x x a ∈-…q 2000,220x x ax a ∈++-=R p q 命题，则实数的取值范围是（ ） a A ． B ．C ．或D ．且2a -…1a ≤2a -…=1a 2a >-1a ≠【答案】D【分析】当命题为p 真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，可求出 a ≤1，当命题q 为真时，为二次方程有解问题，用“ ”判断，可得a ≤﹣2或∆a ≥1，先判定“且”是真命题，即p 真q 真时，的范围，再求出实数a 的补集即可． p q a 【详解】当命题为p 真时，即：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0“， 即当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0， 又当x ＝1时，x 2﹣a 取最小值1﹣a ， 所以1﹣a ≥0， 即a ≤1，当命题q 为真时，即：∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a ＝0， 所以＝4a 2﹣4（2﹣a ）≥0， ∆所以a ≤﹣2或a ≥1， 又命题“p 且q ”是真命题， 所以p 真q 真，即，121a a a ≤≤-≥⎧⎨⎩或即实数a 的取值范围是：或；2a ≤-=1a 故命题“p 且q ”是假命题时，实数a 的取值范围是且. 2a >-1a ≠故选：D ．4．已知函数的定义域为R ，为偶函数，，当时，()f x ()2f x -()()20f x f x -+-=[]2,1x ∈--（且），且．则（ ）()14x f x ax a =--0a >1a ≠()24f -=()131k f k ==∑A ．16 B ．20 C ．24 D ．28【答案】C【分析】由条件可知有对称轴，对称中心，推出具有周期性，由()f x 2x =-(1,0)-4T =()24f -=求得的值，可分别计算，结合周期性计算即可.a (1),(2),(3),(4)f f f f ()131k f k =∑【详解】因为是偶函数，所以，所以， ()2f x -()2(2)f x f x --=-()(4)f x f x =--所以函数关于直线对称，()f x 2x =-又因为，所以， ()()20f x f x -+-=()()2f x f x --=-所以，所以关于点中心对称， ()(2)f x f x =---()f x (1,0)-由及得 ()(4)f x f x =--()(2)f x f x =---(4)(2)f x f x --=---所以 (4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数的周期为， ()f x 4因为当时，（且），且， []2,1x ∈--()14xf x ax a =--0a >1a ≠()24f -=所以，解得：或，因为且，所以. 21424a a -=+-2a =4a =-0a >1a ≠2a =所以当时，，[]2,1x ∈--()1()242xf x x =--所以，，， (2)4,(1)0f f -=-=(3)(1)0f f -=-=(0)(2)4f f =--=-，，， (1)(14)(3)0f f f =-=-=(2)(2)4f f =-=(3)(1)0f f =-=，所以，(4)(0)4f f ==-(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=所以,()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑故选：.C 5．下列命题中，正确的有（ ）个①对应：是映射，也是函数； 21R,R,:1A B f x y x ==→=+②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；(1)f x -()2f x ,102⎛⎫⎪⎝⎭，③幂函数与图像有且只有两个交点；23y x -=4y x =④当时，方程恒有两个实根.0b >210xb --=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可； 对于②，由抽象函数的定义求解即可； 对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.21xy =-y b =【详解】解：对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的21R,R,:1A B f x y x ==→=+定义，故①对；对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数()1f x -1x -()()10,1,20,10,2x x ⎛⎫∈∴∈⇒∈ ⎪⎝⎭()2f x 的定义域为，故②对102⎛⎫⎪⎝⎭，对于③，幂函数上单调递增，在上单调递减且图像过23y x-==(,0)-∞(0,)+∞ ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过()()1,1,1,1-4y x =(,0)-∞(0,)+∞()()1,1,1,1-所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个1x >21x-1b >210x b --=实根.故④错；故选：C6．已知定义域为R 的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a ，使得关()f x ()g x ()()2xf xg x +=于x 的不等式在区间上恒成立，则正整数n 的最小值为（ ） ()()()()0--≤nf x a g x a []1,2A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在11()22x x f x ---=+11()22x x g x ---=-上的值域，再由不等式有或求a 的范围，进而求出正整数n 的范围.[]1,2()()a f x n g x a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩【详解】由题设，，又，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=()()2xf xg x +=联立可得：，，11()22x x f x ---=+11()22x x g x ---=-又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，()1f x ≥=0x =()f x (,0)-∞(0,)+∞所以，在上，[]1,2517()[,48f x ∈而在上递增，故，11()22x x g x ---=-[]1,2315()[,]48g x ∈若，则且n 为正整数，只需即可.()()a f x n g x a⎧≥⎪⎨⎪≤⎩15584n a ≤≤2n ≥若，则且n 为正整数，不成立； ()()a f x n g x a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩17384n a ≤≤综上，正整数n 的最小值为2. 故选：B【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值()f x ()g x 域，最后由不等式恒成立求参数a 的范围，即可得n 的范围.7．定义域为的函数，若关于x 的方程恰有5个不同的实R ()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩2()()0f x bf x c ++=数解，，，，，则等于（ ） 1x 2x 3x 4x 5x ()12345f x x x x x ++++A ．1 B ．C ．D ．02lg 23lg 2【答案】C【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程()f x 2x =2x 的一根，求出的值，即可得解. ()()20f x bf x c ++=12345x x x x x ++++【详解】令，作出函数的大致图象，()u f x =()u f x =当时，， 2x ≠()()4lg 42lg 2lg 2f x x x x f x -=--=-=-=故函数的图象关于直线对称，()f x 2x =因为关于的方程恰有个不同的实数根，x ()()20f x bf x c ++=5则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， u 20u bu c ++=1u 2u 121u =设方程的两根分别为、，且，则， ()1u f x =1x 2x 12x x <124x x +=所以，，， 3456x x x ++=12345=10x x x x x ++++因此，. ()10lg83lg 2f ==故选：C.8．已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意R ()f x ()()12f x f x +=()0,1x ∈()1sin π4f x x =-，都有的取值范围是（ ）(],x m ∈-∞()f x ≥m A ． B ． C ．D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可得当时，，且，令(]2,3x ∈()()()[]=42=sin π21,0f x f x x --∈--(]π2π,3πx ∈，得或，结合图象即可得的取值范围.sin πx -=73x =83x =m【详解】解：由得：， ()()12f x f x +=()()21f x f x =-又当时，，(]0,1x ∈()11sin π,044f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故当时，；(]1,2x ∈()11sin[π(1)],022f x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦依此类推得：当时，，且.(]2,3x ∈()()[]42sin[π(2)]1,0f x f x x =-=--∈-(]π2π,3πx ∈如图.由或，解得或.故若对sin πx -=sin πx =ππ2π3x =+2π2ππ3x =+73x =83x =任意，都有.(],x m ∈-∞()f x …73m …故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．，B ．若，则x ∀∈R 12x x+≥0a b <<3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若，则D ．若，，，则 ()20x x -<()2log 0,1x ∈0a >0b >1a b +≤104ab <≤【答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当时，为负数，所以A 不正确； 0x <1x x+若，则，考虑函数在R 上单调递增， 0a b <<110b a<<3()f x x =所以，即，所以B 正确；11()()f f a b >3311()()a b>若，则，，所以C 不正确； ()20x x -<02x <<2log (,1)x ∈-∞若，， 0a >0b >1a b +≤21,0(224a b a b ab ++≤<≤=所以D 正确.故选：BD【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） ()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+A ．，为奇函数 ,R a b ∃∈()f x B ．，为偶函数 R,R b a ∃∈∀∈()f x C ．，的值为常数 ,R a b ∃∈()f x D ．，有最小值 R,R b a ∃∈∀∈()f x 【答案】BCD【分析】对于A 、B ，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C ；对于D ，将函数解析式变形为，分和两种情()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦()0a f x -=()0a f x -≠况讨论，即可判断.【详解】解：因为，，()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+x ∈R 对于A ：若为奇函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=-22222211ax bx ax bx x x -+++=-++即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A 错220ax +=220ax +=,R a b ∈()f x 误；对于B ：若为偶函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=22222211ax bx ax bx x x -+++=++即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B 正确；0bx =0b =0bx =0b =R a ∀∈()f x 对于C ：当，时为常数函数，故C 正确；2a =0b =()222221x f x x +==+对于D ：的定义域为，，()f x R ()2221ax bx f x x ++=+所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦当，即时变形为，()0a f x -=()f x a =()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦20bx a +-=当时方程有解，0b ≠20bx a +-=当、时方程在上恒成立， 0b =2a =20bx a +-=R 当，即时，()0a f x -≠()f x a ≠方程在上有解，所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦R ()()2420b a f x f x ∆=---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即，()()()2244280fx a f x a b -++-≤因为， ()()()22221621681620a a b a b ⎡⎤+--=-+≥⎣⎦当、时变形为，解得0b =2a =()()()2244280f x a f x a b -++-≤()()2416160f x f x -+≤()2f x =，当或时，可以求得的两个值，0b ≠2a ≠()()()2244280fx a f x a b -++-=()f x 不妨设为和，则，m n ()m n <2284m n a a b mn +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩所以解得，()()()2244280fx a f x a b -++-≤()m f x n ≤≤所以当时，，有最小值，故D 正确； 0b ≠R a ∀∈()f x 故选：BCD11．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在()f x D [],a b D ⊆()f x ()f x [],a b 上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区()f x [],a b [](),0ka kb k >[],a b ()f x k 间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ） A ．B ． ()ln f x x =()()10f x x x=>C ．D ． ()()20f x x x =≥()()2011xf x x x =≤≤+【答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a 、b 的存在性，即可得答案. 【详解】A ：为增函数，()ln f x x =若存在“3倍值区间”，则，()ln f x x =[],a b ()()ln 3ln 3f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩结合及的图象知，方程无解， ln y x =3y x =ln 3x x =故不存在“3倍值区间”，A 错误； ()ln f x x =B ：为减函数， ()()10f x x x=>若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，[],a b ()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩13ab =0a >0b >所以可取，，13a =1b =所以存在“3倍值区间”，B 正确； ()()10f x x x=>C ：为增函数，()()20f x x x =≥若存在“3倍值区间”，则，得， ()()20f x x x =≥[],a b ()()2233f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩03a b =⎧⎨=⎩所以存在“3倍值区间”，C 正确；()()20f x x x =≥D ：当时，；当时，，从而可得在上单调递增， 0x =()0f x =01x <≤()11f x x x=+()f x []0,1若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不()21x f x x =+[],a b [][],0,1a b ⊆()()223131a f a a a b f b b b ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩00a b =⎧⎨=⎩符合题意， 所以不存在“3倍值区间”，D 错误． ()()2011xf x x x =≤≤+故选：BC12．已知函数，则（ ）()|sin |cos ,R f x x x x =∈A ．函数的值域为()f x 11[,22-B ．函数是一个偶函数，也是一个周期函数 ()f x C ．直线是函数的一条对称轴 34x π=()f x D ．方程有且仅有一个实数根 4()log f x x =【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A ，B ；利用对称的性质验证判断C ；利用零点()f x 存在性定理分析判断D 作答.【详解】显然，，即函数是偶函数，()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=--==()f x 又，函数是周期函数，是它的一个周(2)|sin(2)|cos(2)|sin |cos ()f x x x x x f x πππ+=++==()f x 2π期，B 正确；当时，，的最小值为，最大值为，0πx ≤≤022x π≤≤1()sin cos sin 22f x x x x ==12-12即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集0x π≤≤()f x 11[,22-()f x 0x π-≤≤()f x 合是，11[,22-因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值x ππ-≤≤()f x 11[,]22-2π()f x x ∈R ()f x 域为，A 正确；11[,22-因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此1()42f π=51()42f π=-()f x 1(,)42π34x π=51(,)42π函数图象上，C 不正确； 因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零2x >41log 2x >()f x 11[,]22-4()log f x x =(2,)+∞点，又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都01x <<22x π<<()f x 4log x 4()log f x x =(0,1)(,2)2π无零点，令，，显然在单调递减，441()()log sin 2log 2g x f x x x x =-=-[1,]2x π∈()g x [1,]2π而，，于是得存在唯一，使得，1(1)sin 202g =>4()log 022g ππ=-<0(1,2x π∈0()0g x =因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又4()log f x x =[1,]2π4()log f x x =(0,)+∞定义域为，4log x (0,)+∞所以方程有且仅有一个实数根，D 正确. 4()log f x x =故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D ，，存在常数a 使得()y f x =x D ∀∈，则函数图象关于直线对称.()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =x a =三、填空题13．设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围()22f x x x a =++x ()()0f f x <a 为____________.【答案】 ⎫+∞⎪⎪⎭【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为()f x t =1t a ≥-()()0f f x <在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成()0f t <[)1,a -+∞()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且()211y t a =++-1t =-44a ∆=-，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围. 0∆≤0∆>a 【详解】解：根据题意，可知， ()()222111f x x x a x a a =++=++-≥-设，则，()f x t =1t a ≥-因为不等式的解集为空集， ()()0f f x <即在区间上的解集为空集，()0f t <[)1,a -+∞即在区间上无解，()222110y t t a t a =++=++-<[)1,a -+∞所以在区间上恒成立，()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞对于二次函数，开口向上，对称轴为，()211y t a =++-1t =-，44a ∴∆=-当，即时，则，440∆=-≤a 1a ≥101a -≥>-所以在区间上恒成立，符合题意；()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞当，即时，440a ∆=-≥1a ≤令，解得： ()2110y t a =++-≥1t ≤-1t ≥-要使得在区间上恒成立，()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞只需满足且 11a t ->=-11a -≥-即且，解得：， 0a >210a a +-≥a ≤a ≥又因为， 1a ≤1a ≤<综上得，实数a 的取值范围是. ⎫+∞⎪⎪⎭故答案为：. ⎫+∞⎪⎪⎭14．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有Z ()f x x Z y ∈且，则______.()()()()4f x y f x y f x f y ++-=()114f =()()()()0122016f f f f +++⋅⋅⋅+=【答案】##0.5 12【分析】先用赋值法得到，即为周期为6的函数，从而得到()()6f x f x +=()f x ，赋值法求出()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，从而求出答案.()()()()()3450,2,,,f f f f f 【详解】中， ()()()()4f x y f x y f x f y ++-=令得：， 1y =()()()()()1141f x f x f x f f x ++-==所以，()()()21f x f x f x ++=+故，即， ()()()()21f x f x f x f x +++-=()()21f x f x +=--所以，()()3f x f x +=-将代替得：， 3x +x ()()63f x f x +=-+从而得到， ()()6f x f x +=即为周期为6的函数， ()f x 由于，20166336=⨯故，()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦中，()()()()4f x y f x y f x f y ++-=令得：， 1,0x y ==()()()()11410f f f f +=⋅因为，所以，()114f =()102f =令得：， 1x y ==()()()()1204114f f f f +=⋅=因为，所以， ()102f =()124f =-令得：，即， 2,1x y ==()()()()31421f f f f +=()11344f +=-解得：，()132f =-令得：，即， 2x y ==()()()()40422f f f f +=()11424f +=解得：，()144f =-令得：，即， 4,1x y ==()()()()53441f f f f +=()11524f -=-解得：， ()154f =从而， ()()()()()()1111110120244424354f f f f f f +++++=+---+=故. ()()()()()()10122016201602f f f f f f +++⋅⋅⋅+===故答案为：. 1215．已知定义域为，对于任意，，当时，则的()8ln 2+=-x f x xD 1x 2x D ∈122x x -=()()12f x f x -最小值是______． 【答案】32ln 2【分析】先求出函数的定义域,根据函数的性质设，因,则()8ln2+=-x f x x()8,2-12x x <122x x -=，，则,根据单调性和对数212x x =+()18,0∈-x ()()()()2111211202ln 18f x f x f x f x x x ⎛⎫-=+-=- ⎪+⎝⎭函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值,代入即可得出结论.2118+x x 14x =-【详解】解：由题意，由，即，解得， 802+>-x x()()820+-<x x 82x -<<∴函数定义域为，不妨设， ()f x ()8,2-12x x <∵122x x -=∴，，212x x =+()18,0∈-x ∴()()()()112111112882lnln 222+++-=+-=----x x f x f x f x f x x x ， ()()()211112211111110282020ln ln ln 1888+-⎛⎫+-===- ⎪-+++⎝⎭x x x x x x x x x x ∵，则，∴， ()18,0∈-x 21180+<x x 21120118->+x x ∴，∴，21120ln 108⎛⎫-> ⎪+⎝⎭x x ()()2121120ln 18⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭f x f x x x 根据对数函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值，2118+x x 14x =-()()21-f x f x∴. ()()()()212min 2093ln 1ln 2ln 42484⎡⎤-=-==⎢⎥-+⨯-⎢⎥⎣⎦f x f x 故答案为:32ln 2【点睛】本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.16．在函数图象与x 轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于()()()sin 20f x x ϕϕ=->,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭ϕ__________（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） π3【分析】先求出与x 轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得()f x π222kϕϕ≤+，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1k ≥1k ≤-11k -<<π02ϕ<≤得解.【详解】因为，()()()sin 20f x x ϕϕ=->令，即，得，即，则图象与x 轴的()0f x =()sin 20x ϕ-=2π,Z x k k ϕ-=∈π,Z 22kx k ϕ=+∈()f x 所有交点为，π,0,Z 22k k ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭因为其中点离原点最近，所以恒成立，,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭π,Z 222k k ϕϕ≤+∈不等式两边平方整理得，π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭当时，，因为，故恒成立； 1k ≥π02k ϕ+≥0ϕ>π02kϕ+≥当时，，即恒成立，因为，则，故；1k ≤-π02k ϕ+≤π2kϕ≤-ππ22k -≥π2ϕ≤π02ϕ<≤当，即时，显然上述不等式恒成立， 11k -<<0k =综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.π02ϕ<≤ϕπ3故答案为：（答案不唯一）. π3四、解答题17．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为，若集A T M m =-合A 中只有一个元素，则. 0A T =(1)若，求；{2,3,4,5}A =A T(2)若，，求{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ 123A A A A = 的最大值，并写出取最大值时的一组；123A A A T T T ++123,,A A A (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，*N 123,,,,n A A A A L 12355n A A A A T T T T ++++= 求n 的最大值. 【答案】(1)3A T =(2)的最大值为， 123A A A T T T ++18{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由，且要使得取到{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ 123A A A A = 123A A A T T T ++最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分123,,A A A T T T 布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的123,,,,n A A A A L *N 非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. 123,,,,n A A A A L 【详解】（1）由集合知，， {2,3,4,5}A =5,2M m ==所以.523A T M m =-=-=（2）因为，， {}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ 123A A A A = 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 123,,A A A 根据定义要让取到最大值，123A A A T T T ++则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 123,,A A A T T T 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 123A A A T T T ++78912318++---=所以有一组满足题意，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 1,2 ，因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，123,,,,n A A A A L *N不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 1A *N 10A T =1{1}A =则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 2A *N 21A T =2{1,2}A =同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，3A *N 32A T =3{1,2,3}A =是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， n A *N n 1n A T n =-{1,2,3,,}n A n = 所以， 123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==解得或（舍去）， 11n =10n =-所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．已知函数. ()()()21,R f x ax x a =+-∈(1)若，解不等式； 12a =()0f x ≥(2)解关于的不等式. x ()0f x <【答案】(1)或 {4x x ≤-}1x ≥(2)答案见解析【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；（2）分类讨论，，，与五种情况，利用二次不等式的解法解之0a =0a =20a -<<2a =-2a <-即可，注意时不等号的方向. 0a >【详解】（1）当时，，12a =()()()()11214122f x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以由得，解得或， ()0f x ≥()()14102x x +-≥4x ≤-1x ≥故的解集为或. ()0f x ≥{4x x ≤-}1x ≥（2）由得，()0f x <()()210ax x +-<当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 0a =()210x -<1x <{}1x x <令，解得或， ()()210ax x +-=12x a=-21x =当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；21a->20a -<<1x <2x a >-{1x x <2x a ⎫>-⎬⎭当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 21a-=2a =-()210x ->1x ≠{}1x x ≠当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；201a <-<2a <-2x a <-1x >2x x a ⎧<-⎨⎩}1x >当，即时，不等式解得，故不等式的解集为；201a -<<0a >21x a -<<21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭综上：当时，不等式的解集为；0a >21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为；0a ={}1x x <当时，不等式的解集为或；20a -<<{1x x <2x a ⎫>-⎬⎭当时，不等式的解集为；2a =-{}1x x ≠当时，不等式的解集为或；2a <-2x x a ⎧<-⎨⎩}1x >19．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的[),a +∞()f x ()g x kx b =+，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函),x a ⎡∈+∞⎣()()1f x g x -≤()g x ()f x [),a +∞数．(1)判断是否是函数上的弱渐近函数，并说明理由． ()g x x =()f x =[)1,+∞(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围； ()31g x x =+()3mf x x x=+[)4,+∞(3)是否存在函数，使得是函数上的弱渐近函数？若存在，求()g x kx =()g x ()f x =[)1,+∞出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)08m ≤≤(3)不存在，理由见解析【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断()f x()g x [)()()()1,f x g x x -=∈+∞函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论； (]()()0,1f x g x -∈（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝()f x ()g x ()()11mf xg x x-=-≤[)4,+∞对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围； 02m x ≤≤[)4,+∞m （3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证k k 结论.【详解】（1）[)()()1,f x g x x x --==∈+∞因为上单调递增，y x =[)1,+∞所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为 ()()f x g x -[)1,+∞1x =1故，得证．(]()()0,1f x g x -∈（2）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数， ()31g x x =+()3mf x x x=+[)4,+∞所以在区间上恒成立， ()()11mf xg x x-=-≤[)4,+∞即在区间上恒成立， 111mx-≤-≤[)4,+∞整理得：在区间上恒成立， 02m x ≤≤[)4,+∞因为在上的最小值为， 2y x =[)4,∈+∞x 8得． 08m ≤≤（3）不存在.假设存在，则有 [)()()()1,f x g x kx x -=∀∈+∞即，对任意成立， 11kx -≤[)1,x∞∈+，对任意成立．k ≤≤[)1,x∞∈+等价于，对任意成立max min k ≤≤[)1,x ∞∈+令，得， ()11h x x -(]0,1t =∈()21h t t t =-+当时，取得最大值，最大值为； 12t =14令，得， ()21h x x ==+(]0,1t =∈()22h t t t =+易知 ()(]20,2h t ∈可得，不存在． 104k ≤≤所以，假设不成立，不存在函数是函数上的弱渐近函数． ()g x kx =()f x =[)1,+∞20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000 3 02 (]36000,14400010 25203(]144000,30000020 16920 … ………(1)设全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，求； t y ()y f t =(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？(3)设小王全年综合所得收入额为（不超过521700元）元，应缴纳综合所得个税税额为元，求x y 关于的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全y x 年缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．【答案】(1)()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩(2)元1029.6(3)；5712元 [](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；（2）根据公式计算即可；（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论的情况），再结合分类讨论即可.0=t ()y f t =【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得.()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩（2）小王应纳税所得额为()189600600001896008%2%1%9%52800456034320t =--´+++--=元.则小王全年应缴纳综合所得个税为：.()343200.03343201029.6y f ==⨯=（3）小王全年应纳税所得额为，()600008%2%1%9%5280045600.8117360t x x x =--+++--=-由，则有. 0.81173600146700t x t =-=Þ=[]()0,0,1467000.8117360,146700,x t x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩则当；[]0,146700,0,0.030x t y t Î===当；(](]146700,191700,0,36000,0.030.243520.8x t y t x ÎÎ==-当；(](]191700,326700,36000,144000,0.125200.0814256x t y t x ÎÎ=-=-当.(](]326700,521700,144000,300000,0.2169200.1640392x t y t x ÎÎ=-=-故关于的函数解析式为. y x [](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩故当时，.249600x =0.08249600142565712y =⨯-=∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.21．已知函数，其中.()()sin 2sin cos 1sin cos 2f x x x x x x a =++-+-R a ∈(1)当时，若，求的值； 1a =()034f x =0sin 2x (2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.()f x ()g a ()g a ()g a 【答案】(1) 09sin 216x =(2)， ()12g a a =+()min 1g a =【分析】（1）令，可得，即可得答案；sin cos x x t +=()()()31f x h t t ==-（2）分、、、四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即16a ≥1126a -<<12a =-12a <-可得答案.【详解】（1）令，则，，sin cos x x t +=t ⎡∈⎣21sin 2t x =+∴， ()()()2112f x h t t t t a ==-+--当时，， 1a =()()()()()()()23112112314f x h t t t t t t t t ==-+--=-++-=-=∴， 54t =∴. 20259sin 2111616x t =-=-=（2）， ()()()()2222121,21122121,2t a a t a h t t t t a a t a t a ⎧-++-≥⎪=-+--=⎨+--<⎪⎩①当，即时，在上单调递增， 2124a a +≥16a ≥()h tt ⎡∈⎣∴. ()()max 12g a h t ha ===+②当，即时， 2124a a +<16a <1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调1126a -<<()h t )2a ⎡⎣212,4a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭214a +⎛ ⎝递增，∴， ()(){}max 2,g a h a h=记 ()()))222411124214s a h a h aa a a =-=----=+-在上单调递增，，∴，()s a 11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()106s a s ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()20s a h a h =-<∴.()12g a h a ==+2°.时，.12a =-()12g a h a ==+3°.时，， 12a <-()({}max ,g a h h =而， (12112h a h a =-+<<=+∴. ()12g a h a ==+综上，对，，R a ∀∈()12g a h a ==+∴，当. ()min 1g a =a =22．如图，矩形的长，两点分别在轴，轴的正半轴上移动，ABCDAD =1AB =,A D x y 两点在第一象限.求的最大值., B C 2OB【答案】7+【分析】过点作，垂足为，设，求得的坐标，由两点间的B BH OA ⊥H OAD θ∠=,,,OA BH AH B 距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，过点作，垂足为，设， B BH OA ⊥H (02OAD πθθ∠=<<则， ,,sin()cos ,cos()sin 222BAH OA BH AH πππθθθθθθ∠=-==-==-=所以，sin ,cos )B θθθ+所以222sin )cos 76cos 22OB θθθθθ=++=++， 73πθ=++又由，可得， 02πθ<<42333πππθ<+<所以当时，取得最大值12πθ=2OB 7+【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.。
最新河北省邢台市第一中学高一直升班上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年河北省邢台市第一中学高一直升班上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合2{|1}A x x ==，2{|2}B x x x ==，则A B =U （ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{0} C ．{1,1,2}- D ．{1,2}【答案】A【解析】解二次方程，化简集合A ，B ，进而求并集即可. 【详解】因为{}1,1A =-，{}0,2B =， 所以{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选A 【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题. 2．若45o 角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ） A ．3 B ．32-C ．1D ．32【答案】D【解析】利用三角函数定义可得a 的方程，解之即可. 【详解】 因为01tan4514a a +==-，所以32a =. 故选D 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 3．已知sin tan 0αα<，tan 0cos αα<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】利用三角函数式的符号推断角α的终边所在象限. 【详解】因为sin tan 0αα<，所以角α在第二或第三象限，又tan 0cos αα<，所以角α在第三或第四象限， 故角α在第三象限.故选C 【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,2，则2(log f =（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】设()af x x =，点⎛ ⎝⎭在图像上，解得a 值，进而得到结果.【详解】设()af x x =，则12222a-==，故12a =-，112211222f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A 【点睛】本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.5．设向量12,e e r r 是平面内的一组基底，若向量123a e e =--r r r 与12b e e λ=-r r r共线，则λ=（ ） A ．13B ．13-C ．3-D ．3【答案】B【解析】由题得存在R μ∈，使得a b μ=r r，得到关于μ，λ的方程组，解之即得解.【详解】因为a r与b r共线，所以存在R μ∈，使得a b μ=rr，即()12123e e e e μλ--=-r r r r，故3μ=-，1λμ-=-，解得13λ=-. 【点睛】本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为1005Q x =-，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ） A ．15元 B ．13元C ．11元D ．10元【答案】B【解析】设每天获利y 元，可得()()10056100020y x x x =---<≤（），结合二次函数的图像与性质求最值即可. 【详解】设每天获利y 元，则()()()210056100513145y x x x =---=--+ 由0x >，10050Q x =-≥，得020x <≤， 故当13x =时，每天获利最大. 故选B 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 7．设函数1,{|21,}()1,{|2,}x x x k k Z g x x x x k k Z -∈=-∈⎧=⎨∈=∈⎩，则下列结论不正确的是（ ）A ．()g x 的值域为{1,1}-B ．()g x 不是单调函数C ．()g x 是奇函数D ．()g x 是周期函数 【答案】C【解析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】,A B 选项显然正确；因为x 与x -的奇偶性相同，所以()()g x g x -=，故()g x 是偶函数，C 选项不正确；()g x 是以2为周期的周期函数，D 选项正确.故选C 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力.8．已知1(0,5)P ，2(2,1)P -，3(1,4)P -，则向量12PP u u u u v 在向量13PP u u u u v方向上的投影是（ ） A ．4 B ．210C ．22D．105【答案】C【解析】求出1213PP PP u u u u v u u u u v ，的坐标，利用12131213·cos PP PP PP PP θ=u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v 即可得到结果. 【详解】因为()122,6PP =-u u u u v ，()131,1PP =--u u u u v ，1213·4PP PP =u u u u v u u u u v，132PP =u u u u v ， 所以12131213·cos 222PP PP PP PP θ===u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v . 故选C 【点睛】本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题． 9．函数()sin()f x x ωφ=+(0,)2πωφ><的部分图像如图所示，以下说法：①()f x 的单调递减区间是[21,25]k k ++，k Z ∈； ②()f x 的最小正周期是4；③()f x 的图像关于直线3x =-对称； ④()f x 的图像可由函数sin 4y x π=的图像向左平移一个单位长度得到.正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由图像可知()f x 的周期为8，可得ω，进而得到ϕ，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】由图像可知()f x 的周期为8，故284ππω==，()sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将点()1,1代入解析式，得1sin 4πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故242k ππϕπ+=+，所以24k πϕπ=+，k Z ∈因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故①②错，③④正确.故选B 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.10．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【解析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题. 11．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ）A ．()1sin f x x =--B ．()1sin f x x =-C ．()1cos f x x =--D ．()1cos f x x =-【答案】C 【解析】当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果.【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=u u u v u u u v u u u v，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．1711【答案】D【解析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==u u u v u u u v u u u v u u u v，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-u u u v u u u v u u u v ，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，同理122n OE AE AO AC mAB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v-=-=-， 因为212·||?02m OD AB AB nAB AC -=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v， 所以124502mn -⨯-=，又212·||?02n OE AC AC mAB AC -=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=.故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB =__________． 【答案】π【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果. 【详解】在OAB ∆中，2228AB OA OB =+=， 故2AOB π∠=，故弧长22l ππ=⨯=故答案为π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 14．函数1()1x f x x +=-，[2,6]x ∈的最大值为__________． 【答案】3【解析】利用函数的单调性即可得到最大值. 【详解】因为()12111x f x x x +==+--在[]2,6上单调递减， 所以()()max 23f x f == 故答案为3 【点睛】本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题.15．已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______． 【答案】34-【解析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】()()()()()()tan tan 173tan2tan 1tan tan 1174αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯,故答案为34- 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.16．若函数222,1()43,1x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是__________． 【答案】1{|12}3a a α≤<≥或或写成1[,1)[2,)3⋃+∞ 【解析】对a 分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可. 【详解】①当2a ≥时，因为当1x <时，22x <，故()2xf x a =-无零点，所以，当1x ≥时，()()()22433f x x ax a x a x a =-+=--有2个零点，1x a =，23x a =，故2a ≥；②当02a <<时，因为当1x <时，()2xf x a =-有1个零点2log x a =，所以当1x ≥时，()()()3f x x a x a =--只能有1个零点，3x a =，故131a a <⎧⎨≥⎩，解得113a ≤<；③当0a ≤时，()f x 无零点综上，实数a 的取值范围是1{|12}3a a a ≤<≥或. 故答案为1{|12}3a a α≤<≥或 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题17．已知集合A 是函数2log (62)y x =-的定义域，集合{|11}B x x a =-<-≤.（1）当1a =-时，求A B U ；（2）当A B B =I 时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|23}A B x x =-<<U （2）{|12}a a ≤< 【解析】(1) 当1a =-时,化简集合A 与B ，进而求并集即可； （2）由A B B ⋂=可知B A ⊆，转化为不等式组，即可得到结果. 【详解】 （1）依题意得：620210xx ->⎧⎨-≥⎩， 即0322x x <⎧⎨≥⎩，解得03x ≤<，即{|03}A x x =≤< 当1a =-时，{|111}{|20}B x x x x =-<+≤=-<≤ 所以{|23}A B x x ⋃=-<< （2）集合{|11}B x a x a =-<≤+ 由A B B ⋂=，得B A ⊆， 故1013a a -≥⎧⎨+<⎩，解得12a ≤<.故实数a 的取值范围为{|12}a a ≤<. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．18．已知α为第二象限角，3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππαααπααπαπ-+-=----. （1）化简：()f α； （2）若3tan 4α=-，求()f α的值. 【答案】（1）()cos f αα=-（2）45【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用同角关系即可得到()f α的值.【详解】（1）因为()()()()3sin cos tan 22tan sin f ππαααπααπαπ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---- 所以()()()cos sin tan tan sin f αααααπαπ=⎡⎤-+-+⎣⎦所以()cos sin tan cos tan sin f ααααααα==--（2）因为sin 3tan cos 4ααα==-， 所以3sin cos 4αα=-，代入得216cos 25α=，因为α为第二象限角，所以4cos 5α=-，故()4cos 5f αα=-=【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力.19．设单位向量1,e r 2e r 的夹角是3π，且()122,a e e =-+r r r 1245b e e =-r r r.（1）求||a r； （2）求a r与b r的夹角.【答案】（1）7a =r ；（2）2π【解析】1）根据平面向量的数量积求a r的模长a r ；（2）根据向量的数量积的运算律计算0a b =r r g 得出a b ⊥r r ，即a r 与br 的夹角为2π． 【详解】解：（1）单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角是3π，则121e e ==u r u u r ，12111cos 32e e π=⨯⨯=u r u u r g； 又()122a e e =-+r u r u u r，所以2221122144414172a e e e e =++=⨯+⨯+=r u r u r u u r u u r g ， 所以7a =r；（2）由1245b e e =-r u r u u r，则()()1212245a b e e e e =-+-r r u r u u r u r u u r g g221122865e e e e =-++u r u r u u r r g1816512=-⨯+⨯+⨯0=，所以a b ⊥r r ，所以a r 与b r的夹角为2π． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，属于基础题． 20．已知函数的图像经过点.（1）求的值以及的单调递减区间；（2）当时，求使成立的的取值集合.【答案】（1）a=1, 的单调递减区间为；（2）【解析】（1）根据函数f （x ）的图象过点求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，求出它的单调递减区间； (2) 由，得,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.【详解】解：（1）因为函数的图像经过点，所以，解得又,由，得故的单调递减区间为（2）由，得 当时，故，解得： 故使成立的的取值集合为.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．21．设sin ,sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r cos ,sin ,4b x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ()2f x a b =r r g .（1）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，求()f x 的最大值和最小值； （2）已知323f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且当22παπ≤≤时，求()f α的值. 【答案】（1）min ()2f x =-max ()1f x =；（2）()25f α-=【解析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质可求出函数在给定区间上的最值；（2）由已知可得3cos sin αα-=，从而得到22cos sin 03αα=>，再根据22παπ≤≤，即可得到sin 0α<，cos 0α<，从而求出5cos sin 3αα+=-，即可求出cos2α，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解：（1）因为sin ,sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r cos ,sin ,4b x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ()2f x a b =r r g . 所以()22sin cos sin sin 44f x a b x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦r r g12sin 2sin sin 2424x x x πππ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭sin 22sin cos 44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 24x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 2sin 22x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当38x π=-即242x ππ+=-时，()f x取最小值，min ()f x = 当0x =即244x ππ+=时，()f x 取最大值，max ()1f x =；（2）因为2f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，243f απα⎛⎫⎛⎫∴-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 3αα∴-=，两边平方得，112cos sin 3αα∴-=，22cos sin 3αα∴=，2sin 23α∴=又22παπ≤≤，cos 0α∴<，sin 0α<，()225cos sin 12cos sin 133αααα∴+=+=+=cos sin 3αα∴+=-()()cos 2cos sin cos sin ααααα⎛∴=+-== ⎝⎭()2sin 2cos cos 2sin sin 2cos 2444f πππαααααα⎛⎫⎫∴=+=+=+=⎪⎪⎝⎭⎭ 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22．已知函数()log )a f x x =（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(0,+)∞上的单调性，并证明你的结论；（3）当1a >时，若不等式()0f f mx +-<对于(0,+)x ∈∞恒成立，求m 的最大值.【答案】（1）奇函数（2）详见解析（3）1 【解析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）利用单调性的定义判断即可；（3mx >对0x >恒成立，然后变量分离，转求最值即可. 【详解】（1）因为函数())log a f x x =的定义域为R ，所以()))()log log log aa af x x x f x ⎛⎫-===-=-所以函数()f x 为奇函数. （2）()))log log log aa af x x x ⎛⎫===-当1a >时，()f x 在()0,+∞上是减函数，当01a <<时，()f x 在()0,+∞上是增函数，证明如下：()))log log aaf x x x ==-任取120x x <<，则()()))1221log log aaf x f x x x -=-因为210x x >>，所以2221x x >>21x x >所以当1a >时，))21log log aax x >，()()120f x f x ->，所以()()12f x f x >，故函数()f x 在()0,+∞上是减函数.所以当01a <<时，))21log log aax x <，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，故函数()f x 在()0,+∞上是增函数.（3）由（1）知，()f x 是奇函数，()0ff mx +-<，即()ff mx <.当1a >时，由（2）知，()f x 在()0,+∞上是减函数，从而在(),-∞+∞上是减函数，mx >对0x >恒成立，即m <0x >恒成立.因为y =()0,+∞上是减函数，所以y =()1,+∞. 所以1m ≤，故实数m 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．。
【市级联考】河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
绝密★启用前【市级联考】河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A ={x|x 2=1}，B ={x|x 2=2x}，则A ∪B =（ ） A ．{−1,0,1,2} B ．{0} C ．{−1,1,2} D ．{1,2} 2．若45∘角的终边上有一点(4−a,a +1)，则a =（ ） A ．3 B ．−32C ．1D ．323．已知sinαtanα<0，tanαcosα<0，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知幂函数y =f(x)的图像经过点(2,√22)，则f(log 2√2)=（ ）A ．√2B ．√3C ．12 D ．15．设向量e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 是平面内的一组基底，若向量a =−3e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ 与b ⃑ =e 1⃑⃑⃑ −λe 2⃑⃑⃑ 共线，则λ=（ ）A ．3B ．13 C ．-3 D ．−136．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为Q =100−5x ，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ）A ．15元B ．13元C ．11元D ．10元7．设函数g(x)={−1,x ∈{x|x =2k −1,k ∈Z}，则下列结论不正确的是（ ）○…………※※订※※线※※内○…………A ．g(x)的值域为{−1,1} B ．g(x)不是单调函数 C ．g(x)是奇函数 D ．g(x)是周期函数8．已知P 1(0,5)，P 2(2,−1)，P 3(−1,4)，则向量P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影是（ ） A ．4 B ．2√10 C ．2√2 D ．√1059．函数f(x)=sin(ωx +ϕ) (ω>0,|ϕ|<π2)的部分图像如图所示，以下说法： ①f(x)的单调递减区间是[2k +1,2k +5]，k ∈Z ； ②f(x)的最小正周期是4；③f(x)的图像关于直线x =−3对称；④f(x)的图像可由函数y =sin π4x 的图像向左平移一个单位长度得到. 正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设a =log 63，b =lg5，c =log 147，则a,b,c 的大小关系是（ ） A ．a <b <c B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b11．已知奇函数y =f(x)的图像关于点(π2,0)对称，当x ∈[0,π2)时，f(x)=1−cosx ，则当x ∈(5π2,3π]时，f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=−1−sinxB ．f(x)=1−sinxC ．f(x)=−1−cosxD ．f(x)=1−cosx12．在ΔABC 中，AB =2，AC =3，cosA =56，若O 为ΔABC 的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则n −2m =（ ） A ．199 B ．−4122 C ．−111 D ．1711第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB=2√2，则该扇形的弧长是__________．14．函数f(x)=x+1x−1，x∈[2,6]的最大值为__________．15．已知tan(α+β)=1，tan(α−β)=7，则tan2β=__________．16．若函数f(x)={2x−a,x<1x2−4ax+3a2,x≥1恰有2个零点，则a的取值范围是__________．三、解答题17．已知集合A是函数y=log2(6−2x)+√2x−1的定义域，集合B={x|−1<x−a≤1}.（1）当a=−1时，求A∪B；（2）当A∩B=B时，求实数a的取值范围.18．已知α为第二象限角，f(α)=sin(π2−α)cos(3π2+α)tan(α−π)tan(−α−π)sin(−α−π).（1）化简：f(α)；（2）若tanα=−34，求f(α)的值.19．设单位向量e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 的夹角是π3，且a=−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )，b⃑=4e1⃑⃑⃑ −5e2⃑⃑⃑ .（1）求|a |；（2）求a与b⃑的夹角.20．已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)+a−2的图像经过点(π4,1).（1）求a的值以及f(x)的单调递减区间；（2）当x∈[−π2,π2]时，求使f(x)<1成立的x的取值集合.21．设a=(sinx,sin(x+π4))，b⃑=(cosx,sin(π4−x))，f(x)=2a·b⃑.（1）当x∈[−π2,0]时，求f(x)的最大值和最小值；（2）已知f(−α2)=√33，且当π2≤α≤2π时，求f(α)的值.22．已知函数f(x)=log a(√x2+1−x)（a>0且a≠1）.（2）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并证明你的结论；（3）当a>1时，若不等式f(√x2+1)−f(−mx)<0对于x∈(0,+∞)恒成立，求m的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】解二次方程，化简集合A，B，进而求并集即可.【详解】因为A={−1,1}，B={0,2}，所以A∪B={−1,0,1,2}.故选：A【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题. 2．D【解析】【分析】利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.【详解】因为tan450=a+14−a =1，所以a=32.故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 3．C【解析】【分析】利用三角函数式的符号推断角α的终边所在象限.【详解】因为sinαtanα<0，所以角α在第二或第三象限，又tanαcosα<0，所以角α在第三或第四象限，故角α在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．A【解析】【分析】设f(x)=x a，点(2,√22)在图像上，解得a值，进而得到结果.【详解】设f(x)=x a，则2a=√22=2−12，故a=−12，f(12)=(12)−12=212=√2故选：A【点睛】本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】利用向量共线可得−3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ =μ(e1⃑⃑⃑ −λe2⃑⃑⃑ )，从而可得λ值.【详解】因为a与b⃑共线，所以存在μ∈R，使得a=μb⃑，即−3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ =μ(e1⃑⃑⃑ −λe2⃑⃑⃑ )，故μ=−3，−λμ=−1，解得λ=−13.故选：D【点睛】本题考查平面向量共线的等价条件，考查函数与方程思想，属于基础题.6．B【解析】【分析】设每天获利y元，可得y=(100−5x)(x−6)−100（0<x≤20），结合二次函数的图像与性质求最值即可.【详解】设每天获利y 元，则y =(100−5x)(x −6)−100=−5(x −13)2+145 由x >0，Q =100−5x ≥0，得0<x ≤20， 故当x =13时，每天获利最大. 故选：B 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 7．C 【解析】 【分析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】A,B 选项显然正确；因为x 与−x 的奇偶性相同，所以g(−x)=g(x)，故g(x)是偶函数，C 选项不正确； g(x)是以2为周期的周期函数，D 选项正确. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力. 8．C 【解析】 【分析】求出P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，利用|P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |即可得到结果. 【详解】因为P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−6)，P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4，|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2，所以|P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2=2√2.故选：C【点睛】本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题．9．B【解析】【分析】由图像可知f(x)的周期为8，可得ω，进而得到φ，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】由图像可知f(x)的周期为8，故ω=2π8=π4，f(x)=sin(π4x+φ)，将点(1,1)代入解析式，得1=sin(π4+φ)，故π4+φ=2kπ+π2，所以φ=2kπ+π4，k∈Z因为|φ|<π2，所以φ=π4，所以f(x)=sin(π4x+π4)，故①②错，③④正确.故选：B【点睛】已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 10．A【解析】【分析】构造函数f(x)=log x x2，利用单调性比较大小即可.【详解】构造函数f(x)=log x x2=1−log x2=1−1log2x，则f(x)在(1,+∞)上是增函数，又a=f(6)，b=f(10)，c=f(14)，故a<b<c.故选：A【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.11．C 【解析】 【分析】当x ∈(5π2,3π]时，3π−x ∈[0,π2),结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数y =f(x)的图像关于点(π2,0)对称，所以f(π+x)+f(−x)=0， 且f(−x)=−f(x)，所以f(π+x)=f(x)，故f(x)是以π为周期的函数. 当x ∈(5π2,3π]时，3π−x ∈[0,π2)，故f(3π−x)=1−cos(3π−x)=1+cosx 因为f(x)是周期为π的奇函数，所以f(3π−x)=f(−x)=−f(x) 故−f(x)=1+cosx ，即f(x)=−1−cosx ，x ∈(5π2,3π] 故选：C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】设D,E 分别为AB,AC 的中点，连接OD,OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，从而得到OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设D,E 分别为AB,AC 的中点，连接OD,OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，又OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 即OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2m 2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 同理OE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AE⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2n 2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2m 2|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |2−nAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 所以1−2m 2×4−5n =0，又OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2n 2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 所以1−2n 2×9−5m =0，联立方程组{1−2m2×4−5n =01−2n2×9−5m =0，解得{m =−922n =811 ，所以n −2m =1711. 故选：D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．π 【解析】 【分析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果. 【详解】在ΔOAB 中，AB 2=OA 2+OB 2=8， 故∠AOB =π2，故弧长l =π2×2=π故答案为：π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 14．3 【解析】 【分析】利用函数的单调性即可得到最大值. 【详解】因为f(x)=x+1x−1=1+2x−1在[2,6]上单调递减， 所以f(x)max =f(2)=3 故答案为：3 【点睛】本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题. 15．−34 【解析】 【分析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=1−71+1×7=−34, 故答案为：−34【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题. 16．{α|13≤a <1或a ≥2}或写成[13,1)∪[2,+∞) 【解析】 【分析】对a 分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可. 【详解】①当a ≥2时，因为当x <1时，2x <2，故f(x)=2x −a 无零点，所以，当x ≥1时，f(x)=x 2−4ax +3a 2=(x −a)(x −3a)有2个零点，x 1=a ，x 2=3a ，故a ≥2；②当0<a <2时，因为当x <1时，f(x)=2x −a 有1个零点x =log 2a ， 所以当x ≥1时，f(x)=(x −a)(x −3a)只能有1个零点，x =3a ，故{a <13a ≥1，解得13≤a <1； ③当a ≤0时，f(x)无零点综上，实数a 的取值范围是{a|13≤a <1或a ≥2}.故答案为：{α|13≤a <1或a ≥2} 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．17．（1）A ∪B ={x|−2<x <3}（2）{a|1≤a <2} 【解析】【分析】(1) 当a =−1时,化简集合A 与B ，进而求并集即可；（2）由A ∩B =B 可知B ⊆A ，转化为不等式组，即可得到结果. 【详解】（1）依题意得：{6−2x >02x −1≥0，即{x <32x ≥20，解得0≤x <3，即A ={x|0≤x <3} 当a =−1时，B ={x|−1<x +1≤1}={x|−2<x ≤0} 所以A ∪B ={x|−2<x <3} （2）集合B ={x|a −1<x ≤a +1} 由A ∩B =B ，得B ⊆A ， 故{a −1≥0a +1<3 ，解得1≤a <2. 故实数a 的取值范围为{a|1≤a <2}. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．18．（1）f(α)=−cosα（2）45【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用同角关系即可得到f(α)的值. 【详解】 （1）因为f(α)=sin(π2−α)cos(3π2+α)tan(α−π)tan(−α−π)sin(−α−π)所以f(α)=cosαsinαtanα−tan(α+π)[−sin(α+π)] 所以f(α)=cosαsinαtanα−tanαsinα=−cosα（2）因为tanα=sinαcosα=−34， 所以sinα=−34cosα，代入得cos2α=1625，因为α为第二象限角，所以cosα=−45，故f(α)=−cosα=45【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力.19．（1）√7（2）π2【解析】【分析】(1)利用|a |2=|−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )|2结合数量积定义即可得到结果；（2）利用数量积的定义与运算律可得a·b⃑=0，从而得到结果.【详解】（1）因为e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 为单位向量，所以|e1⃑⃑⃑ |=|e2⃑⃑⃑ |=1，因为|a |2=|−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )|2=4e1⃑⃑⃑ 2+4e1⃑⃑⃑ ·e2⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ 2即|a |2=4|e1⃑⃑⃑ |2+4|e1⃑⃑⃑ ||e2⃑⃑⃑ |cosπ3+|e2⃑⃑⃑ |2，所以|a |2=4×12+4×12×cosπ3+12=7，解得：|a |=√7（2）因为a·b⃑=−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )(4e1⃑⃑⃑ −5e2⃑⃑⃑ )=−8e1⃑⃑⃑ 2+6e1⃑⃑⃑ ·e2⃑⃑⃑ +5e2⃑⃑⃑ 2=−8×12+6×12×cosπ3+5×12=−8+3+5=0，所以a⊥b⃑，即a与b⃑的夹角为π2.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.20．（1）a=1,f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k∈Z；（2）{x|−π2<x<π4}【解析】【分析】（1）根据函数f （x ）的图象过点(π4,1)求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由f(x)<1，得sin(2x −π4)<√22,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：（1）因为函数f(x)=2sinx(sinx +cosx)+a −2的图像经过点(π4,1)， 所以1=2×√22×√2+a −2，解得a =1又f(x)=2sinx(sinx +cosx)−1=2sin 2x +2sinxcosx −1 =1−cos2x +sin2x −1=√2sin(2x −π4), 由π2+2kπ≤2x −π4≤3π2+2kπ,k ∈Z ，得3π8+kπ≤x ≤7π8+kπ,k ∈Z故f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z（2）由f(x)<1，得sin(2x −π4)<√22当x ∈[−π2,π2]时，−5π4≤2x −π4≤3π4故−5π4<2x −π4<π4，解得：−π2<x <π4故使f(x)<1成立的x 的取值集合为{x|−π2<x <π4}. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题． 21．（1）最大值1，最小值−√2（2）2−√53【解析】 【分析】（1）利用数量积运算性质、诱导公式与两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质即可得出f(x)的最大值和最小值； （2）由题意可得cosα−sinα=√33，进而得到cosα+sinα=−√153，从而得到结果． 【详解】（1）f(x)=2sinxcosx +2sin(x +π4)sin(π4−x) =sin2x +2sin(x +π4)cos(x +π4),=sin2x +cos2x , =√2sin(2x +π4),当x ∈[−π2,0]时，−3π4≤2x +π4≤π4，所以当2x +π4=π4，即x =0时，f(x)的最大值为√2sin π4=1 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)的最小值为√2sin(−π2)=−√2（2）因为f(−α2)=√33，所以√2sin(π4−α)=√33，所以cosα−sinα=√33两边平方，得1−2sinαcosα=13，所以2sinαcosα=23>0 又π2≤α≤2π，所以sinα<0，cosα<0，又(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=1+23=53，所以cosα+sinα=−√153所以sin2α=2sinαcosα=23cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα−sinα)(cosα+sinα)=√33×(−√153)=−√53, 所以f(α)=√2sin(2α+π4)=√2(sin2αcos π4+cos2αsin π4)=2−√53.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，三角函数的恒等变形，考查转化思想，是一道中档题．22．（1）奇函数（2）详见解析（3）1 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）利用单调性的定义判断即可；（3）利用函数性质化抽象不等式为√x 2+1>mx 对x >0恒成立，然后变量分离，转求最值即可. 【详解】（1）因为函数f(x)=log a (√x 2+1−x)的定义域为R ， 所以f(−x)=log a (√x 2+1+x)=log a (√x 2+1−x)=−log a (√x 2+1−x)=−f(x)所以函数f(x)为奇函数.（2）f(x)=log a(√x2+1−x)=log a(√x2+1+x)=−log a(√x2+1+x)当a>1时，f(x)在(0,+∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：f(x)=log a(√x2+1−x)=−log a(√x2+1+x)任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=log a(√x22+1+x2)−log a(√x12+1+x1)因为x2>x1>0，所以x22>x12，√x22+1>√x12+1，所以√x22+1+x2>√x12+1+x1所以当a>1时，log a(√x22+1+x2)>log a(√x12+1+x1)，f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.所以当0<a<1时，log a(√x22+1+x2)<log a(√x12+1+x1)，所以f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知，f(x)是奇函数，f(√x2+1)+f(−mx)<0，即f(√x2+1)<f(mx).当a>1时，由（2）知，f(x)在(0,+∞)上是减函数，从而在(−∞,+∞)上是减函数，故√x2+1>mx对x>0恒成立，即m<√1+1x2对x>0恒成立.因为y=√1+1x2在(0,+∞)上是减函数，所以y=√1+1x2的值域为(1,+∞).所以m≤1，故实数m的最大值为1.【点睛】本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．。
河北省邢台市第一中学2018_2019学年高一数学下学期第三次月考试题(含解析)
河北省邢台市第一中学2018-2019学年高一数学下学期第三次月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共12小题，满分60分）1.在ABC ∆中，若222b c a +-=，则A =（ ） A. 30︒ B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出cos A ，由A 为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．【详解】在ABC △中，∵ 222b c a +-=，∴ 由余弦定理得：222cos 2b c A bc a +===-， 又∵()0,A π∈， ∴30A =︒ 故选：A ．【点睛】本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．2.若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ） A. 42n a n =-B. 24n a n =+C. 23nn a =⨯D.32n n a =⨯【答案】C 【解析】 【分析】061636=⨯=⨯，1183636=⨯=⨯，2549636=⨯=⨯，可以归纳出数列的通项公式．【详解】依题意，061636=⨯=⨯，1183636=⨯=⨯，2549636=⨯=⨯，所以此数列的一个通项公式为-16323n nn a =⨯=⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．3.等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，若4612a a +=，则9S 的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 54 D. 64【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6=12=a 1+a 9，再利用求和公式即可得出． 【详解】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6=12=a 1+a 9， 则S 9==9×=54．故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a c b c +≥- B. 2()0a b c -≥ C. ac bc > D.b bc a a c+≤+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质确定选项.【详解】当0c <时，a c b c +≥-不成立；因为20,0c a b ≥->，所以()20a b c -≥；当0c <时，ac bc >不成立；当0c <时，b b c a a c+≤+不成立； 所以选B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，上底为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A.2B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为4，求得原图的面积．【详解】依题意，四边形ABCD 是一个底角为45，上底为1 过C ，D 分别做CF AB ⊥，DE AB ⊥则ADE ∆和BCF ∆的等腰直角三角形1AE DE BF ∴===，又1EF CD ==，∴梯形ABCD 的面积：()113122S '=⨯+⨯=在斜二测画直观图时，直观图的面积S '与原图的面积S 之比为：4即：4S S '=2S ∴==本题正确选项：C【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．6.如图，三棱锥P ABC -中，M 、N 分别是AP 、AB 的中点，E 、F 分别是PC 、BC 上的点，且2PE BFEC FC==，下列命题正确的是（ ）A. MN EF =B. ME 与NF是异面直线C. AC 平面MNFED. 直线ME 、NF 、AC 相交于同一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质及平行直线的判定，可以排除,A B ；根据两平面相交有且仅有一条交线，可知ME 、NF 、AC 相交于同一点G ，排除C ．【详解】依题意，M 、N 分别是AP 、AB 的中点，E 、F 分别是PC 、BC 上的点，且2PE BFEC FC== //MN PB ∴，12MN PB =，//EF PB ，13EF PB =，则//MN EF ，MN EF ≠ 故A 选项错误，B 选项错误；因为,M E ∈平面APC ，,N F ∈平面ABC ，平面APC ⋂平面ABC AC = 则MENF G =，且G AC ∈ ∴直线ME 、NF 、AC 相交于同一点G故D 选项正确，C 选项错误． 本题正确选项：D【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，考查学生对于此部分公理的掌握，属于基础题．7.已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A. 3πB.C.D. 12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.8.一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为（ ）A.83B. 4C. D.【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l 它的侧面展开图是圆心角为90的扇形 22r l ππ=⋅∴ 4l r ∴=又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r =∴母线长为：44l r ==本题正确选项：B【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60A =︒，b =使此三角形有两个，则a 满足的条件是（ ）A. 0a <<B. 0<<3aC. 3a <<D.a ≥3a =【答案】C 【解析】 【分析】计算三角形AB 边上的高即可得出结论． 【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3， ∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题．10.在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB的中点，MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A.5B.5C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】∵2,AB BC AC === ∴AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()()B 0,0,0C 2,0,0,0,2,0,110,Q 0,1,0A M ，，，， 设()P 002x ，，，则()N 00x ，，，∵MN =，=x 1=∴()()0,12,11,1PQ MN =-=--，，∴cos 55PQ MN PQ MN PQMN===，∴异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为5故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．11.已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S =( ) A. 0B. 1C. 2018D. 2019【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20192018120192018S S-=即可求得2d =，结合等差数列前n 项和公式即可得解。