基于动态规划法的B样条主动轮廓模型

收稿日期:2004-09-07基金项目:国家自然科学基金资助项目(10272033);广东省自然科学基金资助项目(04105186,5300090)作者简介:张海舰(1976-),男,硕士研究生,主要研究方向为基于数字图像序列的图像处理技术.基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型张海舰,成思源,骆少明,丁 炜(广东工业大学机电工程学院,广东广州510090)摘要:对基于主动轮廓模型的图像分割方法进行了研究,提出了一种基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型.该模型结合了动态规划法与B 样条曲线的优点,不仅保留了动态规划法收敛过程稳定,能保证全局最优的优点,而且还进一步改善了其计算复杂度.实验结果验证了该方法的有效性.关键词:图像分割;主动轮廓模型;动态规划;B 样条中图分类号:TP391 文献标识码:A 文章编号:1007-7162(2005)04-0026-05图像分割指在图像中检测并勾画出感兴趣物体的处理,是图像处理领域中的重要内容之一,也是计算机视觉领域低层次视觉的主要问题.由于图像噪声及采样误差等原因通常造成目标边缘具有模糊、不连贯等特点,图像分割至今还不存在一个通用的解决方法.主动轮廓模型,又称为snake 模型,是目前研究最多、应用最广的分割方法[1].它结合了几何、物理和近似理论,通过利用从图像数据中获得的约束信息(自底向上)和目标的位置、大小、形状等先验知识(自顶向下),可有效地对目标进行分割、识别、匹配和跟踪.本文针对传统主动轮廓模型的不足,提出了一种新的基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型,并通过图像分割的实验来验证该模型的有效性.1 主动轮廓模型主动轮廓模型或snake 模型可表示为定义在s I [01]上的参数曲线v (s )=(x (s ),y (s )),其能量函数表示为[2]E snake =Q snake E (v (s ))d s =Q snake E in t (v (s ))+E ext (v (s ))d s ,(1)其中内能E in t 代表对snake 模型的形状约束,定义为E int (s )=12A (s )9v (s )9s 2+B (s )92v (s )9t 22,(2)系数A 和B 分别控制对snake 的拉伸和弯曲.外能E ext 的极小值与图像特征相对应,对于一给定图像I (x ,y ),通常可定义为E ext =-|¨I (x ,y )|2.(3)为使能量泛函(1)极小,snake 必须满足Euler 方程:-A v d (s )+B v d d (s )+¨E ext =0,(4)式(4)可改写为力平衡方程第22卷第4期2005年12月广东工业大学学报Journal o f Guangdong University of Technology Vol.22No.4December 2005F in t +F ext =0.(5)其中内力F int =A v d (s )-B v d d (s )控制snake 的连续性和光滑性,外力F ext =-¨E ext 将其吸引至目标轮廓.对模型能量的极小化包含了对内力和外力之间的折衷平衡,使结果得到轮廓模型既趋近于图像特征,又保持一定的光顺性.通过有限差分法对Euler 方程(4)进行离散化后得到线性系统方程:AV =F ,(6)其中A 为一依赖于参数A 和B 的五对角阵,V 和F 分别代表离散的轮廓点向量以及作用于其上的图像力.将V 视为时间t 的函数,则方程(6)可通过以下迭代方程求解:(I +S A )V t =(V t -1+S F (V t -1)),(7)Snake 模型具有传统分割方法无法比拟的优点:1)可以直接给出目标轮廓的数学表达,具有亚像素的精度;2)融入了目标轮廓的光滑性约束和形状的先验信息,使算法具有对噪声和边缘间断点的鲁棒性;3)经适当地初始化后,它能够自主地收敛于能量极小值状态.同时传统的主动轮廓模型也主要存在以下问题:1)轮廓由大量的离散点表示;2)难以确定光滑约束所需的参数A 和B .由此也将导致收敛速度慢,收敛不稳定等不足.2 B 样条主动轮廓模型为了克服经典snake 模型的不足,Menet 将在C AGD 邻域广泛应用的B 样条方法与主动轮廓模型相结合,提出了B 样条主动轮廓模型的概念,也称为B -snake [3].在B 样条表示中,snake 模型被分割为若干的曲线段,相邻曲线段的连接点称为结点.对于常用的均匀三次B 样条曲线,每一曲线段Q i (t )如图1所示,可表示为B 样条基函数与相邻控制顶点P i 的线性组合Q i (t )=16[t 3t 2t 1]-1 3-31 3-6 30-3 0 301 4 10P i P i +1P i +2P i +3.(8)图1 三次均匀B 样条曲线与传统的主动轮廓模型相比,B -snake 具有优点:1)参数较少;2)表达式中隐含了对轮廓的光滑性约束.因此将改善snake模型收敛过程中的不稳定问题,并大大提高收敛速度,而且轮廓的参数表达也有利于进一步的分析处理.3 基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型311 基于动态规划法的主动轮廓模型动态规划(Dynamic programming,简称DP),是求解多阶段决策过程最优化问题的一种有效的方法.Amini 等提出了基于动态规划法的snake 算法[4],首先将整个轮廓离散化,离散化后的模型能量可表达为E snake (v 0,v 1,,,v n )=E 1(v 1,v 2,v 3)+E 2(v 2,v 3,v 4)+,+E n -2(v n -2,v n -1,v n ).(9)其中E i (v i ,v i +1,v i +2)=(A i |v i -v i -1|2+B i |v i +1-2v i +v i -1|2)P 2+E ext (v i ).每个决策阶段中有v i ,v i +1,v i +2三个控制点,v i 表示第i 个决策阶段的阶段变量,有m 个可能值;v i +1,v i +2在27第4期张海舰,等:基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型第i 个决策阶段中是定值.求得上述函数最小值的一个方法是穷举法,其复杂度是O (m n );而更有效的方法是离散的DP 算法,其复杂度是O (nm 3).因此,DP 算法减少了穷举法的计算量.这样,求取能量极小化的过程则可以看成目标函数式(9)的最优化过程.将此优化过程作为离散的多步最优决策过程{s i }(1[i [n ),则第i 步决策的目标函数为s i (v i +1,v i )=min v i -1s i -1(v i ,v i -1)+E int (v i )+E ext (v i ).(10)该算法能够保证搜索区间内的全局收敛,而且算法稳定[4].极小化过程在离散网格上进行.其示意图如图2中所示,其中,曲线表示真实轮廓,实心圆为初始点v i ,空心圆为可能值(n =5,m =4),每个控制点只允许向同一列的其它3个可能值移动.图2 基于动态规划的主动轮廓模型312 基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型由以上的分析可知,基于动态规划法的snake 算法能够保证搜索区间内的全局收敛,而且算法稳定[4],但缺点是计算量较大,其计算复杂度是O (nm 3),其中n 是snake 模型上选取的控制点数目,m 为单次迭代过程中控制点在邻域中移动的大小.特别是当snake 模型上选取的控制点个数n 较大时.为结合B 样条主动轮廓模型与动态规划的优点,本文提出了基于动态规划的B 样条主动轮廓模型的方法.根据以上的分析,采用控制点和B 样条曲线段表示的活动轮廓总能量见下式(参见图1)E snake =E (P 0,P 1,,,P n -1)=E (Q 0(t ),Q 1(t ),,,Q n -1(t )).(11)公式中各项的含义如前,所求解的目标主动轮廓就是求使得E snake 最小的B 样条曲线.由B 样条具有局部支承性质可知,当一个控制点的位置发生变化时,与之对应的四段B 样条曲线也发生变化,从而导致四段曲线的能量发生变化.通过比较控制点取不同的位置得到的能量值就可以确定控制点的新位置.迭代方程如下:S k (P ki +1)=min v k S k -1(P ki )+E k (P ki ,P ki +1),(12)其中E k (P ki ,P ki +1)=E (Q i -2(t ),Q i -1(t ),Q i (t ),Q i +1(t ),Q i +2(t )).对于这时的B -snake 模型,待求的结点位置即为B 样条曲线的控制点P i ,相比于传统的离散控制点v i ,未知量的个数n 可大大减少了.对于我们所使用的三次B 样条曲线,由于自身含有C 2阶的光滑连续性约束,因此可取消掉内能.这样不但可缩减计算量,而且也克服了参数A 和B 对模型的影响.这时模型的整体能量简化为外能的计算E snake =E n -1i =0E ext (Q 0(t ),Q 1(t ),,,Q n -1(t )),(13)可通过公式(8)在B 样条曲线上采样后代入外能E ext 插值得到.其原理如图3中所示.对于图中的B 样条曲线的每个控制点P i ,i =1,2,,,n ,有m 个(m =9)可能的取值,分别对m 个位置上的E snake 值计算,选取产生最低能量的位置作为P i 的取值,依此类推.综上,得到基于DP 算法的B 样条主动轮廓的主要步骤为1)采用式(13)求得最小能量的E snake ;2)如果E snake 与前一次迭代结果相同,停止;3)将控制点移到新的计算位置;28广东工业大学学报第22卷图3 基于D P 算法的B 样条主动轮廓模型4)转到步骤1).4 算例及结论根据以上推导,在WinXP 系统环境下(计算机CP U2.0GHz,内存256MB),用Matlab 开发了基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型软件,并将其应用于图像的轮廓提取实验.首先对人工合成并添加了噪声的图像进行图像分割,原始的图像如图4(a)所示,这时用传统的边缘检测方法如Canny算子,只能得到分散且充满噪声的边缘,如图4(b)所示.然后用本文提出的方法对以上图像进行分割,其过程如图5所示.在图5(a)中,先在目标圆环周围设置几个离散点作为初始B -snake 的结点,再通过反算得到初始的B -图4 传统方法分割结果snake 模型,如图5(b)所示.并通过动态规划法迭代,模型平稳地收敛到了目标圆环的边缘,如图5(c),实现了对原图像的分割,验证了B -snake 模型的抗噪性.最后将本文提出的模型应用于头骨MRI 图像的分割,初始B -snake可平稳地收敛到目标轮图5 基于动态规划的B 样条主动轮廓模型分割结果廓,取得较好的结果,如图6所示,验证了本文方法的有效性.本方法不仅可结合动态规划法收敛过程稳定等优点,而且由于采用B 样条的表示方法,大大减少了待求解的控制点数目,并省略了内能的计算,因而进一步加强了计算简便、运算量小的优点.29第4期张海舰,等:基于动态规划法的B 样条主动轮廓模型图6 头骨MRI 图像分割结果参考文献:[1]林瑶,田捷.医学图像分割综述[J].模式识别与人工智能,2002,15(2):192-204.[2]Kass M,Witkin A,Terzopoulos D.Snakes:active contour models[J].International Journal of Computer Vision,1988,1(4):321-331.[3]M enet S,Sain-t Marc P,Medioni G.B -snake:implemen tation and application to s tereo [A].Proceedings of Image Under -standing Workshop[C].Pi ttsburgh:IEEE Computer Society Press,1990,720-726.[4]Amini A,Weymou th T ,Jain ing dynamic p rogramming for solving variational problems in vision[J].IEEE Transacti on on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(9):855-867.B -Spline Active Contour Based on Dynamic ProgrammingZHANG Ha-i jian,C HE NG S-i yuan,LUO Shao -ming,DING Wei(Faculty of Electromechanical Engineering,Guangdong Universi ty of Technology,Guangzhou 510090,China)Abstract :Image segmentation is an important problem in image processing and computer vision.The ima ge segmentation method based on active contour is researc hed,and a B -spline active contour using dynamic programming is proposed,which could converge stable and ensure global optimality of the stly the experiment result is given to show that the proposed method is feasible.Key words :image sa gmentation;active contour;dynamic programming;B -spline 30广东工业大学学报第22卷。