第10章 算法设计策略和应用实例

相同的子问题； 子问题的规模缩小到一定的程度，就不需要再 分解，可以很容易地求解； 所有子问题的解能够合并成原问题的解。
10.1.2 算法设计步骤和程序模式
原问题 问题分解 子问题 求解子问题 子问题解 子问题 求解子问题 子问题解 合并子解 原问题的解 … … 子问题 求解子问题 子问题解
图10-1 分治策略示意图
分析：按照整数乘法的定义，两个n位整数的时间复 杂度为O(n2)，而简单的分治策略把两个n位整数的乘法转 换需要4次乘法的m位整数的乘法，并没用降低时间复杂 度，但是通过把乘法次数降为3次，大整数乘法的时间复 杂度为O(n1.58)。
10.1.3 分治策略应用实例
【例10-3】计算一个数列的逆序数量。例如， 已知一个数列3、1、2、5、4，则其中存在三个 逆序：（3，1），（3，2），（5，4），如图 10-2所示。穷举法的用时为O(n2)，而采用分治策 略设计的算法时间复杂度为O(nlogn)。 采用分治策略计算逆序数量的基本思想：假 设数列保存在数组a中，将数组a中的元素划分成 大致相等的前后两部分a1和a2，然后分别计算a1 和a2中逆序的数量，最后计算逆序对（ai,aj）的 数量，其中ai是a1中的元素，aj是a2中的元素。
图10-3 拟建运动场示意图
10.2.1最优化问题与最优化原理
2.最优化原理 1951年，美国数学家R.E.Bellman等人根据多阶段决 策问题的特点，提出了解决这类问题的最优化原理 (Principle of optimality)。 最优化原理的数学语言描述为：假设为了解决某一优 化问题，需要依次作出n个决策D1、D2、…、Dn。如果 这个决策序列是最优的，那么对于任何一个整数k（1 < k < n），则Dk+1、Dk+2、…、Dn也是最优的，因为不论 前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于前面 决策所确定的当前状态。
第10章算法设计策略及应用实例 （4课时）
本章介绍了算法设计策略和应用实例，主要 目的有两个:首先，让读者知道每种算法的适用 条件，即何时可以使用和何时不能使用某种算 法设计策略；其次，让读者学习基本的算法设 计策略，即掌握如何描述自己的问题和高效、 快速地解决问题。 本章将进一步介绍五种常用算法设计策略的 基本思想和实现方法，这些策略包括分治策略、 贪心策略、动态规划策略、回溯策略和分支限 界策略，以及它们的具体应用实例。
10.2 贪心策略
贪心策略是比较容易的算法设计策略，虽然 它看上去既直观又简单，但是它却可以广泛地应 用于很多问题的求解，如最短路径问题、最小生 成树、Huffman编码、作业调度问题等。本节主 要介绍贪心策略的基本知识，然后给出了贪心策 略应用实例。
10.2.1最优化问题与最优化原理
1.最优化问题 最优化问题是在满足一定的限制条件下，对于一个 给定的优化函数，寻找一组参数值，使得函数值最大或 最小。每个最优化问题都包含一组限制条件和一个优化 函数，符合限制条件的求解方案称为可行解，使优化函 数取得最大（小）值的可行解称为最优解。
10.2.4 贪心策略应用实例
【例10-4】用贪心策略求解活动安排问题。设有n 个活动的集合E={1,2, …,n}，其中每个活动都要 求使用同一资源，而在同一时间内只有一个活动 能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该 资源的起始时间si 和结束时间fi 且si < fi 。如果选 择了活动i，则它在半开时间区间 [si ,fi ) 内占用资 源。若区间[si ,fi )与区间[sj ,fj ) 不相交，则称活动 i与活动j是相容的。也就是说，当si ≥ fj或sj ≥ fi时 ，活动i与活动j相容。 活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出数 量最多的相容活动子集合。
10.2.2 贪心策略概述
贪心策略通过一系列步骤来构造问题的解，每一步
都做出当前来看最好的选择，扩展已知的部分解， 直到获得问题的完整解。这种“当前来看最好的选 择”的策略就是该策略名称的来源。 贪心策略求解的问题一般具有以下两个重要的性质
最优子结构性
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此
10.1.1 概述
分治策略是一类算法设计策略，它将原问 题分解成若干部分，从而产生若干子问题，这 些子问题互相独立且与原问题类型相同，然后 解决这些子问题，最后把这些子问题的解合并 成原问题的解。
10.1.1 概述
分治策略所能解决的问题，一般具有以下 三个特征：
原问题可以分解成规模较小、相互独立和类型
10.2.1最优化问题与最优化原理
建运动场的问题可以抽象为最优化问题： （1）限制条件是建筑材料为300米。设x和y分别是矩 形的长和宽，限制条件为：x+2y<=300，x>0，y>0。 （2）代表问题解的优劣是矩形面积，即优化函数表示： f(x,y)=xy。 任何一组满足限制条件“x+2y<=300”的x和y都是可 行解，而使“xy”最大的是最优解。
10.1.3 分治策略应用实例
【例10-2】大整数乘法。在一些像密码技术的应用中， 需要进行超过100位的十进制整数的乘法运算。因为计 算机对于整数字节数的限制，所以无法直接运算大整 数乘积，这就需要研究高效的大整数乘法算法。 设X和Y是两个n位的大整数，采用分治策略的大整 数乘法的基本思想是将n位的整数X和Y都分成两部分， m m ，则 n / 2 X A 10 B 每部分的长度约为 和 Y C 10m D。 因此
可行性，即贪心选择必须满足问题的约束;
局部最优性，即贪心选择是当前步骤中所有可行
选择中最佳的局部选择; 不变性，即一旦做出选择，在算法的后面步骤中 就无法改变。
10.2.2 贪心策略概述
总结
贪心策略求解的问题需要具备两个性质： 第一，最优子结构性质； 第二，贪心选而第二条 性质是决定使用贪心策略的关键。具备第一条 性质的问题，如果不具备贪心选择性，而是具 备子问题重叠性，则考虑用动态规划策略设计 算法。
如图10-1所示，采用分治策略的算法设计都包括分解、求 解和合并三个步骤： （1）分解：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、 与原问题类型相同或相似的子问题； （2）求解：若子问题缩小到容易解决的规模，则直接求 解，否则递归地求解子问题； （3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
10.1.2 算法设计步骤和程序模式
分治策略的一般程序模式如下： divide-and-conquer(P) { if ( Small(P) ) return S(P); else { //把问题 P 分解成成子问题P1,P2,...,Pk (k 1); for(i=1;i<=k;i++) yi=divide-and-conquer(Pi); return combine(y1,...,yk); } }
【例10-1】矩阵乘积问题。因为矩阵可以方便地表示 两个集合中元素之间的关系，所以被用于通信网络和交通 运输系统等模型，在这些模型中经常用到矩阵的乘法。根 据矩阵乘积的定义，两个 n 阶矩阵乘积的时间复杂度为 O(n3) 。 Strassen 根据分治策略设计矩阵乘积的算法，降 低时间复杂度。 假设 n为 2的整数幂， A、 B、 C都是 n 阶的矩阵，每个 矩阵可以分解成4个n/2阶的矩阵。
10.2.4 贪心策略应用实例
【例10-5】任务调度问题。每项任务需要一个单 位的工作时间，并且每项任务都有一个截止时间 和奖励。如果任务在截止时间之前开始，就可以 获得奖励，否则就不能获得奖励。问题是如何安 排任务以获得最多的奖励。注意不需要完成所有 任务。
10.2.4 贪心策略应用实例
例如，表10-1所示的任务调度问题实例，任务1的截止时间为2指 的是任务1要在时间1或者时间2开始，否则就超过截止时间。任务 2的截止时间为1意味着任务2只能在时间1开始。因此，可能的任 务调度有[1, 3]、[2, 1]、[2, 3]、[3, 1]、[4, 1]、[4, 3]。通过观察发 现，一种合理的贪心选择策略如下：先按照任务的奖励从高到低 排序，根据这个顺序检查每个任务，如果满足截止时间的约束就 加入该任务。 表10-1任务调度问题实例 任务 截止时间 奖励 1 2 30 2 1 35 3 2 25 4 1 40
最后，矩阵乘积的结果由7个矩阵得出。
10.1.3 分治策略应用实例
C11 C12 M 1 M 4 M 5 M 7 C M2 M4 C21 C22 M1 M 3 M 2 M 6 M3 M5
分析：按照矩阵的定义，两个n阶矩阵乘积 中有n2个元素，计算每个元素需要n次乘法和 (n-1)次加法，所以需要n3次乘法和n2(n-1)次加 法，其时间复杂度为O(n3)，而通过分治策略设 计的矩阵乘积算法可以降低时间复杂度为 O(n2.81)。
10.2.3 算法设计步骤及程序模式
贪心策略的算法设计步骤一般分为四步：
建立数学模型来描述问题;
把求解的问题分成若干个子问题;
求解子问题，得到子问题的局部最优解; 通过贪心选择，扩展子问题的局部最优解，直到
构成问题的完整解。
10.2.3 算法设计步骤及程序模式
贪心策略的程序模式一般为： Greedy(C) //C是问题的输入集合，即候选集合 { S={ }; //初始解集合为空集 while (not Solution(S)) //集合S没有构成问题的一个解 { x=Select(C); //在候选集合C中做贪心选择 if Feasible(S, x) //判断集合S中加入x后的解是否可行 { S=S+{x}; C=C-{x}; } } return S; }
C11 C12 A11 C 21 C22 A21 A12 B11 A22 B21 B12 B22
10.1.3 分治策略应用实例
Strassen计算如下7个矩阵。