应用随机过程第1章补充例题及作业
例 3 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：
e x f ( x, y ) 0
（1）问变量 X 与 Y 是否相互独立？ （2）求条件分布密度函数 fY | X ( y | x) ； （3）计算条件期望 E (Y | X ) 。
0 y x other
Y 0 1 2
X
0 0.25 0.05 0.05
10 0.05 0.15 0.10
20 0.05 0.05 0.25
（1）研究吸烟数量多与健康状态差有无关联？要求利用条件分布说明； （2） 研究每天吸 x 支烟 （x = 0,10,20） 的人的平均健康状态值， 并写出条件期望 E (Y | X ) 的分布律。 5. 已知 X
N (0,1) ，U 与 X 相互独立， P{U 0} P{U 1}
1 ，令 2
X Y X
证明： Y
U 0 U 1
。
N (0,1) ，但 ( X , Y ) 不服从二维正态分布。
isX itY
注：( X , Y ) 的二维特征函数为： XY ( s, t ) E (e 为： (t ) exp(i t
1 2
1
（3）计算 E ( X | X Y n) 。 ) 的二项分布。
4. 为研究吸烟与身体健康之间的关系，以 X 表示每人每天吸烟的数量，分为 3 类：0 支、10 支和 20 支；以 Y 表示人的健康状态，分为 3 等：好、中、差，分别表示为 Y=0、Y=1 和 Y=2。在某地区随机抽样调查得到 X 与 Y 的联合分布如下表所示。
1/ 2 1/ 6 1/ 3
2 / 6 1/ 3 0
则有：Y (Y1 , Y2 , Y3 ) K ( X1 , X 2 , X 3 ) KX ，其中 X ( X1 , X 2 , X 3 ) 是三维正态随 机变量。而正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量，即 Y (Y1,Y2,Y3) 是三维正态随机 变量，其均值向量与协方差矩阵为： Y K X (0,0,0) ， Y K Y K I 。 所以有 Y1 , Y2 , Y3 相互独立并且都服从标准正态分布。 例 5 假设 E ( X | Y ) EX ，证明随机变量 X 与 Y 不相关。
作业 1
1. 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：
1 x y y e e f ( x, y ) y 0
0 x, y other
计算： （1） fY ( y) ； （2） f X |Y ( x | y ) ； （3） E ( X | Y ) 。 2. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立、 都服从标准正态分布， 又设 U X cos Y sin ， V X sin Y cos 。试证：随机向量（U,V）服从二维正态分布，并求其联合概率密度 函数 fUV (u, v) 。 3. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立，分别服从参数为 1 , 2 的泊松分布，要求： （1）利用特征函数证明： X Y 数）下，随机变量 X 服从参数为 (n, （2）证明在条件 X Y n （n 为自然 P(1 2 ) ；
Y1
Байду номын сангаас
1 1 1 ( X 1 X 2 ), Y2 ( X 1 X 2 2 X 3 ), Y3 ( X1 X 2 X 3 ) 。 2 6 3
证明： Y1 , Y2 , Y3 相互独立并且都服从标准正态分布。
1/ 2 证明：设 K 1/ 6 1/ 3
0 y x other
在条件 X x ( x 0) 下，变量 Y 在区间 [0, x]上均匀分布。 （3） E (Y | X x) 所以： E (Y | X )
x 1 x yf ( y | x)dy y dy ( x 0) 0 x 2
X 。 2
例 4 设随机变量 X1 , X 2 , X 3 相互独立，都服从标准正态分布，又设
解： （1）分别计算随机变量 X 与 Y 的边际密度函数，将其乘积与联合概率密度函数对 比，即可知变量 X 与 Y 是否相互独立。
f X ( x)
x x 0 e dy f ( x, y )dy 0
x0
xe x x0 0
x0 x0
同理可以得： fY ( y )
e y 0
x0 x0
。
因为在 G {( x, y ) | 0 y x } 中， f X ( x) fY ( y) f ( x, y) ， 所以随机变量 X 与 Y 不是相互独立的。
1 f ( x, y ) x （2） fY | X ( y | x ) f X ( x) 0
) ，多维正态分布 N ( , ) 的特征函数
1 t t ) 。 2
证明：因为
Cov( X , Y ) E ( XY ) ( EX )( EY ) E[ E ( XY | Y )] ( EX )( EY ) E[Y E ( X | Y )] ( EX )( EY ) E[Y EX ] ( EX )( EY ) 0
所以：随机变量 X 与 Y 不相关。
《概率论与随机过程》第1章习题答案
《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：{}18,,4,3 =S 。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解： {}10,,4,3 =S 。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解： {} ,11,10=S 。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
应用随机过程
概率的基本性质
(1) P() 0,
(2) 若A, B F, 则P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(3) P( A) 1 P( A)
(4) A, B F, 若A B
P(A) P(B)
若A B
P(B A) P(B) P(A)
—单调性
(5) 若An F, n 1 则
P( An )
P( An )
n1
n1
—次可列可加性
(6) 设 i j, Ai Aj , Ai
i 1
则对任意事件A, 有 P( A) P( A Ai )
i 1
（7）性质(2)的推广，Jordan公式
则 lim
n
An
n1
An
An A
(2) 如果A1 A2 An , An A
则 lim
n
An
An
n1
结论： 单调事件(集合)序列必有极限.
(8) 概率的连续性：
定理：若{An,n 1}是单调递增(或递减)的事件序列
则
lim
n
P(
An
(4)对偶原则 (De Morgan律)
AB AB AB AB
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
（1） F ；
（2）如果A F ，则 A F ；
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
随机过程第一、二章测验题答案(2010)
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
第1章 随机事件及其概率课后题答案
Ai = Ai ,
i =1
i =1
Ai = Ai .
i =1
1.1.2
概率及古典概型
1.概率的统计定义 在相同条件下,进行了 n 次试验,在这 n 次试验中事件 A 发生的次数 n A 称为事件 A 的频 数,比值
nA n 称为事件 A 发生的频率,并记为 f n ( A) ,即 f n ( A) = A . n n
; ( A B )( A B )
( A B)( A B)( A B )( A B ) = B [( A A) B] = B B = φ .
5
2.选择题 (1) 对于任意二事件 A 和 B ,与 A B = B 不等价的是( A. A ⊂ B 解 本题应选 D. (2) 设 A, B, C 是任意三个事件,事件 D 表示 A, B, C 至少有两个事件发生,则下列事件中 与 D 不相等的是( C. AB AC BC 解 本题应选 A. 1.2 练习题 1.填空题 (1) 已知 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = 全不发生的概率为 . ). B. S − ( AB AC BC ) D. ABC ABC ABC ABC A. ABC ABC ABC B. B ⊂ A C. AB = φ ). D. AB = φ
1 3 2 = 1− ( − ) = . 4 8 2 (2) 设事件 A 发生是事件 B 发生概率的 3 倍, A 与 B 都不发生的概率是 A 与 B 同时发生 2 概率的 2 倍,若 P ( B ) = ,则 P ( A − B ) = . 9 2 解 由题设由 P ( A) = 3P ( B ) = , 3
m
李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
随机过程第一章习题答案
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
[应用随机过程][习题][01]
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上海理工大学
2010-7-30
第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]
应用随机过程答案1
2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。
（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。
p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
随机过程补充例题
随机过程补充例题例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。
甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。
他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。
求甲输光的概率。
解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。
由题知，甲赢1元的概率为b p a b=+，输1元的概率为a q a b=+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金，inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ表示最终摸球次数。
如果inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。
设A =“第一局甲赢”，则()bp A a b=+，()ap A a b=+，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+01f =，0m n f +=解具有边界条件的差分方程 由特征方程2()p q p q λλ+=+（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q pλλ==，所以差分方程的通解为212()n qf c c p=+代入边界条件得1()11()nn n mq pf q p+-=--（2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为12n f c c n =+代入边界条件得1n nf n m=-+ 综合（1）（2）可得1()11()1n n m n q p p qq f p n p qn m +⎧-⎪-≠⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪+⎩若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为()lim 1n jian m q p q p p f p q→∞⎧>⎪==⎨⎪≤⎩由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，他以正的概率()n q p输光，只是他的最初赌金n 越大输光的概率越小。