实变函数论习题选解

《实变函数论》习题选解

一、集合与基数

1.证明集合关系式：

（1）)()()()(B D C A D C B A --⊂--- ； （2）)()()()(D B C A D C B A -=--； （3）C B A C B A )()(-⊆--；

（4）问)()(C B A C B A --=- 成立的充要条件是什么？

证 （1）∵c

B A B A =-，c

c c B A B A =)(（对偶律），

)()()(C A B A C B A =（交对并的分配律）

， ∴)()(

)()()()(D C B A D C B A D C B A c c

c

c c ==---第二个用

对偶律

)()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c

--=⊆= 交对并

分配律

.

（2）)()()

()()()(c c

c

c

D B C A D C B A D C B A ==--交换律

结合律

)()()()(D B C A D B C A c -==

第二个用对偶律

.

（3）)()()

()()(C A B A C B A C B A C B A c c

c

c =

==--分配律

C B A C B A c )()(-=⊆.

（4）A C C B A C B A ⊆⇔--=-)()( .

证 必要性（左推右，用反证法）：

若A C ⊄，则C x ∈∃ 但A x ∉，从而D ∀，)(D A x -∉，于是)(C B A x --∉； 但C B A x )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上，

∵A C ⊆，∴C C A = ，如图所示：

故)()(C B A C B A --=- .

2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列

A a a a a n n ∈ ),,,,,(21

所成之集的势（基数）为c .

证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n 为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ，令 n a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈== f ，]1 ,0[1111.0)1(∈== f ，

即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ n a a a ，则f 是一一对

应（双射），从而集合E 与集合]1 ,0[对等（即E ～]1 ,0[），而对等的集合有相同的基数，故c E ==]1 ,0[.

3.证明：整系数多项式的全体是可列的（可数的）.

证 对任一N ∈n ，n 次多项式n n n x a x a x a a P ++++= 2210对应于一个序列：

n a a a a ,,,,210 ，而每个)0(n i a i ≤≤取自可数集N N Z }0{-=，因此，全体n 次

整系数多项式n P 是有限个（1+n 个）可数集之并集，仍是可数的.故全体整系数多项式所构成的集合 N

∈=

n n P P 就是可数个可数集之并集，由定理1.3.8可知：它仍是可数的.

4.设]1,0[C 表示区间]1,0[上一切连续函数所成之集，试证它的势为c .

证 首先，对任意实数R ∈k ，看作常值连续函数，]1 ,0[C k ∈，

∴ ]1 ,0[C ≤R ，即 ]1 ,0[C c ≤；

另一方面，实数列全体之集}),,,,,{(21R ∈=i n a a a a E 的基数c E =，为证

c C ≤]1 ,0[，只需证]1,0[C 与E 的一个子集对等即可.事实上，把]1 ,0[中的有理数

]1 ,0[ Q 排列成 ,,,,21n r r r .对任何]1 ,0[C f ∈，则f 由它在 ,,,,21n r r r 处的

值 ),(,),(),(21n r f r f r f 所完全确定.这是因为]1 ,0[ 在Q 中是稠密的，即对任何

]1 ,0[∈x ，存在上述有理数列的一个子列)(∞→→k x r k n ，由f 的连续性知：

)(lim )(k n k r f x f ∞

→=.

现在，作映射E C →]1 ,0[:ϕ，)),(,),(),(()(21 n r f r f r f x f ，则ϕ是单射，而集E C f r f r f r f A n ⊂∈=}]1 ,0[)),(,),(),({(21 是全体实数列E 的一个子集，故

]1 ,0[C ～E A ⊂，即 c C ≤]1 ,0[.综上可知：c C =]1 ,0[.

附注 ①若∅=21A A ，∅=21B B ，又1f ：1A ～1B ，2f ：2A ～2B .则存在

f ：21A A ～21B B ；假如21A A ⊂，21B B ⊂，21,f f 的意义同前，问是否存在 12A A -到12B B -的一一对应？

解 若∅=21A A ，∅=21B B ，令⎩⎨

⎧∈∈=,

),(,

),()(2211A x x f A x x f x f 则)(x f 就是2

1A A

到21B B 的一一对应.

若21A A ⊂，21B B ⊂，则12A A -与12B B -之间不一定存在一一对应.例如：

} , ,,2 ,1{ , }, ,4 ,3{ , },, ,3 ,2{2211 n B A n B n A ====，

),3 ,2( 1:1 =+n n n f ，),2,1( :2 =n n n f ，

则1f 是1A 到1B 的一一对应，2f 是2A 到2B 的一一对应.

但}2 ,1{ },1{1212=-=-B B A A ，显然12A A -与12B B -之间不存在任何一一对应.

②几个常见的一一对应：

（ⅰ）) ,(b a ～R ，()

) ,( , tan )(2

b a x x f a b a

x ∈-⋅=--ππ； )1 ,0(～R ，)1 ,0( , 1)(2

∈-=

x x

x

x f ； （ⅱ）)1 ,0(～]1 ,0[，将)1 ,0(中的有理数排列为 , , , ,21n r r r ，而]1 ,0[中的有理数排列为 , , , , ,1 ,021n r r r .作其间的对应f 如下：

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧>====+，中无理数时是当当当当)1 ,0(

, ),2( ,,

,1 , ,0 )(221x x n r x r r x r x x f n n 则)(x f 是)1 ,0(与]1 ,0[间的一一对应. 注意 这种)(x f 一定不是连续的（为什么？）.

（ⅲ）N N ⨯～N ，()N N ⨯∈-=-),( , )12(2),(1

j i j j i f i .

这是因为任一自然数均可唯一表示为q n p

⋅=2（p 非负整数，q 正奇数），而对非负整

数p ，正奇数q ，又有唯一的N ∈j i ,使得12 ,1-=-=j q i p . （ⅳ）}]1 ,0[)()({上的一切实函数为x f x f F =，则c

F 2=. 证

1.c

F 2≥；

设E 为]1 ,0[的任一子集，)(x E χ为E 的特征函数，即⎩

⎨⎧-∈∈=.]1,0[ ,0, ,1)(E x E x x E χ

当21 E E 、均为]1 ,0[的子集，21 E E ≠时，)(1x E χ≠)(2x E χ.记