人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质(学生版)

等差数列的概念、性质

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教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 来表示。用递推关系系表示为_________________

或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式

若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则________________

3. 等差中项

如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项

4. 通项公式的变形

对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：

()11p a a p d =+-

()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=

5. 等差数列与函数的关系

由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变

量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用

（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=

（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）

（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）

（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）

（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈

（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列

（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列

类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解

例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =

A.672

B.673

C.662

D.663 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n =

A.669

B.673

C.662

D.663 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n =

A.669

B.668

C.662

D.663

例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）

A.-2

B.-3

C.-4

D.-6 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（）

A.-2

B.-3

C.-4

D.-5 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n n

a a a +==- 其中n N +∈设2

21n n b a =-

（1） 求证：数列{}n b 是等差数列

（2） 求数列{}n a 的通项公式

练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==

≥+令1n n

b a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列

（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式

练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d

例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________

练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________

练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________

类型二：等差数列的性质及与函数的关系

例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）

A.2014

B.2015

C.2013

D.2016

练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （）

A.24

B.22

C.20

D.18

练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________

练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()2

2f x ax bx c =-+的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2

练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b

（1） 求1b 和2b

（2） 求{}n b 的通项公式

（3）

{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项

1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )

A ．14

B ．21

C ．28

D ．35

4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )

A ．a 1＋a 101>0

B ．a 2＋a 100<0

C ．a 3＋a 100≤0

D ．a 51＝0

5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )

A ．30

B ．27

C ．24

D ．21

6. 等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( )

A ．60

B ．61

C ．62

D ．63