经典均值不等式练习题
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
数学课后训练：第一章§平均值不等式
平均值不等式练习1已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是（ ）．A ．2+ B ．3+ C ．2+ D ．7+2当x ＞0时，212y x x 3+＝的最小值为( ）．AB ．3CD ． 3已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是（ )． A ．3 B ．4 C ．92 D ．1124设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y ）＝1，则下列不等式正确的是( )． A ．)21x y +≥ B ．1xy ≤ C ．)21x y +≤ D ．)21xy ≥5若a 是正实数，2a 2＋3b 2＝10,则的最大值等于__________．6已知lg x ＋lg y ＝2，则11xy+的最小值为__________．7求证：21x+≥．8在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝1(定值），将图形沿AB 的中垂线折叠，使点A 落在点B 上,求图形未被遮盖部分面积的最大值．参考答案1 答案:B ∵x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＝1，∴112221+2x y x y y x xyxyxy+++=+=++≥当且仅当2y x xy=，即x =，也就是当12y =-，1x =时等号成立,故11xy+的最小值为3+．2 答案:A22133132222x x y x x x =+=++≥== 当且仅当23122x x=，即x =3 答案：B∵222(2)2x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，∴228=2222x y x y xy x y +⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭，即(x ＋2y )2＋4（x ＋2y ）－32≥0． 又x ＞0,y ＞0，∴x ＋2y ≥4．当且仅当x ＝2,y ＝1时取等号，即x ＋2y 的最小值是4． 4 答案：A ∵xy －（x ＋y ）＝1,∴212x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝y 时等号成立．∴（x ＋y )2－4(x ＋y ）－4≥0．∴x y +≥2x y +≤-（舍去）．5∵a ＞0，2a 2＋3b 2＝10,∴a =≤222232a b ++=222366a b ++=1066+==．当且仅当=即2a 2－3b 2＝6，即a 2＝4,223b =时，等号成立． 6 答案：15∵lg x ＋lg y ＝2，∴lg xy ＝2，∴xy ＝102＝100,∴1111005x y xyxy++=≥==， 当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．7 答案：证明：设t 则t ≥1，∴222422t 1111x t t t t =-+=++-≥=． 当且仅当22tt=，即t =，x =∴21x≥．8 答案：分析:根据题意先列出解析式,利用解析式中的关系及平均值不等式的定理求解．解：如图，将图形沿AB 的中垂线折叠,使点A 落在点B 上，未被遮盖部分是Rt △ACD ．设BC ＝a ，AC ＝b ，b ＜a ，则a ＋b ＝1,tan =b B a，∠ADC ＝2∠B ，DC ＝b cot 2B ．∴Rt △ACD 的面积：222211=cot 2=222a b S b B b ab -⋅1121=4a a a (-)(-)⋅ 11=324a a ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(34≤-．当且仅当12=a a ,即=2a 时,max1=(34S-． 故图形未被遮盖部分面积的最大值是1(34-．。
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题1、 求下列函数的最小值（1） 已知t > 0 ,y = tt t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ;（3）、y = 182++x x (x > 0 )（4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = xx x 2sin sin 62cos 12++的最小值（5）若x> 0,y > 0,求 (x+22)21()21x y y ++ 的最小值2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +541-x 的最大值。
3、求下列函数的最大值（1）、y = 41622++x x ; （2）、若20<x<60, y = 250022+-x x x4、已知x>0,132++x x x ≤ a 恒成立，求a 的取值范围5、已知a > 0,b > 0, a 2 +4b 2 = 1 , 求t = ba ab 22+的最大值。
6、已知:x > 0, y > 0,且x + y = 20,求lgx + lgy 的最大值7、已知：a > 0,b > 0,且.1222=+b a 求a.21b +的最大值8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。
10、求下列函数的最大值（1）0< x <23,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x -(3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 ,求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示）（4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值（5）、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值11、求下列函数的最小值（1）已知:x > 0, y > 0,且,191=+y x 求 x + y 的最小值（2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba 11+的最小值（3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值（4）、已知：x > 0,y > 0,134=+yx 求x + 3y 的最小值 （5）、已知：x ＞ 0,y ＞0,xlg2+ ylg8 = lg2. 求yx 311+的最小值均值不等式的高级应用12、求下列各式的最小值（1）、求)(162b a b a -+的最小值 (2）、设a ＞0,b ＞0, 求ab b a 211++的最小值。
经典均值不等式练习题
均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域。
技巧4：整体代换例 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证： ；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则 ；(2)若 ，则 ；
(3)若a＝2，b＝3，则 ；(4)若a＝1，b＝5，则 ．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．
高考考前复习均值不等式典型题汇编
高考考前复习均值不等式典型题汇编【典型例题】例1、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
例2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
例4、 求函数221632y x x =++的最小值.例5、已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.例6、 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.例7、 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 例8、已知0,0x y >>且22283y x +=求.例9、求函数25y x =+的最大值.【高考题汇编】例1、（重庆理，2005）若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、（天津文，2009） 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B.23 C. 1 D. 21 例3.（福建文，2011）若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】A.2 B ．3 C ．6 D ．9例4、（重庆文，2011）若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4例5、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.例6、函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2B. 3C. 4D. 5例7、函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 例8、（天津文，2011）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例9、（重庆文，2009）已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5 例10、（四川理，2009）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 例11、（重庆文，2005）若y x y x -=+则,422的最大值是 .例12、（福建理，2005）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例13、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1)例14、已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为例15、（重庆理，2011）已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5例16、（天津理，2009）设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 【 】A. 8B. 4C. 1D.14例17、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是【 】A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]例18、（重庆文，2010）0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例19、（湖北文，2004）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45 B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1 例20、（浙江理，2011）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .例21、(重庆文，2004)已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例22、（重庆理，2007）若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15 B ．4 C ．5 D ．2例22、（重庆文，2006）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12 B. 13 C. 14D. 15 例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B.12 C. 14D. 18例26、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27例27、（全国1，2004）,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12 B ．12 C ．12- D ．12+例28、（湖南理，2004）设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例29、（陕西理，2006）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例30、（全国1理，2008）若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥例31、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例32、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a。
经典均值不等式练习题
均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
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均值不等式
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*
,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2
211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）
一、 基本技巧
技巧1：凑项
例 已知54x
<，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性
例 求函数2
y =的值域。
技巧4：整体代换
例 已知0,0x y >>，且
191x y
+=，求x y +的最小值。
典型例题
1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是
2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd
b a 2+的最小值是( )
A.0
B.1
C.2
D. 4
3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )
A.[)+∞,0
B.[)+∞-,4
C.[)+∞-,5
D.[]4,4-
4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b
1的最小值是( )
A.1
B.5
C.42
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .
6. 已知,x y R +∈，且满足134
x y +=，则xy 的最大值为 .
7. 设0,0.a b >>1133a b a b
+与的等比中项，则
的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285
C.5
D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；
⑤112a b
+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()
211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11.下列命题中正确的是
A 、1y x
x
=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2
C 、4
23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小
值是2-
12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。