最新《大学物理学》气体的动理论自学练习题

《大学物理学》气体动理论

可能用到的数据：8.31/R J mol =； 23

1.3810/k J K -=?； 236.0210/A N mol =?。

一、选择题

12-1．处于平衡状态的一瓶氮气和一瓶氦气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( C )

（A ）温度，压强均不相同； （B ）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强； （C ）温度，压强都相同； （D ）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强。

【分子的平均平动动能3/2kt kT ε=，仅与气体的温度有关，所以两瓶气体温度相同；又由公式P nkT =，

n 为气体的分子数密度，知两瓶气体的压强也相同】

2．容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T ，分子质量为m ，则分子速度在x 方向的分量平均值为：（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）( D )

（A ）x υB ）x υC ）x υ=m kT 23；（D ）x υ=0。

【大量分子在做无规则的热运动，某一的分子的速度有任一可能的大小和方向，但对于大量分子在某一方向的平均值应为0】

3．若理想气体的体积为V ，压强为P ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，

R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 ( B )

（A ）m PV /； （B ）)/(kT PV ； （C ）)/(RT PV ； （D ）)/(mT PV 。

【由公式P nkT =判断，所以分子数密度为P

n

k T

=

，而气体的分子数为N nV

=】

4．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于( D ) （A ）气体的体积； （B ）气体分子的压强； （C ）气体分子的平均动量；（D ）气体分子的平均平动动能。

【见第1题提示】

5．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是( A )

（A ）氧气的温度比氢气的高；（B ）氢气的温度比氧气的高； （C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。

=

22O H M M >，所以22O H T T >】

12-2．三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度 n 相同，而方均根速率之比

1:2:4=，则其压强之比::A B C P P P 为 ( C ) （A ）1:2:4； （B ）1:4:8； （C ）1:4:16； （D ）4:2:1。

=

=，又由公式P nkT =，有

::::A B C A B C P P P T T T =，所以::1:4:16A B C P P P =】

7． 在一定速率v 附近麦克斯韦速率分布函数()f υ的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 ( D )

（A ）速率为υ的分子数；（B ）分子数随速率υ的变化；（C ）速率为υ的分子数占总分子数的百分比；（D ）速率在υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

【提示：麦克斯韦速率分布函数()/()f dN Nd υυ=，表示速率在υ附近的d υ速率区间内的分子数占

总分子数的百分比】

12-4．已知n 为单位体积分子数，()f υ为麦克斯韦速率分布函数，则()n f d υυ表示 ( B ) （A ）速率在υ附近d υ区间内的分子数；

（B ）单位体积内速率在~d υυυ+区间内的分子数； （C ）速率在υ附近d υ区间内的分子数占总分子数的百分比；

（D ）单位时间内碰到单位器壁上，速率在~d υυυ+区间内的分子数。

【提示：麦克斯韦速率分布函数

()/()f dN Nd υυ=，而/n N V =，有()/n f d dN V

υυ=，表示

单位体积内速率在υ附近的d υ速率区间内的分子数】

9．如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 ( B )

（A ）这两种气体的平均动能相同； （B ）这两种气体的平均平动动能相同； （C ）这两种气体的内能相等； （D ）这两种气体的势能相等。

【提示：气体的平均动能和气体的平均平动动能不是一回事，氢气是双原子分子，氦气是单原子分子，显然氢气多两个转动自由度，所以氢气的平均动能较大，体现在氢气的内能较大，但温度只与气体的平均平动动能有关】

10．已知氢气和氧气的温度相同，摩尔数也相同，则( D )

（A ）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强； （B ）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的数密度一定大于氢气的数密度； （C ）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定大于氧分子的速率；

（D ）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定大于氧分子的方均根速率。

【提示：由题意，氢气和氧气不同的是其摩尔质量，2

2O H M M >，由公式P nkT =，所以22

O H P P =；

=

知

<】

11．两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的( A )

（A ）平均速率相等，方均根速率相等； （B ）平均速率相等，方均根速率不相等；

（C ）平均速率不相等，方均根速率相等；（D ）平均速率不相等，方均根速不率相等。

【提示：三个统计速率分别为P

υ=

，υ=

=

12．在20℃时，单原子理想气体的内能为( D )

（A ）部分势能和部分动能；（B ）全部势能；（C ）全部转动动能；（D ）全部平动动能。

【提示：气体的平均动能和气体的平均平动动能不是一回事，温度只与气体的平均平动动能有关，内能包括气体分子的所有平均动能；单原子理想气体只有三个平动自由度，没有转动自由度，另外，理想气体模型不考虑分子势能】

13．一摩尔双原子刚性分子理想气体，在1atm 下从0C 上升到100C 时，内能的增量为

( C )

（A ）23J ； （B ）46J ； （C ）2077.5J ； （D ）1246.5J 。

【提示：利用2

mol M i

E

R T M ?=

?】

14．一容器内装有1N 个单原子理想气体分子和2N 个刚性双原子理想气体分子，当系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为： ( C ) （A ）123

5()()22N N kT kT ++；

（B ）12135

()()222

N N kT kT ++； （C ）1

23522N kT N kT +； （D ）1253

22

N kT N kT +。 【提示：内能是所有气体分子的平均动能】

二、填空题

1．质量为M ，摩尔质量为mol M ，分子数密度为n 的理想气体，处于平衡态时，物态方程为 ，物态方程的另一形式为 ，其中k 称为 常数。

【公式

mol

M

pV RT M =

和P nkT =必须掌握】 2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。 如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。

【由公式P nkT =判断】

3．宏观量温度T 与气体分子的平均平动动能kt ε的关系为kt ε= ，因此，气体的

温度是 的量度。

【见选择题第1题提示，分子的平均平动动能3/2kt kT ε=，仅与气体的温度有关】

12--4．氢分子的质量为27

3.310kg -?，如果每秒有23

10个氢分子沿着与容器器壁的法线

成45角的方向以310/m s 的速率撞击在4

22.010m -?面积上，则此氢气的压强为 （设

碰撞是完全弹性的）。

【提示：根据经典力学，一个氢分子斜撞器壁发生的动量变化为2cos 45m υ，每秒有23

10个氢分子

使得器壁受到的冲力为2cos 45m N υ?，则压强为：2cos 45m N P S

υ?=

=3

2.3310Pa ?】

12-5．在7℃时，一封闭的刚性容器内空气的压强为5

4.010Pa ?，温度变化到37℃时，该容器内空气的压强为 。

【提示：由1212P P T T =知：5

1221410(27337)2737

P P T T ?==+=+54.4310Pa ?】 12-6．湖面下50m 深处（温度为4℃），有一体积为5

31.010

m -?的空气泡升到湖面上，

若湖面的温度为17℃，气泡升到湖面上的体积为 。

【提示：由

112212PV PV T T =知：1221

21

PT V V PT = 535

5

(1.01310109.850)(27317) 1.0101.01310(2734)-?+??+=??=?+536.1110m -?】 7．如果将()f υ表示为麦克斯韦速率分布函数，则：

()p v f d υυ∞

?

的物理意义是： ；

2

()2

m f d υυυ∞

?

的物理意义是 ； 速率分布函数归一化条件的数学表达式为： ； 其物理意义是： 。

【提示：p υ速率在以上的分子数占总分子数的百分比；分子平均平动动能

；

()1f d υυ∞=?

；∞速率在0

内的分子数占总分子数的百分之百】

8．同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示， 其中曲线1为 的速率分布曲线， 的最概然速率较 大（填“氢气”或“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体 不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T 1和T 2且T 1

【提示：先考虑最概然速率公式P υ=

P υ

22

O H M M >∴曲线1为氧气的

速率分布曲线；再考虑P υ

T 1

12-9．一容器内的氧气的压强为5

1.0110Pa ?，温度为37℃，则气体分子的数密度

n = ；氧气的密度ρ= ；氧气分子的平均平动动能为 ，分子间

的平均距离d

= 。

【由公式5231.01101.3810300P n kT -?===??253

2.4410m -?；再由公式mol

M PV RT M =，有：

mol M P M V RT ρ==

，∴353210 1.01108.31300ρ-???==?31.30/kg m ；由32kt kT ε=，有21

6.2110kt J ε-=?

；d =

==93.4510m -?】 10．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为 ，转动自由度为 ；分子内原子间的振动自由度为 ，总的自由度i

= 。

【氮气为双原子分子，刚性分子不考虑振动自由度。∴平动自由度数为3，转动自由度为2，振动自由度为0，总的自由度为5】

12--6．某刚性双原子分子理想气体，处于温度为T 的平衡态，则其分子的平均平动动能为 ，平均转动动能为 ，平均总能量为 ，1mol 气体的内能为 。

【见上题提示，平均平动动能32kt

kT ε=

，平均转动动能kr kT ε=，平均总能量5

2

k kT ε=，1mol 气体的内能5

2

E RT =

】 12．1mol 氮气（看做理想气体）由状态状态1( )A p V ，

变化至状态2( )B p V ，，其内能的增量为 。

【由pV RT =知pV T R

=，氮气为双原子分子，内能为2i

E

RT =

，所以内能的增量为2

i E R T ?=?】 13．有2mol 氢气，在温度为27C 时，它的分子平动动能为 ，分子转动动能为 。

【提示：氢气为双原子分子，内能为2

i E RT ν=，包括平动动能和转动动能，所以包括平动动能为

32kt E RT ν

=，转动动能为2

2

kr E RT ν=】 14．有1mol 氧气和2mol 氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的内能为 ，氮分子的内能为 ；氧气与氮气的内能之比为 。

【提示：氧气和氮气均为双原子分子，内能为2

i E RT ν=，标准状态下的温度取273K 】

12-17．温度相同的氢气和氧气，若氢气分子的平均平动动能为21

6.2110

J -?，那么，氧气

分子的平均平动动能为 ，温度为 ；氧气分子的最概然速率

P υ= 。

【由32

kt kT ε=知氧气分子的平均平动动能也为21

6.2110J -?；2123226.2110331.3810kt T k ε--??===?? 300K ；

最概然速率公式为P

υ=

P

υ=

= 2

3.9510/m s ?】 三、计算题 12-11．温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV ，气体的温度需多高？

解：平均平动动能公式为3

2kt kT ε=。 （1）当1273T K =时，2321

1133 1.3810273 5.651022kT J ε--==???=?；

（2）当2373T K =时，2321

2233 1.38103737.721022

kT J ε--==???=?；

（3）若19

31 1.610

eV J ε-==?时，1933323

22 1.6107.731033 1.3810

T K k ε--??===???。 12-12．某些恒星的温度可达到约8

1.010K ?，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求（1）质子的平均平动动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：平均平动动能公式为3

2kt kT ε=

=

。 （1）当8

1.010

T K =?时，2381533

1.381010

2.071022

kT J ε--=

=???=?； （2

=

61.5810/m s ===?。 12-14．图中，Ⅰ、Ⅱ两条曲线分别是两种不同气体（氢

气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度；（3）若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的麦克斯韦分子速率分

布曲线，那么那条曲线的气体温度较高？

解：最概然速率公式为P υ=

。 （1）由图知，曲线Ⅱ的最概然速率为22000/P m s υ=，由于温度一样，而12P P υυ<，∴

12M M >，可判明曲线Ⅰ是氧气、曲线Ⅱ是氢气，氢气的最概然速率为2()2000/P H m s υ=；

氧气的最概然速率可由比例求出：

22

()()P O P H υυ=

，

则22

()()2000/500/P O P H m m s υυ===。 （2

）通过2

()P H υ=可求出T ：22232()2102000481228.31H P H M T K R υ-??=

==?。 （3

）若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的速率分布曲线，由最概然速率公式

P υ=

P υ

12-16．在容积为3

32.010

m -?的容器中，有内能为675 J 的刚性双原子分子的理想气体。（1）

求气体的压强；（2）若容器中分子总数为22

5.410?个，求分子平均平动动能及气体的温度。 解：内能公式为2

i

E RT ν=，理想气体满足方程pV RT ν=。刚性双原子分子5i =。 （1）∴2

i

E pV =，有5322675 1.351055210E p Pa V -?===???；

（2）由p n kT =、N

n V

=知，5322231.3510 2.0103625.410 1.3810pV T K Nk --???===???； 再由32kt kT ε=

有：23213

1.38103627.49102

kt J ε--=???=?。 12-20．储有1mol 氧气，容积为13

m 的容器以10/m s υ=的速度运动，设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。求气体的温度和压强各升高

了多少。

解：1mol 氧气质量为3

3210

kg -?，转化的气体分子热运动动能为：

321

32101080% 1.282

k E J -?=????=

由5

2k E RT ν

=有：222 1.28 6.1610558.31

k E T K R -???===??； 再由PV RT ν=有：2

8.31 6.16100.511

R T

P Pa V ν-????=

==。

12-21．有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的意义；（2）由N 和0υ求a 值；（3）求在速率0/2υ到03/2υ间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能。

解：由图可知：00

00 0() 2a

N f a υυυυυυυυ

?<

。

（1）曲线与横坐标所包围面积可以找到所有的N 个气体分子； （2）由归一化条件0

()1f d υυ∞

=?

，

得

20

d d a a N υυυυ

υυυ+=?

?

，即

002a a N υυ+= ，有0

23N

a υ=； （3）0

000

00

3

3

22

211

022

0728

a a N d a d a a υυυυυυυ

υυ

υυυυυυυ'=

+=+=??

， 将023N a υ=

代入有：7

12

N N '=； （4）0

0022

20

011()22a a f d m d m d N N

υυυυεευυυυυυυ∞

==?+??

?

?

00232300

312224a m

a m d d a m N N N υυυυυυυυυ=

+

=?

?，将023N a υ=代入有：2

03136m ευ=。

12-23．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N 个自由电子。电子气中电子的最大速率F υ叫做费米速率。电子的速率在υ与d υυ+之间的概率为：

24 00 F F Ad dN N N πυυ

υυυ

υ?>>?=?

?

>? 式中A 为归一化常量。（1）由归一化条件求A 。（2）证明电子气中电子的平均动能

ε=231

3()525F

F m υε=，此处F ε212

F m υ=叫做费米能。 解：（1）由 0

()1f d υυ∞

=?

，得

20

4d 1F

A N υπυυ=?

，即 3413F A N

πυ=，3

34F N

A πυ=；

（2）2230

143()24F

F

N f d m d N υπυεευυυυπυ∞

==???

?

4230

31313()2525F

F F F m d m υυυυευ=?==?