梁的挠度和转角
弯曲位移
a
P
x
L
写出微分方程并积分
f
P (a x ) EIf 0
(0 x a ) (a x L)
1 2 P (a x ) C 1 EIf 2 C 2
二、求挠曲线（弹性曲线）方程
1、微分方程的积分
EIf ( x ) M ( x )
EIf ( x ) ( M ( x )) dx C
EIf ( x )
( ( M ( x)) dx )dx Cx D
2 、位移边界条件
A
P
C
B
D
P
、支点位移条件：
fA 0
x
BC段: M=0 , 则 f 0 且边界条件: f C
M A
0 0, f C
BB
x
C
所以
f 0
f
同时B处须满足连续性条件, 可作图.
例5-2-5： 画出下列的挠曲线大致形状 A p p 解: 1 建立坐标系，并作弯矩图 B C x 2 根据 EIf M ( x) 得 D 2a f a a AB段: M=0, 则 f 0 fA 0 且满足边界条件：
工程近似: 简支梁，挠曲线无拐点时，其最大挠度值用梁跨 中点处的挠度值来代替。 f max fC
例5-2-4 m A f
画出下列的挠曲线大致形状 B m x 解: 1 建立坐标系并作弯矩图 2 根据 EIf M ( x) 有: C L L AB段: M<0 , 则 f 0 m f上凸
L=400mm A D 200mm
A D P1
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在结构力学中，梁是重要的承载构件之一。
随着建筑、机械、交通等领域的不断发展，梁的力学性能研究变得尤为重要。
其中，梁的挠度和转角问题作为衡量其承载能力的重要指标，一直是研究的热点。
本文将针对梁的挠度和转角问题进行分析，探讨其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度和转角概念1. 挠度概念：挠度是指梁在受到外力作用后，其轴线发生的弯曲变形程度。
通常用y表示，单位为米。
2. 转角概念：转角是指梁在受到弯矩作用时，其端部发生的旋转角度。
转角的大小反映了梁的弯曲程度。
三、梁的挠度和转角问题产生的原因及影响因素1. 原因：梁的挠度和转角问题主要是由于外力作用、材料性能、几何尺寸等因素引起的。
其中，外力作用是导致梁产生挠度和转角的主要因素。
2. 影响因素：（1）材料性能：梁的材料性能对其抗弯性能有很大影响，如弹性模量、屈服强度等。
（2）几何尺寸：梁的几何尺寸，如截面形状、尺寸等，对其抗弯性能也有很大影响。
（3）支座条件：支座的约束条件、位置等也会对梁的挠度和转角产生影响。
（4）荷载类型及大小：荷载的类型、大小及分布情况也会对梁的挠度和转角产生影响。
四、梁的挠度和转角问题的分析方法1. 理论分析法：通过建立梁的力学模型，运用结构力学理论进行计算分析。
2. 实验法：通过实验手段，对梁进行加载、测量，得到其挠度和转角数据。
3. 数值模拟法：利用有限元等数值模拟软件，对梁进行模拟加载，得到其挠度和转角数据。
五、梁的挠度和转角问题的解决方法1. 优化设计：通过优化梁的几何尺寸、材料性能等，提高其抗弯性能，减小挠度和转角。
2. 加强支撑：增加支座的数量或提高支座的约束条件，以减小梁的挠度和转角。
3. 采用高强度材料：选用高强度、高弹性模量的材料，提高梁的抗弯性能。
4. 预应力技术：采用预应力技术，通过预加压应力来抵抗外力引起的弯矩，减小挠度和转角。
六、结论梁的挠度和转角问题是结构力学中的重要问题，对于保证结构的安全性和稳定性具有重要意义。
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，其承载能力和稳定性对于整个结构的性能起着至关重要的作用。
为了准确分析梁的受力行为和变形特性，必须对其挠度和转角问题进行深入研究。
本文将对梁的挠度和转角问题进行详细分析，并探讨其产生的原因和影响。
二、梁的挠度问题梁的挠度是指梁在荷载作用下发生的弯曲变形。
这种变形会影响梁的承载能力和使用功能。
梁的挠度问题主要涉及以下几个方面：1. 产生原因：梁的挠度主要由外力（如重力、风力、地震力等）和内部力（如弯矩、剪力等）共同作用产生。
这些力会使梁产生弯曲变形，从而导致挠度的产生。
2. 影响因素：梁的挠度受多种因素影响，如梁的跨度、截面尺寸、材料性能、支撑条件等。
跨度越大、截面尺寸越小、材料性能越差、支撑条件越差，梁的挠度就越大。
3. 分析方法：常用的梁挠度分析方法包括材料力学法和弹性力学法。
材料力学法基于实验数据和经验公式进行计算，而弹性力学法则通过建立微分方程进行求解。
这些方法可以帮助我们了解梁的挠度分布和变化规律。
三、梁的转角问题梁的转角是指梁在弯曲过程中，各截面相对于某一参考线（如中心轴）发生的转动角度。
转角对梁的受力特性和变形行为具有重要影响。
梁的转角问题主要涉及以下几个方面：1. 产生原因：梁的转角主要由弯矩引起。
当梁受到弯矩作用时，各截面会产生相对转动，从而形成转角。
2. 影响因素：与挠度类似，梁的转角也受跨度、截面尺寸、材料性能、支撑条件等因素的影响。
此外，荷载分布和作用位置也会对转角产生影响。
3. 分析方法：转角分析通常与挠度分析相结合，通过求解微分方程或使用有限元法等方法进行计算。
这些方法可以帮助我们了解梁的转角分布和变化规律，从而为结构设计提供依据。
四、解决方法与措施针对梁的挠度和转角问题，我们可以采取以下措施进行解决和预防：1. 优化设计：在结构设计过程中，应充分考虑梁的跨度、截面尺寸、材料性能等因素，合理设计梁的结构形式和尺寸，以减小挠度和转角的产生。
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等各个领域。
梁的挠度和转角是评估其性能的重要指标，对于结构的稳定性和安全性具有至关重要的意义。
本文将对梁的挠度和转角问题进行详细的分析，探讨其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度问题1. 挠度定义及产生原因梁的挠度是指梁在受外力作用下发生的弯曲变形程度。
产生挠度的主要原因包括外力作用、梁的自身重量、温度变化等。
其中，外力作用是导致梁产生挠度的主要因素。
2. 影响因素分析（1）材料性质：梁的材料性质，如弹性模量、强度等，直接影响梁的抗弯能力。
材料性质较差的梁，容易产生较大的挠度。
（2）几何尺寸：梁的几何尺寸，如截面形状、尺寸大小等，也会影响梁的抗弯能力。
截面形状和尺寸合理的梁，能够更好地抵抗外力作用，减小挠度。
（3）支座条件：支座对梁的支撑作用直接影响梁的变形程度。
支座间距、支座刚度等都会对梁的挠度产生影响。
3. 解决方法（1）优化材料选择：选用弹性模量高、强度大的材料，提高梁的抗弯能力。
（2）合理设计几何尺寸：根据实际需求，合理设计梁的截面形状和尺寸大小，以提高梁的抗弯能力。
（3）改善支座条件：通过调整支座间距、提高支座刚度等措施，减小梁的挠度。
三、梁的转角问题1. 转角定义及产生原因梁的转角是指梁在受外力作用下发生弯曲时，截面相对于原来位置发生的转动角度。
转角问题主要由外力作用和梁的自身特性共同引起。
2. 影响因素分析（1）外力作用：外力的大小和方向直接影响梁的转角程度。
当外力作用在梁的不同位置时，会产生不同的转角。
（2）支座条件：支座对梁的支撑作用也会影响梁的转角。
当支座间距、支座刚度等条件不合理时，容易导致梁产生较大的转角。
3. 解决方法（1）合理布置支座：根据实际需求，合理布置支座的位置和数量，以减小梁的转角。
（2）优化结构设计：通过优化梁的截面形状、尺寸大小等结构参数，提高梁的抗弯能力，从而减小转角。
第七章-梁的位移-转角、挠度
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
梁的挠度和转角问题分析
梁的挠度和转角问题分析梁的挠度和转角问题分析【引言】梁是工程中常见的结构构件之一，广泛应用于桥梁、楼板、悬挑等结构中。
在梁的工作过程中，挠度和转角是重要的力学参数，在设计和分析中起着重要作用。
本文将从理论和实际应用两个方面，对梁的挠度和转角问题进行分析。
【理论分析】1. 梁的基本原理梁是一种受力的构件，根据受力原理，梁可以被看作是许多个点质量组成的杆件。
在梁受到外力作用时，会产生内力和应变，从而引起梁的变形。
梁的挠度和转角是反映梁变形程度的重要参数。
2. 梁的挠度计算方法梁的挠度通常通过数学方程的求解来计算。
根据不同的边界条件和受力情况，可以采用不同的方法进行计算，如弯曲理论、拉伸理论、弯剪耦合理论等。
其中，弯曲理论是工程设计中常用的方法，利用欧拉－伯努力学说和简化假设，将梁的弯曲变形转化为微分方程求解问题。
3. 梁的转角计算方法梁的转角是指梁在受到外力或自重荷载作用时所产生的旋转变形。
在计算转角时，通常使用梁的弯矩与切线刚度的关系，通过积分计算得到。
转角的计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
【实际应用】1. 桥梁工程中的挠度问题在桥梁工程中，挠度是重要的考虑因素之一。
过大的挠度会影响桥梁的使用寿命和安全性。
因此，在桥梁设计中需要进行挠度计算和控制。
通过实际工程实例，我们可以分析不同型式桥梁的挠度问题，如悬索桥、拱桥和梁桥等。
2. 楼板设计中的转角问题楼板作为建筑结构中的重要组成部分，其转角问题也需要得到充分考虑。
在楼板设计中，不同荷载条件下的转角计算是确保结构安全和满足使用要求的关键。
本文将分析楼板转角对结构整体性能和使用功能的影响，并提供相应的设计建议。
【结论】梁的挠度和转角问题是工程设计和分析中不可忽视的重要内容。
通过理论分析和实际应用，我们可以更好地理解梁的变形行为，并对梁的设计和优化提供参考，以确保结构的安全性和可靠性。
工程实践中的案例表明，挠度和转角分析在工程中起到了重要的引导作用，对于提高结构的设计水平和工程质量具有重要意义综上所述，梁的转角计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在建筑工程、机械设计和桥梁构造等工程领域中，梁是一种常见且重要的结构元件。
随着科学技术的发展，梁的结构分析和设计也愈发严谨。
在研究过程中，我们关注的是梁在承受外部载荷时的力学性能，尤其是其挠度和转角问题。
本文旨在探讨梁的挠度和转角问题，并对其进行分析。
二、梁的挠度问题梁的挠度是指梁在受到外部载荷时发生的弯曲变形程度。
梁的挠度问题对于结构的设计和性能评估至关重要。
首先，梁的挠度受多种因素影响，如梁的材料、截面形状、尺寸、跨度以及所受的外部载荷等。
因此，在分析梁的挠度时，我们需要综合考虑这些因素。
其次，在实际工程中，我们通常使用理论计算和有限元分析等方法来计算梁的挠度。
理论计算方法主要是根据力学原理推导出梁的挠度公式，而有限元分析则是一种通过计算机软件模拟梁在外部载荷作用下的变形过程的方法。
针对不同类型和形状的梁，我们需采用不同的分析方法。
例如，对于简单均匀截面梁，我们可以采用简化的理论公式计算其挠度；而对于复杂截面或特殊形状的梁，则需采用更为复杂的理论计算方法和有限元软件进行精确分析。
此外，在分析过程中还需考虑边界条件对梁挠度的影响。
三、梁的转角问题与挠度问题相似，梁的转角问题也是梁结构分析的重要部分。
转角反映了梁在承受外部载荷时截面发生的转动程度。
在分析梁的转角时，我们需要考虑其受到的外部载荷和支座约束等因素。
对于简支梁和连续梁等不同类型的梁结构，其转角计算方法和公式也有所不同。
此外，在分析过程中还需考虑梁的截面形状、尺寸和材料等因素对转角的影响。
四、综合分析与解决方案针对梁的挠度和转角问题，我们可以采取一系列措施来降低其影响。
首先，优化梁的材料和截面形状可以提高其抗弯性能，从而减小挠度和转角。
其次，合理设计梁的支座和约束条件也可以有效控制其变形。
此外，采用先进的有限元分析软件进行精确的结构分析和优化设计也是解决这些问题的重要手段。
在具体实施过程中，我们可以结合理论计算和有限元分析等方法，对不同类型和形状的梁进行详细分析和优化设计。
第四章(弯曲挠度3-Lu)
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
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M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)
MAB＝MCD＝0 MBC＝const
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0
A
C
D
FB＝0
MCD＝const
B 答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(3)
FA＝0
FB＝P
A
MBD＝const
M
B
M
B
(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数
①积分常数的数目——取决于的分段数
M (x) —— n 段 积分常数——2n个
举例：
M (x) 分2段，则积分常数2x2=4个
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
②积分常数的确定——边界条件和连续条件：
边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的 ，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。
第八章 弯曲变形
回 顾：
弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线 的变化规律。
弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面 高度的分布规律。
本 章:
弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变 化规律。
第八章 弯曲变形
研究弯曲变形的目的
（1）刚度计算； （2）解简单的超静定梁。
本章的基本内容：
一、弯曲变形的量度及符号规定； 二、挠曲线及其近似微分方程 三、计算弯曲变形的两种方法
max 10 or 0.0175 rad.
横力弯曲
d2 （1x）＝＋－[1+(ddx2 )2]3/2
dx
( d )2 << 1
dx
1
M（x）
＝
（x）
EI
＋ －
d2 dx2
＝
M（x） EI
此即弹性曲线的小挠度微分方程
(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释
w
dw2 dx 2
0
2
M 0
M
M
o
x
选取如图坐标系，则 弯矩M与 d 2 恒为同号
dx 2
d2
dx2
＝
M（x） EI
近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。
(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2
d2 dx2
＝
M(x) EI
2
d2 dx2
＝
M(x) EI
第八章 弯曲变形
三、计算弯曲变形的两种方法
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所 转过的角位移θ的量度及符号规定
梁的挠度和转角 2、符号规定：
y
p
c
c
w
x
x
W（-） θ（-）
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。
x L
2
2、
d 2
dx 2
M (x) EI z
EI" 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C （1）
积分二次：
6
EI 1 qx4 Cx D （2）
24
B X``
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
3、确定常数C、D.
由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C 1 qL3
(4)建立转角方程和挠曲线方程；
(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意
max
和 m及ax 其所在截面。
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
1、列出梁的弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 (0 x L)
C 0
D左 D右
连续条件： D左 D右
B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得
C 即EI坐o标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；
D E即I坐o标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。
几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次
对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
(x) d 1 ( M (x)dx c)
dx EI
再积分一次，得挠曲线方程：
(x) 1 ( M (x)dx) cx D EI
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。
（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
第八章 弯曲变形
二、挠曲线及其近似微分方程
第八章 弯曲变形 /二、挠曲线及其近似微分方程
1、挠曲线：
在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲 平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
A 0
连续条件： B左 B右
B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0
解：边界条件： A 0
1、积分法——基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求
支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:
①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；
(1)积分法(2)叠加法 四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施 五、用变形比较法解简单的超静定梁。
第八章 弯曲变形
一、弯曲变形的量度及符号规定
第八章 弯曲变形 /一、弯曲变形的量度及符号规定
梁的挠度和转角
y
p
c
c
w
x
x
1、度量弯曲变形的两个量：
（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线 位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）
pl
p
pl
C
B
D
p
pl
p
答案C
pl
p
p
pl
pl
3、挠曲线的近似微分方程
(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系
力学公式
纯弯曲
横力弯曲 （ l／h＞5）
1
＝
M EI
1
M（x）
＝
（x） EI
数学公式
d2w （1x）＝＋ －[1+(ddxw2 )2]3/2
dx
小挠度情形下
max＝（0.01－0.001）l ；