5-1梁的挠度及转角

A
x y

cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw

（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0

Fab(l b) 6lEI
B
2
xl

Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
x3

l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算 梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
Fbl2 wmax 16EI
挠曲线方程和转角方程
1

w1

Fb 2lEI
[1 3
(l
2

b2
)

x2
]
y1

Fbx 6lEI
(l 2

b2

x2)
2

w2

Fb [ l 2lEI b
(x
a)2

x2

1 3
l2
b2
]
w2

y2

Fb [ l x a3
6lEI b
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且 纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转 角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
表明荷载对梁变形的影响是独立的
例：简支梁受集中力和集中力偶。求：
EXAMPLE 求图示梁的最大转角和
最大挠度。
a
p
L
解 ：1 建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)
p(x a) (0 x a)
0
(a x l)
a
p
x
L
a
p
x
L
例：计算悬臂梁的挠度yc。
A
B
c
A
a
a
解：
B yB
C B yc
1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用 下：
F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI
yc1 = FL3/48EI
m：A2、B2、yc2
A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
例5-5：简支梁在半跨度上作用荷载q， 求梁中点的挠度。
A
L/2
q
c L/2
B= A
q/2 L
q/2 q/2
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
y M ( x) F (L x)
EI
EI
④求位移方程
EI y′= EI = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
B+ A
L/2
L/2
5qL4
ymax 384 EI
yC

5(
q 2
)
L4
384 EI

5qL4
yC 768 EI
加平衡力系再分解 ----”加减法”
2．几项荷载同时作用在梁的不同区段上， 梁某一横截面的挠度和转角，可等于每 一项荷载单独作用于梁各区段时该截面 的挠度和转角的叠加．
A、B两端转角和中点挠度。
A
力A 的 分 解 法A
F
c
B
L/2
L/2
=
F c
yc1
┼
c
yc 2
B
m
B
解：将梁分为力F和力 偶m单独作用的情况：
F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI
yc1 = FL3/48EI
m：A2、B2、yc2 A2= mL/6EI
B2= - mL/3EI
直梁平面弯曲的两种位移
F
A
C
X B
挠度（deflection）
w—横截面形心在垂直
C′
B ′ 于轴线方向的位移。
A
x y

cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横
截面绕其中性轴转过 的角度。
水平位移u —横截面形心沿水平方向的位移,在小
位移假设时忽略不计。
3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）
(2) yc2 = q（2a）4/8EI(↓)
∴ yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI(↓)
B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI
+
=
A
B
C
a
a
作业
• Skt---5-1,5-2 • Xt-----5-1, 11.7
11月14日
• SKT 5-7 • XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25
外伸梁B端—连续条件 10KN
A
B
4m
1m
x=4， yB=0； yB左= yB右 B左= B右
！！： 挠曲线近似微分方程的适用范围
1）均匀材料与等直截面梁—EI为常值。
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
5.EXANPEL
EI y′= = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
x
⑤确定积分常数
x=0 A= 0 yA= 0 C=0
D=0
y′= = F (Lx - x2/2) /EI
y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI
F x
B
⑥求B截面转角和位移将 x=L 代入
Displacements of Bending Beam
§5-1梁的挠度及转角
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
B

FL2 2EI


yB

FL3 3EI
()
例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支 梁，在全梁上受集度为q的均布荷载 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度和最大转角。
解：①求约束反力
FA

FB

ql 2
②列弯矩方程
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 )
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角 等于每项荷载独立作用时在同位置产生 的挠度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位 置坐标 x的一阶导数。
2、建立挠曲线微分方程 1 M 4-4
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量 EIZ
法、图解法1、有 限M差(X分) 法、初参数法
(x) EIZ
d2y
M (x)
（2）几何方面：
dx2 EIz

1
M
(x)
0,
d 2
dx
y
2

0
[1
d 2 yM/d0x, d22 (dy / dx)d2x
y
]2 3/
0
2
E Iz y〞= - M(x)
(5-2b)
1
( x)

Mddx20y2, ddx2 y2
0
挠曲线近似 微分方程
3 积分法计算梁的位移
1）基本方程：EIzy〞= - M(x)