§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁的挠度及转角(1)
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
用积分法求梁的变形
M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
x0
x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
y
A
C
B
x
C
B
tan
d dx
d dx
M ( x) EI Z dx C1
M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
1
w1
Fb 6lEI
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
CB段 (a x l)
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x2 )
3l b
x
a
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
x2)x
l b
x
a
3
2.求最大挠度和最大转角
将 x = 0 和 x = l 分别代入转 角方程左右两支座处截面的 转角
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁中点处的挠度为
w x l 2
Fbl 2 16EI
0.0625 Fbl 2 EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲 线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度 值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.
EI 抗弯刚度---表征梁抵抗弯曲变形的能力。
用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则
解：1.求挠曲线方程和转 角方程
不定积分和定积分知识的应用
不定积分和定积分知识的应用1 积分法原理及知识的应用1.1求解静定梁的挠度和转角，应用积分法的原理及知识此问题主要出现在水利工程专业的《工程力学》课程中，主要应用于求解建筑结构中静定梁的位移。
梁变形时，其上各横截面的位置都发生移动，称之位移；位移通常用挠度和转角两个基本量描述。
运用微分法和积分法求解挠度和转角的一般步骤是：（1）建立挠曲线近似微分方程，即 EI x M dxy d )(22-=；（2）对微分方程二次积分。
积分一次，可得出转角方程：⎰+-==])([1C dx x M EIdx dy Q ;再积分一次，可得出挠度方程：⎰⎰++-=]))(([1D Cx dx x M EIy ;(3)利用边界条件或连续条件确定积分常数C 、D ；（4）确定转角方程和挠度方程；（5）求指定截面的转角和挠度值。
〔实例1〕一等截面悬臂梁如图所示，自由端受集中力P 作用，梁的抗弯刚度为EI ，求自由端的转角和挠度。
分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （ x ）=-P （l-x ），挠曲线的近似微分方程为22dx y d =EI1-[-P(l-x)].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（C=0，D=0）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得自由端截面的转角和挠度。
x解答：（计算过程略） 自由端截面的转角和挠度分别为P EI B (1=θl 2-21Pl 2）=EI Pl 22y B =21(1EI Pl 3-61Pl 3）=EI Pl 33 （转角θB 为正，表示截面B 是顺时针转；挠度y B 为正，表示挠度是向下的.） 〔实例2〕一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示，梁的抗弯刚度为EI ，求梁的最大挠度及B 截面的转角。
分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （x ）=21qlx-21qx 2，挠曲线近似微分方程为22dxy d =-EI 1[21qlx-21qx 2].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（D=0，C=241ql 3）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得最大挠度和截面B 的转角。
梁的挠度和转角问题分析
用积分法求挠度和转角
挠曲线的近似微分方程为
d 2 w q (x 2 lx) dx 2 2EI
2) 对微分方程进行积分并确定积分常数。 对挠曲线近似微分方程
积分得
q ( x3 lx2 ) C
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
1 M (x) ρ(x) EI
由高等数学可知，平面曲线w = w(x)上任一点的曲率为
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
d2w
1 dx 2
(x)
[1
(
dw
)
2
]
3 2
dx
在小变形条件下，转角是一个很小的量，故 (dw)2 << 1,于是
上式可简化为
dx
1 ρ(x)
d2w dx2
d2w dx2
由于梁的支承和受力对称于梁跨中点，因而梁的挠曲线应为一
对称于梁跨中点的下凸曲线。因此，梁的最大挠度发生在跨中点截
面C (x=l/2)处，其值为
wmax
wC
5ql4 384EI
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角 【例6.3】 图示简支梁在C点处受集中力F作用，试求梁的挠曲
说明横截面B的形心向下移动。
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角 【例6.2】 图示简支梁AB，受均布荷载q作用。求梁的挠曲线方
程和转角方程。并计算梁的最大挠度和最大转角。设弯曲刚度EI为 常数。
梁的挠度和转角问题分析
梁的挠度和转角问题分析梁的挠度和转角问题分析【引言】梁是工程中常见的结构构件之一，广泛应用于桥梁、楼板、悬挑等结构中。
在梁的工作过程中，挠度和转角是重要的力学参数，在设计和分析中起着重要作用。
本文将从理论和实际应用两个方面，对梁的挠度和转角问题进行分析。
【理论分析】1. 梁的基本原理梁是一种受力的构件，根据受力原理，梁可以被看作是许多个点质量组成的杆件。
在梁受到外力作用时，会产生内力和应变，从而引起梁的变形。
梁的挠度和转角是反映梁变形程度的重要参数。
2. 梁的挠度计算方法梁的挠度通常通过数学方程的求解来计算。
根据不同的边界条件和受力情况，可以采用不同的方法进行计算，如弯曲理论、拉伸理论、弯剪耦合理论等。
其中，弯曲理论是工程设计中常用的方法，利用欧拉－伯努力学说和简化假设，将梁的弯曲变形转化为微分方程求解问题。
3. 梁的转角计算方法梁的转角是指梁在受到外力或自重荷载作用时所产生的旋转变形。
在计算转角时，通常使用梁的弯矩与切线刚度的关系，通过积分计算得到。
转角的计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
【实际应用】1. 桥梁工程中的挠度问题在桥梁工程中，挠度是重要的考虑因素之一。
过大的挠度会影响桥梁的使用寿命和安全性。
因此，在桥梁设计中需要进行挠度计算和控制。
通过实际工程实例，我们可以分析不同型式桥梁的挠度问题，如悬索桥、拱桥和梁桥等。
2. 楼板设计中的转角问题楼板作为建筑结构中的重要组成部分，其转角问题也需要得到充分考虑。
在楼板设计中，不同荷载条件下的转角计算是确保结构安全和满足使用要求的关键。
本文将分析楼板转角对结构整体性能和使用功能的影响，并提供相应的设计建议。
【结论】梁的挠度和转角问题是工程设计和分析中不可忽视的重要内容。
通过理论分析和实际应用，我们可以更好地理解梁的变形行为，并对梁的设计和优化提供参考，以确保结构的安全性和可靠性。
工程实践中的案例表明，挠度和转角分析在工程中起到了重要的引导作用，对于提高结构的设计水平和工程质量具有重要意义综上所述，梁的转角计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
材料力学第八章-弯曲变形
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
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x 0，y A 0 ; D 0
最大转角和最大挠度分别为：
ymax y
x
l 2
5ql 4 384EI
ql3 max A B 24EI
2 ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q EI y x x 2 2 2 ql q EI y x 2 x 3 C 4 6 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24 0
xl , ql3 yB 0 ; C 24
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
ql3 x l , yB 0 ; C 24 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24 ql 3 q 4 ql3 x x x 12 24 24 qx y (l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI ql 2 q 3 ql3 EIy x x 4 6 24 q (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M ( x) 2 dx EI
d2y EI 2 M ( x) dx
EIy M ( x)
积分一次得转角方程为：
dy M ( x) dx C dx EI
再积分一次得挠度方程为：
M ( x) y dx dx C x D EI
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、 凸、拐点或直线区。 在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。 2、画挠曲线的大致形状图
AD段的弯矩为正，DC段的弯矩为负，横截面D的弯矩为零，其横坐标
为XD=8a/5。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
AD段为凹曲线，DC段为凸曲线，D截面存在拐点。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件
~ ~
~
A
A
~ ~ ~ ~
~
~
A A AA A
~ ~
~
~
~
yA 0
yA 0 A 0
y AL y AR yA －弹簧变形 AL AR
3、确定转角方程和挠度方程
F x2 (lx ) EI 2
F lx 2 x 3 y ( ) EI 2 6
4、确定最大转角和最大挠度
x l , max
Fl 2 , 2 EI
ymax
Fl 3 3EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。 解： F F ql RA RB
积分一次
dy F x2 (lx ) C dx EI 2
再积分一次
F lx 2 x 3 y ( ) Cx D EI 2 6
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
2、由位移边界条件确定积分常数
x 0,
代入求解
x 0, y A 0
C 0, D0
A 0
~
y AL y AR
~
~
A
A A AA
A
A A AA
光滑连续条件 A A A A
~
A AA
~
A
~
A
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 M ( x) y ( x) EI z
在支座A、B处挠度为零。在梁的交界面与截面D处，挠
曲线满足连续、光滑的条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、写出x截面的弯矩方程
M ( x) F (l x)
列挠曲线近似微分方程并积分
d2y EI 2 M ( x) F (l x) dx