《材料力学》课件5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角
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《材料力学》课件5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角
EI z1
F
A
B
C 2 BF BM
M FL2
C
C 3 BF BM L2
C 3 C1 C 2 C 3
3 2 2 2 2 FL FL FL L L FL L FL FL2 1 2 1 1 2 1 2 2 L1 2 2 EI z1EI z1 2 EI z1 EI z1 3EI z 2 3EI z1
(d)
Me
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me Me Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(b)
(C)
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直 线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变 形曲线在交界处应有共切线。
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
按叠加原理计算梁的挠度和转角
F
A
B
C 2 BF BM
M FL2
C
C 3 BF BM L2
C 3 C1 C 2 C 3
3 2 2 2 2 FL FL FL L L FL L FL FL2 1 2 1 1 2 1 2 2 L1 2 2 EI z1EI z1 2 EI z1 EI z1 3EI z 2 3EI z1
(d)
Me
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me Me Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(b)
(C)
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直 线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变 形曲线在交界处应有共切线。
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
按叠加原理计算梁的挠度和转角
迭加法求梁的位移和转角(材料力学)
总
一、对载荷分组叠加
结
二、继承与发扬 在前一点位移的基础上叠加新的位移。 三、切断＋简化，将原来作用在悬臂部分上的载 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁） 四、对称问题（适用于简支梁） 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座， 将一简支端改为自由端；保留半跨上的载荷和简支 端的反力。 五、反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁；保 留半跨上的载荷。
F
(1) A
D
曲线
B
对于图(1)：
qC1 2l qB1
wC1 wB1
wC1 C
q C1
直线
Fl 2 q B1 q C1 （顺时针） 2 EI
4 Fl 3 Fl Fl wB1 wC1 q C1 2l 2l （向下） 3EI 3EI 2 EI
3 2
变形的继承和发扬
对图(2)
F
(2)
B A C 曲线 D
直线
qD1
wD1
qD1 BD qB 2
wB2
q B2
2 Fl 2 q D1 （顺时针） EI
3 2
F (2l ) F (2l ) 14 Fl 3 wB 2 wD 2 q D 2 l l 3EI 2 EI 3EI
（向下）
注意事项
一、不要漏项
二、叠加位移时注意每一项的符号
三、注意载荷的变化
简支梁在半跨均布载荷作用下，简化后集度q减半； 简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶M减半。 四、注意计算长度的变化 公式中长度为l，题目中的计算长度可能是l、a、 2l、2a、l/2或a/2。 五、简支梁在集中力偶作用下两个铰支端的转角不 等，此时的挠度公式计算的时跨中截面的挠度
材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
(方案)梁的挠度和转角.ppt
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
FBy
FAy
AC段 (0 x a)
BC段 (a x L)
Fb M1(x) FAx L x,
EI1"
Fb L
x,
Fb M 2 (x) L x F (x a),
EI2 "
Fb L
x
F(x
a),
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
A 0
连续条件： B左 B右
B左 B右
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
y
p
c
c
w
x
x
W（-） θ（-）
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。
（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。
（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
演示课件
第八章 弯曲变形
6
x L, y 0 代入（2）得： D 1 qL4
8
代入（1）（2）得：
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
建筑力学52
120kN 30kN 40kN 12kN
A
C
B
0.4m 0.4m 0.7m 0.3m 0.6m
2.4m
解： [ f ]= [ f / l ] × l =1/ 400×2.4=6mm
yw1,C
yw1(l
/
2)
Fb 48EI
(3l 2
4b2 )
ywmax
ywC
4 i 1
Fibi 48EI
(3l 2
5.2.3 叠加法计算梁的挠度和转角
在材料服从胡克定律和小变形的条件下， 由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角与 载荷均成线性关系。
因此，当梁承受复杂荷载时，可将其分 解成几种简单荷载，利用梁在简单荷载作用 下的位移计算结果（教材P196—197表5－1 列出了部分结果)进行叠加得到梁在复杂荷载 作用下的挠度和转角，这就是叠加法。
0.0625 2.42 99.36103 210109 21780108
4.78103m 4.78mm 6mm [wf ]
所以刚度足够
5.3.3 提高梁刚度的措施
从挠曲线的近似微分方程及其积分 可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度、 支座条件，梁横截面的惯性矩、材料的 弹性模量有关。
分析可知：梁上C点的挠度：
f l
－“建筑规范”规定的最大许用相对线位移。
刚度条件应用主要有两类，每一类可以 解决以下三个问题（或三方面应用）。
直梁 一类(重点) —单个梁
变截面梁(难点) 另一类——梁系（或称结构)。
每一类可以解决以下三个问题（或三 方面应用）：
1）刚度校核
2）设计（最小）截面尺寸(合理性)
3）确定（最大）允许外载荷
（4）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各 种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高 梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著。
A
C
B
0.4m 0.4m 0.7m 0.3m 0.6m
2.4m
解： [ f ]= [ f / l ] × l =1/ 400×2.4=6mm
yw1,C
yw1(l
/
2)
Fb 48EI
(3l 2
4b2 )
ywmax
ywC
4 i 1
Fibi 48EI
(3l 2
5.2.3 叠加法计算梁的挠度和转角
在材料服从胡克定律和小变形的条件下， 由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角与 载荷均成线性关系。
因此，当梁承受复杂荷载时，可将其分 解成几种简单荷载，利用梁在简单荷载作用 下的位移计算结果（教材P196—197表5－1 列出了部分结果)进行叠加得到梁在复杂荷载 作用下的挠度和转角，这就是叠加法。
0.0625 2.42 99.36103 210109 21780108
4.78103m 4.78mm 6mm [wf ]
所以刚度足够
5.3.3 提高梁刚度的措施
从挠曲线的近似微分方程及其积分 可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度、 支座条件，梁横截面的惯性矩、材料的 弹性模量有关。
分析可知：梁上C点的挠度：
f l
－“建筑规范”规定的最大许用相对线位移。
刚度条件应用主要有两类，每一类可以 解决以下三个问题（或三方面应用）。
直梁 一类(重点) —单个梁
变截面梁(难点) 另一类——梁系（或称结构)。
每一类可以解决以下三个问题（或三 方面应用）：
1）刚度校核
2）设计（最小）截面尺寸(合理性)
3）确定（最大）允许外载荷
（4）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各 种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高 梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著。
材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。 • 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。 • 梁在简单载荷作用下的变形，可查表8-1。
5ql yCq 38EI 3 3 ql ql Aq Bq 24EI 24EI
4
+
查表 6-1 得 M 单独作用时梁跨中点 C 的挠度、支座 A、B 处的转角分别为：
y CM
Ml 2 16 EI
AM
Ml 6 EI
4
BM
Ml 3EI
（2）运用叠加原理，得
qx 3 y (l 2lx 2 x3 ) 24EI
ql3 A B 24EI 5ql 4 l x ymax 2 384EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
3
补充例 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。 解： 1）分解载荷 2）查表分别得到三种载荷 引起自由端A的挠度
5ql Ml 2 3.91 mm yC yCq yCM （ ） 384 EI 16 EI 3 ql Ml o A Aq AM 1.19 (顺时针) 24 EI 6 EI
B Bq BM
M ( x) y EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。 • 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。 • 梁在简单载荷作用下的变形，可查表8-1。
5ql yCq 38EI 3 3 ql ql Aq Bq 24EI 24EI
4
+
查表 6-1 得 M 单独作用时梁跨中点 C 的挠度、支座 A、B 处的转角分别为：
y CM
Ml 2 16 EI
AM
Ml 6 EI
4
BM
Ml 3EI
（2）运用叠加原理，得
qx 3 y (l 2lx 2 x3 ) 24EI
ql3 A B 24EI 5ql 4 l x ymax 2 384EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
3
补充例 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。 解： 1）分解载荷 2）查表分别得到三种载荷 引起自由端A的挠度
5ql Ml 2 3.91 mm yC yCq yCM （ ） 384 EI 16 EI 3 ql Ml o A Aq AM 1.19 (顺时针) 24 EI 6 EI
B Bq BM
材料力学(I)第五章
挠曲线近似微分方程为 q EIw M x lx x 2 ( 2) 2 q lx 2 x 3 C1 ( 3) 通过两次积分得： EIw 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw C1 x C 2 ( 4 ) 2 6 12
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
b x2 F x a EIw C 2 (1 ) 2 F l 2 2
2
b x2 F C1 (1) EIw1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 ( 2) l 6
b x3 F x a EIw 2 F l 6 6 C 2 x D2 ( 2 )
26
例题 5-3
4. 建立转角方程和挠度方程 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
左段梁 (0 x a )
1 w1
右段梁 (a x l )
2 w 2
Fb l 1 2 2 2 2 Fb 1 2 2 2 x a x l b ( 3 ) l b x ( 3 ) 2lEI b 3 2lEI 3 w2 Fbx 2 Fb l 3 3 2 2 w1 l b 2 x 2 ( 4) x a x l b x (4 ) 6lEI 6lEI b
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Me
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me Me Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(b)
(C)
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直 线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变 形曲线在交界处应有共切线。
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
C
EI z
l 2
l 2
qL3 FL2 A B 24 EI z 16 EI z
例题 5.7
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
计算C点挠度
A
B
q0 L 6
l
C
q0 L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表
5q0 L4 384 EI Z
4 1 5q0 L4 5 q L 0 C 2 384 EI Z 768EI Z
平衡关系
FA FB FC 2qL 0
叠加法求挠度
FC qL
5q2 L 48EI Z 384 EI z
4
C Cq C k
k FC
FCy 2 L
3
qL4 24 EI Z
FC C k
C
24 EI Z L3
例题 5.12
悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个 是正确的?
例题 5.8
q
试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。
q
q 2
1 F qL 4
MB 1 2 qL 16
EI z
EI z
A
l 2
C
l 2
B
l 2
MB
D
A
l 2
C
l 2
B
q 2
A
l 2
1 2 qL 16
C
l 2
B
q 2
C
A
qL2 2 q 4 5 L 4 16 L qL 2 C 384 EI z 16 EI z 384 EI z
例题 5.10
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
D
L
1 F 2
A
3L
B
1 F 2
L
E
L
C
A
3L
B
C
D
L
1 E B C E1 2
5FL E 2 EI Z
3
F 2 3L 9 FL3 B 3EI z 2 EI z
3
3 FL3 F 2 L C 6 EI z 3EI z
EI z1
F
A
B
C 2 BF BM
M FL2
C
C 3 BF BM L2
C 3 C1 C 2 C 3
3 2 2 2 2 FL FL FL L L FL L FL FL2 1 2 1 1 2 1 2 2 L1 2 2 EI z1EI z1 2 EI z1 EI z1 3EI z 2 3EI z1
按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；
2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；
3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
例题 5.6
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中 截面挠度ωc和梁端截面的转角θAθB.
F
B
F 2 L E1 48EI z 6 EI z
3
1 3 F FL 2
L E
ห้องสมุดไป่ตู้
L
C
1 F 2
例题 5.11
图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁 的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.
q
C处挠度等于弹簧变形。
C
A
FA
EI z
B
L
FB
L
FC
1 2 M C FA L qL 0 2 1 F F qL 根据对称关系 B A 2
q 2
l 2 l 2
B
例题 5.9
变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.
F
EI z 2
B
EIz1
FL3 2 C1 3EI z 2
A
L1 L2
C
BF
3 FL1 3EI z1
2 FL2 L1
BF
BM
2 FL1 2 EI z1
F
B
C
BM
2 EI z1
FL2 L1
(d)
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me Me Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(b)
(C)
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直 线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变 形曲线在交界处应有共切线。
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
C
EI z
l 2
l 2
qL3 FL2 A B 24 EI z 16 EI z
例题 5.7
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
计算C点挠度
A
B
q0 L 6
l
C
q0 L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表
5q0 L4 384 EI Z
4 1 5q0 L4 5 q L 0 C 2 384 EI Z 768EI Z
平衡关系
FA FB FC 2qL 0
叠加法求挠度
FC qL
5q2 L 48EI Z 384 EI z
4
C Cq C k
k FC
FCy 2 L
3
qL4 24 EI Z
FC C k
C
24 EI Z L3
例题 5.12
悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个 是正确的?
例题 5.8
q
试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。
q
q 2
1 F qL 4
MB 1 2 qL 16
EI z
EI z
A
l 2
C
l 2
B
l 2
MB
D
A
l 2
C
l 2
B
q 2
A
l 2
1 2 qL 16
C
l 2
B
q 2
C
A
qL2 2 q 4 5 L 4 16 L qL 2 C 384 EI z 16 EI z 384 EI z
例题 5.10
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
D
L
1 F 2
A
3L
B
1 F 2
L
E
L
C
A
3L
B
C
D
L
1 E B C E1 2
5FL E 2 EI Z
3
F 2 3L 9 FL3 B 3EI z 2 EI z
3
3 FL3 F 2 L C 6 EI z 3EI z
EI z1
F
A
B
C 2 BF BM
M FL2
C
C 3 BF BM L2
C 3 C1 C 2 C 3
3 2 2 2 2 FL FL FL L L FL L FL FL2 1 2 1 1 2 1 2 2 L1 2 2 EI z1EI z1 2 EI z1 EI z1 3EI z 2 3EI z1
按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；
2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；
3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
例题 5.6
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中 截面挠度ωc和梁端截面的转角θAθB.
F
B
F 2 L E1 48EI z 6 EI z
3
1 3 F FL 2
L E
ห้องสมุดไป่ตู้
L
C
1 F 2
例题 5.11
图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁 的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.
q
C处挠度等于弹簧变形。
C
A
FA
EI z
B
L
FB
L
FC
1 2 M C FA L qL 0 2 1 F F qL 根据对称关系 B A 2
q 2
l 2 l 2
B
例题 5.9
变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.
F
EI z 2
B
EIz1
FL3 2 C1 3EI z 2
A
L1 L2
C
BF
3 FL1 3EI z1
2 FL2 L1
BF
BM
2 FL1 2 EI z1
F
B
C
BM
2 EI z1
FL2 L1
(d)