第八章组合变形

l=4m，截面为0.2m×0.1m的矩形，受均布荷载 作用，q=2kN/m。试作梁的轴力图和弯矩图， 并求横截面上的最大拉应力和最大压应力。 解：（1）作受力图
q
α = 30o
A
4m
B
q
FB FAx FAy
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
FAx = ql sin 30o = 2 × 4 sin 30o = 4kN ql cos 30o 2 × 4 cos 30o = = 3.464kN FAy = FB = 2 2
§8―2
两相互垂直平面内的弯曲
σ '=
M yz Iy
Mzy σ "= − Iz
任一点处的应力为：
σ = σ '+σ " =
A B
M yz Iy
Mzy − Iz
σ ''
z
A B
σ'
θ
B
A
σ
（yo,zo)
D C C D C D
中性轴
y
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
由上图可知，在A点处拉应力 σt 最大，在C 点处压应力 σc 最大。中性轴不再是y轴或z轴。 设中性轴在的一点坐标为（yo,zo），则中性轴 方程为
在斜弯曲中，也是 求出最大正应力后，按 正应力强度条件校核。
例题8 1 例题8—1 如右图
所示为20a工字钢悬臂梁 承受均布荷载q和集中力 F=qa/2。已知钢的许用 弯曲正应力[σ]=160MPa， a= 1m。试求梁的许可荷 载集度[q] 。
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
解：（1）将自由端截面B上的集中力沿两
(2)分解为两种基本变形
q2=1.732kN/m FB q1=1kN/m FAy FAx
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
（3）梁的轴力图和弯矩图
4kN
3.464kN·m
(4)最大拉应力和最大压应力
σ c max
M max FAx 3.464 ×103 2 ×103 =− − =− − 2 Wz A 0.1× 0.2 6 0.1× 0.2 M max FAx 3.464 ×103 2 ×103 = − = − 2 Wz A 0.1× 0.2 6 0.1× 0.2
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
Q Fy − q ⋅ lCD = 0 0.383qa ∴ lCD = = = 0.383a q q l AD = a − 0.383a = 0.617a M zD = M max = F y Fy

(0.383a )2 q ×1.383a −
2
= 0.456qa 2
qa 2 M zA = Fy × (2a ) − = 0.266qa 2 2 M yA = Fz × (2a ) = 0.321qa × (2a ) = 0.642qa 2 M yD = Fz ×1.383a = 0.321qa ×1.383qa = 0.444qa 2
6a 4a
a
O
z
F
4a y
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
A = 8a 2 + 4a 2 = 12a 2 4a × (2a ) a × (4a ) 2 2 2 2 Iz = + 8a ⋅ a + + 4a × (2a ) 12 12 = 32a 4
3 3
Iy
(4a )3 + 4a ⋅ a 3 = 11a 4 2a × =
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
如右图所示，一 F 悬臂当梁受一外力F z 作用，其作用线虽通 过形心，但并不在沿 y 垂正对称面或水平正 水平正对称面 对称面内。因此不属 于平面对称弯曲。 为此，将力F沿y、z轴方向进行分解后得Fy、 Fz，看着是Fy在沿垂正对称面内、 Fz在水平正对 称面内发生对称弯曲，如下图所示。
如下图所示即为基本变形的的应力叠加。
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲 例题8 3 例题8—3 试求图示杆内的最大正应力。
力与杆的轴线平行。
解：（1）求截面形心 4a 2 ⋅ 2a + 8a 2 ⋅ 5a yc = 8a 2 + 4a 2 = 4a
形心在离顶部4a处， 对称于底面。 （2）求几何性质
§8―1
概
述
§8―1
概
述
§8―1
概
述
解决组合变形问题的基本方法是：先分解， 后叠加。首先将复杂的组合变形分解为若干简 单的基本变形；然后分别计算各基本变形下发 生的内力、应力和变形；最后用一定的方法叠 加。从而找出构件危险截面、危险点的位置及 危险点的应力状态，并进行强度计算。 在一些结构中，构件之间需要相互连接。 如桥梁、屋架中的桁架结点要用螺栓、铆钉等 联接；钢架结构中需用螺丝、钢球等连接；一 些机器中常用到螺栓、键、销钉等连接。起连 接作用的部件称为连接件。连接件的受力较复 杂，常采用工程实用计算法。
铅垂正对称面
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
Fy = F sin ϕ Fz = F cos ϕ
Fy
F φ
z
在离左端x远处 截面上两个分力分别 在铅垂正对称面、水 平正对称面内产生的 弯矩为
Fz
x y
M y = Fz x = Fx cos ϕ M z = Fy x = Fx sin ϕ
两弯矩所应力分别为：
y
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
成为总挠度w， w = w + w 中性轴位置确定后，作平行于中性轴的两直 线并分别与横截面周边相切于D1、D2点（下图 a），则该两点为最大拉应力和最大压应力点。 对于矩形、工字形等有棱角的梁，则最大正应力 一定发生在棱角处（下图b）。
2 y 2 z。
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
(σ max )D
M zD 0.444q ×12 0.456q ×12 = + = + −6 31.5 ×10 Wy Wz 237 ×10 −6 M yD
= 16.02 ×103 q
（4）求许可荷截集度q 由此可见，梁的危险点在固定端截面A的 棱角处，由正应力强度条件有
2 z 2 y
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
F zF ⋅ z yF ⋅ y ∴ σ = 1 + 2 + 2 A iy iz
上式中，左边括号内部分为一平面方程。 其应力变化规律如下图a 所示。 应力平面与横截面之间的相交线为一条直 线，此线上的应力 σ = 0，该直线偏心拉伸变形 时的中性轴。设中性轴上一点的坐标为yo、zo， 则中性轴方程为
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
如上图b所示，在得到中性轴后，作两条 与中性轴平行且与横截面周边相切的直线，得 到期两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应 力和最大压应力的危险点。对于周边有棱角的 截面如工字形截面等，其危险点必在棱角处。 计算棱角处的最大拉应力和最大压应力仍 叠加方法，即
σ t max F F ⋅ z F F ⋅ y F ± = ± σ c max A Wy Wz
§8―2 两相互垂直平面内的弯曲
所作弯矩图如图c、d所示。 （3）分别计算A、D两截面的最大拉应力 由型钢规格表查得：
Wz = 237cm3 = 237 ×10 −6 m 3 Wy = 31.5cm = 31.5 × 10 m
3 −6 3
(σ max )A =
M yA Wy
2
M zA + Wz
2
0.642q ×1 0.266q ×1 3 = + = 21.5 ×10 q −6 −6 31.5 × 10 237 × 10
α
q1 q2
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
在计算这种组合变形的应力时，先分别计 算出弯曲基本变形时的拉、压正应力，然后计 算出拉伸（压缩）时的正应力，再进行代数相 加。从而得出最大拉应力和最大压应力。如下 图所示为梁受弯曲和拉伸组合变形时，中间截 面的应力大小及在截面上的应力分布。
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲 例题8 2 例题8—2 图示一楼梯木斜梁的长度为
Qσ max = (σ max )A = 21.5 ×10 q ≤ [σ ] = 160 ×10
3
6
160 ×106 3 ∴ [q ] = = 7.44 ×10 N m = 7.44 kN m 3 21.5 ×10
§8―3
拉伸（压缩）与弯曲
一、横向力与轴向力共同作用 杆受横向力和轴向力共同作用时，杆将发 生弯曲、拉伸（压缩）的组合变形。如下图中 的实例： F
= −5.296 ×106 Pa = −5.296MPa
σ t max
= 5.096 ×106 Pa = 5.096MPa
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
二、偏心拉伸（压缩） 偏心拉伸（压缩） 定义：作用在直 杆上的外力，当其作 用线与杆的轴线平行 但不重合时，就称为 偏心拉伸或偏心压缩。 此外力称为偏心力。 工程实例： （a）钻床立柱 （b）牛腿立柱
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
如上图a所示设偏心力为F，偏心距为e， 力作用点A的坐标为yF、zF。 将力F向中心点O平移，得到一个轴向力F 和两个外力偶My、Mz，如图b。
M y = Fz F M z = Fy F
这样，偏心拉力F对杆的作用，变成了一 个轴向拉伸变形、二个纵向对称面内的弯曲变 形。其应力可由叠加法求得。
12 12
（3）叠加法求最大正应力 因为是偏心拉伸，故最大正应力在截面左 下角的棱角处。
§8―3 拉伸（压缩）与弯曲
σ t max
F Fz F ⋅ z Fy F ⋅ y = + + A Iy Iz
F F (− 2a )(− 2a ) F × 2a × 2a 0.572 F = + + = 2 4 4 2 12a 11a 32a a