第八章组合变形
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材料力学 组合变形完整版汇总
材料力学
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
第八章 组合变形
例题
[ 已知： 例8.1 已知： = 15kN , e = 300mm, 许用拉应力σ 1 ] = 32 MPa, P
试设计立柱直径d 试设计立柱直径d。
解： 将力P向立柱轴线简化，立柱 向立柱轴线简化， 将力 向立柱轴线简化 承受拉伸和弯曲两种基本变 形 任意横截面上的轴力和弯矩 为：
FN = P = 15kN
cos ϕ sin ϕ + I I z y
2 2
ω= ω
2
y
+ω
2
z
Fl 3 = 3E
ωz I z tanψ = = tan ϕ ωy I y
I 一般情况下， z ≠ I y ， 故 ϕ ≠ ψ ，这表明挠度所在 一般情况下， 的平面与外力作用平面并不重合。 的平面与外力作用平面并不重合。
以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F 以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F，F通过截面 ϕ 形心，与y轴夹角为 形心， 建立坐标系， 建立坐标系，将F分解 分解 成沿y和 的分量 成沿 和z的分量
Fy = F cosϕ
Fz = F sin ϕ
图6.4
梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯 Fy、 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。其上弯矩 值为： 值为：
σ1
σw
4×15×103 32×15×103 ×300 + ≤ 32 2 3 πd πd
d = 114mm
所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 例8.2 图a所示起重机的最大吊重 所示起重机的最大吊重 ， 试为横梁AB选择合适的工字钢 选择合适的工字钢。 力 [σ ] = 100MPa ，试为横梁 选择合适的工字钢。 的受力图， 解：根据横梁AB的受力图，由 根据横梁 的受力图 平衡方程可得： 平衡方程可得：
第8章 组合变形(土木)
F F
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
工程力学材料力学知识要点2
第八章组合变形8.1知识要点一、两相互垂直平面内的弯曲1、横截面上的正应力任一横截面上任一点C(y,z)处由和引起的正应力为（8-1）2、中性轴的位置中性轴方程为（8-2）其与y轴的夹角为（8?3）（d）若材料的许用拉应力与许用压应力相等，其强度条件可写成：（8?4）式中：，（8-5）二、横向力和轴向拉力共同作用下的组合变形在轴向拉力和横向力共同作用下(图8-2)，横截面任一点处的正应力，可按下式计算：（8?6）正应力强度条件为：（8?7）三、偏心拉伸（压缩）当杆件所受的外力，其作用线与杆件的轴线平行而不重合时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）(图8-3)。
1、横截面上的正应力在杆端A(yF, zF)点处作用平行于杆轴线的拉力F，则杆上任一横截面上E (y,z)点处的正应力为（8?8）2、中性轴位置中性轴的方程为：（8-9）中性轴在两坐标轴上的截距为，（8-10）3、正应力强度条件危险截面上离中性轴最远的点D1和D2就是危险点（图8-4）。
这两点处的正应力分别是横截面上的最大拉应力和最大压应力：（8－11）若材料的许用拉应力和许用压应力相等，可以建立正应力强度条件（8－12）4、截面核心当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，中性轴不与截面相交，这个区域称为截面核心（图8-5）。
由与截面周边相切的中性轴的截距，可以计算相应截面核心边界上一点的坐标（），，（8－13）四、扭转与弯曲变形若危险截面上的扭矩为，弯矩为，则该截面上的最大正应力和最大切应力分别为：，（8-14）危险点处为平面应力状态，其主应力为（8-15）对于工程中受弯扭共同作用的圆轴大多是由塑性材料制成的，所以应该用第三或第四强度理论来建立强度条件。
如果用第三强度理论，则强度条件为：（8-16）如果用第四强度理论，则强度条件为：（8?17）对于圆截面，有WP=2Wz，则用第三强度理论，其强度条件为：（8－18）用第四强度理论，其强度条件为：（8－19）六、连接件的实用计算法1、剪切的实用计算在工程中，剪切变形采用实用计算的方法，假定剪切面上切应力是均匀分布的。
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2
30.6 103 152 106
)Pa
106
MPa
故能安全工作
➢ 8.4 拆卸工具的爪如图示，由45钢制成，其许用应 力[σ]=180MPa。试按爪的强度确定工具的最大顶 压力
➢ 解：
拉弯变形
FN
F 2
M ( F 0.032)N m (0.016F)N m 2
➢ 解：
T 9549 P (9549 10 )N m
n
715
133N m
根据平衡方程
2F D F D T
2
2
F 1067N
弯矩 M 3Fl 384N m
由第三强度理论
σmax
M2 T2 W
1332 3842 π (40 103 )3
➢ 解：
当载荷P移至AC中点处 时梁内的弯矩最大。
查型钢表，No.18槽钢
C
W
FRCx
FRCy
300
FRA
A
A 29.30 cm2 Iy 1370 cm4 Wy 152 cm3
根据静力学平衡条件，AC梁的约束反力
FRA W
FRCx FRA cos 300 W cos 300
危险点的应力
FN M
F
σ max
FN A
M WNA
F /2 0.026 0.017
1
0.016F 0.017 0.0262
6
9485F
σmax [σ ]
9485F 180 106
F 18.8 kN
Fmax 18.8 kN
FN M
F
➢ 8.7 图示短柱受载荷 和 的作用，试求固定端截面 上角点A、B、C、D的正 应力，并确定其中性轴的 位置。
危险截面上的内力分量 FN FRCx 30.3 kN
C
FRCx
P
300
FRA
A
FRCy
M
FRCy
3.5 2
FRAy
3.5 2
P sin 300 3.5 2
30.6
kN m
危险点的最大应力
σ max
FN A
My Wy
(
2
30.3 103 29.3 104
➢ （1）试用单元体表示危险点处的应力状态，并求 出主应力和最大切应力。
➢ （2）试用第三强度理论校核轴的强度。
➢ 解：
弯扭组合变形
T 9549 P (9549 3 )N m
n
1400
20.5N m
Fz
T D2
20.5 0.25 /2
164N
Fy 492N 计算简图
σ max
FN A
Mz W
4FN πd[σ ]
（
4 18 103 πd2
32 7.2 103 πd3
）Pa
35 106 Pa
y
FN M z x
z
d 128 mm
➢ 8.12 手摇绞车如图所示，轴的直径为d=30mm， 材料为Q235钢， [σ]=80MPa 。试按第三强度理 论，求绞车的最大吊重P。
）Pa
7.17 MPa
设任x意0，一点y0为的中应性力轴均上为任零意一点的坐标，则在该轴上的
σ(y0
z0 )
FN A
Mz0 Iy
My0 Iz
0
25 103 0.15 0.1
12 625 0.15 0.13
z0
12 3000 0.1 0.153
y0
0
M y F1 M z Fs
第八章组合变形
Chapter8 Combined Deformation Wednesday, February 19, 2020
➢ 8.3 图示起重架的最大吊重（包括行走小车等）为 W = 35kN，横梁AC由两根No.18 槽钢组成，材 料为 Q235 钢，许用应力[σ] = 120 MPa。试校核 横梁的强度
6 3000 0.1 0.152
）Pa
8.83 MPa
σB
FN A
My Wy
Mz Wz
（
25 103 0.15 0.1
6 625 0.15 0.12
6 3000 0.1 0.152
）Pa
3.83 MPa
M y F1
Mz
Fs
σC
FN A
My Wy
Mz Wz
（
25 103 0.15 0.1
6 625 0.15 0.12
6 3000 0.1 0.152
）Pa
12.2 MPa
σD
FN A
My Wy
Mz Wz
（
25 103 0.15 0.1
6 625 0.15 0.12
6 3000 0.1 0.152
64.8MPa
32
[σ] 65 MPa
满足强度要求
➢ 8.16 图为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动 机功率P=3kW，转子转速n=1400r/min，转子的 重Wd=2量5=02Wm751m=N，1。0材1磨N料。削为砂力轴轮Fy承：直钢F径z，=D3[=：σ2]=15，06m0砂Mm轮P，a直。砂径轮重量
总弯矩
M
M
2 y
29.9z0 63.9y0 1 0
z0 0
ay
1m 63.9
15.6mm
y0 0
az
1 29.9
m
33.4mm
➢ 8.8 图示钻床的立柱为铸铁制成，F=18kN，许用 应力[σt]=35MPa。试确定立柱所需直径 d。
➢ 解：
FN F 18 kN
Mz 0.4F 7.2 kN m
➢ 解：
偏心压缩
FN F1 25 kN
My F1 0.025
Mz F2 0.6
Fsy F2 5 kN
M y F1
Mz
Fs
A、B、C、D各点的正应力为
σA
FN A
My Wy
Mz Wz
（
25 103 0.15 0.1
6 625 0.15 0.12
➢ 解：
弯扭组合
MC
Pl 4
0.2P
(N
m)
TC 0.18P(N m)
TC2
M2 C
[σ]
W
y A
z
P T
C Mz
0.18P
T
Bx
P 788 N
P 788 N
Mz
0.2P
➢ 8.13 电动机的功率为10kW，转速为715r/min，带 轮直径为D=250mm，主轴外伸部分长度为 l=120mm，主轴直径d=40mm，如图所示。若 [σ]=65MPa，试用第三强度理论校核该轴的强度。