第八章 组合变形
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第八章 组合变形
例题
[ 已知： 例8.1 已知： = 15kN , e = 300mm, 许用拉应力σ 1 ] = 32 MPa, P
试设计立柱直径d 试设计立柱直径d。
解： 将力P向立柱轴线简化，立柱 向立柱轴线简化， 将力 向立柱轴线简化 承受拉伸和弯曲两种基本变 形 任意横截面上的轴力和弯矩 为：
FN = P = 15kN
cos ϕ sin ϕ + I I z y
2 2
ω= ω
2
y
+ω
2
z
Fl 3 = 3E
ωz I z tanψ = = tan ϕ ωy I y
I 一般情况下， z ≠ I y ， 故 ϕ ≠ ψ ，这表明挠度所在 一般情况下， 的平面与外力作用平面并不重合。 的平面与外力作用平面并不重合。
以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F 以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F，F通过截面 ϕ 形心，与y轴夹角为 形心， 建立坐标系， 建立坐标系，将F分解 分解 成沿y和 的分量 成沿 和z的分量
Fy = F cosϕ
Fz = F sin ϕ
图6.4
梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯 Fy、 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。其上弯矩 值为： 值为：
σ1
σw
4×15×103 32×15×103 ×300 + ≤ 32 2 3 πd πd
d = 114mm
所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 例8.2 图a所示起重机的最大吊重 所示起重机的最大吊重 ， 试为横梁AB选择合适的工字钢 选择合适的工字钢。 力 [σ ] = 100MPa ，试为横梁 选择合适的工字钢。 的受力图， 解：根据横梁AB的受力图，由 根据横梁 的受力图 平衡方程可得： 平衡方程可得：
第8章 组合变形(土木)
F F
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
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21
使横截面上不出现拉应力 的压力作用点的集合，称 为截面核心。 要使坐标为r, s 的C点的应 力为零，则由
y p y0 i y pr i
2 z 2 z
z p z0 i zps i
2 y 2 y
1 1
直线pq的方程
22
要使坐标为r, s 的C点的应 力为零，则由
y p y0 i y pr i
这是组合变形问 题 压弯组合。
5
这是组合变形问题 压弯组合。 求约束反力 取AB, 受力如图
M
A
(F ) 0
F 42 kN H 40 kN, V 12.8 kN
内力图 危险截面 C 截面
6
H 40 kN, V 12.8 kN
内力图 危险截面 C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
设计截面的一般步骤 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
7
M C 12 kNm, N 40 kN
设计截面的一般步骤 先按弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。 按弯曲正应力选择工字钢型号
中性轴方程 设中性轴在y轴和z轴上的 截距为ay, az ，则有：
由上可知： 1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧； 2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压， 19 一部分受拉；
i i a y , az yp zp
2 z
2 y
由上可知： 1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧； 2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压， 一部分受拉； 3) 在截面的周边上，切 线与中性轴平行的点 的应力为极值。
2
3
Wt 2W
M T 1 M 2 T 2 r 3 4 W 2W W 1 2 2 同样可得 r 4 M 0.75T W
35
M T 1 M 2 T 2 r 3 4 W 2W W 1 2 2 同样可得 r 4 M 0.75T W
A 15 10 m , zo 7.5 cm, 4 I y 5310 cm
2
3
求内力(作用于截面形心)
10
几何参数
A 15 10 m , zo 7.5 cm, 4 I y 5310 cm
2
3
求内力(作用于截面形心) 取研究对象如图
N P kN, 2 M y 42.5 10 P kNm
最大拉应力 最大压应力
t max
P 425 7.5P MPa 15 5310
P 425 12.5P MPa 15 5310
c max cmax
由抗拉强度条件
t max [ t ] 30 MPa
P 45.1 kN P 171.3 kN
截面核心 在土木工程中，对于受 偏心压缩的混凝土、大 理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。 20
截面核心 在土木工程中，对于受 偏心压缩的混凝土、大 理石等柱子，要求在横 截面上不出现拉应力。
使横截面上不出现拉应力 的压力作用点的集合，称 为截面核心。
要使坐标为r, s 的C点的应 力为零，则由
M y Pz p
应力
坐标为 y, z 的B点的应力：
P A Py p y Mzy Iz Iz
M yz Iy
Pz p z Iy
16
P A Py p y Mzy Iz Iz
M yz Iy
37
解：
求外力 力偶矩
D 皮带张力 ( F f ) m 又 F f 600 2 F 465 N, f 135 N d1 齿轮作用力 P cos 20 Pn 925 N m n 2
N m 9549 n 21.7 Nm
将各力向轴线简化
38
F 465 N, f 135 N
a点坐标
2 z
2 y
i i ya , z a ay az
2 z
2 y
设AB为中性轴
b点
同理可确定c, d, e点。
连线可得到截面核心。
25
例 3 (书例9.3) 已知： 矩形截面 求：截面核心。 解：对矩形截面
b h 2 i , iz 12 12
2 y
2
2
设AB为中性轴
材 料 力 学
第八章 组 合 变 形
2013年7月27日
1
第八章
组合变形
本章内容:
1 组合变形和叠加原理 2 拉伸或压缩与弯曲的组合 3 偏心压缩和截面核心 4 扭转与弯曲的组合 5 组合变形的普遍情况
2
§8. 1 组合变形与叠加原理
1 组合变形 基本变形 拉伸、压缩 剪切 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
中性轴位置 设中性轴上的点的坐标 为 y0, z0。
在上式中令为零，得：
y p y0 z p z 0 P (1 2 2 ) 0 A iz iy y p y0 z p z 0 2 1 中性轴方程 2 iz iy
18
y p y0 i
2 z
z p z0 i
2 y
1
扭转
弯曲
求解组合变形的方法 将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
MC [ ] W
MC 3 120 cm W [ ] 选16号工字钢 W 141 cm3 , A 26.13 cm 2
8
按最大正应力校核强度
按弯曲正应力选择工字钢型号
MC [ ] W
MC 3 120 cm W [ ] 选16号工字钢 W 141 cm3 , A 26.13 cm 2
截面核心的确定
设AE为中性轴 中性轴的截距为ay, az， 由：
i i a y , az yp zp
a点坐标
2 z
2 y
i i ya , z a ay az
2 z
2 y
设AB为中性轴
24
b点
截面核心的确定
设AE为中性轴 中性轴的截距为ay, az， 由：
i i a y , az yp zp
内力图如图 危险截面 E截面 E截面的内力
D T P 2 Pr ab M y max l Pab M z max l
31
E截面的内力
D T P 2 Pr ab M y max l Pab M z max l
对圆截面杆 可将两个方向的弯矩按 矢量合成。
M M
2 y max
弯曲切应力 一般可忽略 危险点的应力状态 相当应力
r 3 4
2
2
r 4 3
2
2
34
T Wt
M W
2 2
2 2
相当应力
r 3 4 , r 4 3
D
32
2
3
用内力表示的相当应力
对圆截面杆 W
, Wt
D
16
Pz p z Iy
惯性矩可表为： I Ai 2 , I Ai 2 z z y y
中性轴位置 设中性轴上的点的坐标为 y0, z0。
yp y zpz P (1 2 2 ) A iz iy
17
yp y zpz P (1 2 2 ) A iz iy
a点坐标
h AB直线的截距为： a y , az 2 2 2 iy iz h 由：ya , za ya , z a 0 ay az 6
26
设AB为中性轴 a点坐标 AB直线的截距为：
h a y , az 22 2 iy iz 由：ya , za ay az
2 z 2 z
z p z0 i zps i
2 y 2 y
1 1
直线pq的方程 当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。
截面核心的确定
23
当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。
叠加原理成立的条件 (1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定 律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。 4
§8. 2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例 1 (书例9.1) 已知：P = 8kN, AB为工字钢， 材料为A3钢， [] = 100MPa。 求: 工字钢型号。 解： AB受力如图
2
2
矩形截面杆的弯扭组合变形问题
两个方向的弯矩不宜合成，可 分别计算应力。 扭转切应力按矩形截面扭转公 式计算。 T
max
hb
2
使横截面上不出现拉应力 的压力作用点的集合，称 为截面核心。 要使坐标为r, s 的C点的应 力为零，则由
y p y0 i y pr i
2 z 2 z
z p z0 i zps i
2 y 2 y
1 1
直线pq的方程
22
要使坐标为r, s 的C点的应 力为零，则由
y p y0 i y pr i
这是组合变形问 题 压弯组合。
5
这是组合变形问题 压弯组合。 求约束反力 取AB, 受力如图
M
A
(F ) 0
F 42 kN H 40 kN, V 12.8 kN
内力图 危险截面 C 截面
6
H 40 kN, V 12.8 kN
内力图 危险截面 C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
设计截面的一般步骤 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
7
M C 12 kNm, N 40 kN
设计截面的一般步骤 先按弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。 按弯曲正应力选择工字钢型号
中性轴方程 设中性轴在y轴和z轴上的 截距为ay, az ，则有：
由上可知： 1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧； 2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压， 19 一部分受拉；
i i a y , az yp zp
2 z
2 y
由上可知： 1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧； 2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压， 一部分受拉； 3) 在截面的周边上，切 线与中性轴平行的点 的应力为极值。
2
3
Wt 2W
M T 1 M 2 T 2 r 3 4 W 2W W 1 2 2 同样可得 r 4 M 0.75T W
35
M T 1 M 2 T 2 r 3 4 W 2W W 1 2 2 同样可得 r 4 M 0.75T W
A 15 10 m , zo 7.5 cm, 4 I y 5310 cm
2
3
求内力(作用于截面形心)
10
几何参数
A 15 10 m , zo 7.5 cm, 4 I y 5310 cm
2
3
求内力(作用于截面形心) 取研究对象如图
N P kN, 2 M y 42.5 10 P kNm
最大拉应力 最大压应力
t max
P 425 7.5P MPa 15 5310
P 425 12.5P MPa 15 5310
c max cmax
由抗拉强度条件
t max [ t ] 30 MPa
P 45.1 kN P 171.3 kN
截面核心 在土木工程中，对于受 偏心压缩的混凝土、大 理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。 20
截面核心 在土木工程中，对于受 偏心压缩的混凝土、大 理石等柱子，要求在横 截面上不出现拉应力。
使横截面上不出现拉应力 的压力作用点的集合，称 为截面核心。
要使坐标为r, s 的C点的应 力为零，则由
M y Pz p
应力
坐标为 y, z 的B点的应力：
P A Py p y Mzy Iz Iz
M yz Iy
Pz p z Iy
16
P A Py p y Mzy Iz Iz
M yz Iy
37
解：
求外力 力偶矩
D 皮带张力 ( F f ) m 又 F f 600 2 F 465 N, f 135 N d1 齿轮作用力 P cos 20 Pn 925 N m n 2
N m 9549 n 21.7 Nm
将各力向轴线简化
38
F 465 N, f 135 N
a点坐标
2 z
2 y
i i ya , z a ay az
2 z
2 y
设AB为中性轴
b点
同理可确定c, d, e点。
连线可得到截面核心。
25
例 3 (书例9.3) 已知： 矩形截面 求：截面核心。 解：对矩形截面
b h 2 i , iz 12 12
2 y
2
2
设AB为中性轴
材 料 力 学
第八章 组 合 变 形
2013年7月27日
1
第八章
组合变形
本章内容:
1 组合变形和叠加原理 2 拉伸或压缩与弯曲的组合 3 偏心压缩和截面核心 4 扭转与弯曲的组合 5 组合变形的普遍情况
2
§8. 1 组合变形与叠加原理
1 组合变形 基本变形 拉伸、压缩 剪切 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
中性轴位置 设中性轴上的点的坐标 为 y0, z0。
在上式中令为零，得：
y p y0 z p z 0 P (1 2 2 ) 0 A iz iy y p y0 z p z 0 2 1 中性轴方程 2 iz iy
18
y p y0 i
2 z
z p z0 i
2 y
1
扭转
弯曲
求解组合变形的方法 将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
MC [ ] W
MC 3 120 cm W [ ] 选16号工字钢 W 141 cm3 , A 26.13 cm 2
8
按最大正应力校核强度
按弯曲正应力选择工字钢型号
MC [ ] W
MC 3 120 cm W [ ] 选16号工字钢 W 141 cm3 , A 26.13 cm 2
截面核心的确定
设AE为中性轴 中性轴的截距为ay, az， 由：
i i a y , az yp zp
a点坐标
2 z
2 y
i i ya , z a ay az
2 z
2 y
设AB为中性轴
24
b点
截面核心的确定
设AE为中性轴 中性轴的截距为ay, az， 由：
i i a y , az yp zp
内力图如图 危险截面 E截面 E截面的内力
D T P 2 Pr ab M y max l Pab M z max l
31
E截面的内力
D T P 2 Pr ab M y max l Pab M z max l
对圆截面杆 可将两个方向的弯矩按 矢量合成。
M M
2 y max
弯曲切应力 一般可忽略 危险点的应力状态 相当应力
r 3 4
2
2
r 4 3
2
2
34
T Wt
M W
2 2
2 2
相当应力
r 3 4 , r 4 3
D
32
2
3
用内力表示的相当应力
对圆截面杆 W
, Wt
D
16
Pz p z Iy
惯性矩可表为： I Ai 2 , I Ai 2 z z y y
中性轴位置 设中性轴上的点的坐标为 y0, z0。
yp y zpz P (1 2 2 ) A iz iy
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yp y zpz P (1 2 2 ) A iz iy
a点坐标
h AB直线的截距为： a y , az 2 2 2 iy iz h 由：ya , za ya , z a 0 ay az 6
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设AB为中性轴 a点坐标 AB直线的截距为：
h a y , az 22 2 iy iz 由：ya , za ay az
2 z 2 z
z p z0 i zps i
2 y 2 y
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直线pq的方程 当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。
截面核心的确定
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当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。
叠加原理成立的条件 (1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定 律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。 4
§8. 2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例 1 (书例9.1) 已知：P = 8kN, AB为工字钢， 材料为A3钢， [] = 100MPa。 求: 工字钢型号。 解： AB受力如图
2
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矩形截面杆的弯扭组合变形问题
两个方向的弯矩不宜合成，可 分别计算应力。 扭转切应力按矩形截面扭转公 式计算。 T
max
hb
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