直线与圆锥曲线的位置关系(一)教学设计
北京市北纬路中学徐学军《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计一、教材分析及学生情况分析本节课是平面解析几何的核心内容之一。
在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。
本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。
这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
所以是承上启下的一节课。
这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。
数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。
因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。
学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。
本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。
本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。
二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标：知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系；②会进行位置关系的判断，计算弦长。
过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法，学会解决相关的问题。
情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。
三、教学重点、难点、关键本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。
对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。
如：解决圆锥曲线中常见的弦长问题、中点问题、对称问题等。
所以我制定的教学重点：理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用教学难点：应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系关键：感悟方程组的解的个数等于直线与椭圆公共点的个数。
计算准确。
为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我是这样设计教法和学法的。
四、教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。
为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现由特殊到一般，采用循序渐进的启发式教学原则。
我进行了这样的教法设计：问题引导，问题解决，由学生通过知识迁移，类比探究直线与椭圆位置关系的判断，再由教师引导，自然找出直线与椭圆的位置关系判断方法，激发学生的学习兴趣。
在解题过程中体会解决的数学方法。
五、学法我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。
课程改革的目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获得新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。
数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。
我以类比归纳理论为指导，采用着重于引导学生探索研究的问题教学方法，结合师生共同讨论、归纳。
在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了：（1）提出问题——引入课题（2）思考交流结论形成：（3）理解应用——巩固方法（4）小结归纳——提高认识，四个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。
接下来，我再具体谈谈这堂课的教学过程：六、教学程序及设想教学过程实录：一、提出问题引入新课：师：我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识。
学生回答：直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）。
判定方法有两种：代数法、几何法。
（教师在学生回答的同时在黑板上画出相应图形，并补充纠正。
）师：前面我们学习了圆锥曲线，其中椭圆是最基础的，那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？ 有学生立即回答：和圆一样，相离，相切，相交；教师立即追问：如何定义呢？学生回答：类似直线与圆的位置关系的定义。
教师动手画图，并提出问题：如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？设计意图：由已有的知识类比迁移到新知识。
师：今天我们就来研究这个问题二、 思考交流结论形成：师：通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义。
学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论。
直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。
师：通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？ 请大家完成学案的第一题。
1、 判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系。
学生完成练习，教师巡视，根据学生的解题情况引入代数方法。
在巡视过程中，大部分学生采用的是 代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论。
此时，教师及时进行了计算上辅导。
师：请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？学生：直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．联立方程组，消元，得到一个一元二次方程，则0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆< ，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离。
师：方法归纳的很好，但是还要求同学们在解决方程问题时要准确计算。
设计意图：以旧带新，学生易于理解。
三、 理解应用：师：请同学们看学案的练习，完成第二个题。
2、 已知直线:2l y x m =+，椭圆22:142x y C +=，问m 为何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不同的公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点学生甲：方程联立，让判别式的值分别大于0，等于0，小于0，然后解不等式和方程即可得解。
师：有没有同学用其他的方法求得？学生乙：可不可以用画图的方法，椭圆方程是给定的，所以是定的，直线的斜率是2，纵截距是M ，所以是一族平行线，找到交点，结论不就有了吗.教师对两位同学及时表扬，并适时进行方法上的总结。
在巡视过程中，对计算上的问题再次进行辅导。
让解题比较快的学生XX 在黑板上进行板演。
设计意图：对知识进行简单应用。
师：下面我们一起来完成第3题和第4题。
3、 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长。
师：本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？学生：前面学习过两点间的距离公式，所以只要有A 、B 两点的坐标，代入公式就行了。
通过题目条件可以求出直线AB 的方程，再把两个方程联立就能求交点坐标了。
这时，课代表说话了：还要解方程太麻烦了，有没有简单点的方法，不求根行吗？师：不错，那你就要好好想想啊！课代表：想不出来。
此时教师及时拉过学生的注意力，把问题进行讲解。
师：那我来说说，。
由此题一般化，得到弦长公式。
12l x =-==。
① （师：当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用公式①求得弦长。
那如果知道弦长和椭圆的方程，你能否求得直线方程呢？公式①是否适用于直线与其他圆锥曲线的弦长计算呢？请同学们课下思考。
）设计意图：由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路。
（机动）4、已知(4,2)M 是直线l 被椭圆22436x y +=所截得的线段AB 的中点，求直线AB 的方程。
师：要求直线方程，有什么条件，还需要什么条件，如何来得到这个条件？你有什么想法？给了中点坐标，如何用这个条件呢？学生在教师的引导下，逐步得出求斜率的思路，并进行实施。
师：除了应用韦达定理求斜率外，老师给你们介绍另一种方法来完成本题的求解。
（教师板演点差法的解题过程。
）设计意图：对方法进行直观展示，方便学生理解。
四、课堂小结：由学生总结，然后教师补充。
重视对方法的总结和应用。
设计意图：由学生总结本节课所学习的主要内容，以及收获，通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地了解数学思想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。
七、教学反思：在新课程教育理念中，学生活动是第一位的，强调要在“做数学中学数学”，由于主体自身的智力参与，特别是主体高水平的智力参与，使外部的活动过程内化为主体内部的心理活动过程。
并从中产生出主体的个人体验。
充分体现了新课标的精神，以学生为主体，吸引学生动手实践、自主探索、合作交流。
学生以积极主动、勇于探索的学习方式体验了双曲线的形成过程，学生对所学内容会理解更深更记忆更牢。
用问题做引导，让学生在已学知识的基础上学习新的知识，体现了新课程要求的螺旋式上升的学习方式，并借助熟悉的事物逐步迁移到新事物的认知规律，由学生自主完成相关知识的学习也体现了学生为主体的新课程理念。
学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能力的培养主要依靠解题训练，对此，波利亚揭示：“中学数学首要任务就是加强解题训练，掌握数学就是意味着善于解题”。
对于问题设计和例题设计，运用类比归纳、特殊一般的认知规律、逐步递进的方式，意在既巩固所学知识，又给学有余力的学生以更大的发展空间，体现了因材施教的原则，整个教学环节都很完整。
在授课过程中，教师始终把握解析几何的核心-用代数的方法研究几何问题，能画图的地方一定把图像画出来，需要计算的地方也按要求进行计算，随时体现数与形的紧密联系。
重视数学方法的教学渗透。
设计不足：设计之初，就想让学生多动手，所以没有使用多媒体，但实践证明确实耽误了一些时间，第4题（点差法）没有来得及讲。
如果使用多媒体，可以在前面复习引入上节省一些时间。
直线与圆锥曲线的位置关系(一)概要
处理圆锥曲线的有关问题要注意设法 减少运算量，本题所求椭圆焦点未定，可 能在x轴上，也可能在y轴上，本题解法运 用待定系数法，避免了两种情况的讨论；
另外，本题解法中对交点采取“设而不求” 的方法，灵活运用韦达定理，从而简化了 运算过程，以上是处理此类问题的常用技 巧，应很好地体会。
例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交 点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过 坐标原点。
故 | AB | 2 | x1 x2 | 2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
90 2 369 192 2 ( ) 4 , 7 7 7 80 2 2 从而 | FC | ( x0 5) y0 2. 7
例3. 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线y x 1 与该椭圆相交于P, Q, 且OP OQ,| PQ | 10 , 求椭圆方程. 2
当点P落在其它区域时，以点P为中点的弦存在。
检验方法：将求出的直线与曲线联立，看△ >0?
x2 y 2 例2.过双曲线 1的右焦点F作倾角为 的弦AB, 9 16 4 求弦长 | AB | 及弦AB的中点C到F的距离.
解：双曲线焦点为F（5，0），故AB方程为y=x-5,代 入双曲线方程消去y得： 7 x2 90 x 369 0,
90 369 又设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ), 则x1 x2 , x1 x2 , 7 7
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
2
解得a=±1.
2 2 练习1.设0< < ,曲线x sin y cos 1和 2 2 2 x cos y sin 1, 有4个不同的交点. (1)求的取值范围; (2)证明这4个交点共圆, 并求圆的半径的取值范围.
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总Байду номын сангаас：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
例2.已知：A(-3,4),B(4,4)若线段AB与椭圆
没有公共点。求正数a的取值范围。
解：线段AB的方程为 y=4 (-3≤x≤4) 得：x =a2 - 8
ⅰ.当a2 -8<0时，方程组无解，即 ⅱ.当a2 -8>4 时，方程组无解，即
16 2 10 )2 4 2 9 3 3 4 5 又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d= 5
∴CD= 1 ( 2)2 (
1 4 ∴SΔCDF2= CD.d= 10 9 2
点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题， 这是一种基本的解题方法。
思考题：若将直线绕F1旋转，求⊿CDF2面积的最大值。
例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x2仅有一个公共点，则
满足条件的直线l有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：观察演示 选C
例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆 总有公共点，求b的取值范围。
解：观察演示可得：
例6.过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两
例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线 y =4x2有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
圆锥曲线与直线(一)
《圆锥曲线与直线》学案（一）学习目标：1．能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为方程组解的问题；2．能够使用数形结合的方法，迅速判断某些直线与圆锥曲线的公共点个数.1．回忆在直线和圆的位置关系中，怎样判断有几个公共点．２．你能否用作图的方法粗略地探究直线与椭圆、双曲线有几种位置关系，分别有几个公共点，３．怎样能准确地判断我们的探究结果是否准确？４．你能同样画出直线与双曲线的各种位置关系吗？分别有几个公共点？并试着举出实例证明自己的观点。
问题探究：以上各种情况中的公共点能否说成是交点，为什么？课堂训练：1．判断直线01=+-y x 与椭圆1162522=+y x 、双曲线122=-y x 、抛物线x y 42=公共点的个数，并说出位置关系。
2．过点P(1,1)与双曲线116922=-y x 只有一个交点的直线共有几条？<变式>：若将点P(1,1)改为（1）A(3,4) （2）B(3,0) （3）C(4,0) （4）D(0,0). 3．3.（04全国）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是4．（04全国）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 条5．过点)2,0(M 与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线的方程是6．直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 只有一个公共点，则k 的取值是7．直线1+=kx y 与椭圆13422=+y x 的交点个数是 ><变式：若直线1+=kx y 与椭圆12522=+my x 恒有公共点，则m 的范围是8．直线3-=x y 与曲线1492=-x x y 的交点个数为 ><变式：若方程24x -=2+kx 恰好有两个实数根，则实数k 的取值范围是9．已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A(4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程．10．已知抛物线)0(22>=p px y ，过动点)0,(a M ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点，p AB 2≤，（1） 求a 的取值范围。
学案1：§2.8 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系~§2.8 第2课时 直线与圆锥曲线位置关系的综
§2.8第1课时直线与圆锥曲线的位置关系~§2.8第2课时直线与圆锥曲线位置关系的综合问题学习目标核心素养1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养．【情境导学】情境引入激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝＝＝．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．()2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A．15B．13C．215 D．2133．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系为．4．直线y ＝13⎝⎛⎭⎫x －72与双曲线x 29－y 2＝1交点个数为 个．5．过椭圆x 213＋y 212＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．【合作探究】[探究问题]直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[母题探究]1．(变条件，变设问)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．2．(改变条件)已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ．问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？[规律方法]直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．类型二弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．[思路探究]本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[规律方法]直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.[跟进训练]1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|．【例3】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点． (1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．[规律方法]1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法 (1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． (2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． [跟进训练]2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，离心率e ＝12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 为椭圆C 过F 1的弦，R 为PF 2的中点，O 为坐标原点，求△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和的最大值．【课堂小结】1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．【学以致用】1．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为()A．10B．12C．16 D．182．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是() A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝03．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是 ． 5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423．求直线l 的方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系思考：[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交． 2．弦长公式 1＋k 2|x 1－x 2| (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]1＋1k 2|y 1－y 2|⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)× [提示] (1)√ (2)√ (3)× 必要不充分条件．2．A [令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15．]3．相交 [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2＋y 22＝1消去y 得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0∴直线与椭圆相交．]4．1 [直线与渐近线平行因此只有一个交点．]5．241313 [椭圆的右焦点为(1,0)，把x ＝1代入x 213＋y 212＝1中得：y 2＝12213，∴y ＝±121313，∴|AB |＝241313．] 【合作探究】[探究问题][提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法． 【例1】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，①x 24＋y 2＝1，②得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0．③此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标， 此时直线与椭圆相交．当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切． 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离． [母题探究]1．[解] (1)由e ＝233可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1，将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1． 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(2)联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－4(1－3k 2)×(－9)＞0，1－3k 2≠0.解得－1＜k ＜1且k ≠±33． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫－33，33∪⎝⎛⎭⎫33，1．2．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x .消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 记Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)， (1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ＞0，即k 2≠0，且16(1－k 2)＞0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点，则k 2＝0或k 2≠0时，Δ＝0．解得k ＝0或k ＝±1． 所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点，则k 2≠0且Δ＜0．解得k ＞1或k ＜－1．所以当k ＞1或k ＜－1时，直线l 和抛物线C 无交点．【例2】[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0． 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ．∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4．将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b ． ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1．① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b． ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22， 代入①，解得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1． [跟进训练]1．[解] 法一：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2．两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝1＋19·22－4×(－22)＝22303． 法二：由题意设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0． 设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24k k， ∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k ＝3， ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)．由y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，得|P 1P 2|【例3】[解] (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322， ∴a 2＋b 2＝92． ①由题意知b a ＝22， ② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1． (2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧ x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝⎛⎭⎫－33，0． 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋332＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 1－332＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113． 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎡⎦⎤113，203．[跟进训练]2．[解] (1)由e ＝c a ＝12，设a ＝2t ，c ＝t ，t ＞0， 可得b ＝3t ，椭圆方程为x 24t 2＋y 23t2＝1， 代入M ，可得14t 2＋34t2＝1，可得t ＝1， 则a ＝2，b ＝3，c ＝1， 可得椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，可得△RF 1F 2的面积为△PF 1F 2的面积的一半，即为△PF 1O 的面积，△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和设为S ，则S ＝S △PQO ，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x ＝－1，此时S △PQO ＝12×1×⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫－32＝32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)3x 2＋4y 2＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0，故x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 故|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(1＋k 2)3＋4k 2， 点O 到直线PQ 的距离d ＝|k |1＋k 2， S ＝12|PQ |d ＝6k 2(k 2＋1)(3＋4k 2)2，令u ＝3＋4k 2∈(3，＋∞)， 故S ＝6u －34·u ＋14u 2＝32－3u 2－2u ＋1＝32－3⎝⎛⎭⎫1u ＋132＋43∈⎝⎛⎭⎫0，32， 故S 的最大值为32． 【学以致用】1．B [∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12．]2．C [设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2．∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4， ∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0．]3．B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．(4,2) [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x . 整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4,2)．]5．[解] 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0． 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得：k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1．∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1．。
02 教学设计_直线与圆锥曲线的位置关系(第1课时)(2)
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（1）本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆锥曲线的位置关系本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系的基础上，研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用。
本节内容也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题多媒体从学生的认知基础看，学生已学过椭圆及其几何性质，对椭圆性质比较熟悉，对直线与圆位置关系也比较熟悉，并且对图像也有所了解，但还不能做到熟练综合运用椭圆的方程性质解决相关问题,特别对含参数的性质研究还是力不从心的。
从学生的思维发展(1)求△ABF 2的周长;(2)若l 的倾斜角是45°,求△ABF 2的面积. 解:(1)由x 216+y 27=1,知a=4,△ABF 2的周长=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a+2a=4a=16. (2)由椭圆方程x 216+y 27=1,可得F 1(-3,0),F 2(3,0),又l 的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l 的方程为y=x+3.将直线方程代入椭圆方程,整理得23x 2+96x+32=0, ∴x 1+x 2=-9623,x 1x 2=3223,|AB|=√(1+1)×[(-9623)2-4×3223]=11223. 设点F 2到直线l 的距离为d ,则d=|3-0+3|√2=3√2.∴S △ABF 2=12|AB|·d=12×11223×3√2=16823√2.四、小结五、课时练看,高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,思维的独立性和批判性相比高一有明显提高。
直线与圆锥曲线的位置关系(1)(教学设计)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系. 4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系. 四、教学支持条件分析使用GGB 软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响 五、课堂活动设计 【本课时教学流程图】【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？ 【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题. 生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交. 请你回忆并补充下表： 位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交 2d r < 0∆>类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系 探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题相切1d r =0∆=相离d r >0∆<师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 判断双曲线22136x y -=与过其右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法. 师：如果此时直线的斜率是2，你有什么发现？ 生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为30︒，斜率为33，你能从图形上说说这一变化吗？ 生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB 演示） ① 2个交点：当b b k k aa<->或时，与右支双曲线有2交点；当b b k aa -<<时，与两支各有1交点；设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.当二次项系数为0时，此时bk a=±.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线y kx m =+与抛物线22y px =的位置关系. 当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？ 任务二：探究弦长公式, 体会“设而不求”【例2】 如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线,A B 两点，求AB .问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？ 【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -， 因为直线AB 的倾斜角是30︒，且直线经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为3(3)3y x =- 由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得1293,,5x x =-=将12,x x 的值分别带入直线方程，得122323,,5y y =-=- 于是,A B 两点的坐标分别为923(3,23),(,),55---所以22222121923163||()()(3)(23).555AB x x y y =-+-=--+-+=(3,1)A-当3k=-4故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦解法二（点差法）：设1122(,),(,)M x y N x y ，,M N 均在双曲线上，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2222212121212121,44()x x y y x x y y x x y y --+=-∴=-+， A MN 点平分，12123=6,4x x y y k ∴++∴=-，=-2， 31(3),3450.4y x x y +=--+-=即经验证，该直线MN 存在.故所求直线方程为31(3),3450.4y x x y +=--+-=即师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M 在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M 在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当3x =时，渐近线上32y =-，双曲线上52y =-，因此点(3,1)M -在双曲线右设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.支内部，存在以M 为中点的弦.思考题.已知双曲线2212yx -=过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点， P 能否是线段AB 的中点？为什么？解: 假设存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 设过(1,1)P 的直线方程为1(1)y k x -=-，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①-②得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=.由P 为AB 的中点，则12122,()2,x x y y +=+=则12122y y x x -=-， 即直线AB 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，代入双曲线2212y x -=，可得22430,x x -+=检验判别式16240∆=-<，方程无解.故不存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.拓展：（1）证明在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =-≠,22OP b k k a⨯=-（P 不是坐标原点）.（2）证明在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =≠.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.⊥是否成立，并说明理由OA OB已知抛物线22=y x6。
数学(文)一轮教学案：第十章第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析
第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示 命题探究1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元二次方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，则弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求出．3 圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0) k ＝b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．注意点 直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.1．思维辨析(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )(3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327答案 A解析 联立椭圆方程与直线方程，得ax 2＋b (1－x )2＝1，即(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，y1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－2b a ＋b ＝2aa ＋b ，AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，AB 中点与原点连线的斜率k ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.故选A.3．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________．答案 x －y －1＝0或x ＋y －1＝0解析 设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8得k 2＝1，∴k ＝±1，∴l 的方程为：x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[考法综述] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1 直线与圆锥曲线的位置关系典例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，则实数a 的取值为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0 B ．{－1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－45，0 [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0x 1＋x 2＝4k 1－k2>0x 1x 2＝－101－k 2>0解得－153<k <－1.(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.故选A.[答案] (1)D (2)A【解题法】 直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解．(3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2 直线与圆锥曲线的弦长问题典例2 已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1(a >2)． 将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)， 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， ∴0≤m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， 得|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22. 又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3， 故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝2， 当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时取等号． 当m ＝±2时，满足0≤m 2<8. 故直线l 的方程为y ＝2x ±2.【解题法】 直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3 中点弦问题典例3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863. 【解题法】 弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立 将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43答案 D解析 由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.4．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S△AFO＝12|OF|×y1＝12×14y1＝18y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1－y2.由98y1－y2＝98y1＋(－y2)≥298y1×(－y2)＝298×2＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c 的最大值为________．答案2 2解析直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为22，又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤22，即实数c的最大值为22.6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m2－1,2m)．由|FQ|＝2知(2m)2＋(2m2－1－1)2＝2，解得m2＝1或m2＝0(舍去)，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解 解法一：(1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24 ＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 解法二：(1)同解法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.10．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎨⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3.因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)． 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 11．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解 (1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1.同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．[错解][错因分析] 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．[正解] 设M (x M ，y M )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .设直线CD 的斜率为k ′，因为CD ⊥AB ，所以k ′＝－1k .同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＝y 22－y 21x 22－x 21， 由于点A ，C 都在双曲线上，故有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2－y 21－y 22b 2＝0，所以k 1k 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2>0.则2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k 1k 2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，所以e＝1＋b 2a 2＝3，故选B.3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. 答案 ①④解析 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．6．[2016·冀州中学热身]已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ， 代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点的横坐标为x 0，则 x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3＝1＋t2， 由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，②显然t ≠0，所以h ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋1，③ 当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，此时h ≤－3，不满足①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋⎝⎛⎭⎪⎫－1t ≥2，当且仅当t ＝－1时取等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.7. [2016·枣强中学周测]已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程；(2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．解 (1)左焦点坐标为F (－1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由∠AOB ＝60°，得圆心O 到直线l 的距离d ＝13，又d ＝|k |k 2＋1，∴|k |k 2＋1＝13，解得k ＝±22. ∴直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ>0得1＋2k 2>m 2①，且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2.∵△POQ 的重心恰好在圆x 2＋y 2＝49上， ∴(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4， 即(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4， 即(1＋k 2)(x 1＋x 2)2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4. ∴16(1＋k 2)k 2m 2(1＋2k 2)2－16k 2m 21＋2k2＋4m 2＝4， 化简得m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1，代入①式得2k 2>0，∴k ≠0，又m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1＝1＋4k 44k 2＋1＝1＋44k 2＋1k 4.∵k ≠0，∴m 2>1，∴m >1或m <－1.8．[2016·冀州中学预测]已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．解 (1)∵F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，∴不妨设F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∵椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，∴设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据已知得⎩⎨⎧c ＝4，c a ＝45，b 2＝a 2－c 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，a ＝5，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴P (m ，n )是椭圆E 上的点．∴m 225＋n 29＝1. ∵m 225＋n 29≤m 29＋n 29＝m 2＋n 29，∴m 2＋n 2≥9. ∵曲线M 是圆心为(0,0)，半径r ＝2的圆，圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2≤13<2，∴直线mx ＋ny ＝1与曲线M 有两个公共点．设直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长为l ，则l ＝22－1m 2＋n2. ∵m 225＋n 225≤m 225＋n 29＝1， ∴m 2＋n 2≤25.∴9≤m 2＋n 2≤25.∴125≤1m 2＋n 2≤19，∴179≤2－1m 2＋n 2≤4925. ∴173≤2－1m 2＋n 2≤75. ∴2173≤l ≤145.∴直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2173，145. 9．[2016·衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解 (1)由已知得焦点坐标为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝m 2＋1·(4m )2－4×(－4)＝4(m 2＋1)． 所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.10．[2016·枣强中学模拟]已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时线段CD 的中点不是点N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2.②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×12＝－1.所以直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋2y －3＝0.11．[2016·衡水二中期末]已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知|EG |＝|ES |，∴|EG |＋|EC |＝|ES |＋|EC |＝62， 又|GC |＝6<62，∴点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为62的椭圆．故动点E 的轨迹M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆M 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 218＋y 29＝1，消去y ，化简得3x 2＋4mx ＋2m 2－18＝0.∵直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点， ∴Δ＝16m 2－12(2m 2－18)>0， 化简得m 2<27，解得－33<m <33， ∴x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2(m 2－9)3. ∵以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4(m 2－9)3－4m 23＋m 2＝0，解得m ＝±23，由于±23∈(－33，33)，∴符合题意的直线l 存在，所求的直线l 的方程为 y ＝x ＋23或y ＝x －2 3.12．[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan ∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．解 (1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)， 则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)， 当λ＝1时，MF →＝FN →， ∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c ， 由M ，N 两点在椭圆上， ∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN →＝(0,2y 2)，AF →＝(c ＋4,0)，MN →·AF →＝0， ∴MN →⊥AF →.(2)当λ＝1时，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，∴AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063， ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22， ∴56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2，a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(3)因为AM →·AN →·tan ∠MAN ＝2S △AMN ＝|AF ||y M －y N |＝63， 由(2)知点F (2,0)，所以|AF |＝6，即得|y M －y N |＝ 3.当MN ⊥x 轴时，|y M －y N |＝|MN |＝2b 2a ＝2×26≠3，故直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．联立⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 26＋y 22＝1，得(1＋3k 2)y 2＋4ky －2k 2＝0，y M ＋y N ＝－4k 1＋3k 2，y M ·y N ＝－2k 21＋3k 2，∴|y M －y N |＝24k 4＋24k 21＋3k 2＝3，解得k ＝±1.此时，直线MN 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)答案 A解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1，x >0，y >0可得N ⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，x >0，y >0可得M (a ，b )，又F 1(－c,0)，则kMF 1＝ba ＋c，k ON ＝b 2a b 2＋c2，∵MF 1∥ON ， ∴b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，∴a b 2＋c 2＝b (a ＋c )，又b 2＝c 2－a 2，∴2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，∴2e 0－e 30＝2e 20－2，设f (x )＝x 3＋2x 2－2x －2，f ′(x )＝3x 2＋4x －2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，即f (x )在(1，＋∞)上至多有1个零点，f (1)＝1＋2－2－2<0，f (2)＝22＋4－22－2>0，∴1<e 0< 2.故选A.14．[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析 设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，得|PF 2|＝a －m ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴a －m ＝2c ，又由e 1＝c a ，e 2＝c m ，得a ＝c e 1，m ＝c e 2，从而有c e 1－c e 2＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1，由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1，可得13<e 1<12，令1－2e 1＝t ，则0<t <13，e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2.又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上为减函数，则0<t <13时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴0<t <13时，f (t )>43，故e 1e 2>13.15．[2016·衡水二中模拟]如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得2a ＝4，a ＝2c ，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，则M (4，y )，F (1,0)，其中－2≤x ≤2，∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2.∴|PF |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋3－34x 2＝14(x －4)2，|PM |2＝|x －4|2，|FM |2＝32＋y 2＝12－34x 2. ①若|PF |＝|FM |，则14(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝－2或x ＝4(舍去)，当x ＝－2时，P (－2,0)，此时P 、F 、M 三点共线，不符合题意，∴|PF |≠|FM |；②若|PM |＝|PF |，则(x －4)2＝14(x －4)2，解得x ＝4，不符合题意； ③若|PM |＝|FM |，则(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝4(舍去)或x ＝47，当x ＝47时，y ＝±3157，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，±3157，满足题意． 综上可得，存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3157或⎝ ⎛⎭⎪⎫47，－3157，使得△FPM 为等腰三角形．16．[2016·枣强中学期末]如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，则b ＝c 2，又c 2＝a 2－b 2，所以4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。
“直线与圆锥曲线的位置关系”一课的教学与反思
获得 ， 数学知识的应用 ， 以及 形成初 步的探 索和解 决
置关 系呢？ ”
标中的这些理念渗透在课堂教学中呢？笔者结合省
优秀课评 比中“ 直线 与圆锥 曲线 的位置关 系 （ 高三复
习课 ）的教学设 计和教学 ， 阐释 和思考 ． ” 进行
１ 生活化的 问题 导入
学 生纷纷 回答 说出“ 相离 、 、 交” ． 相切 相 等
＊ 本文依据作 者参加浙江省衢州二 中举行的浙江省第 蔓厢高中数学优秀课观摩 与评 比活动中获一等奖 的课 例撰写 。 感
较多， 符合面积法的要求） ．
在教给学 生解题 方 法的 同时 ， 战性 问题 的解 挑
决又让学生 掌握并 发现新 的数 学 问题 。 而从 不 同 从
角度理解和掌握知识 ， 认清实质 ， 提高 解题的灵 活性 和深刻性 ． 另一 方 面教师思 路的灵 活性 与宽 广性影 响着学生的灵 活性 和宽广性 ， 战性 问题解决 使 教 挑
（） ３直线与双曲线 有两个公 共点 ， 且分别在左 右
两支上？ （） ４ 直线 与 双 曲线有 两个 公 共点 ， 都 在右 支 且
上？
其他的分析问题的视角吗？引导学生从代数角度进 ”
行判断， 通过将表示直线 的方程 ， 人圆锥 曲线 的方 代 程消元后所得方 程解 的情况来 判定 ． 而把 研究直 从 线和圆锥 曲线位置关系的问题转化为研究方程组解
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直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。