直线与圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线综合问题
圆锥曲线综合问题1.题目要求计算双曲线上一点到两个圆心的距离之差的最大值。
已知两圆的圆心和双曲线的焦点，可以通过计算点到圆心的距离和圆的半径来求得点到圆心的距离之和。
然后再通过两个圆心的距离和1来计算点到双曲线焦点的距离，最后将两个距离之差求出来即可得到最大值为5.2.题目要求计算过原点的直线与双曲线的交点斜率的取值范围。
可以将直线的方程代入双曲线的方程，然后整理得到一个关于斜率的一元二次方程。
由于两个交点不同，因此判别式大于0，可以得到斜率的取值范围为负根号3到正根号3.3.题目要求证明椭圆的长轴大于短轴，并求出过三个点的三角形的最大面积。
可以将直线的方程代入椭圆的方程，然后得到一个关于y的二次方程。
根据判别式大于0可以得到椭圆的长轴大于短轴。
然后可以通过求出三角形的三条边的长度，代入海伦公式求出三角形的面积，再通过求导数的方法求出最大值。
最终可以得到△OAB的最大面积为3.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，中心在坐标原点，左焦点为F(－3,10)，右顶点为D(2,0)，且点A的坐标是(1,2)。
1) 求该椭圆的标准方程。
根据题意，椭圆的长轴长度为4，短轴长度为2，且焦点在x轴上。
因此，椭圆的标准方程为x^2/4+y^2=1.2) 过坐标原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值。
当直线BC垂直于x轴时，|BC|=2，△ABC=1.当直线BC 不垂直于x轴时，设直线BC的方程为y=kx，代入椭圆的标准方程得到x^2=4k^2+1/(1+4k^2)，再根据点到直线的距离公式求得△ABC的面积。
通过求导可得当k=-1/2时，△ABC的面积最大，此时△XXX的面积为2.变式：若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点B、C且线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)，求m的范围。
根据题意，直线l与椭圆C交于两点，因此可以得到方程(4k^2+1)x^2+8kmx+4(m^2-1)=y^2.同时，由于线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)，因此可以得到3m=4k^2+1.结合两个方程可以得到m^21，因此m的范围为3/2<m<3.知识归纳：1.求参数范围的方法：建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围。
2020年高考文科数学直线与圆锥曲线的综合问题 专项练习题 含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程.(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解析：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0，所以|GH |＞|AB |2. 故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．2.(2019·承德模拟)如图所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD→＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .当λ＝1时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD→＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB→为定值－3. 3．(2019·贵阳模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程．(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．解析：(1)由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，所以|AB|＝k2＋1|x1－x2| ＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝12(k2＋1) 3＋4k2.同理，|CD|＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k2＋13＋4k2＝12(k2＋1)3k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12(k2＋1)3＋4k2＋12(k2＋1)3k2＋4＝84(k2＋1)2(3＋4k2)(3k2＋4)＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.4.如图所示，已知F(3，0)为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，B 1，B 2，A 为椭圆的下、上、右三个 顶点，△B 2OF 与△B 2OA 的面积之比为32. (1)求椭圆C 的标准方程．(2)试探究在椭圆C 上是否存在不同于点B 1，B 2的一点P 满足下列条件：点P 在y 轴上的投影为Q ，PQ 的中点为M ，直线B 2M 交直线y ＋b ＝0于点N ，B 1N 的中点为R ，且△MOR 的面积为3510.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 的坐标． 解析：(1)由已知得S △B 2OF S △B 2OA＝12bc12ab＝c a ＝32.又c ＝3，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的点P ，设其坐标为P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则Q (0，y 0)，且M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0.又B 2(0,1)，所以直线B 2M 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B 1(0，－1)，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1，所以|MR |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)2＋(y 0＋1)2＝1＋y 01－y 0. 直线MR 的方程为y －y 0＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 02，即2yy 0＋x 0x －2＝0，所以点O 到直线MR 的距离为d ＝2x 20＋4y 2＝1， 所以S △MOR ＝12|MR |·d ＝121＋y 01－y 0×1＝3510，解得y 0＝27， 又x 204＋y 20＝1，所以x 0＝±657，所以存在满足条件的点P ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±657，27.B 组 能力提升练5．(2019·武邑模拟)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，A 是圆F 1上的一动点，线段F 2A 的垂直平分线交半径F 1A 于P 点． (1)求P 点的轨迹C 的方程．(2)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若k EG · k FH ＝－34，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值． 解析：(1)因为P 在线段F 2A 的中垂线上， 所以|PF 2|＝|P A |.所以|PF 2|＋|PF 1|＝|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝4＞|F 1F 2|，所以轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且c ＝1，a ＝2，所以b ＝3， 故轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设点E ，H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y ＝kx ＋m ，E (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.①由k EG ·k FH ＝y 1y 2x 1x 2＝－34，得(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝－34.② 由①，②，得2m 2－4k 2－3＝0.③ 设原点到直线EH 的距离为d ＝|m |1＋k 2， |EH |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(12k 2－3m 2＋9)(3＋4k 2)2，S 四边形EFGH ＝4S △EOH ＝2|EH |·d ＝8|m |12k 2－3m 2＋93＋4k 2，④由③，④，得S 四边形EFGH ＝43，故四边形EFGH 的面积为定值，且定值为4 3. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .(1)若当点A 的横坐标为3，且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点D (x 0,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0≥12，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP ⊥BP ，求证：点P 的坐标为(－x 0,0)，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．解析：(1)由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，|F A |＝3＋p 2，则D (3＋p,0)，FD 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3p 4，0，则32＋3p4＝3，解得p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x . (2)依题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋x 0(m ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋x 0消去x ，得y 2－4my －4x 0＝0，因为x 0≥12.所以Δ＝16m 2＋16x 0＞0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4x 0，设P 的坐标为(x P ,0)，则PE →＝(x 2－x p ，－y 2)，P A →＝(x 1－x P ，y 1)， 由题知PE →∥P A →，所以(x 2－x P )y 1＋y 2(x 1－x P )＝0，即x 2y 1＋y 2x 1＝(y 1＋y 2)x P ＝y 22y 1＋y 21y 24＝y 1y 2(y 1＋y 2)4，显然y 1＋y 2＝4m ≠0，所以x p ＝y 1y 24＝－x 0，即证x P (－x 0,0)，由题知△EPB 为等腰直角三角形，所以k AP ＝1， 即y 1＋y 2x 1－x 2＝1，也即y 1＋y 214(y 21－y 22)＝1， 所以y 1－y 2＝4，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16. 即16m 2＋16x 0＝16，m 2＝1－x 0，x 0＜1，又因为x 0≥12，所以12≤x 0＜1，d ＝|－x 0－x 0|1＋m 2＝2x 01＋m 2＝2x 02－x 0，令2－x 0＝t ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，62，x 0＝2－t 2，d ＝2(2－t 2)t ＝4t －2t ， 易知f (t )＝4t －2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62上是减函数，所以d ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，2.。
直线与圆锥曲线综合问题的求解策略
＇ ２
。 ＋ ） ， Ｙ ２ ＜ ０ ” 是解答 本题 的关键． 本 题是求 参数 范围 问
变量之 间的等式关 系 （ 一般 可化为 函数关系 ） ， 通 过求解
题， 这类 问题 的解题思路一般有 ２ 种： 其一是寻 找参 数与某
于点 Ｅ时 ， 为Ａ 中点 ， 此时 ｔ ＝１ ； 当点 Ｆ位 于点 Ｃ时 ， Ｋ
Ｓ Ａ Ａ Ｏ Ｃ ￣ － 丁 １ ・ ・ ÷ 。 ＝ 字 。 ２ ，
从 而
故选 Ｄ ．
为 Ａ Ｂ 上 距 离 Ａ 点 ÷ 的 点 处 ， 此 时 ｔ ＝ 丁 １ ． 因 此 ｔ ∈ （ ＿ 芝 １ ＿ ， １ ） ．
２
，
（ ２ ０ １ ０年浙江省数学 高考理科试题 ）
分析 （ １ ） 不难 求得直线 ｆ 的方程为
ｘ 一
分析 （ １ ） 不难求 得椭 圆 Ｃ的方程为 ＋ ｙ ２ ＝１ ．
二
矗 一１＝ ０ ． Ｑ （ ， Ｙ ２ ） ， Ｎ（一２ ， Ｙ ｏ ） ， Ｚ 的方程为
（ ２ ） 设 Ａ（ ｌ ， ｙ 。 ） ， 曰 （ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则
“
直线 与圆锥 曲线综 合问题 的求解 策 略主 要有 ２种 ： 线
参数法与 点参数法． １ ． １ 线参数 法 。
所谓 “ 线参数法 ” ， 是 将条件 或结 论 用坐 标 （ 直 线 与圆 锥 曲线 的交点坐标 ） 表示 为 １ ± ２ ， Ｘ １ ２ （ 或Ｙ ± Ｙ ２ ， Ｙ ｌ Ｙ ２ ） ， 通过 直线 方程与圆锥 曲线方程 联立 ， 用 韦达 定理 或求 交点 坐标等来 求解的方法． 其 中将 条件 或结 论用 坐标表 示 是线 参数法 的关键．
圆锥曲线的综合问题
[例 1] P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内的一定点，过 P 点引一 弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如 图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x12＋2y21＝4，① x22＋2y22＝4.② ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴k＝xy11－－xy22＝－12.
上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0，即只 能得到一个一次方程．
思想方法技巧
一、向量法 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量 与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析 几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距 离等公式巧妙地解决解析几何问题．
二、点差法 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题) 时，常用根与系数的关系及点差法求解．
(1)求点 M 的轨迹方程； (2)过点 F(0,1)作互相垂直的两条直线 l1、l2，l1 与点 M 的 轨迹交于点 A、B，l2 与点 M 的轨迹交于点 C、Q，求A→C·Q→B的 最小值．
解析：(1)设 M(x，y)，E(a,0)，由条件知 D(0，－8)， N(a＋2 x，2y＋0)，∵N 在 y 轴上，∴x＝－a， ∵E→D⊥E→M，∴E→D·E→M＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－ a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴点 M 的轨迹方程为 x2＝4y(x≠0)．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线 l1： y＝kx＋1(k≠0)，则直线 l2：y＝－1kx＋1，
直线与圆锥曲线的综合应用
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++， 则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。
第40讲 圆锥曲线综合问题【理科】
第四十讲 圆锥曲线综合问题复习目标：1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2、掌握弦长与距离的求法。
一、基础知识回顾：1、直线与圆锥曲线的位置的判定由直线与圆锥曲线（含圆）的方程联立后，消去一个未知数（如y ），得到一个关于另一个未知数（如）的一元二次方程，则可根据判别式∆来讨论交点的个数：思考：（1）平行于抛物线轴的直线与抛物线交点的个数为多少？ （2）平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交点的个数为多少？2、斜率为k 的直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则弦长||AB =__________________。
3、如果在设直线方程时设计斜率，要注意分_________________、_______________两种情况进行讨论；为了避免讨论，过焦点(,0)F c 的直线，可设为________________。
4、圆锥曲线过焦点的弦成为焦点弦，求焦点弦的长度时，除用弦长公式外，还可用___________________________求弦长。
二、基础知识自测1、直线与抛物线有一公共点是直线与抛物线相切的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件2、已知双曲线2213y x -=，过点(2,1)P 作一直线交双曲线与,A B 两点，并使P 为AB 中点，则直线AB 的斜率为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的远的方程为（ ）A 、221090x y x +-+=B 、221090x y x +--=C 、221090x y x +++=D 、221090x y x +++= 4、已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度为（ ）A 、B 、C D5、直线:(l y k x =与曲线221(0)x y x -=>相交于,A B 两点，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A 、[0,)πB 、3(,)(,)4224ππππC 、[0,)(,)22πππD 、3(,)44ππ6、直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y t+=恒有公共点，则t 的取值范围是________________。
高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.
2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）
2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）4.2直线与圆锥曲线的综合问题 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e 的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.25.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.28.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值. 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 答案 A 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案B 解析抛物线的焦点为Fp2,0, 所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=__p2, 即x=y+p2,代入y2=2px消去x, 得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0, 由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标), 所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1. 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 答案 B 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案 B 5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为. 答案22 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1__2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0, ∴y1-y2x1__2=-b2a2·x1+x2y1+y2. ∵y1-y2x1__2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2, ∴-b2a2=-12. ∴a2=2b2. 又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, ∴e=ca=22. 6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 答案(1,5) 解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba2. ∴e=ca=a2+b2a21+4=5,∵e1, ∴1e5, ∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F 且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23. ∴椭圆的右焦点F(23,0). ∴设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=__23,其中m=1k. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立my=__23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0. ∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2. ∵AF=3FB,∴-y1=3y2, 把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2. 又k0,∴k=2. 8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 答案B 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x 轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 答案C 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB, 所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1, 由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0, ∴y1y2=-4, ∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433, ∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33__53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239. 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 答案B 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC 解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确; ∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b20, ∴PB1·PB2=(__0,-b-y0)·(__0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确; 当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b 2=a2+b2a. ∴r≤a2+b22a, ∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确; 直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b__0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2__02x2, 化为y2b2__2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确. 12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 答案3215 13.在直角坐标系xOy 中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. (1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2), 则kAM-kBM=y-2x+2-y-2__2=8-4yx2-4=-2, 可得x2=2y(x≠±2), 则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2). (2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2, 又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2, 即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12, 直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2, 可得直线l的方程为y-m22=m+n2(__m), 化为y=m+n2__mn2, 可得y-6=m+n2(__2), 可得直线l恒过定点(2,6). 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O 为原点)面积的最大值. 解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2, 又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1, 联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1. (2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2, 联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 因为直线AB 与椭圆C相交于A,B两点, 所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)0,得k21, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2, 所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2. 点O(0,0)到直线k__y+2=0的距离d=21+k2, 所以△OAB面积S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2. 令k2-1=t,则k2=t2+1(t0), 所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32, 当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立, 此时k2=73,△OAB的面积取得最大值32.。
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直线与圆锥曲线的综合问题适用学科高中数学适用年级高二适用区域陕西西安课时时长（分钟）60分钟知识点范围问题对称问题定点、定值、最值等问题教学目标进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择.教学重点能利用解析法研究圆锥曲线中的范围问题、对称问题和最值问题．教学难点定点、定值、最值等问题的探究过程．教学过程一、复习预习圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.二、知识讲解考点1范围问题求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．考点2对称问题要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围考点/易错点3定点、定值、最值等问题定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．三、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆1:22221=+by a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当椭圆的离心率e 满足2223≤≤e ，且0=⋅OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】[]6,5【解析】由⎩⎨⎧=-+=+01222222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a由()0122222>-+=∆b a b a ，得122>+b a此时222212b a a x x +=+，()2222211ba b a x x +-=由0=⋅OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x即022222=-+b a b a ，故12222-=a a b由222222ab a ac e -==，得2222e a a b -= ∴221112ea -+= 由2223≤≤e 得23452≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为[]6,5【例题2】【题干】已知椭圆132:22=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4:，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称. 【答案】522522<<-m 【解析】解法一：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则AB 所在直线为b x y +-=41.与椭圆联立得：06282522=-+-b bx x ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-=+==+=25242544122542210210b b b y y y b x x x∵C 在m x y +=4上, ∴m b b +⨯=42542524， 825m b =.又∵ ()062825422>-⨯-=∆b b ，故8252<b ，即8258252<⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，解得：522522<<-m . 由上可知: 当 522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称. 解法二：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+62362322222121y x y x ， 得 ()()4123230021212121-=-=++-=--y x y y x x x x y y ， ∴ 006x y =联立m x y +=004，解的20mx =，m y 30=, ∵M 在椭圆内部，∴()1332222<+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 即522522<<-m 由上可知: 当522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称.【例题3】【题干】已知P 、Q 是椭圆124:22=+y x C 上的两个动点，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；【解析】证明：设()11,y x P 、()22,y x Q ，由椭圆的标准方程为12422=+y x 知 ()()1212121212222222x x x y x PF +=-++=++=同理2222x OF +=，222+=MF ． ∵QF PF MF +=2，∴()212242222x x ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴221=+x x ①当21x x ≠时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+424222222121y x y x ，得()()0222212221=-+-y y x x ，从而有2121212121y y x x x x y y ++-=-- 设线段PQ 的中点为()n N ,1，由nx x y y k PQ 212121-=--=，得线段PQ 的中垂线方程为()12-=-x n n y ∴()012=--y n x ，该直线恒过一定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．②当21x x =时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1Q ，或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1Q ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1P 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，∴线段PQ 的中垂线恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．四、课堂运用【基础】1.已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上，其横坐标依次为1，m ,4(41<<m )，当ABC∆的面积最大时，m 等于( )A.3B.49 C.25 D.23 【答案】B【解析】由题意知()1,1A ，()m m B ,,()2,4C .直线AC 所在方程为023=+-y x ,点B 到该直线的距离为10|23|+-=m m d .|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵()4,1∈m ,∴当23=m 时，ABC S ∆有最大值，此时49=m . 2.设R v u ∈,，且2≤u ,0>v ,则()22292⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-v u v u 的最小值为( )A.4B.2C.8D.22【答案】C【解析】考虑式子的几何意义，转化为求圆222=+y x 上的点与双曲线9=xy 上的点的距离的最小值.3.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使2π=∠OPA ,则椭圆离心率的范围是_________. 【答案】122<<e【解析】设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),以OA 为直径的圆：022=+-y ax x ,两式联立消y 得022222=+--b ax x ab a .即0222=+-b ax x e ,该方程有一解2x ,一解为a ,由韦达定理x 2=a eax -=22,a x <<20，即12202<<⇒<-<e a a e a . 4.一辆卡车高3米，宽6.1米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是_________. 【答案】13【解析】由题意可设抛物线方程为ay x -=2,当2a x =时，4ay -=；当8.0=x 时，a y 64.0-=.由题意知364.04≥-aa ,即056.2122≥--a a .解得a 的最小整数为13.【巩固】1.已知抛物线12-=x y 上一定点()0,1-B 和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，PQ BP ⊥，则Q 点的横坐标的取值范围是_________.【答案】(][)+∞-∞-,13,【解析】设()1,2-t t P ，()1,2-s s Q∵PQ BP ⊥,∴1)1()1(11222-=----⋅+-ts t s t t , 即()0112=+--+s t s t∵R t ∈,∴必须有()()01412≥-+-=∆s s .即0322≥-+s s ,解得3-≤s 或1≥s .2.已知直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 经过点()0,2-P 及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.【答案】22+>b 或2-<b【解析】设()11,y x A ,()22,y x B .由⎩⎨⎧=--=1122y x kx y ,得()022122=-+-kx x k , 又∵直线AB 与双曲线左支交于A 、B 两点，故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-0120120)1(8)2(01221221222k x x k k x x k k k解得12-<<-k ，设()00,y x Q ，则221012k k x x x +-=+=，111200-=-=k kx y ． l 的斜率为22121112022200-+=+--=+-k k k k k x y ． ∴l 的方程为()22212+-+=x k k y ． 令0=x ，则2222-+=k k b ，又()1,2--∈k ， ∴()22,1222--∈-+k k ，即22+>b 或2-<b3.已知抛物线x y C 4:2=.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合，试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程；(2)若()0,m M 是x 轴上的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问MQ 有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.【答案】⑴12-=x y （1>x ）;⑵45m in-=m MQ【解析】由抛物线x y 42=,得焦点()0,1F ,准线1:-=x l .(1)设()y x P ,，则()y x B 2,12-,椭圆中心O ',则e BF O F =':,又设点B 到l 的距离为d ,则e d BF =:,∴d BF BF O F ::=',即()()()22222222-=+-x x y x ,化简得P 点轨迹方程为12-=x y （1>x ）.(2)设()y x Q ,,则()45211)(2222-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=+-=m m x x m x y m x MQ （1>x ）(ⅰ)当121≤-m ,即23≤m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在()+∞,1上递增，故t 无最小值，亦即MQ 无最小值.(ⅱ)当121>-m ,即23>m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在21-=m x 处有最小值45-m ,∴45m in -=m MQ .【拔高】1.如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持PB PA +的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=DNDM，求λ的取值范围. 【答案】(1)1522=+y x ；(2)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ． 【解析】(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵45212222=>=+=+=+AB QB QA PB PA . ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则522=a ,∴5=a ,2=c ,1=b .∴曲线C 的方程为1522=+y x . (2)设直线l 的方程为2+=kx y ,代入1522=+y x ,得()015205122=+++kx x k . ()()0511542022>+⨯-=∆k k ,得532>k .由图可知λ==21x x DN DM由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将21x x λ=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ ∵532>k ，35102<<k ，∴5205152<+<k ，即3165138042<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<k ∴()31614<+<λλ，∵0>=DN DMλ,∴解得331<<λ ①∵DNDMx x ==21λ，M 在D 、N 中间，∴1<λ②又∵当k 不存在时，显然31==DN DM λ (此时直线l 与y 轴重合). 综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ课程小结解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.课后作业【基础】1.已知抛物线px y 22=上有一内接正AOB ∆，O 为坐标原点.求证：点A 、B 关于x 轴对称；xyOAB【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，∵OB OA =，∴22222121y x y x +=+，∴22212122px x px x +=+，即()()022121=++-p x x x x ，∵01>x ，02>x ，0>p ，∴21x x =，21y y -=，故点A 、B 关于x 轴对称2.若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆149:22=+y x C 于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【答案】02598=+-y x【解析】()1,2-M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则421-=+x x ，221=+y y又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922212221=-+-y y x x ， 化简得()()()()09421212121=-++-+y y y y x x x x ， 把421-=+x x ，221=+y y 代入得981212=--=x x y y k AB故所求的直线方程为()2211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为 ：02598=+-y x .3.在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称，求k 的取值范围. 【答案】()0,1-【解析】 （1）当0=k 时，曲线上不存在关于直线对称的两点．（2）当0≠k 时，设抛物线x y 42=上关于直线对称的两点()11,y x A ，()22,y x B ，AB 的中点为()00,y x M ，则直线AB 的斜率为k 1- ，可设直线b x ky AB +-=1: 代入x y 42=得0442=-+kb ky y016162>+=∆kb k （*） k y y 421-=+，kb y y 421-=⋅k y 20-=，()kb k kb y y k x x 24222121+=++-=+，kb k x +=202∵M 在直线3+=kx y 上，∴()3222++=-kb k k k ∴kk bk 3222---=， 代入（*）得即()()01312<⋅+-+kk k k 又032>+-k k 恒成立，所以01<<-m ． 综合（1）（2），k 的取值范围是()0,1-【巩固】1.已知P 是椭圆124:22=+y x C 的动点，点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A 关于原点O 的对称点是B ，若PB 的最小值为23，求点P 的横坐标的取值范围． 【答案】2-=x 或20≤≤x 【解析】由⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，得⎪⎭⎫⎝⎛-0,21B ，设()y x P ,()47121222121222222++=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x y x PB ，∵23≥PB ，()49471212≥++x ，解得0≥x 或2-≤x 又22≤≤-x ∴2-=x 或20≤≤x2. 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45 【解析】 设()11,y x A ，()22,y x B ，()00,y x M ， 因AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为a my x +=， 将它代入x y =2得02=--a my y ， ∴m y y =+21，a y y -=21由92=AB 得()()912212=-+y y m 即()()[]941212212=-++y y y y m∴()()94122=++a m m ，∴()414922m m a -+= （*） ()221210my y y =+=，()()a m a y y m x x x +=++=+=22221221210， 将（*）代入得()()4541234141149414922220=-≥-+++=++=m m m m x 当且仅当()4114922+=+m m 即22=m 时取等号，此时，41=a ，220±=y ，450=x 所以，点M 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45时，到y 轴的最短距离最小，最小值为45．3．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F 1、2F 为顶点的三角形的周长为()124+．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k .【答案】(1)14422=-y x ；(2)见解析． 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：22=a c ， ()12422+=+c a ，所以a ＝22，c ＝2， 又222c b a +=，因此2=b .故椭圆的标准方程为14822=+y x . 由题意设等轴双曲线的标准方程为12222=-my m x （0>m ），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以2=m ，因此双曲线的标准方程为14422=-y x . (2)证明：()00,y x P ， 则2001+=x y k ，2002-=x y k . 因为点P 在双曲线422=-y x 上，所以42020=-y x .因此14222020000021=-=-⋅+=x yx y x y k k ， 即121=k k .【拔高】1．已知椭圆C 过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ，两个焦点为()0,1-A ，()0,1B ，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点()0,1-A ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ∆的面积的最大值．【答案】(1)13422=+y x ；(2)3． 【解析】(1)由题意，1=c ，可设椭圆方程为112222=++by b x . 因为M 在椭圆上，所以1491122=++bb ， 解得32=b ，432-=b (舍去)． 所以椭圆方程为13422=+y x . (2)设直线l 方程为1-=ky x ，()11,y x P ，()22,y x Q ，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+⇒=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=4394360963413412212212222k y y k k y y ky y k yx ky x 所以4311221222121++=-⋅=∆k k y y F F S BPQ. 令t k =+12，则1≥t ，所以tt S BPQ 1312+=∆，而tt 13+在[)+∞,1上单调递增， 所以31312≤+=∆tt S BPQ ，当1=t 时取等号，即当0=k 时，BPQ ∆的面积最大值为3.。