高三理科数学第一轮复习§8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
2025年高考数学一轮复习 第九章 -第八节 直线与圆锥曲线【课件】
1
2
解 设的方程为 = + ,点 1 , 1 ,
面积的最大值.
1
= + ,
2
2 , 2 ,联立得൞ 2 2
整理得
+ = 1,
8
2
2
2 + 2 + 22 − 4 = 0. ∵ Δ = 42 − 8 + 16 > 0,解得 < 2，
∴ 1 + 2 = −2,1 2 = 22 − 4，则
B.若与有且仅有两个公共点,则 < 2 2
C.若 = 3 2,则上到的距离为5的点只有1个
D.若 = − 2,则上到的距离为1的点只有3个
+
2
2
= 1,则下列结论正确的
= + ,
[解析] 联立得ቐ
+
消去得 + + − = ,则判别式
2
5.已知椭圆:
4
2
+ =
3 24
1的左、右焦点分别为1 ,2 ,过2 且斜率为1的直线交椭圆于
,两点,则 =_____.
7
= − ,
[解析] 易知直线的方程为 = − ,设 , , , ,联立得ቐ
+
− − = ,则 + =
=
+ ⋅
+
,
−
⋅ = − ,所以
= .
= ,
得
02
研考点 题型突破
题型一 直线与圆锥曲线位置关系
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：直线与圆锥曲线的位置关系
![[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：直线与圆锥曲线的位置关系](https://img.taocdn.com/s3/m/640cedc3bb4cf7ec4afed042.png)
1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等相 关问题时,能够运用一元二次方程根与系数的关 系简化运算,如在计算相交弦长可运用弦长公式
AB
AB
1 k x1 x2 4 x1 x2
2 2
或
(其中k为直线的斜率)
1 2 y y 4 y y 2 1 2 1 2 1 k
解方 程
计算判 别式
交 点 个 数
位 置 关 系
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与抛物线 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
y 4 x 是________或________ y 12 x
2
2
3.设双曲线 2 x 3 y 6 的一条弦AB(A,B两点 在双曲线的同一支上)被直线y=kx平分,则AB所在 2 直线的斜率为_________
2 2
3k
4.设椭圆的中心在原点,一个焦点是F 0, 5 2 ,椭圆 截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为0.5,则椭圆
(2)若l与双曲线C的左，右两支分别交于D,E, 求双曲线C的离心率e的取值范围.
e 2
1.若抛物线y ax
2. 已知椭圆C:
l1 : x a y b 1
【巩固练习】
2
1 上总存在关于直线x+y=0
y 1(a b 0) , 直线
2
3 , 对称的两点,则实数a的取值范围是__________. 4 2 2
高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课件理
解析：由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba. 答案：－ba＜k＜ba
2．(2016·苏州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没
有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的交点
解得－
315＜k＜－1.即
k
的取值范围是－
315，－1.
答案：－
315，－1
[谨记通法] 直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点 (1)判定方法 ①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关 于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数 即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． ②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象 判断公共点个数．
2．已知椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，F1，F2分别是左、右焦
点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的
离心率e的取值范围为________．
解析：设点 P(x0，y0)， 则由第二定义得|PF1|＝ex0＋ac2＝a＋ex0， |PF2|＝eac2－x0＝a－ex0. 因为△PF1F2 为直角三角形， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝(2c)2＝4c2， 解得 x20＝2c2e－2 a2，由椭圆方程中 x 的范围知 0≤x20≤a2. 所以 0≤2c2e－2 a2<a2，解得 22≤e<1.
3．(教材习题改编)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l过 定点P(－2,1)，斜率为k.则k＝________时，直线l与 抛物线有且只有一个公共点． 答案：－1或12或0
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
第八讲+直线与圆锥曲线 课件——2025届高三数学一轮复习
则 k＝yx11－ －yx22＝ba22·yx11＋＋yx22.
因为 M(4，2)是弦 AB 的中点，所以 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4. 因为直线的斜率为 1ห้องสมุดไป่ตู้所以 1＝ba22×84，即ba22＝12.
所以
e2＝a2＋a2 b2＝1＋ba22＝23，即
e＝
6 2.
答案：D
(2)若中心在原点，焦点坐标为(0，±5 2)的椭圆被直线 3x－
因为 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 所以xy11－－xy22＝－34，即所求直线的斜率为－34，所求的直线方程
为 3x＋4y－7＝0. 答案：D
考向 2 由中点弦确定曲线方程或参数的值 [例 3](1)已知倾斜角为π4的直线与双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，
b>0)相交于 A，B 两点，M(4，2)是弦 AB 的中点，则双曲线的离心
(4)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范
围，曲线定义不能忘.”
考点一 直线和圆锥曲线的位置关系
1.过圆 x2＋y2＝r2 上一定点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋ y0y＝r2，此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆1x22 ＋y42＝1 上的点 A(3，
所以|AB|＋|CD|＝123(＋k24＋k21)＋123(kk22＋＋41)＝(3＋844(kk22)＋(3k12)＋2 4)＝478， 解得 k＝±1，
所以直线 AB 的方程为 x－y－1＝0 或 x＋y－1＝0.
【题后反思】
(1)弦长的求解方法 ①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式
答案：D
解得－ 315<k<－1.故选 D.
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教学案含解析理
第八节 圆锥曲线的综合问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，Fx ，y ＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[常用结论]过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0). ]5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．4 [由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝＋m2＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.]第1课时 直线与圆锥曲线12，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条B [设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．]2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5D [由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.]3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－－k 2－＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1， 即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1.] [规律方法] 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法►考法1 【例1】 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105C [设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |m ax ＝4105.]►考法2 中点弦问题【例2】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2，又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18，方程为x 218＋y 29＝1.] ►考法3 与弦长有关的综合问题【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k2， 所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝k 2＋3＋4k2.同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝k 2＋3k 2＋4.所以|AB |＋|CD |＝k 2＋3＋4k2＋k 2＋3k 2＋4＝k 2＋2＋4k2k 2＋＝487， 解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解联立直线与圆锥曲线方程，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x 1－22，y 1－22，代入两点间的距离公式.当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长设椭圆M ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 的面积．[解] (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22， 由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2， 故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－22，x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12＋3＝422. 又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.。
一轮复习课时训练§8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章§9：直线与圆锥曲线的综合应用(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间60钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为A ．2B ．－2C ．13D ．－122．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b 的值为A ．－12B ．12C ．±12D ．±23．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m ，4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于A ．3B ．94C ．52D ．324．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′.若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为12的点P 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作两条弦AB 和CD ，且AB ⊥x 轴，|CD|＝2|AB|，则弦CD 所在直线的方程是A ．x －y －1＝0B ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0C ．y ＝2(x －1)D ．y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足A F →＝3F B →，则弦AB 的中点到准线的距离为__________．7．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB 的面积为22，则p ＝______.8．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个不同点，则双曲线离心率的取值范围是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP||OM|＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数． (1)求椭圆的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点M 在椭圆上，且满足 OM →＝12OA →＋32OB →，求k 的值．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：设弦的端点为A ，B ，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，又x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)36＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)36(y 1＋y 2)＝－9×836×4＝－12.答案：D2．解析：∵P(a ，b)在双曲线上，则a 2－b 2＝1，∴(a ＋b)(a －b)＝1.∵d ＝|a －b|2＝2，∴|a －b|＝2.又∵点P 在右支上，∴a>b ，∴a －b ＝2，∴a ＋b ＝12.故选B 项．答案：B3．解析：由题意知A(1,1)，B(m ，m)，C(4,2)．直线AC 所在的方程为x －3y ＋2＝0，点B 到该直线的距离为d ＝|m －3m ＋2|10.S △ABC ＝12|AC|·d ＝12×10×|m －3m ＋2|10＝12|m －3m ＋2|＝12|(m －32)2－14|.∵m ∈(1,4)，∴当m ＝32时，S △ABC 有最大值，此时m ＝94.答案：B4．解析：由题意知直线l 关于原点对称的直线l ′：2x ＋y －2＝0，它与椭圆x 2＋y 24＝1的交点A(0,2)，B(1,0)，故|AB|＝ 5.由题意知P 到直线AB 的距离为55，设过P 且与l ′平行的直线为2x ＋y ＋m ＝0，由|m ＋2|22＋1＝55，得m ＝－1，即与l ′平行且距l ′距离为55的直线有且只有一条，故点P 有2个． 答案：B5．解析：依题意知AB 为抛物线的通径，|AB|＝2p ＝4，|CD|＝2|AB|＝8，显然满足条件的直线CD 有两条，验证B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1得：x 2－6x ＋1＝0，x 1＋x 2＝6，此时|CD|＝x 1＋x 2＋p ＝8，符合题意．同理，x ＋y －1＝0也符合题意． 答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6． 解析：如图，F 为抛物线的焦点，作AH 垂直准线于点H ，交y 轴于点D ，作BG 垂直准线于点G ，交y 轴于点C.∵y 2＝4x ，∴p ＝2，|OF|＝1， 设直线AB 为y ＝k(x －1)， 代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x A ·x B ＝1.① ∵BG AH ＝BFAF ，∴x B ＋1x A ＋1＝13，② ①②联立解得x A ＝3，x B ＝13，∴AB 中点到准线的距离为|AH|＋|BG|2＝x A ＋1＋x B ＋12＝3＋1＋13＋12＝83.答案：837．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxx ＝my －m，消x 得y 2－2mpy ＋2pm ＝0∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm.又∵焦点(p2，0)在直线x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2.∴S △AOB ＝12×p2×|y 1－y 2|＝22，∴m 6＋m 4＝2.得m ＝－1或m ＝1(舍去)，∴p ＝2. 答案：28．解析：由已知满足条件的点在OF 的中垂线l 上，∴l 与双曲线的右支交于不同两点， ∴c 2>a ，∴e ＝c a >2. 答案：(2，＋∞)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M(x ，y)，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2， 整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． 10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵双曲线x 23－y 2＝1的离心率为233，∴椭圆的离心率为32. 又∵b ＝1，∴a ＝2. ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(m ，n)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， ∴x 1＋x 2＝－8k1＋4k 2，x 1·x 2＝0， ∵OM →＝12OA →＋32OB →，∴m ＝12(x 1＋3x 2)，n ＝12(y 1＋3y 2)，∵点M 在椭圆上， ∴m 2＋4n 2＝4，∴14(x 1＋3x 2)2＋(y 1＋3y 2)2 ＝14[(x 21＋4y 21)＋3(x 22＋4y 22)＋23x 1x 2＋83y 1y 2] ＝14[4＋12＋83y 1y 2]＝4. ∴y 1y 2＝0，∴(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝k·(－8k1＋4k 2)＋1＝0，化简得k 2＝14，∴k ＝±12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
解析
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
解析
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
解析
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用
解析
第八章：平面解析几何 §8.9：直线与圆锥曲线的综合应用