初一数学从算式到方程的知识点
5.1.1 从算式到方程知识点讲解 2024-2025学年人教版七年级数学上册
5.1.1 从算式到方程知识点讲解知识点 1方程【举例讲解】请看下面几个问题：(1)一头半岁的蓝鲸体重22 吨，90 天后体重为30.1吨，如果设蓝鲸体重平均每天增加x吨，那么可得 ·(2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg ，如果设每个袋子可装大米 x kg，那么可得 .(3)据资料，海拔每升高 100 m，气温下降( 0.6°C.现测得某山山脚下的气温为15.2℃，山顶的气温为12.4°C,如果设这座山高为 xm，那么可得 .(4)小明去商店买了5 支铅笔和8支圆珠笔，共花了18.60元，如果设每支铅笔x元，每支圆珠笔y元，那么可得 .根据上面四个问题可以得到以下四个式子，(1)22+90x=30.1.(2)3x+5=50.×0.6=12.4.(3)15.2−x100(4)5x+8y=18.60.这四个式子的共同特点：①它们都是等式；②每个等式都含有未知数.【归纳总结】知识归纳含有未知数的等式叫做方程.说明：①方程有两个要素，一是含有未知数，二是方程是一个等式，二者缺一不可；②方程中的未知数可以是x,也可以是其他字母;③如果在等式(a﹣1)x﹣2=4a中，x是未知数，a是已知数，那么我们就把这个方程叫做关于x的方程；④方程中所含的未知数不一定是一个，含有两个或两个以上未知数的等式也叫做方程.方法归纳代数式、等式和方程的区别：代数式中不含等号、不等号，只含有运算符号和括号；等式中必定有等号；方程中不但含有等号，而且含有未知数.知识点 2方程的解与解方程【举例讲解】对于方程3x+2=8,当x=1,2,3时,哪一个能使方程左右两边相等.当x=1时,方程左边=3×1+2=5≠右边,所以x=1不是方程3x+2 =8的解，或者说x=1不是方程的根；当x=2时,方程左边=3×2+2=8=右边,所以x=2是方程3x+2=8的解,或者说x=2是方程的根;当x=3时,方程左边=3×3+2=11≠右边,所以x=3 不是方程3x+2=8的解，或者说x=3不是方程的根.【归纳总结】知识归纳使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.只含有一个未知数的方程的解，也叫做根；求方程解的过程叫做解方程.方法归纳1.要检验一个数是否为某个一元方程的解，根据方程解的意义，只要把这个数分别代入方程左、右两边，看方程左、右两边的值是否相等，若左、右两边的值相等，则这个数是这个方程的解，反之，则不是.另外检验某数是不是方程的解的同时也可以用来验证我们解方程的过程是否正确.2.将未知数用具体数字来代替，这种方法在数学上叫做代入法，代入法是一种重要的数学方法.知识点 3一元一次方程【举例讲解】(1)七(二)班共有学生54人，男生人数是女生人数的2 倍，设女生有x人，则列方程为 .(2)有甲、乙两个仓库，其中甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，如果从甲仓库运出650吨，乙仓库运出50吨，两仓库剩余的粮食相等，设乙仓库的存粮为y吨，则列方程为 .(3)某养殖场有x只白兔，有280 只黑兔，其中黑兔只数是白兔只数的4倍，则列方程为 .解：(1)等量关系是：男生人数+女生人数=全班人数,所以方程为x+2x=54.(2)等量关系是：甲仓库存粮-650=乙仓库存粮-50,所以方程为3y-650=y-50.(3)等量关系是：黑兔的只数=白兔只数的4倍，所以方程为4x=280.从x+2x=54,3y-650=y-50,4x=280,这三个方程中可以看出它们的共同点是都含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是1，含有未知数的代数式都是整式.【归纳总结】知识归纳在一个方程中，只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.方法归纳1.一元一次方程必须满足三个条件：①未知数只有一个；②未知数的次数是1；③方程是整式方程.三个条件缺一不可.2.判断一个方程是不是一元一次方程，首先应将原方程化简、整理成一般形式，然后进行判断，特别注意“a≠0”这个条件.一个整式方程的“元数”和“次数”都是在将这个方程化成最简形式后才能判定的.拓展点：任何一个一元一次方程变形后总可以化为 ax+b=0的形式,其中x是未知数,a,b是常数,并且a≠0.我们把ax+b=0(a≠0)叫做一元一次方程的标准形式.知识点 4用“估算—检验”的方法求一元一次方程的解【举例讲解】估算方程3x-8=19的解.估算方程的解就是确定一个数代入这个方程，恰好使方程的左右两边相等.当x=10时,3x﹣8=22,而19<22,这说明方程的解要比10小,当x=8时,3x-8=16,而19>16，这说明方程的解要比8大，先尝试在这个范围内的整数,当x=9时,3x﹣8=19,所以方程的解是x=9.【归纳总结】知识归纳首先通过试验找出未知数所属的大致范围，即未知数取这个范围的两端的值时，一个使左边小于右边，另一个使左边大于右边，然后在这个范围内通过试验确定未知数的值，即方程的解.课后满分闯关1.下列各式3x−2,2m+n=1,a+b=b+a(a,b为常数)，y=0,x²−3x+2=0中，方程有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列四个方程中，是一元一次方程的是( )A.x²−1=0B.x+y=1C.12−7=5D.x=03.下列方程中，以4为解的方程是( )A.2x+5=10B.−3x−8=4+3=2x−3D.2x−2=3x−6C.124.小悦买书需用48 元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12 张.设所用的1 元纸币为x 张. 根据题意，下面所列方程正确的是( )A.x+5(12−x)=48B.x+5(x−12)=48C.x+12(x−5)=48D.5x+(12−x)=485.若方程3xᵐ⁻⁵=1是关于x的一元一次方程，则m=.6.关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1,则m=.7.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元.设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为 .是否为方程3x=x+3的解.8.判断x=2 和x=32是方程kx−4=2x的解，求代数式(3k²+6k−73)²⁰¹⁹的值.9.已知x=−1210.七年级一班第一小组的同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学们.若每人3个，还剩9个；若每人5个，就会有一人分到4个.试问第一小组有多少个学生? 共摘了多少个苹果?(1)题目中有两个不变的量，请指出这两个量.(2)根据这两个不变的量列出两个不同的方程. (只列方程)。
人教版七年级数学上册5.1方程-5.1.1从算式到方程-第1课时从算式到方程课件
第1课时 从算式到方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义. 2.经历运用方程表示数量关系的过程，体会模型思想，感悟从算式到方 程的进步.
1.方程的定义 像这样，先设出字母表示_未__知__数___，然后根据问题中的_相__等__关__系___，列 出一个含有_未__知__数___的等式，这样的_等__式___叫作方程. 2.分析实际问题中的数量关系，利用其中的_相__等__关__系___列出方程，是用 数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下：
（1） 一个数的5倍比它的二分之一多8.
（2） 某校购买A,B两种书共400本，共花了6 000元.已知A种书每本12 元，B种书每本16元，两种书各买了多少本？
易错点 列方程时单位未统一
B
8.请你设未知数并列出方程： 如图，有甲、乙两个容器，甲中盛 满水，乙中没有水，小明将甲容器 中的水全部倒入乙容器，发现水没 有溢出，求倒入水后乙容器中下列各式中，不是方程的是( B )
③④⑥
知识点2 列方程表示数量关系
C
B
5.根据下列问题，设未知数并列出方程： （1） 一个数的5倍比它的二分之一多8. （2） 某校购买A,B两种书共400本，共花了6 000元.已知A种书每本12 元，B种书每本16元，两种书各买了多少本？
从算式到方程课件人教版七年级数学上册
（2）大围山国家森林公园被称为“湘东绿色明珠”， 门票90元/人，14岁以下儿童和65岁以上的老人免费。最 近一次和家人一起去，共花费270元，平均每人花费54元
你知道我们一行人中有几个人可以免门票吗？
(不需要计算出结果，只要列出算式和方程即可)
小组讨论： 1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2. 列方程的关键是什么？
× 错因：分母中含有未知数，
不是整式.
题型 一元一次方程中求字母的值
例1 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2 .
【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程 (m 1)x m 1 0是关于x的一元一次方程，则 m= 1 .
反思
未知数的次数为1时，未知数的系数不为0.
3.1 从算式到方程（1）
七上 第三章《一元一次方程》
一 方程与列方程
在小学，我们已经见过像2x=50,3x+1=4,5x-7=8 这样简单的方程，其中字母x表示未知数.
方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工 具.研究许多数学问题时，人们经常用字母表示其中的 未知数,通过分析数量关系，列出方程表示相等关系， 然后解方程求出未知数.
实际问题 抓关键句子找等量关系 一元一次方程 设未知数列方程
方程是为了求出未知数而在未知数和已知数 之间建立起来的等式关系.
列方程的关键是找到相等关系,并将其“翻译” 成数学表达式.
思考：列算式和列方程各有什么特点？
名家观点：列算式经常要反着想，而列方程 是顺着想. 算式中只含有已知数而不含未 知数，方程是比算式更有力的数学工具， 它打破了列算式时只能使用已知数的限制. 这样的突破使得列方程一般比列算式更直 接、更自然、更宽松，从而给解决问题带 来了更大的便利.
七年级数学从算式到方程(wpa)
代入法解二元一次方程组
代入法的基本思想
通过代入的方式，将二元一次方 程组转化为一元一次方程进行求
解。
整体代入法
将某个未知数的表达式整体代入 另一个方程中，得到一个关于该 未知数的一元一次方程，解出该 未知数后，再代入原方程求出另
一个未知数的值。
部分代入法
将某个未知数的部分表达式代入 另一个方程中，得到一个关于该 未知数的一元一次方程，解出该 未知数后，再代入原方程求出另
消元法解二元一次方程组
01
消元法的基本思想
通过加减消元或代入消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程进行
求解。
02 03
加减消元法
将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个关于另一个未 知数的一元一次方程，解出该未知数后，再代入原方程求出另一个未知 数的值。
代入消元法
将一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后 代入另一个方程中，得到一个关于该未知数的一元一次方程，解出该未 知数后，再代入原方程求出另一个未知数的值。
2. 将常数项移到等式右边，得到 $ax^2 + bx = -c$。
配方法解一元二次方程
3. 等式两边同时除以 $a$（$a neq 0$），得到 $x^2 + frac{b}{a}x = frac{c}{a}$。
5. 对等式两边直接开平方，解得 $x + frac{b}{2a} = pm sqrt{frac{b^2 4ac}{4a^2}}$。
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区别
算式不含有未知数，而方程含有未知数；算式表示一种运算 过程，而方程表示一种相等关系。
02 一元一次方程解法
初一数学上册从算式到方程预习笔记整理
初一数学上册从算式到方程预习笔记整理一. 教学内容：从算式到方程1. 方程、方程的解、一元一次方程的定义。
2. 等式的性质。
3. 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
二. 知识要点：1. 与方程有关的定义（1）含有未知数的等式叫做方程。
（2）使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程有两个特点：①未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；②只含有一个未知数，未知数的次数是1。
2. 等式的性质（1）等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝__________。
（2）等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a＝b，那么＝__________；如果a＝b（c ≠0），那么＝__________。
关于等式的几点说明：①弄清等式与代数式的区别与联系：等式与代数式不同，等式是含“＝”的式子，代数式不含有等号，它是用运算符号连接数或表示数的字母而成的式子. 等式可用来表示两个代数式之间有相等关系，但代数式不是等式。
②一个等式中，如果等号对于一个，叫做连等式，如③等式的另外两个性质：等式的左右两边互换，所得结果仍是等式，如a＝b，则b＝a（这一性质也叫等式的对称性）；等式具有传递性，如：若a＝b，b＝c，则a＝c（这一性质也叫等量代换）。
3. 学会列方程列方程的一般步骤：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；（2）“设”就是设未知数；（3）“列”就是列方程，这是最关键的一步. 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
列方程需要注意的事项：（1）列方程时，寻找题目中的等量关系是关键，可利用列表、线段图等方法分析已知量与未知量的关系，从而寻找出等量关系式。
3.1 从算式到方程(第2课时)(课件)七年级数学上册(人教版)
依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 .
4
(4) 怎样从等式
a
b
100 100 得到等式
a=b?
1
依据等式的性质2两边同时除以 100 或同乘100.
2、己知2x2-x=5，求多项式-4x2+2x-8的值.
解:等式两边乘-2，得-2(2x2-x)=5×(-2).
化简，得-4x2+2x=-10.
左边=3×(-4)-2=-14；右边=5×(-4)+6=-14.
方程的左右两边相等，所以x=－4是原方程的解.
练一练
1、利用等式的性质解下列.方程并检验:
(1)2+3x=-x+6；
(2)- =3；
3
5 1 1
(3) x- = ；
6 3 4
(4)- -3=5.
2
解:(1)两边减2,得2+3x-2=-x+6-2.
于是 x =11
小结：解一元一次方程要“化归”为“ x=a ”的形式.
(2) －5x = 20
思考：为使 (2) 中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性
质？
解:
方程两边同时除以－5，得
-5x÷(－5)= 20 ÷(－5)
化简，得 x=－4
典例精析
【例2】利用等式的性质解下列方程:
(1)x+5=-7；
3
−9
3
检验:将y=-9代入方程- =3的左边，得- =3.
方程的左右两边相等y
3
所以y=-9是方程- =3的解.
1
3
5
6
1 1 1 1
3 3 4 3
七年级上学期数学 3.1 从算式到方程
七年级上学期数学中，第三章第一节“从算式到方程”主要介绍的是如何将实际问题抽象成数学算式，并进一步转化为方程的过程。
这一部分内容对于建立和理解方程的概念非常重要，是学习代数的基础。
核心内容包括：
1.算式与方程的概念：
●算式：表示数的运算过程，如(3+5)、(2\times4)等。
●方程：含有未知数的等式，目的是找到未知数的值，使等式成立，如
(x+5=10)。
2.方程的构成：
●方程通常包含未知数（如x、y）、常数、运算符（加、减、乘、除）以及等
号“=”。
3.建立方程：
●通过分析实际问题，确定未知数，根据问题中的条件关系，用代数表达式表示
这些关系，从而建立方程。
●例如，如果一个数加上3等于7，可以写成方程\(x+3=7\)。
4.解方程：
●学习基本的解方程方法，如加减法、乘除法，逐步求解未知数。
●对于简单的一元一次方程，目标是通过等式的性质，将未知数单独留在方程的
一边，求出其值。
5.应用题：
●结合生活实际，通过设定未知数，将文字问题转换为方程问题，解决诸如购物
找零、行程问题、工作量分配等问题。
学习重点：
●理解并区分算式与方程的含义。
●掌握将实际问题抽象成方程的能力。
●学会基本的方程解法，特别是解一元一次方程。
通过这部分的学习，学生能够初步掌握利用方程解决实际问题的方法，为后续更复杂的代数学习打下坚实的基础。
人教版(2024)数学七年级上册 5.1.1从算式到方程 第一课时 课件(共20张PPT)
C.3x 15 20
D.7 x 8
巩固提升
2.根据下列问题，设未知数并列出方程.
（1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，
正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
4x 24
巩固提升
2.根据下列问题，设未知数并列出方程.
（2）甲种钢笔每支10元，乙种钢笔每支12元，用120元钱
0.8xkm
乙队的行进路程可以表示为__________.
思考： 甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间
有什么关系?
探究新知
知识点1：方程
甲队追上乙队时，他们处于同一位置，
此时,甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程
因此 1.2x 1 0.8x 3
这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未
探究新知
知识点2：列方程的步骤
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5m,扩大后的绿地
面积是500 m²,求正方形绿地的边长.
解：(2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地
面积(x²+5x)m² .根据“扩大后的绿地面积是500 m²”,列得
方程
2
中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这
样的等式叫作方程.
方程是根据问题中的相等关系列出的等式，
其中既含有已知数，也含有用字母表示的未
知数，这为解决许多问题带来了方便.
跟踪练习
1.下列各式中，是方程的是（ C ）
A.3x 1
B.5 7 2
C.4x 3 0
D.x 5＜9
含有未知数的等式叫方程.
1