必修四第一章三角函数复习与小结(1)

年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章三角函数复习与小结编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。

2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。

3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。

4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。

在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。

三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。

本章主要利用数形结合的思想。

在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y ＝（ωx＋φ）的图象与正弦函数y ＝的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y ＝（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、知识脉络图：二、知识点拨：1. x y sin =与x y cos =的周期是π。

2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ωπ2=T 。

3. 2tan x y =的周期为2π。

4.)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心为（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心为（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心为（0,2πk ）。

5. 当αtan ·1tan =β时，)(2Z k k ∈+=+ππβα；当1tan tan -=⋅βα时，()2k k Z παβπ-=+∈ 6. 函数x y tan =在R 上为增函数。

（×）[只能在某个单调区间上单调递增。

若在整个定义域上，则x y tan =为增函数的说法同样也是错误的。

]7. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；随堂练习：函数f （x ）•（）的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2π解：∵f （x ）•（）2x =21（22x ）2122（24π）－21 ∴π 故选C ．知识点一：三角函数的概念例题1 设角α属于第二象限，2α＝－2α，试判断角2α属于第几象限？思路导航：首先应根据α所属象限确定出2α所属的象限，然后再由－2α≥0，2α≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。

答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋2π＜α＜2kπ＋π（k∈Z ），∴kπ＋4π＜2α＜kπ＋2π（k ∈Z ）。

当k ＝2n （n∈Z ）时，2nπ＋4π＜2α＜2nπ＋2π （n∈Z ）。

∴2α是第一象限角； 当k ＝2n ＋1（n∈Z ）时，2nπ＋π45＜2α＜2nπ＋π23 （n∈Z ）。

∴2α是第三象限角。

又由2α＝－2α≥0⇒2α≤0。

所以2α应为第二、三象限角或终边落在x 轴的负半轴上。

综上所述，2α是第三象限的角。

点评：由α所在象限，判断诸如2α，3α，4α等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定2α，3α，4α所属的象限；另一种办法就是将k 进行分类讨论。

一般来说，分母是几就应分几类去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式例题2 （1）已知π＜α＜2π，（α－7π）＝53-，求（3π＋α）与（α－27π）的值；（2）已知2＋＝52A ，求的值；（3）已知α＋α＝51，且α∈（0，π），求3α－3α的值。

答案：（1）∵（α－7π）＝－α＝53-，∴α＝53。

又π＜α＜2π， ∴23π＜α＜2π，α＝－54，（3π＋α）＝－α＝54，（α－27π）＝.435453sin cos )27cos()27sin(==-=--ααπαπα（2）将已知式化为22A ＋22A ＋·＝52A ， ∵≠0，∴22A ＋－3＝0，＝1或＝－23。

（3）αα＝21)cos (sin 2-+αα＝2512-，∵α∈（0，π）， ∴α＞0，α＜0， ∴α－α＞0，∴α－α＝57cos sin 21=-αα， ∴3α－3α＝57×（12512-）＝12581。

点评：形如α＋α和2α＋αα＋2α的式子分别称为关于α、α的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质例题3 对于函数f （x ）＝2（2x ＋3π），给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x ＝12π成轴对称；③图象可由函数y ＝22x 的图象向左平移3π个单位得到；④图象向左平移12π个单位，即得到函数y ＝22x 的图象。

其中正确结论的个数为（ ）个A. 0B. 1C. 2D. 3思路导航：∵f（x ）是非奇非偶函数，∴①错误。

∵f（x ）是由y ＝22x 向左平移6π个单位得到的， ∴③错误。

把x ＝12π代入f （x ）中使函数取得最值， ∴②正确。

f （x ）＝2（2x ＋3π）−−−−→−个单位左移12πf （x ）＝2［2（x ＋12π）＋3π］＝22x ， ∴④正确。

答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。

在用排除法时，要注意函数性质的应用。

例题4 设函数f （x ）＝3x ＋3，则f （x ）为（ ） A. 周期函数，最小正周期为3π B. 周期函数，最小正周期为32π C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入)()(x f T x f =+检验，也可化简=)(x f x x 3sin 3sin +。

答案：f （x ）＝3x ＋3＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++≤≤.3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x∴B 正确。

答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。

本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。

后者更简捷。

知识点四：三角函数的应用例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若直角三角形中较小的锐角是θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是251，则2θ－2θ的值等于（ ）A. 1B. 2524-C. 257D. －257思路导航：由题意，设大正方形边长＝1，小正方形的边长是51，则＝θ，＝θ，∴θ－θ＝51。

平方得2θθ＝2524。

∴（θ＋θ）2＝1＋2θθ＝2549。

∴θ＋θ＝57。

∴2θ－2θ＝（θ－θ）（θ＋θ） ＝2575751-=⨯-。

答案：D点评：三角函数的应用非常广泛。

将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。

例题6 函数y ＝21cos sin -+x x 的定义域是。

思路导航：由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥.21cos 0sin 021cos 0sin x x x x作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{2kπ≤x≤2kπ＋3π，k∈Z }。

答案：{2kπ≤x≤2kπ＋3π，k∈Z }点评：解三角不等式基本上有两种方法：①利用三角函数线。

②利用三角函数图象。

例题7 求函数f （x ）＝xx xx cos sin 1cos sin ++的最大、最小值。

思路导航：利用三角函数中1cos sin 22=+αα和ααcos sin +与ααcos sin ⋅的关系，转化成同一个量的关系式。

答案：设＋＝t ，则＝212-t ，t∈［－2，2］，且t≠－1，则y ＝2122112122-=+-=+-t t t t t ，t∈［－2，2］。

∴当t ＝2，即x ＝2kπ＋4π（k∈Z ）时，f （x ）的最大值为212-；当t ＝－2，即x ＝2kπ－43π（k∈Z ）时，f （x ）的最小值为212+-。

点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。

例题（全国大纲理5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）A. 13B. 3C. 6D. 9思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。

此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

解答过程：由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍，得2()3k k Z ππω⨯=∈，解得6k ω=，又0ω>，令1k =，得min 6ω=。

答案：C规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。

在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。

例题 （临沂统考） 作函数y ＝的图象。

思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。

函数y ＝的图象即是y ＝（x≠kπ，k∈Z ）的图象，因此应作出y ＝的图象，但要把x ＝kπ，k∈Z 的这些点去掉。

答案：当≠0，即x≠kπ（k∈Z ）时，有y ＝＝，即y ＝（x≠kπ，k∈Z ）。

其图象如图，学习本章应该先复习角的概念，了解角度制的内容。

在学习本章时应该注意任意角、弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。

学习过程中，对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。

对函数图象的作图过程要抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。

对三角函数式的化简求值要多加强练习，注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。