第八章 非线性系统PPT课件
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
非线性系统介绍优秀课件
对系统的 影响
举例
振荡性↓，↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
8-5, 8-9
第8章作业
8-3(1)(4) 8-4(1)(3) 8-5, 8-9, 8-10(1)(2) 8-15，8-16 8-17，8-19
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。
死区特性对系统性能的影响： （1）增大了系统的稳态误差，降低 了定位精度。 （2）减小了系统的开环增益，提高 了系统的平稳性，减弱动态响应的振
荡倾向
死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)
常见非线性因素对系统运 动特性的影响
等K 效 振 ess(跟 荡 ， 踪 性 % ［ 阶原 跃来 差 信不 ） 号 此 稳 ， 有 时 定 能 稳 可 声 的 滤 态 能 ， 系 去 误 动 稳 提 统 小 不 定 高 ， 幅 大 （ 抗
非线性系统稳定 性与自由响应和 初始扰动的大小 有关
小扰动线性化处理
非线性系统研究 方法
相平面法-----用于二阶非线性系 统运动分析
描述函数法-----用于非线性系统 的稳定性研究及自振分析。
仿真研究---利用模拟机，数字 机进行仿真实验研究。
死区特性
输出
（不灵敏区特性）
输入 y(t) kx0(t)asgx(n t)
x(t)a x(t)a
2)、带死区继电特性 等效K：
ess ( 带死区)
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
非线性系统分析 PPT课件
1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性
《非线性系统》课件
混沌系统的特征和应用
敏感依赖
初值条件微小变化会导致系统演化的巨大差异。
不可预测性
在长时序演化中，混沌系统的状态基本是不可再现的。
应用领域
混沌系统在通信、保密、工程设计等领域有着重要的应用价值。
非线性系统的分析方法
1
极值稳定性分析法
2
通过分析系统处于极值时的稳定性性
质，来研究系统的演化规律和稳定性。
动力学方程和相空间
动力学方程
动力学方程描述了非线性系统的运动行为，如钟 摆、万有引力等。
相空间
相空间展示了非线性系统的运动信息，可以提供 直观分析方法。
混沌现象和混沌系统介绍
1
混沌现象
混沌现象指的是非线性系统具有极其灵敏的依赖于初值的性质，导致演化不可预 测的现象。
2
混沌系统
混沌系统具有非线性特征，普遍存在于复杂系统中，其运动是非常复杂而难以预 测的。
3
相平面分析法
通过绘制系统状态随时间的演化图案， 来研究系统的演化规律和稳定性。
相图和流图分析法
通过绘制相图和流图等图形，来分析 非线性系统的演化规律和稳定性。
非线性系统的解析方法
级数展开法和重整化理论
利用数学解析方法来求解非线性方程，对混沌系 统的研究和控制具有重要意义。
广义函数法和数值模拟
利用数值计算方法来模拟非线性系统的演化，能 够模拟许多真实系统的行为。
非线性系统的特点和分类
非线性反馈
反馈对系统演化和行为的影响是非线性的。
非平稳性
系统的特性随时间变化而变化。
非高斯性
随机变量分布不符合高斯（正态）分布规律。
非周期性
系统状态随时间没有固定的周期性演化。
非线性系统分析方法PPT课件
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
第8章非线性系统分析PPT课件
奇点称为不稳定的节点。
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
第 非线性系统PPT教案
。(在1该，j交0)点
处， 曲线沿着1振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定 N ( A)
区域，故该交点为自振点。
自振荡频率为交点处G( j对) 应的频率，即 7.07 1/ s
求自振荡振幅：
令 1
＝－1
N (A)
2k
arcsin
a A
a A
1-(
a A
)2
用试探法，可解得： A 2.5
Aa
* 死区与滞环继电特性
数学表达式 ：
0 , y(t) M ,
0 ,
0＜t＜ 1 1＜t＜ 2 2＜t＜
1 arcsin
h A
2
- arcsin
mh A
第19页/共56页
y(t)为奇对称函数，而非奇函数，故
A1
1
2 y(t)costdωt 2 2 Mcostdt
0
1
2M
(sin 2
1. 非线性特性的并联
N(A)＝N1(A)＋ N2(A) 2. 非线性特性的串联
第22页/共56页
其中：k k1k2
7.2.4 非线性系统稳定性分析的描述函数法
如果非线性控制系统满足非线性系统描述函数法分析的条件，则 可利用线性系统的频率响应法，分析非线性系统的稳定性。
1. 非线性系统的稳定判据
r(t) x(t)
y(t)
N ( A)
G(s)
c(t)
设非线性环节输入输出描述为：
y f (x)
当 x(t) Asint
一般，y(t)是一个非正弦周期函数。将y(t)按傅立叶级数展开：
y(t) A0 ( An cosnt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n1
第八章 非线性系统
特征根： s12 wn jwn 1 2 相轨迹方程
等倾线方程
dx 2wn x w 2 x dx x 2 2wn x wn 2 x wn x a 即: x x x 2wn a
即等倾线是通过原点的直线。
(1) 0＜ ＜1
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图
§8.3 奇点和极限环
§8.4 非线性系统的相平面图分析
§8.5 非线性特性的描述函数
§8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
典型非线性特性
非线性系统的运动特点
非线性系统的研究方法
（2）奇线
当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型 只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系 统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取 决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的 相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的 多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常 见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区 域划分为内部平面和外部平面两部分。 极限环是非线性系统中的特有现象，它只 发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统 中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能 源中获取能量，从而维持周期运动形式。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将 极限环分为三种类型：
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
(四)频率响应
系统微分方程：
.. . ′x 3=0 M x +B x +Kx+ K
K
非线性 弹簧
等倾线方程
dx 2wn x w 2 x dx x 2 2wn x wn 2 x wn x a 即: x x x 2wn a
即等倾线是通过原点的直线。
(1) 0＜ ＜1
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图
§8.3 奇点和极限环
§8.4 非线性系统的相平面图分析
§8.5 非线性特性的描述函数
§8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
典型非线性特性
非线性系统的运动特点
非线性系统的研究方法
（2）奇线
当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型 只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系 统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取 决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的 相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的 多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常 见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区 域划分为内部平面和外部平面两部分。 极限环是非线性系统中的特有现象，它只 发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统 中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能 源中获取能量，从而维持周期运动形式。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将 极限环分为三种类型：
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
(四)频率响应
系统微分方程：
.. . ′x 3=0 M x +B x +Kx+ K
K
非线性 弹簧
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10
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式
某些非线性
e态有关。 0
t
11
二、非线性系统的运动特点
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
❖ 计算机仿真(Computer simulation)
16
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法，它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用，该方法 适合于研究二阶系统。
非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处 理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性9 控制 系统的研究中仍将发挥非常重要的作用
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。
研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统
-M
(d) 8
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时， 该系统称为非 线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为
其中f(0)和g(0)为非线性函数。 当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节
视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小 偏差法将非线性模型线性化。
17
一、相平面图的基本概念
二阶系统
x 2 n w x wn 2x0
令x1x, x2 x.
x1 x
x2 wn2x1 2wnx
18
以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为 相平面 (phase plane)。
在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变 量构成的曲线，称为相轨迹 (phase trajectory)。
注意，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有 使用非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。
要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采 用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制， 还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构 采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力； 这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。
相轨迹方程
. x =g(x)
27
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
21
b、关于x轴对称
f (x, x.) x. =
f (x, － x.
- x. )
或
f (x, x. ) = f (x, - x. )
即f(x, x. )是 x. 的偶函数。
22
c、关于原点对称
f (x, x. ) －f (-x, - x.) x. = － x.
12
(四)频率响应
K 非线性 弹簧
M 重物
系统微分方程：
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
13
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
14
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x2= x.
B C A
x1=x
19
二、相平面图的绘制
对于二阶系统 x.. = f(x, x. )
以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
f (x, x. ) x.
20
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
-h 0 h 输入
K
6
一、典型非线性特性
(三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)
输出
K
-b 0b
输入
7
(On-off nonlinear)
(四) 继 电 器 型 非 线 性
输出 M
0
输入
-M
(a)
M 输出
-h 0 h 输入 -M (c)
输出 M -h 0 h 输入
-M
(b)
输出 M -h -mh 0 mh h 输入
d x. dx =
f (x, x. )
x.
=∞
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
25
(一)相平面图的特点
4.相轨迹移动的方向
在相平面的上半平面，系统状态沿 相轨迹由左向右运动；
在下半平面，系统状态沿相轨迹由 右向左运动。
系统状态沿相轨迹的移动方向由相 轨迹上的箭头表示。
26
(二)绘制相平面图的解析法
即 f(x, x. ) f(x, x.)
23
(一)相平面图的特点
2. 奇点和普通点
▪ 普通点 相平面上不同时满足x. 0和 f(x, x. )0的点。
▪ 奇点
相平面上，同时满足 x. 0
和f(x, x. )0的点。
24
(一)相平面图的特点
3.相轨迹通过x轴的斜率
在x轴上，所有点都满足 x. 0。除奇点外 相轨迹在x轴上的斜率为
x
5
K ′ <0
3
1
5
3
4
0 ω0
ω
具有硬弹簧的机械系统
2
1 6
4
0
ω0
ω
具有软弹簧的机械系统
15
三、非线性系统的研究方法
❖ 相平面法(Phase-plane technique)
o 适用于一阶、二阶系统
❖ 描述函数法(Describing function technique)
o 是一种等效线性化方法
3
§8.1 概述
➢典型非线性特性 ➢非线性系统的运动特点 ➢非线性系统的研究方法
4
一、典型非线性特性
(一)饱和非线性 (Saturation nonlinear)
输出
M
近似饱和特性
实际饱和特性
-t
0 t 输入
-M
5
一、典型非线性特性
(二)死区非线性 (Dead zone nonlinear)
输出 K
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式
某些非线性
e态有关。 0
t
11
二、非线性系统的运动特点
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
❖ 计算机仿真(Computer simulation)
16
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法，它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用，该方法 适合于研究二阶系统。
非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处 理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性9 控制 系统的研究中仍将发挥非常重要的作用
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。
研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统
-M
(d) 8
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时， 该系统称为非 线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为
其中f(0)和g(0)为非线性函数。 当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节
视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小 偏差法将非线性模型线性化。
17
一、相平面图的基本概念
二阶系统
x 2 n w x wn 2x0
令x1x, x2 x.
x1 x
x2 wn2x1 2wnx
18
以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为 相平面 (phase plane)。
在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变 量构成的曲线，称为相轨迹 (phase trajectory)。
注意，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有 使用非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。
要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采 用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制， 还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构 采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力； 这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。
相轨迹方程
. x =g(x)
27
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
21
b、关于x轴对称
f (x, x.) x. =
f (x, － x.
- x. )
或
f (x, x. ) = f (x, - x. )
即f(x, x. )是 x. 的偶函数。
22
c、关于原点对称
f (x, x. ) －f (-x, - x.) x. = － x.
12
(四)频率响应
K 非线性 弹簧
M 重物
系统微分方程：
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
13
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
14
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x2= x.
B C A
x1=x
19
二、相平面图的绘制
对于二阶系统 x.. = f(x, x. )
以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
f (x, x. ) x.
20
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
-h 0 h 输入
K
6
一、典型非线性特性
(三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)
输出
K
-b 0b
输入
7
(On-off nonlinear)
(四) 继 电 器 型 非 线 性
输出 M
0
输入
-M
(a)
M 输出
-h 0 h 输入 -M (c)
输出 M -h 0 h 输入
-M
(b)
输出 M -h -mh 0 mh h 输入
d x. dx =
f (x, x. )
x.
=∞
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
25
(一)相平面图的特点
4.相轨迹移动的方向
在相平面的上半平面，系统状态沿 相轨迹由左向右运动；
在下半平面，系统状态沿相轨迹由 右向左运动。
系统状态沿相轨迹的移动方向由相 轨迹上的箭头表示。
26
(二)绘制相平面图的解析法
即 f(x, x. ) f(x, x.)
23
(一)相平面图的特点
2. 奇点和普通点
▪ 普通点 相平面上不同时满足x. 0和 f(x, x. )0的点。
▪ 奇点
相平面上，同时满足 x. 0
和f(x, x. )0的点。
24
(一)相平面图的特点
3.相轨迹通过x轴的斜率
在x轴上，所有点都满足 x. 0。除奇点外 相轨迹在x轴上的斜率为
x
5
K ′ <0
3
1
5
3
4
0 ω0
ω
具有硬弹簧的机械系统
2
1 6
4
0
ω0
ω
具有软弹簧的机械系统
15
三、非线性系统的研究方法
❖ 相平面法(Phase-plane technique)
o 适用于一阶、二阶系统
❖ 描述函数法(Describing function technique)
o 是一种等效线性化方法
3
§8.1 概述
➢典型非线性特性 ➢非线性系统的运动特点 ➢非线性系统的研究方法
4
一、典型非线性特性
(一)饱和非线性 (Saturation nonlinear)
输出
M
近似饱和特性
实际饱和特性
-t
0 t 输入
-M
5
一、典型非线性特性
(二)死区非线性 (Dead zone nonlinear)
输出 K