八年级数学培优专题讲解《勾股定理》
专题一 勾股定理(解析版)
八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题一、勾股定理的应用（最短路径）1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18，BC=12，BF=10，点M在棱AB上，且AM=6，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程的平方为（）A．400B．424C．136D．324【答案】A【解析】【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵BM=18-6=12，BN=10+6=16，∵MN2=122+162=400如图2，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵PM=18-6+6=18，NP=10，∵MN2=182+102=424．∵因为400<424，所以蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N的最短距离的平方为400.故选：A．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．【答案】15.【分析】过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∵AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt∵A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【详解】(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.勾股定理的实际应用4．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？【答案】(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.【分析】（1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程2220.81x +=，解出x 的值，再用x +2.3与卡车的高2.5作比较即可；（2）如图②，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由此可求OA 的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.【详解】解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得2220.81x +=，解得0.6x =，∵2.5 2.30.6<+，∵卡车能通过.（2）如图②所示，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：22221.20.5 1.3OA =+=，∵ 1.3OA =，∵桥洞的宽至少应增加到1.32 2.6⨯=（米）.① ②【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据. 5．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？【答案】24s.【解析】试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt∵ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA=DA=100m，在Rt∵ABC中，CB60(m)，∵CD=2CB=120m，∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，∵该校受影响的时间为：120÷5=24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．6.如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2 m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5 m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．【答案】2.5m ．【分析】根据题意画出图形，表示出图形中相关线段的长，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：如图，作BE∵OA ，垂足为E ，由题意得，0.7m AC =， 1.2m BD =， 1.5m BE =，∵ 1.2m CE BD ==， 1.20.70.5(m)AE =-=．设m OA OB x ==，则(0.5)m OE x =-．在Rt OBE 中，由勾股定理得，222OE O E B B -=，即222(0.5) 1.5x x --=，解得 2.5x =．答：秋千摆绳的长度为2.5m ．二、勾股定理与几何问题的应用7．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则长方形ABCD 的边BC 的长为( )A ．20B ．22C ．24D ．30【答案】C【详解】 由折叠得： ,,FP BF CH PH ==在Rt PHF ∆ 中，∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则10.FH == 故BC=BF+FH+HC=6+8+10=24. 故选C.8．如图，在四边形ABCD 中，AD∵BC ，∵ABC+∵DCB=90°，且BC=2AD ，分别以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=48，S 3=9，则S 1的值为（ ）A．18B．12C．9D．3【答案】D【分析】过A作AH∵CD交BC于H，根据题意得到∵BAE=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】∵S2=48，∵BC A作AH∵CD交BC于H，则∵AHB=∵DCB．∵AD∵BC，∵四边形AHCD是平行四边形，∵CH=BH=AD AH=CD=3．∵∵ABC+∵DCB=90°，∵∵AHB+∵ABC=90°，∵∵BAH=90°，∵AB2=BH2﹣AH2=3，∵S1=3．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在∵ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1C．2m2D．（m+1）2【答案】A【分析】如图，作AD∵BC交BC于D，根据勾股定理得AB2=BD2+AD2，AP2=PD2+AD2，再根据D是BC的中点，整理得到AB2﹣AP2=PB•PC，再把AB=m代入求解即可.【详解】解：如图，作AD∵BC交BC于D，AB2=BD2+AD2 ①，AP2=PD2+AD2 ②，①﹣②得：AB2﹣AP2=BD2﹣PD2，∵AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD），∵AB=AC，∵D是BC中点，∵BD+PD=PC，BD﹣PD=PB，∵AB2﹣AP2=PB•PC，∵PA2+PB•PC=AB2=m2．故选A.10．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBE '∆的位置，若1,2,3AE BE CE ===，求BE C '∠的度数．【答案】135︒【分析】连接EE`,如图,根据旋转的性质得BE=B E'=2,AE=C E'=1,∵EBE`=90°,则可判断∵BEE`为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得在∵CE E'中,由于CE`2 +E E'2=CE 2,根据勾股定理的逆定理得到∵CEE`为直角三角形,即∵EE`C=90°,然后利用∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E 求解【详解】连接EE`,如图,∵∵ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到∵CBE`∵BE=BE'=2,AE=CE'=1,∵EB E'=90°∵∵BE E'为等腰直角三角形在∵CEE`中∵122=32∵CE 2+E E'2= CE 2∵∵CE E'为直角三角形∵∵E E'C=90°∵∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E=135°【点睛】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性质和旋转的性质，利用勾股定理证明三角形是直角三角形是解题关键11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．【答案】5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形M TKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．12．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作60PBQ ∠=︒，且BQ=BP ，连接CQ.若::3:4:5PA PB PC =，连接PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由.【答案】PQC △是直角三角形,理由详见解析【解析】【分析】先利用SAS 证明∵ABP ∵∵CBQ ，得到AP=CQ ；设PA =3a ，PB =4a ，PC =5a ，由已知可判定∵PBQ 为正三角形，从而可得PQ =4a ，再根据勾股定理的逆定理即可判定∵PQC 是直角三角形．【详解】解：PQC △是直角三角形. 理由如下：在ABP △与CBQ △中，∵AB CB =，BP BQ =，60ABC PBQ ∠=∠=︒，∵ABP ABC PBC PBQ PBC CBQ ∠=∠-∠=∠-∠=∠.∵ABP CBQ ≌△△.∵AP CQ =.∵::3:4:5PA PB PC =，∵设3PA a =，4PB a =，5.PC a =在PBQ △中，由于4PB BQ a ==，且60PBQ ∠=︒，∵PBQ △为等边三角形.∵4PQ a =.在PQC △中，∵22222216925PQ QC a a a PC +=+==，∵PQC △为直角三角形.【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明ABP CBQ≌△△得出AP=CQ.13．已知：如图，∵ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA∵CA于A．求：BD的长．【答案】7 2【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt∵ADE和Rt∵ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．【详解】如图,过点A作AE∵BC于点E，∵AB=AC=10，BC=16，∵BE=CE=8，在Rt∵ACE中，利用勾股定理可知：AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x，又DA∵CA，在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，代入为：62+（8﹣x）2=（16﹣x）2﹣102，解得：x=72．即BD=72．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2．14．已知：AB=AC，且AB∵AC，D在BC上，求证：2222BD CD AD+=．【答案】证明见解析【分析】作AE∵BC于E，由于∵BAC=90°，AB=AC，得到∵BAC是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质得到BE=AE=EC，进而得到BD= AE－DE，DC= AE+DE，代入BD2+CD2计算，结合勾股定理，即可得到结论．【详解】作AE∵BC于E，如图所示．∵AB=AC，且AB∵AC，∵∵BAC是等腰直角三角形．∵AE∵BC，∵BE=AE=EC，∵BD=BE －DE=AE－DE，DC=EC+DE= AE+DE，∵BD2+CD2= （AE－DE）2+（AE+DE）2= AE2+DE2-2AE•DE+ AE2+DE2+2AE•DE= 2AE2+2DE2= 2（AE2+DE2）=2AD2．【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，关键在于得出BD= AE－DE，DC= AE+DE．三、动点问题15．已知，如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)t为______时，∵PBQ是等边三角形？(2)P，Q在运动过程中，∵PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，∵PBQ是直角三角形？说明理由．【答案】(1)12；(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由见解析.【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．【详解】(1)要使，∵PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，∵在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．∵AB=36cm，可得：PB=36-2t，BQ=t，解得：t=12故答案为；12(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由如下：∵∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm∵AB=2BC=18×2=36(cm)∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发∵BP=AB-AP=36-2t，BQ=t∵∵PBQ是直角三角形∵BP=2BQ或BQ=2BP当BP=2BQ时，36-2t=2t解得t=9当BQ=2BP时，t=2(36-2t)解得t=72 5所以，当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的直角三角形的性质的逆定16．如图1，Rt∵ABC 中，∵ACB =90．，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点0重合，AC =b ，BC =a ，30a -=．（1）求a ，b 的值；（2）如图2，向右匀速移动Rt∵ABC ，在移动的过程中Rt∵ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．①若∵OAB 为等腰三角形，求t 的值；②Rt∵ABC 在移动的过程中，能否使∵OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由．【答案】（1）a =3，b =4（2）①t =4或t =1；②能．t =94． 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则每一个数都为零，得出b -4=0 ,a -3=0 ,求解即可得出a ,b 的值；（2） ①首先根据勾股定理算出AB 的长及用含t 的式子表示出OA ,OB 2 ，然后分三类讨论：当OB =AB 时；当AB =OA 时 ；当OB =OA 时 ；一一列出方程求解即可得出t 的值； ②能．由于t ＞0，点C 在OP 上，∵ACB = 90，故只能是∵OBA =90°，根据勾股定理得出关于t 的方程求出t 的值即可. 【详解】（1）解0≥,30a -≥， 30a -=，0=， 30a -=∵a=3，b=4（2）解:①∵AC=4，BC=3，∵AB，∵OC=t∵OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4，当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）；当AB=OA时，5=t+4，解得t=1；当OB=OA时，t2+9=（t+4）2，解得t=-78（舍去）．综上所述，t=4或t=1；②能．∵t＞0，点C在OP上，∵ACB ∵只能是∵OBA=90°，∵OB2+AB2=OA2，即t2+9+25=（t+4）2，解得t=94．∵Rt∵ABC在移动的过程中，能使∵OAB为直角三角形，此时t=94．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义及分类讨论的数学思想.掌握非负数的性质是解（1）的关键，掌握勾股定理及分类讨论的数学思想是解（2）的关键.四、分类讨论的思想17．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【详解】试题分析：由n=1，得到a= （m 2﹣1）①，b=m②，c=（m 2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，分情况，列方程即可得到结论．试题解析：当n=1，a=12（m 2﹣1）①，b=m②，c=12（m 2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5，∵∵、当a=5时，12（m 2﹣1）=5，解得：（舍去）， ∵、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，∵、当c=5时，12（m 2+1）=5，解得：m=±3， ∵m ＞0，∵m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．18．∵ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则∵ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 【答案】C【分析】存在2种情况，∵ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在∵ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，∵ABC是锐角三角形∵AD是高，∵AD∵BC∵AB=15，AD=12∵在Rt∵ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∵在Rt∵ACD中，DC=5∵∵ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，∵ABC是钝角三角形在Rt∵ADC中，AD=12，AC=13，∵DC=5在Rt∵ABD中，AD=12，AB=15，∵DB=9∵BC=4∵∵ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.18．如图是某商品的商标，由七个形状、大小完全相同的正六边形组成．我们称正六边形的顶点为格点，已知∵ABC的顶点都在格点上，且AB边位置如图所示，则∵ABC是直角三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】C【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【详解】如图所示：AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，∵ABC是直角三角形的个数有6+4=10个.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆, 勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆, 勾股定理的逆定理.。
勾股定理的培优专题
勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。
3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。
巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。
2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。
4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。
5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。
6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。
7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
1) 两直线平行，同位角相等。
逆命题为：同位角相等，则两直线平行。
真。
2) 若 a>b，则 a>b。
逆命题为：若a≤b，则a≤b。
假。
二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。
求证：△ABC 是直角三角形。
训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。
试判断△ABC 的形状。
例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。
八年级数学《勾股定理》知识点
八年级数学《勾股定理》知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段1。
人教版八年级数学下册《勾股定理》（提高）知识点讲解及例题解析
勾股定理（提高）知识点讲解及例题解析【学习目标】1. 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．会运用方程思想解决问题．3. 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．用方程思想解决问题． 【要点梳理】【勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系的数量关系. .（（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的来，达到了解决问题的目的. .（（3）理解勾股定理的一些变式：）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+- 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（11）所示的正方形的正方形. .图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（22）所示的正方形的正方形. .图（图（22）中，所以.方法三：如图（方法三：如图（33）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形梯形. .，所以.要点三、勾股定理的作用 1.1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.2. 用于解决带有平方关系的证明问题；用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 3. 利用勾股定理，作出长为利用勾股定理，作出长为的线段的线段..【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝2，CD CD＝＝1，∠，∠A A ＝4545°，∠°，∠°，∠B B ＝∠＝∠D D ＝9090°，求多边形°，求多边形ABCD 的面积．的面积．【答案与解析】解：延长AD AD、、BC 相交于点E∵ ∠∠B ＝9090°，∠°，∠°，∠A A ＝4545°° ∴ ∠∠E ＝4545°，∴°，∴°，∴ AB AB AB＝＝BE BE＝＝2 ∵ ∠∠ADC ADC＝＝9090°，∴°，∴°，∴ ∠∠DCE DCE＝＝4545°，°，°， ∴ CD CD＝＝DE DE＝＝1∴ 12222ABE S=´´=△，111122DCE S =´´=△．∴ 13222ABE DCE ABCD S S S =-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．决面积问题． 举一反三：【变式】（20182018•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC=2BC=2BC=2，，S △ABC =3=3，∠ABC=135°，求，∠ABC=135°，求AC AC、、AB 的长．的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D ， 在△ABC 中，∵S △ABC =3=3，，BC=2BC=2，， ∴AD===3=3，，∵∠ABC=135°，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3BD=AD=3，，在Rt△ADC 中，中，CD=2+3=5CD=2+3=5CD=2+3=5，， 由勾股定理得，由勾股定理得，AC=AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．形的面积．【思路点拨】欲求Rt Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解． 【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则，则2222262a b a b ì++=+ïí+=ïî 即即2264a b a b ì+=ïí+=ïî①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③ ③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．思想解决问题．3、（2018春•黔南州期末）春•黔南州期末）长方形纸片长方形纸片ABCD 中，中，AD=4cm AD=4cm AD=4cm，，AB=10cm AB=10cm，按如图方式折叠，使点，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF EF，，求DE 的长．的长．【思路点拨】在折叠的过程中，在折叠的过程中，BE=DE BE=DE BE=DE．从而设．从而设BE 即可表示AE AE．在直角三角形．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．中，根据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】解：设DE=xcm DE=xcm，则，则BE=DE=x BE=DE=x，，AE=AB AE=AB﹣﹣BE=10BE=10﹣﹣x ，△ADE 中，中，DE DE 22=AE 22+AD 22，即x 22=（1010﹣﹣x ）22+16+16．．∴x=（cm cm））． 答：答：DEDE 的长为cm.思路点拨】其中一只猴子从另一只猴子从B→D→A于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：解：如图②所示，由题意可得： 12AA ¢=，12392A B p ¢=´´=在在Rt Rt△△AA AA′′B 中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ¢¢=+=+=则则AB AB＝＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是所以需要爬行的最短路程是15cm ．。
寒假八年级数学培优学案勾股定理及应用
八年级数学培优学案（1）----勾股定理及其应用一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 二、考点剖析考点一：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍5、在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
初二数学勾股定理讲义经典
第一章勾股定理【知识点概括】1、直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、考证勾股定理建立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题1、求长度问题2、最短距离问题勾股定理的应用3、航海问题4、网格问题5、图形问题6考点一：勾股定理〔 1〕关于随意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、b，斜边为 c，那么必定有a2 b 2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
〔2〕结论：①有一个角是 30°的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是 45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
〔3〕勾股定理的考证b aaabc b b cc bb ca aa b a a b例题：例1：直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
〔1〕在 Rt△ ABC中，∠ C=90°①假定 a=5，b=12，那么 c=___________；②假定 a=15， c=25，那么 b=___________；③假定c=61，b=60，那么a=__________；④假定 a∶ b=3∶4，c=10 那么 Rt △ABC的面积是 =________。
〔2〕假如直角三角形的两直角边长分别为n21，〔〕，那么它的斜边长是〔〕2n n>1A 、2n B、n+1C、 n2－1D、n21〔3〕在 Rt△ ABC中， a,b,c 为三边长，那么以下关系中正确的选项是〔〕A. a2b2c2B.a2c2b2C. c2b2a2D.以上都有可能〔4〕一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，那么第三边长的平方是〔〕A、25B、14C、7D、7 或 25例2：直角三角形的一边以及此外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
〔1〕直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，那么它斜边上的高为 __________。
初二数学《勾股定理》课件
勾股定理的重要性
勾股定理是几何学中的重要定理 之一，它揭示了直角三角形三边 之间的关系，是解决几何问题的
重要工具。
勾股定理在数学、物理、工程等 领域都有广泛的应用，如物理中 的力学、光学、声学等都涉及到
06
思考题
总结词：拓展思维
你能举出一些生活中应用 勾股定理的实际例子吗？
你认为勾股定理在现代科 技中有哪些应用？
列举
如何理解勾股定理在数学 中的地位和意义？
如何通过勾股定理来探索 和研究更复杂的几何问题
？
THANKS.
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域的应用
勾股定理可以在复数域中找到应用，例如在量子力学和信号处理等领域。
应用实例
在量子力学中，勾股定理可以用于描述粒子在三维空间中的运动状态；在信号处理中，勾股定理可以 用于计算信号的能量或功率等。
练习与思考
05
基础练习题
总结词：巩固基础
01
02
列举
勾股定理的基本形式是什么？
总结词
利用相似三角形证明勾股定理
详细描述
欧几里得通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出直角三角 形两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而证明了勾股定理。
赵爽的证法
总结词
利用面积证明勾股定理
详细描述
赵爽通过将直角三角形转化为矩形，利用面积关系，推导出直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方，从而证明了勾股定理。
勾股定理在解决与自然界的规律、现象等相关的问题时也 有着广泛的应用。例如，在解决与地球的自转、公转、太 阳系行星运动等相关的问题时，勾股定理可以提供重要的 思路和方法。
人教版八年级下册数学《勾股定理的逆定理》培优说课教学复习课件
课堂检测
基础巩固题
1.下列各组数是勾股数的是 ( B )
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
(A )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
课堂检测
3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性. (1)如果两个角是直角，那么它们相等. (2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
探究新知
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
符号语言：
c
b
B aC
在△ABC中， 若a2 + b2 = c2 则△ABC是直角三角形.
探究新知
方法点拨
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定 定理，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边的平方和等于最长边的平方，即可判 断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应 的角为直角.
N
【思考】1.认真读题，找已知是什么？
Q
“远航”号的航向、两艘船的一个半 R 2 1 小时后的航程及距离已知，如下图.
初二勾股定理讲解
法国数学家笛卡尔创立了坐标系，为 勾股定理的证明提供了新的思路和方 法。
勾股定理在中国的发展
《周髀算经》
中国古代数学著作《周髀算经》 中记载了关于勾股定理的特例， 但完整的证明直到近代才出现。
近现代数学
中国近现代数学家在勾股定理的 研究方面取得了一些重要进展， 推动了该领域的发展。
02
04
勾股定理的扩展与推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理的逆定理，可以通过证明三角形的三边满足勾股定理来证明这个 三角形是直角三角形。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广形式一
勾股定理可以推广到任意多边形，即任意多边形的内角和满足勾股定理。
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯证明法是勾股定理 的另一种重要证明方法，它基 于三角形的面积和勾股定理之
间的关系。
第一步，利用三角形的面积公 式，计算出两个直角三角形的
面积。
第二步，利用勾股定理，将两 个直角三角形的面积相加，得 到一个以斜边为底、高为直角 边的三角形的面积。
第三步，通过比较两个三角形 的面积，证明勾股定理。
算距离。
航海定位
在航海中，勾股定理可以用于确 定船只的位置，通过测量船只与 两个已知位置之间的角度和距离，
可以计算出船只的准确位置。
建筑行业中的应用
建筑设计
桥梁设计
勾股定理在建筑设计中应用广泛，例 如在规划建筑物的结构时，可以利用 勾股定理来验证结构的稳定性。
在桥梁设计中，勾股定理可以用于计 算桥墩之间的距离和角度，以确保桥 梁的稳定性和安全性。
赵爽证明法
八年级数学《勾股定理》教案8篇
八年级数学《勾股定理》教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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八年级数学培优专题讲解《勾股定理》
八年级数学培优专题讲解《勾股定理》
【培优图解】
【技法透析】
勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的应用
主要用于计算和证明等．
2．勾股数的推算公式
①若任取两个正整数m、n(m>n)，那么m2－n2，2mn，m2＋n2是一组勾股数．
2
3
②如果k 是大于1的奇数，那么k ，
212k -，
21
2k +是一组勾股数． ③如果k 是大于2的偶数，那么k ，2
12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是一组勾股数，
④如果a ，b ，c 是勾股数，那么na ，nb ，
nc(n 是正整数)也是勾股数．
3．创设勾股定理运用条件
当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系．
在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．
【名题精讲】
考点1 运用勾股定理解有关＂折叠＂问
题
例1 如图，折叠长方形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10 cm，求EC的长．
【切题技巧】由图形易知△ADF≌△AFE，从而AD＝AF，DE＝EF．
先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，
再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC 的长．
【规范解答】
【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾
股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定
理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关
4
图形变换的综合题中的具体应用．
【同类拓展】1．把一张长方形纸片(长方形ABCD)按如图17－2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC ＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是_______cm2．
考点2运用勾股定理的逆定理求角度
例2 如图，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，P在正方形内部，试求∠APB 的度数．
【切题技巧】
【规范解答】
5
【借题发挥】旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形．能够使用旋转法的条件是旋转后的图形与原图形有边相等能够重合．
2．如图，等边△ABC内有一点P，若点P 到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数．
考点3求立体图形中的两点之间的最短距离
例3 如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B'点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm．
6
【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据两点之间线段最短和“勾股定理”可求解．
【规范解答】
【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、正方体、圆柱、圆锥等．在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置．同时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个不同的结
7
果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案．
【同类拓展】3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和lcm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少？
考点4勾股定理反其逆定理的综合运用
例4 如图所示，正方形ABCD中，E是
DC，试判AD中点，点F在DC上，且DF＝1
4
断BE和EF的位置关系？并说明你的理由．【切题技巧】观察图，会给我们BE与EF 垂直的直观印象．若直接证明BE与EF垂直，则十分困难．若连接BF，设DF＝a，利用勾股定理及其逆定理证明△BEF为直角三角形，得
8
到BE⊥EF．
【规范解答】BF和EF的位置关
系是：BE⊥EF．
【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不可分的，通常既要通过勾股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角三角形，两者相辅相成．
4．如图，在四边形ABCD中，
∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，
AD＝CD，求证：BD2＝AB2＋
BC2．
9
考点5勾股定理在实际问题中应用
例5如图(1)，护城河在CC'处直角转弯，宽度保持4米，从A处往B处，经过两座桥：DD'、EE'．设护城河是东西——南北方向的，A、B在东西向相距64米，南北方向相距84米，恰当地架河可使AD、D'E'、EB的路程最短，这个最短距离是_______米．
【切题技巧】要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解．
【规范解答】如图(2)，作AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，则折线ADD'E'EB 的长度等于折线AA，D'E'B'B的长度，即等于折线A'D'E'B'的长度＋AA'＋BB'．而折线
10
A'D'E'B'以线段A'B'最短，故题目所求最短路程S＝A'B'＋8，而A'、B'在东西方向上相距为64－4＝60（米），在南北方向上相距84－8＝80（米）
由勾股定理可知，A'B'＝22
＝100(米)，S
6080
＝108（米）
【借题发挥】实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利用勾股定理计算求解．
5．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格
为5×6×10(单位：cm)，在上盖中开
有一孔便于插吸管，吸管长为
13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，
到上盖中与AB相邻的的两
边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值
大约为_______cm．
（精确到个位，参考数据：2＝1.4，3＝1.7，5
＝2.2）．
考点6 勾股定理与函数的综合问题
例6 如图①，在平面直角坐标系中，双曲线
y ＝4x 与直线y ＝4
x 交于点A 、B ．(1)求AB 的长．(2)若点P 是第一象限双曲线上一动点，如图②所示，BC ⊥AP 于点C ，交x 轴于点F ，AP 交y
轴于点E ，试判断222
AE
BF EF +的值是否为定值？并加以证明．
【切题技巧】 (1)因为A 、B 为双曲线与直线的交点，所以只需将两个已知函数的解析式成方程组，它们的解即交点A 、B 的坐标．(2)
从结论222
AE
BF EF +入手，联想勾股定理，通过作辅助线将AE 、BF 、EF 这三条线段转移到同一直角
三角形中．
【规范解答】
【借题发挥】(1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角三角形中则应添加辅助线，将分散的线段集中在同一直角三角形中，本题还可以过点B作BN ∥AE交y轴于点N，将三条线段收集在Rt△BNF中，如图17－11③所示．(2)利用“中点”能构成多种辅助线，要根据题目的需要进行构造．
【同类拓展】6．已知△OMN中，OM ＝ON，∠MON＝90°，点B为MN的延长线上一点，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于G，交MN于点A．
(1)如图①所示，①求证：∠CMB＝90°；
②求证：AM2＋BN2＝AB2；
(2)如图②，在条件(1)上，过A作AE⊥OM 于E，过B作BF⊥ON于F，EA、BF的延长线交于点P，则PA、AE、BF之间的数量关系为_______；△AME、△PAB、△BFN的面积之间的关系为_______．
(3)如图③，在条件(2)下，分别以OM、ON 为x轴和y轴建立坐标系，双曲线y＝k
经过点
x
P，若MN＝22，求k的值．
参考答案
1.5.1
2.150°
3.13cm
4.略
5.2
6.(1)略(2)(2)AE2+BF2=PA2. S△AME+S△BFN=S△PAB .。