古代面积法起点：矩形
「九年级」古人如何计算扇形和弓形的面积？
「九年级」古人如何计算扇形和弓形的面积？《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表。
全书分为九章。
在卷一 ——“方田”中，详细记述了扇形、弓形的面积计算方法。
一、对于扇形
“方田”篇中记载：宛田面积术曰：以径乘周，四而一。
(注：宛田，扇形形状的田地；径,扇形的
直径；周，扇形的弧长).如下图
古人计算扇形面积的公式：
扇形面积=直径×弧长÷4
今天计算扇形面积的公式有两个：
这个计算公式正确吗？简证如下
因此，古人的计算公式是正确的。
练习：1.我们把弧长与半径相等的扇形叫做“等边扇形”，则面积为25的“等边扇形”的弧长是
______.
二、对于弓形
“方田”篇中记载：弧田面积术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一。
(注：弧田，弓形形状的田
地；矢，弓高)。
如下图
古人计算弓形面积的公式：弓形的面积=(弦×矢+矢×矢)÷2.
今天计算弓形面积分三种情形，如下图
古人的这个经验公式计算所得弓形的面积与其实际面积之间是有误差的。
误差有多大呢？
我们来做一道练习
已知一块圆心角为120°，弦长等于9米的弧田.求它的实际面积.。
古代几何计算口诀
古代几何计算口诀以下是为您生成的十个适用于小学生的古代几何计算口诀：1. 《计算长方形面积》一量长，二量宽，长度宽度记心间。
长乘宽，算面积，就像排队列整齐。
好比操场铺地砖，长的一排多少块，宽的一列也有数，相乘立马知大小。
面积单位别搞错，平方就在后面跟。
认真仔细不会错，长方形面积轻松算。
2. 《计算正方形面积》一找边，二看长，正方形边一样长。
边长乘，得面积，如同花朵齐开放。
四边相等真整齐，相乘结果很清晰。
若是给它画格子，每行每列都相同。
记住算法很简单，面积轻松能算出。
3. 《计算三角形面积》一测底，二量高，底和高要搭配好。
底乘高，除以二，好像分糖平均分。
三角形呀尖顶顶，面积算法要记清。
底就像那大托盘，高是糖果堆上边。
先把糖果全放上，再拿一半才准确。
4. 《计算平行四边形面积》一寻底，二定高，底高数据要抓牢。
底乘高，算面积，犹如铺床整整齐。
平行四边相对边，平行且等很特别。
面积计算不复杂，轻松得出心不慌。
5. 《计算梯形面积》一上底，二下底，还有高度别忘记。
上底加下底，乘以高，除以二要牢记。
梯形就像小滑梯，上下宽窄不一样。
先把上下加一起，乘以高度平均分。
这样就能算面积，是不是很有趣。
6. 《计算圆的周长》一找圆，二定径，直径半径要分清。
圆周率，乘直径，算出周长很轻松。
圆溜溜，像车轮，滚动一周路多长。
π的值约 3.14，乘以直径不会错。
记住这个小窍门，周长计算没问题。
7. 《计算圆的面积》一有圆，二求半，半径平方别算乱。
圆周率，乘半径平方，面积出来亮堂堂。
圆像大饼真美味，要知大小这样算。
半径自己要站好，平方之后乘π值。
面积大小就知道，数学世界真奇妙。
8. 《计算长方体体积》一量长，二量宽，三量高，别忘掉。
长乘宽，再乘高，体积大小就明了。
长方体，像大箱，装物多少能衡量。
长宽高，依次乘，空间大小在心中。
单位统一别马虎，计算准确乐无忧。
9. 《计算正方体体积》一知棱，二算长，棱长立方体积详。
正方体，真方正，每条棱都一样长。
面积公式的由来与推导
湖南长沙市岳麓区博才洋湖小学 顾卿璇面积公式的由来与推导 小学数学中求正方形、长方形、平行四边形、梯形和三角形的面积时都有具体的公式可以运用。
例如，三角形的面积公式是“长×高÷2”，而梯形的面积公式则是“（上底＋下底）×高÷2”。
那么，为什么会有这些求面积的公式呢？换言之，这些面积公式是怎么来的呢？ 要弄清楚这些问题，就必须从根本上弄清楚“平方”概念的由来以及不同几何图形之间的联系。
一、面积公式的由来 数学上，面积单位一般是以“平方米”“平方厘米”“平方千米”（平方公里）来表述的。
那么，什么是“平方”？或者，“平方”究竟是什么意思？ “平方”这一概念的起源可以追溯到古希腊数学中的平方数概念。
古希腊数学家毕达哥拉斯和他的追随者首次研究了平方数的特性，即“一个数与自身相乘的运算”。
汉语中的“平方”的译文则来自英文的square ，即“平方”也就是一个正方形面积的大小，因为square 的本义就是“正方形”。
正方形的四条边的边长都一样长，假定某个正方形的边长为“x ”，则这个正方形的面积就是“x × x ”，而“x × x = x 2”。
如果这个边长的单位是“4米（metre ）”，则这个正方形的面积为 “16平方米（square metres ）”，于是写作“16 m 2”。
至此，不难发现，所谓“面积”，也就是以某个长度单位（例如：厘米）为基准，在一个平面上可以分割出多少个边长为1厘米的正方形。
如果能够分割出8个边长为1厘米的正方形，则这个平面的面积为8平方厘米；如果能够分割出10个边长为1厘米的正方形，则这个平面的面积为10平方厘米。
于是，求正方形面积的公式便产生了——“S = a × a = a 2”。
这里，“S ”在英文里代表“表面积”（Surface area ），“a ”代表正方形的边长。
二、面积公式的推导 正方形的面积公式是求其他几何图形面积公式的基础。
古代面积法起点：矩形
5．图1中，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：A． B．C． D．图14．相似形与测量术《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法．第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离．下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图4．8所示之可测距离，DE其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了．《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作．髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》．唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》．1．勾股定理在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，4．一条重要的面积定理在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉讨论了勾股容方问题，并在后书中给出如下定理：“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦．弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同．”图5中，横指BE，直指DE，推测其证明思路如下：因为△ABC＝△CDA(指面积相等，下同)，又因为△AIE=△EHA，△EFC=△CGE，所以△ABC-△AIE-△EFC=△CDA-△EHA-△CGE，即BE=DE．此定理反映了我国传统几何的一条重要原理——出入相补．实际上，△AIE可以移置△EHA处，△EFC也可以移置△CGE处，所以等积．这种思想在刘徽《海岛算经》及赵爽“日高术”中已反映出来．但首次表达成定理形式的是杨辉．该定理在平面几何中有广泛的应用．实际上，《海岛算经》中的各种测量公式都可由它推出．國二數學教材中的開平方法，並不是洋人的唯一專利，在中國傳統數學中，己有類似的記載。
矩形求面积的方法
矩形求面积的方法矩形是一种常见的几何图形，它有四个直角，四条边长度相等，相互平行，形如长方形。
矩形的面积计算是初中数学中的基础知识之一，也是日常生活中经常用到的计算方法。
本文将介绍矩形求面积的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、矩形的定义和性质矩形是一种四边形，它的四个内角都是直角，因此它也是一种特殊的平行四边形。
矩形有以下的几何性质：1. 四个内角都是直角；2. 两两相邻的内角互补，即相加等于180度；3. 两对相邻边相等；4. 对角线相等，且互相平分。
二、矩形的面积计算公式矩形的面积是指矩形所围成的区域的大小，通常用单位面积来表示，如平方米、平方厘米等。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长×宽其中，长和宽分别是矩形的两条相邻边的长度。
在计算面积时，需要注意单位的一致性，如长和宽单位为米，则面积单位为平方米。
三、矩形面积计算的实例下面通过实例演示矩形求面积的方法。
例1：一块长方形的长为5厘米，宽为3厘米，求它的面积。
解：根据矩形的面积计算公式，面积 = 长×宽，代入数据得：面积 = 5厘米× 3厘米 = 15平方厘米因此，这块长方形的面积为15平方厘米。
例2：一个长方形的面积为24平方米，长为6米，求它的宽。
解：根据矩形的面积计算公式，面积 = 长×宽，将已知数据代入得：24平方米 = 6米×宽解得：宽 = 4米因此，这个长方形的宽为4米。
四、矩形面积计算的应用矩形的面积计算在日常生活中有广泛的应用。
以下是几个应用实例：1. 面积铺地板在装修房屋时，需要计算房间的面积，以确定需要购买多少地板、地砖等材料。
如果房间是矩形，则可以使用矩形面积计算公式来计算面积。
2. 面积买草坪在购买草坪时，需要根据需要铺设的面积来确定需要购买多少草坪。
同样可以使用矩形面积计算公式来计算面积。
3. 面积计算土地在农业生产中，需要计算土地的面积，以确定需要施肥、种植等操作。
九章算术关于面积的记载
九章算术关于面积的记载九章算术是我国古代数学宝库中的一颗明珠，该书记载了丰富的数学知识和计算方法。
其中，关于面积的记载尤为有趣，让我们一起来了解一下。
1. 圆的面积计算方法在九章算术中，计算圆的面积有一种特殊的方法，被称为“均分置极”。
这种方法的基本思想是将圆分成若干个等面积的扇形，然后利用这些扇形的面积相加得到整个圆的面积。
2. 长方形面积计算方法九章算术中关于长方形面积的计算方法非常简便。
根据该书中的记载，我们只需要将长方形的长和宽相乘，即可得到长方形的面积。
3. 正方形和矩形面积计算方法在九章算术中，正方形和矩形的面积计算方法与长方形类似，仍然是将其边长相乘。
只不过，正方形的边长是相等的，而矩形的边长可以不相等。
4. 三角形面积计算方法九章算术中的三角形面积计算方法也被称为“分段置极”。
这种方法的基本思想是将三角形划分为若干个梯形，然后利用这些梯形的面积相加得到整个三角形的面积。
5. 梯形面积计算方法九章算术中的梯形面积计算方法同样采用了“分段置极”的思想。
将梯形分成若干个小矩形和三角形，然后计算每个小形状的面积并相加，即可得到整个梯形的面积。
6. 圆环面积计算方法九章算术中关于圆环面积的计算方法也十分巧妙。
根据该书的记载，我们可以将圆环分解为一个外切正六边形和一个内切正六边形，并计算这两个正六边形的面积。
然后将两个面积相减，即可得到圆环的面积。
7. 椭圆面积计算方法九章算术中关于椭圆面积的计算方法同样非常独特。
根据该书的记载，我们可以将椭圆分解为若干个扇形和一个三角形，并计算这些扇形和三角形的面积。
然后将这些面积相加，即可得到椭圆的面积。
九章算术关于面积的记载不仅展示了古代数学家们的智慧，还为后人提供了宝贵的计算方法和思路。
这些方法简便而实用，不仅适用于古代，也可以应用于现代的数学教育和实际问题的解决中。
让我们一起珍惜并传承九章算术的经典，为数学的发展贡献自己的力量。
初中数学古代知识点总结
初中数学古代知识点总结一、古代数学的发展1. 古代数学的发展初期，主要是以实际问题为导向的。
古代数学家们主要是为了解决土地测量、建筑设计、商业交易等实际问题而进行数学研究的。
例如在古代埃及，人们就使用简单的数学知识来进行土地测量和税收计算。
2. 在古代美索不达米亚，人们首先发现了一些数学规律，并将它们应用到实际问题中。
例如在美索不达米亚，人们首先发现了一些数字的运算规律，例如乘法和除法的运算规律。
3. 在古代印度，人们发现了一些重要的数学定理和算法。
例如在印度，人们发现了一些关于勾股定理和自然数的性质。
这些数学定理和算法对数学的发展产生了一定的推动作用。
4. 古代希腊数学是古希腊人在几何学方面取得了重大成就。
例如在古希腊，人们发现了一些重要的几何定理和算法，例如平行线问题、三角形三边关系、圆的性质等。
这些几何定理和算法对后来的数学发展产生了重大的影响。
5. 在古代中国，人们发现了一些重要的数学定理和算法。
例如在中国，人们发现了一些关于勾股定理和平方根的性质。
这些数学定理和算法对数学的发展产生了一定的推动作用。
二、古代数学的重要成就1. 美索不达米亚的数学成就：美索不达米亚是世界上数学发展最早的地区之一，在美索不达米亚，人们首先发现了一些数字的运算规律，并将它们应用到实际问题中。
例如在美索不达米亚，人们发现了一些关于乘法和除法的运算规律。
2. 埃及的数学成就：埃及是世界上数学发展最早的地区之一，古埃及人发明了简便方法进行几何推理和计算，比如船形法则和吉萨大金字塔等。
此外，他们还发明了数字系统，用符号来表示数目，进而推广到日期的编法。
3. 希腊的数学成就：古希腊人在几何学方面取得了重大成就。
例如在希腊，人们发现了一些重要的几何定理和算法，例如平行线问题、三角形三边关系、圆的性质等。
这些几何定理和算法对后来的数学发展产生了重大的影响。
4. 中国的数学成就：古代中国在数学领域也有很多成就。
例如中国人首先发现并应用了勾股定理，对数学的发展起到了很大的促进作用。
中国古代的几何模型
中国古代的几何模型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：中国古代的几何模型是中国古代数学的重要组成部分，它们起源于古代中国人对几何形状的研究。
在古代，中国人并不仅仅停留在几何图形的理论探讨中，他们还发展出了许多实用的几何模型，用以解决各种实际问题。
以下将介绍一些中国古代的几何模型。
一、勾股定理勾股定理是中国古代最著名的几何定理之一，也是世界上最为知名的几何定理之一。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
这一定理最早见于《周髀算经》，即西周晚期的一部关于数学和几何的古籍。
勾股定理的发现对古代中国几何模型的发展起到了重要的作用，使得古代中国人能够更好地应用几何知识来解决实际问题。
二、几何截法几何截法是中国古代几何学中的一个重要分支，它主要研究如何利用截取法来解决几何问题。
古代中国人通过几何截法，发展出了许多实用的几何模型，如切线、垂直、平行等。
这些几何模型在古代中国的建筑、农业、工程等领域中得到了广泛的应用，为古代中国的社会发展作出了积极贡献。
三、数学天文学古代中国的数学天文学也是一种重要的几何模型。
在古代中国，数学和天文学被紧密地结合在一起，形成了独特的数学天文学体系。
古代中国人通过研究星象、地理现象等，开发出了许多复杂的几何模型，如日晷、罗盘等。
这些几何模型不仅在古代中国的天文学和地理学中得到了广泛的应用，还对中国古代的科学技术发展产生了深远的影响。
四、流行数学流行数学是中国古代流传的一种数学体系，它主要研究几何图形的形态和变化规律。
古代中国人通过研究流行数学，发展出了许多独特的几何模型，如细波纹、幕墙、莲花等。
这些几何模型非常具有装饰性和观赏性，被广泛应用于中国古代的建筑、工艺、绘画等领域。
第二篇示例：中国古代的几何模型源远流长，古代中国人在几何学领域取得了很多重要的成就。
古代的几何模型主要是作为数学研究和实际应用的工具而存在的，它们在建筑、农业、军事等领域发挥了重要作用。
《九章算术》中一些求平面图形面积的题目
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《九章算术》中一些求平面图形面积的题目《九章算术》中一些求平面图形面积的题目《九章算术》共收集了 246 道应用问题和各种问题的解法，是当时由国家组织力量编纂的官方数学教科书，对我国数学的发展产生了很大影响。
下面从书中选取一些求平面图形面积的题目，仍然采取译述的方式，供五六年级老师和有兴趣的网友参考。
如果有可能的话，以适当的方式有选择地把这些材料介绍给学生，对于扩大学生的视野，培养学生学习数学的兴趣，加强对祖国优秀文化遗产的认识，都是有好处的。
原题 1：又有田广十二步，纵十四步。
问：为田几何？答曰：一百六十八步。
方田术曰：广纵步数相乘得积步。
译述：方田是古代对正方形和长方形的统称。
步是当时的长度单位。
相应的面积单位平方步也简称为步。
又有田广十二步，纵十四步。
1 / 10问：为田几何？有一块长方形地，宽 12 步，长 14 步。
问：它的面积是多少？答曰：一百六十八步。
答案是：168 平方步。
方田术曰：广纵步数相乘得积步。
计算长方形面积的方法是：宽与长相乘得面积。
1214＝168(平方步) 原题 2：今有田广七分步之四，纵五分步之三。
问：为田几何？答曰：三十五分步之十二。
乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实。
译述：今有田广七分步之四，纵五分步之三。
问：为田几何？有一4步，长5块长方形地，宽73步。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 问：它的面积是多少？答曰：三十五分步之十二。
古代测量面积的方法
古代测量面积的方法深度剖析一下古人的测量方式。
古人测量工具和方式一、身体度量法长度的度量都是从人身体部件的长度开始定义的，比如市尺，英尺、英寸。
最简单的测量方式其实就存在于我们的习惯当中，比如：一拃（zha）、两拃（zha）再有一个例子就是“里”，“一里地”、“二里地”，但是这个“里”在古代不仅是两地长度的表示，更是行走难度的展现。
同一条路，从A到B地是70里地，可是从B到A就是100里地。
因为从A到B行走容易，所以就短。
先秦时商鞅规定“举足为跬，倍跬为步”，即单脚迈出一次为“跬”，双脚相继卖出为“步”。
跬是早期社会中，土地面积测量的最小单位。
秦代曾规定“六尺为步”相当于现在的1.4米。
掬手成升，也是用手来测量。
两手合盛就是掬，一只手盛的就是“溢”。
人们采用“掬手成升”的原始计量方法使生活中的商品交易等变得有据可依。
二、工具度量法司马迁在《中记》中写到大禹治水时有这样一段话：“（禹）陆行乘车，水行乘舟，泥行乘橇。
山行乘撵，左准绳，右规矩，载四行，以开九州，通九道”。
在这里，司马迁给我们展现了禹带领测量队治水的生动画卷。
你看，禹带着测量人员，肩扛测量仪器，准、绳、规、矩样样具备。
“立竿见影”这个成语相信都听到过，既是表示立马见到效果，又可以用光的传播来测量时间和距离。
三、统一度量衡早在夏商时期，中国人就已经有统一的度量方式和工具。
其中，度、量、衡分别是不同的三种测量方式。
明朝：1毫=10丝，1丝=10忽度制。
裁衣尺0.34米，量地尺0.327米，营造尺0.32米量制。
1石= 2斛，1斛= 5斗, 1斗= 10升1升= 10合统一换算(毫升）：1石= 100000，1斛= 50000, 1斗=10000, 1升= 1000，1合= 100衡制。
石，斤590g，两，钱，分清朝：度制。
裁衣尺0.355米。
量地尺0.345米。
营造尺同明朝。
量制和衡制都与明朝相同。
自秦始皇统一度量衡之后，各国分别对度量衡进行了不同的规定，用来方便国民日常经营交易和基础建设。
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5．图1中，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：A． B．C． D．图14．相似形与测量术《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法．第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离．下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD 为图4．8所示之可测距离，DE其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了．《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作．髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》．唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》．1．勾股定理在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，4．一条重要的面积定理在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉讨论了勾股容方问题，并在后书中给出如下定理：“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦．弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同．”图5中，横指BE，直指DE，推测其证明思路如下：因为△ABC＝△CDA(指面积相等，下同)，又因为△AIE=△EHA，△EFC=△CGE，所以△ABC-△AIE-△EFC=△CDA-△EHA-△CGE，即BE=DE．此定理反映了我国传统几何的一条重要原理——出入相补．实际上，△AIE可以移置△EHA 处，△EFC也可以移置△CGE处，所以等积．这种思想在刘徽《海岛算经》及赵爽“日高术”中已反映出来．但首次表达成定理形式的是杨辉．该定理在平面几何中有广泛的应用．实际上，《海岛算经》中的各种测量公式都可由它推出．國二數學教材中的開平方法，並不是洋人的唯一專利，在中國傳統數學中，己有類似的記載。
求解程子答榮方問中求太陽到觀測者的距離的方法便用到開辑思维，分析义理。
这些都有利于数学从理论上加以提高。
吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。
他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。
在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理（图6）和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
图6刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密。
他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。
例如，刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。
刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方，“求其微数”。
这不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。
他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。
他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2 : 1, 解决了一般立体体积的关键问题。
在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(图7, 两个等半径的圆柱正交的共同部分)的体积之比为π:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。
1.7 无理数的发现中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。
《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。
“面”，就是无理数。
与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。
为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。
十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。
法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。
中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。
《周髀算经》中勾股定理的公式与证明首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] ——昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
故禹之所以治天下者，此数之所生也。
”周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。
于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。
“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。
“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。
”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。
“两矩共长③二十有五，是谓积矩。
”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。
因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。
注意：① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。
古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。
② “既方之，外半其一矩”此句有争议。
清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。
经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。
③ 长指的是面积。
古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。
赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。
共长者, 并实之数。
由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。
所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。
其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。
案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实。
”注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。
赵爽弦图。
注意中间的中黄实参考资料：1.曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页。
2.周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
3.陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。
4.李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月， 227-234页。
5.李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。
简单应用和比例理论所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。
又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。
作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把△ACD移置△ACB处，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相补原理有：Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，……（指面积相等）由此得PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……而PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……因而AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。
并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题，参看《刘注》。
测望术和重差理论在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：见上图，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。
《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证，原证当大致如下：由出入相补原理，得□JG＝□GB，（1）□KE＝□EB，（2）相减得□JG－□KE＝□GD，所以（FI－DH）×AC＝ED×DF，即表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距。