6定积分——求曲线的弧长
定积分的应用平面曲线弧长课件
参数方程的转换
参数方程转换为普通方程
将参数方程中的参数t消除，将参数方程转换为普通方程。
参数方程的微分形式
将参数方程转换为微分形式，以便于计算曲线的切线斜率和 弧长。
03 定积分在平面曲线弧长中 的应用
理论完善
随着定积分在平面曲线弧长中的应用越来越广泛，其理论体系也可能会得到进一步完善。例如，可能会发现新的定理 和公式，以更好地描述和解决定积分问题。
应用领域的拓展
随着科技的不断发展，定积分的应用领域也可能会进一步拓展。例如，在人工智能、机器学习等领域中， 定积分可能会被用来解决一些新的问题。
定积分在平面曲线弧长中的实际价值
弧长公式的应用
计算特定曲线的弧长
利用弧长公式，可以计算出给定参数 方程的曲线上任意一段弧的长度。这 迹的长度 等。
比较不同曲线的长度
通过比较不同曲线的弧长，可以得出 它们之间的形状差异。例如，可以利 用弧长公式比较不同函数的图像长度。
弧长公式的拓展
弧长公式的推导
弧长公式的基本概念
弧长公式是定积分的一个重要应用，它用于计算平面曲线上某段弧的长度。在推 导弧长公式之前，需要了解曲线的基本参数方程和弧长的定义。
弧长公式的推导过程
通过将曲线分割成许多小段，并利用定积分计算每小段线段的长度，然后将这些 长度相加，最终得到整个弧的长度。这个过程涉及到极限和定积分的概念。
建立方程
首先需要确定曲线的起点和终点，以 及曲线在起点和终点处的切线方向。
根据起点、终点和参数，建立曲线的 参数方程。
选择参数
选择一个合适的参数，例如时间或角 度，来表示曲线上每一点的位置。
第八章 定积分应用 第二节 曲线的弧长
有
x ' t y ' t z ' t dt
2
定义： 具有连续导数的曲线一般称为光滑曲线。
注：光滑曲线可求弧长。
2011年4月11日 星期一 P 328 例1.2 5
武夷学院数学与计算机系
你知道吗?
§8.2.
曲线的弧长
例1 求旋轮线
s
2011年4月11日 星期一
b
a
2 1 [ f ( x)] dx.
武夷学院数学与计算机系
7
你知道吗?
§8.2.
曲线的弧长
2 3 例 2 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的 3
一段弧的长度.
解
y x ,
b
1 2
所求弧长为
s a 1 xdx
2 [(1 b) (1 a ) ]. 3
(摆线)
一拱的弧长。
x at sin t y a1 cost
0 t 2
解 由定理1得
l
2
0
[a(1 cost )]2 (a sin t )2 dt
2
o
t 2
2a
0
1 cost dt 2a 0
2
t sin dt 8a. 2
对应于这一列点就有一列ti :
t0 t1 t2 L tn
2011年4月11日 星期一 武夷学院数学与计算机系 2
你知道吗?
§8.2.
曲线的弧长
联结M i 1 M i 两点间的弦的长度为 M i 1 M i
n
xi xi 1 yi yi 1
定积分之几何应用弧长曲率
解
r
3a sin
2
cos
1
3 3 3
a sin 2 cos ,
3 3
s
r 2( ) r2( )d
3 0
a2
sin
3
6
a2
sin
3
4
cos
3
2 d
a
3 0
sin
3
2
d
3 a. 2
第10页/共26页
例 6 求阿基米德螺线r a (a 0) 上相应于 从0 到2的弧长.
此时,我们称曲线弧AB是可求长的! 可求长的条件?
连续够不够? 在曲线光滑的条件下可求长．
第1页/共26页
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
第13页/共26页
一、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
第14页/共26页
设曲线C是光滑的， M , M'为C上两点,
MM s , M M 切线转角为 .
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
弧长曲线积分公式
弧长曲线积分公式是用于计算曲线弧长的公式。
对于参数方程表示的曲线，其弧长可以通过积分来计算。
具体的弧长曲线积分公式如下：
设曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，a ≤t ≤b，则曲线的弧长可以表示为：
L = ∫[a, b] √[f'(t)²+ g'(t)²] dt
其中，f'(t) 和g'(t) 分别表示参数方程x = f(t) 和y = g(t) 的导数。
该公式的思想是将曲线划分成无穷小的线段，然后对每个线段的长度进行求和，最终得到整个曲线的弧长。
需要注意的是，当曲线的参数方程难以直接求导时，可能需要使用其他方法来计算弧长，例如使用数值积分或近似计算方法。
对曲线的弧长积分公式
对曲线的弧长积分公式对曲线的弧长积分公式引言•积分是数学中的重要概念，可以用来求解曲线的弧长。
•弧长积分公式是一种计算曲线长度的方法，可以广泛应用于多个领域。
曲线的弧长积分公式•弧长表示曲线上两点之间的距离。
•弧长积分公式可以表示为：S=∫√1+(dydx)2dxba公式解析•当我们需要计算曲线上某一段的长度时，可以将曲线分成很多小段，然后对每一小段的长度进行累加。
•弧长积分公式中的√1+(dydx ) 2表示曲线的切线与x轴之间的夹角的余弦值。
•公式中的dx表示每个小段的长度，dy表示与x轴的变化量。
解决问题的例子1.一个圆的弧长积分计算–圆的方程可以表示为 x=a+r(t)，y=b+r(t)，其中{a, b}表示圆心的坐标，r表示半径，t表示角度。
–我们可以将弧长积分公式应用到圆的方程上，求解整个圆的弧长。
2.弧长积分在物理学中的应用–弧长积分可以用来计算质点在曲线上运动的路程。
–运动的曲线可以通过物体的运动方程得到，将方程带入弧长积分公式即可求得运动的路程。
3.弧长积分在工程领域中的应用–工程中常常需要计算管道、电线等线状物体的长度。
–弧长积分可以用来准确计算线状物体的长度，从而帮助工程师规划材料和资源的使用。
总结•弧长积分公式是一种有效计算曲线长度的方法，可以应用于多个领域。
•通过理解公式的含义和应用场景，我们可以更好地解决实际问题。
•在工程、物理学等领域，弧长积分公式能够发挥重要的作用。
以上是关于对曲线的弧长积分公式的相关知识的介绍。
希望本文能对读者有所帮助，并增加对这一概念的理解。
弧长定积分公式推导为了更好地理解弧长积分公式的推导过程，我们将从曲线的微元弧长出发，逐步推导得到弧长定积分公式。
微元弧长的推导考虑曲线上一点P(x,y)，取曲线上的一小段弧AB，以及AC线段垂直于x轴。
取弧AB的长度为ds，AC的长度为dx，那么我们可以得到以下关系： - 弧AB的长度：ds = （勾股定理） - 弧AB的长度平方：ds^2 = dx2+dy2弧长的推导将ds^2带入到弧AB的长度平方的表达式中，可以得到： ds^2 = dx2+dy2 => ds = dx这样，我们就得到了求解曲线弧长的微元方程：ds = dx弧长定积分公式的推导将微元方程ds = dx 进行积分，可以得到弧长S： S =_{a}^{b}{dx}这就是我们之前提到的弧长定积分公式。
定积分的应用： 平面曲线弧长
曲线弧 AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) ( a x b ) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a , b] 上任取小区间[ x , x dx ]，
y
dy
o a x x dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
例 4 求阿基米德螺线 r a (a 0)上相应于
从 0到 2 的弧长.
解
r a,
s
0
r 2 ( ) r 2 ( )d
a a d a 0
2 2 2
2
2
2 1d
a 2 1 4 2 ln( 2 1 4 2 ) . 2
注：
x I x 2 a 2 dx x x 2 a 2 x dx x2 a2
x2 a2 a2 x x a dx x2 a2
2 2
1 x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 2 2 dx x a
所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 t 为积分变量，
t [0, ], 对t [0, ], 把区间 [t , t dt ] 上所对应的曲线 2 2 段长s 用切线段长 ds 代替,则得到曲线弧长的微元 ds
的解析式。
2 2 解: 取参数 t 为积分变量, t [0, ]. ds x ( t ) y( t ) dt . 2
三、参数方程情形
x (t ) , 曲线弧为 y (t )
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ]上具有连续导数.
定积分——求曲线的弧长
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例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解:
ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2
0
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2
0
8a
2 a x
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例12. 求阿基米德螺线r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o
r a
2
sa
1 2 d
(P257 积分公式)
0
a
2
1 2 1 ln
2
1 2
2
0
2 a x
平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
即
y Mi1 Mi
A M0 o
(证明略)
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
定积分——求曲线的弧长
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
y f (x)
ds
o a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
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例12. 求阿基米德螺线 r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o
r a
2
sa
1 2 d
(P257 积分公式)
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2
0
2 a x
lim M M 1 x0 M M
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弧微分公式
ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为
ds [x(t)]2 [ y(t)]2 d t
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r 2 ( ) r2 ( ) d
因此所求弧长
s
r2 ( ) r2 ( ) d
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例10. 求连续曲线段
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
1 y2 dx
2 2 0
1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
利用定积分求平面曲线弧长的极坐标公式探讨
利用定积分求平面曲线弧长的极坐标公式探讨
杨梅;王泽军;杨立敏;高洁
【期刊名称】《数学学习与研究》
【年(卷),期】2022()6
【摘要】用定积分求平面曲线的弧长是定积分在几何上的一个典型应用.在用微元法推导极坐标下平面图形面积公式过程中,用小扇形面积近似代替小曲边扇形面积,受此启发,本文先提出猜想:极坐标下弧长的计算公式是否可由s=∫βαr(θ)dθ给出?接着用例题及严格的证明指出极坐标下弧长公式一般只能是
s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ,而不能为s=∫βαr(θ)dθ.但在特殊情形下,即当r′(θ)=0时,s=∫βαr(θ)dθ与s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ两公式都适用.
【总页数】3页(P5-7)
【作者】杨梅;王泽军;杨立敏;高洁
【作者单位】中国石油大学(北京)克拉玛依校区文理学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.平面曲线弧长极坐标公式探讨
2.求平面曲线弧长需要注意的一个问题
3.用定积分求平面曲线弧长公式教学设计与实践
4.教学中用定积分求曲线弧长的改进
5.定积分中求弧长的问题释疑
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弧长计算公式课件
不同形状的弧长计算公式
01
圆弧
$s = r theta$
02
椭圆弧
$s = a theta$
03
抛物线弧
$s = frac{1}{2} p theta$
04
双曲线弧
$s = e theta$
弧长计算公式的近似方法
泰勒级数展开
将弧长表示为角度的幂级数，适 用于小角度计算。
数值积分
利用数值积分方法，将弧长计算 转化为积分运算，适用于任意角度。
目录
CONTENTS
• 弧长计算公式的基本概念 • 弧长计算公式的推导过程 • 弧长计算公式的应用 • 弧长计算公式的变种和推广 • 弧长计算公式的实际案例分析
01
弧长计算公式的基本概 念
弧长的定义
01
弧长是圆弧的长度，表示圆周上 任意两点之间的距离。
02
弧长可以通过圆心角和半径来计 算，公式为：弧长 = 圆心角 /360° × 2πr。
桥梁和建筑结构设计
自动化生产线设计
弧长计算公式在桥梁和建筑结构设计 中用于计算曲线形结构的长度，以确 保结构的稳定性和安全性。
在自动化生产线设计中，弧长计算公 式用于优化机器人的运动轨迹，提高 生产效率。
管道设计
在管道设计中，弧长计算公式用于计 算管道的长度，以确保流体在管道中 的流动效率。
04
弧长计算公式的变种和 推广
详细描述
在电路设计中，电线的弧长是影响电路性能 的重要因素之一。使用弧长计算公式，工程 师可以精确地计算出电线的弧长，从而选择 合适的电线长度和弯曲程度，确保电路的正 常运行和稳定性。同时，电线的弧长也会影 响到电路的信号传输质量和能耗，因此精确 的弧长计算对于电路设计来说是非常重要的。
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例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2
0
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2
0
8a
2 a x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
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平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
A M0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
r 2 ( ) r2 ( ) d
因此所求弧长
s
r2 ( ) r2 ( ) d
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例10. 求连续曲线段
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
B Mn x
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
MM
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d
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例12. 求阿基米德螺线 r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o
r a
2
sa
1 2ห้องสมุดไป่ตู้d
(P257 积分公式)
0
a
2
1 2 1 ln
2
1 2
2
0
2 a x
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
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弧微分公式
ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为
ds [x(t)]2 [ y(t)]2 d t