实数 (2)
实数知识点详细总结(二)2024
实数知识点详细总结（二）引言概述：本文将详细总结实数的相关知识点。
实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数。
本文将以五个大点为主线，分别介绍实数的基本性质、实数的运算、实数的表示方法、实数的大小比较以及实数的应用场景。
通过阅读本文，读者将全面了解实数的概念和性质。
正文内容：一、实数的基本性质1. 实数的定义及其分类：有理数和无理数2. 实数的分布性质：无缝覆盖整个数轴3. 实数的有序性：实数的大小可以进行比较4. 实数的等价性：实数可以有多种不同的表示形式5. 实数的密度性质：任意两个实数之间都存在其他实数二、实数的运算1. 实数的加法运算性质：满足交换律、结合律等2. 实数的减法运算性质：减法可以转化为加法运算3. 实数的乘法运算性质：满足交换律、结合律等4. 实数的除法运算性质：除法可以转化为乘法运算5. 实数的运算律和运算规则：涉及加法、减法、乘法和除法的运算规则三、实数的表示方法1. 实数的小数表示法：有限小数和无限循环小数2. 实数的百分数表示法：以百分数形式表示的实数3. 实数的科学计数法：用以10为底的指数形式表示的实数4. 实数的含参表示法：用字母表示实数中未知的部分5. 实数的根式表示法：以根式形式表示的实数四、实数的大小比较1. 实数的绝对值：实数的距离原点的距离2. 实数的大小比较原则：比较实数的大小需要考虑正负和绝对值3. 实数的大小比较方法：根据实数的绝对值大小分情况讨论4. 实数的大小比较示例：通过具体例子演示实数大小的比较过程5. 实数的大小比较应用：应用于实际问题中，如温度比较、长度比较等五、实数的应用场景1. 实数在几何学中的应用：用实数表示线段、角度等2. 实数在物理学中的应用：用实数表示物体的质量、速度等3. 实数在经济学中的应用：用实数表示价格、利润等4. 实数在统计学中的应用：用实数表示数据的数量5. 实数在计算机科学中的应用：用实数进行程序运算和计算机模拟总结：通过本文的阅读，我们了解了实数的基本性质、运算、表示方法、大小比较以及应用场景。
4.3《实数(2)》参考教案
例一让学生 理解实数的绝对 值和相反数概 念， 例二使学生 掌握计算器的使 用以及实数的运 算。
（1） 5 ; （2） 3 2 - 3 2 ；
3 （3） 5 3（ - 3 5 5） .
归 纳 新 知
让学生自己独立解决，然后进行检查，找出问题，加 深理解和应用。
1.判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。 （1）无理数都是无限小数。 学 以 致 用 （2）带根号的数不一定是无理数。 （3）无限小数都是无理数。 （4）数轴上的点表示有理数。 （5）不带根号的数一定是有理数。 2.计算： （1） 4 2 6 2 ； 巩 固 提 高 课堂 小结 1.本节课你有哪些收获？ 2.你还有什么问题或想法需要和大家交流？ 引导学生从内容上、方法上、情感上小结。 整体 感知 作业布置：P105 习题 4.3 第 3 题。 1.比较下列各组数的大小。 （1）3 2 与 2 3 2.课本第 104 页练习 （2） 2 与 第 1、2、3 题 1 2 （2） 3( 3 2) ；
能展示学生 对所学知识的思 考过程，全班纠 错，小组互相监 督，培养学生良 好的学习习惯。
让学生按这 一模式进行小 结，培养学生学 习——总结—— 学习——反思的 良好习惯。
2/2
4.3 实数（2）
学 目 习 标 1.掌握实数的相反数和绝对值； 2.掌握实数的运算律和运算性质。 1.会求实数的相反数和绝对值； 重 点 2.会进行实数的加减法运算； 3.会进行实数的近似计算。 难 点 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。 教 教学环节 创 设 情 境 教 学 学 过 活 程 动 设 计 意 图
复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律： 1.相反数：有理数 a 的相反数是 a 。 2.绝对值：当 a ≥0 时， a a ，当 a ≤0 时， a a 。 3.倒数： 4.有理数的大小比较： 5.运算律和运算性质： 有理数之间可以进行加、 减、 乘、 除 （除 数不为 0） 、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算， 有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。 出示自学提纲： 给学生 充足的时间 和空间，理解 和感知无理 让学生 复习有理数 的一些概念 和运算性质、 运算律。
第六章实数(2)
一、数形结合思想
1、数轴上的A 、B 、C 、D 四点中，与表示数3﹣的点最接近的是 。
A B C D
-3 -2 -1 0 1 2
2、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，
则①=b a a 2－－
②=++a b b a － a 0 b
二、转化思想
1、已知x 的平方根是2a+3和1－3a ，y 的立方根是a ，则x+y= 。
2、若x+3是4的平方根，y －1是﹣8的立方根，则x+y= 。
三、分类讨论思想
1、已知51x =－，求x 的值。
2、已知2a －1与﹣a+2是m 的平方根，求m 的值。
四、利用非负性解题
1、已知a 、b 满足2
a 4a 44a
b 22－－－++=，求ab b 2a +－的值。
2、如果6x 2－与y 2+互为相反数，求22y x +的值。
3、已知x 、y 满足03y 4x =++－，求（x+y ）2013的值。
五、“夹逼法”探求无理数的小数部分
1、若5的小数部分为a ，13的整数部分为b ，求5－b +a 的值。
2、已知5+7的小数部分是a ，5－7的小数部分是b ，求a+b 的值。
练习
1、已知2a －1的平方根是±3，3a+b －1的算术平方根是4，求50a －17b 的立方根。
2、已知y x +=+310，其中x 为整数，且0＜y ＜1，计算（x －y ）的相反数的值。
3、已知07－49
32=+++a a b a ，求实数a ，b 的值；并求出b 的整数部分及小数
部分。
4、一个数的算数平方根是2m －6，它的平方根是±（m －2），求这个数。
实数(2)
2.5实数(2) 教案教学目标：1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。
3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。
重点、难点：：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
教学过程：一、创设问题情景，引出实数的概念1、什么叫无理数，什么叫有理数，举例说明。
2、把下列各数分别填入相应的集合内。
32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数（real number ）。
教师点明：实数可分为有理数与无理数。
二、议一议1、在实数概念基础上对实数进行不同分类。
无理数与有理数一样，也有正负之分，如3是正的，π-是负的。
教师提出以下问题，让学生思考：（1）你能把32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？正有理数：负有理数：有理数：无理数：（2）0属于正数吗？0属于负数吗？（3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？让学生讨论回答后，教师引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数。
2、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：在有理数中，有理数a 的的相反数是什么，不为0的数a 的倒数是什么。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如，2和2-是互为相反数，35和351互为倒数。
33=，00=，ππ=-，33-=-ππ。
三、想一想让学生思考以下问题1、a 是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；2、如果0≠a ，那么它的倒数为 。
让学生回答后，教师归纳并板书：实数a 的相反数为a -，绝对值为a ，若0≠a 它的倒数为a 1（教师指明：0没有倒数）四、议一议。
实数(2)教案
课题：13.3实数（第2课时）【教学目标】1. 了解实数的运算法则及运算律2. 会进行实数的运算．【教学重、难点】掌握实数的运算法则并会熟练进行实数的运算【教学过程】活动一 了解实数的运算法则及运算律自学课本P84~85例2以上内容，解决下面的问题：指出下列各式错在哪里。
（1）3352)52(-=--（2）3232-=-活动二 进行实数的运算自习课本85页的例题2和例题3完成下列各题：1．计算下列各式的值： ①5－(5＋2) ②42 －2 2．化简：（1（2）a a -πa ＜π）． 3. 计算： (1)32364)4(1683-⨯-⨯- (2)755331-+--- 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内的运算方法及运算顺序都是一样吗?（小组交流）本节课你学到了哪些知识？【检测反馈】1．a b 、是实数，下列命题正确的是（ ）A. a b ≠，则22a b ≠B. 若22a b >，则a b >C. 若a b >，则a b >D. 若a b >，则22a b >2．①23-的相反数是 ②3π的相反数 ③52-=3a 和b 之间，即a b <<，那么a 、b 的值是4．已知四个命题，正确的有（ ）⑴有理数与无理数之和是无理数；⑵有理数与无理数之积是无理数；⑶无理数与无理数之积是无理数；⑷无理数与无理数之积是无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列说法正确的有（ ）⑴不存在绝对值最小的无理数；⑵不存在绝对值最小的实数；⑶不存在与本身的算术平方根相等的数；⑷比正实数小的数都是负实数．⑸非负实数中最小的数是0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.计算或化简：（1））（）（3525432+-- （2）535225-----）（π【教学反思】。
实数(2)
）
） ） ） ）
…………………………（ 6）有理数都是有限小数。
）
3.下列叙述正确的是（ C ） A 无限小数是无理数 B 绝对值等于本身的数是正数 C 实数和数轴上的点一一对应 D 带根号的数是无理数 4.下列说法中，错误的个数是 （ C ） ①无理数都是无限小数； ②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数； ④无限小数都是无理数。
实数的分类
实数可按定义进行分类
整数 有理数 实数
正整数 零 负整数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
实数的分类
实数也可按正负进行分类
正有理数 正实数 实数
正整数 正分数
正无理数 零
负有理数 负实数 负无理数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
负整数
负分数
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值的概念同样适用于实数。 例如： 2 和 2互为相反数 ∵
知识回顾：
无理数：无限不循环小数叫做无理数 有理数：有限小数或无限循环小数 常见无理数 1) 圆周率 及一些含有 的数都是无理数
2)开方开不尽的数都是无理数。 3) 有一定的规律，但不循环的无限小数, 如0.232232223…
1.复习实数的意义 2.会按要求对实数进行分类，了解实数 的相反数和绝对值的意义； 3.了解实数与数轴上的点具有一一对应 的关系； 4.了解有理数的运算律和运算性质在实 数范围内仍然成立
3
6 （4）绝对值等于 6 的数是 _________
2. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
…………………………（ 1）无限小数都是无理数；
…………………………（ 2）无理数都是无限小数； …………（ 3）正实数包括正有理数和正无理数； ………（ 4）实数可以分为正实数和负实数两类 ……（ 5）无理数包括正无理数、零、负无理数.
数学六年级下册第六章-实数(2)-课件与答案
数学
七年级 下册
配RJ版
第六章
6.3
2.实数的运算:实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为
0)、乘方运算,而且正数和0可以进行开平方运算,任意一个
实数都可以进行开立方运算.
3.实数的运算律:实数进行运算时,有理数的运算法则及运算
律在实数范围内同样适用.
数学
基础过关
1.下列说法正确的是
A.0没有平方根
为相反数”成立.
6.3
数学
七年级 下册
配RJ版
(2)∵ − 和 − 互为相反数,
∴ −+
− =0,
解得y=-3.
∵x+5的平方根是它本身,
∴x+5=0,
∴x=-5,
∴x+y=-3-5=-8,
∴x+y的立方根是-2.
∴8-y+2y-5=0,
第六章
6.3
A. -1
B.1-
C.2-
D. -2
数学
七年级 下册
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第六章
6.3
9.如图,大长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为9和6.
(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间?与哪个整
数较接近?
(2)求图中阴影部分的面积.
(3)若小正方形边长的值的整数部分为x,
小数部分为y,求(y- )x的值.
(2)若 =m,c= ,求b-4d+m的值.
6.3
数学
七年级 下册
(1)解:∵a,b互为相反数, ∴a+b=0.
∵c,d互为倒数,
∵|m|=2 且m<0,
∴m=-2.
实数(2)
课题：八上数学2.6．1实数(二)[新授课]第 周星期 执笔： 审核： 班 号 姓名：（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．（3）正确运用公式：b ab a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）baba =（a ≥0，b ＞0）1、复习：有理数中学过的运算：（字母表示）有理数中学过运算律：2、有理数和无理数统称为一、探究出有关运算法则和运算率，并利用这些运算法则或运算解决简单的问题。
内容1：用计算器可验证：3223+=+（加法交换律）， 2332⋅=⋅（乘法交换律）)212(32123⋅⋅=⋅⋅ （乘法结合律） 3)32(3332+=+（分配律）学生在讨论交流中总结：以上说明有理数的运算法则与运算律在 范围内仍然适用．内容2：例 计算：（1）3332-； （2）2122313⋅+⋅； （3）2)52(．二、做一做P57-58 通过探究得出实数的乘法法则、除法法则： 内容1: 探究过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母a ，b 表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 学生在讨论交流中归纳出：（1）乘法法则=⋅b a （a ≥0，b ≥0）， （2）除法法则=ba（ a ≥0， b ＞0）． ［说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分不应忽略．］ 内容2：知识巩固 P58 学习 例1 化简 （1）5312-⨯； （2）236⨯； （3）2)15(-； （4）)12)(12(-+；（1）在实数范围内，有理数的运算法则及运算律仍然成立，能正确运用． （2）掌握并运用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0，b ＞0）．12、化简：（1）250580⨯-⨯；（2）)82(2+；（3）2)313(-；P18 8 、9。
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1、
实数复习
一、知识结构
乘方−−−−→←互为逆运算开方⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−→−立方根平方根开立方开平方 实数无理数有理数→⎭
⎬⎫ 二、知识回顾
算术平方根的定义： 平方根的定义： 平方根的性质： 立方根的定义：
练习：1、—8—64 2、大于几个基本公式：（注意字母的取值范围）
2)(a = ； 2a = = ； 33)(a = ； 3a -=
练习：的值求、若332,01a a a +<；
的值）（，求、若332)(2m n n m n m -+-<
无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的 练习：1、判断下列说法是否正确： 1.实数不是有理数就是无理数。
（ ） 2.无限小数都是无理数。
（ ） 3.无理数都是无限小数。
（ ） 4.带根号的数都是无理数。
（ ） 5.两个无理数之和一定是无理数。
（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。
（ ）
7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。
（ ）
2、把下列各数中，有理数为 ；无理数为 3737737773.08509
4320225233、、、、、、、、、---π(相邻两个3之间的7逐渐加1个) 三、知识巩固1、x 取何值时，下列各式有意义 （1）x -4 ： ；（2）34x +： ；（3）2
12-+x x ： 2、4)3(92=-y ()01253273=++x
3232223--
++- ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧_________________________________________________________________________________实数
b a
四、知识提高
1、已知732.13≈，477.530≈，（1）≈300 ；（2）≈3.0 ；
（3）0.03的平方根约为 ；（4）若77.54≈x ，则=x 练习：已知442.133≈，107.3303≈，694.63003≈，求（1）≈33.0 ； （2）3000的立方根约为 ；（3）07.313≈x ，则=x
2、若
()x x -=-222，则x 的取值范围是
3、已知c b a 、、位置如图所示，
试化简 ：（1）()22c b a
c b a a --+-- （2）()22a b c b c b a -+-+-+
4、已知115+的小数部分为m ，115-的小数部分为n ，则=+n m
五、当堂反馈
1、下列说法正确的是( )
A 、16的平方根是4±
B 、6-表示6的算术平方根的相反数
C 、 任何数都有平方根
D 、2
a -一定没有平方根
2、若335=-m ，则=m
3、若0=+x x ，则x 的取值范围是 ；()x x -=-4433，则x 的取值范围是
4、已知x x y 21121-+-+=，求y x 32+的平方根
5、已知等腰三角形的两边长b a ,满足()013325322
=-+++-b a b a ，求三角形的周长
6、如果一个数的平方根是1+a 和72-a ，求这个数
（选作）1、若b a ,为实数，则下列命题正确的是（ ）
A 、22,b a b a >>则若
B 、2
2,b a b a >>则若
C 、22,b a b a >>则若
D 、22,0b a b a a >>>则且若
2、已知a a a =-+-43，求a 的值。
第十三章 实数 一.典例分析 【 例1 】把下列各数填入相应的集合中（只填序号）： ①3.14 ②2π- ③179- ④3100 ⑤0 ⑥ 212212221.1 ⑦3 ⑧0.15 有理数集合：｛ …｝正数集合｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝负数集合｛ …｝ 分数集合：｛ …｝ 【 例2 】计算：（1）8145032-- （2）0313348）（--- 二、检测： 1．25的平方根是（ ） A 、5 B 、-5 C 、±5 D 、5± 2．下列说法错误的是 ( ) A 、无理数的相反数还是无理数 B 、无限小数都是无理数 C 、正数、负数统称有理数 D 、实数与数轴上的点一一对应 3．下列各组数中互为相反数的是（ ） Ａ、 －２与2)2(- Ｂ、 －２与38- Ｃ、 －２与21- Ｄ、2-与2 4．在下列各数： 51525354.0、10049、2.0 、π1、7、11131、327中，无理数的个数是 ( )A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 5．满足53<<-x 的整数x 是（ ）
装
订
线
A 、3,2,1,0,1,2--
B 、3,2,1,0,1-
C 、3,2,1,0,1,2--
D 、2,1,0,1-
6．当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ）
A 、－1
B 、0
C 、41-
D 、1 7．如图，线段2=AB 、5=CD ，那么，线段EF 的长度为（ ）
A 、7
B 、11
C 、13
D 、15
8．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则y x +的值为（ ）
A 、3
B 、7
C 、3或7
D 、1或7
9．平方根等于本身的实数是 。
10．化简：=-2)3(π 。
11．9
4的平方根是 ；4的算术平方根是 ；125的立方根是 。
12．估计60的大小约等于 或 （误差小于1）。
13．若03)2(12=-+-+-z y x ，则z y x ++＝ 。
14．比较下列实数的大小（在 填上 > 、< 或 ＝）
①-2； ③53。
15．计算（1）（2）1010
15
40+-
16．若x 、y 都是实数，且y=833+-+-x x 求x+y 的值。