电路分析第七章

第 7章 动态电路的时域分析
第 7章 动态电路的时域分析
动态电路的时域分析：就是对含有动态元件的电
路，在给定激励或在初始储能作用下，求解其达到稳
定状况所经历的过程中响应随时间变化的规律，即研
究电路暂态过程的规律。
第 7章 动态电路的时域分析
7.1 换路定律及初始值的计算
7.1.1 过渡过程的概念
零输入响应：就是动态电路在没有外加激励时，仅由电路 初始储能产生的响应。
7.2.1 RC电路的零输入响应
S(t＝0) i C ＋ － ＋ uC R uR －
uC(0-)=Uo,当t=0时刻开关S闭合
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如图所示有
S(t＝0) i C ＋ － ＋ uC R uR －
uC uR 0 (t 0)
第 7章 动态电路的时域分析
根据图中S闭合后的电路, 依KVL, 有
uR uC US
(t≥0)
duC 将R、C的伏安关系: i C , uR Ri , 代入上式后可得 dt
duC RC uC U S dt
(t≥0)
上式是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。 即：
uC=ucp+uch (ucp为特解， uch为齐次方程的通解)
已稳定。试求t≥0 时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。
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解 （1） 作t=0-等效电路如图 （2） 作t≥0电路如图（c）所示, （b）所示。则有 其等效电路如图（d）所示。 则 等效电阻
uC(0+)=uC(0-)=2×3=6 V 故电路的时间常数τ=RC=2×0.5=1 s
i2 (0 ) i2 (0 _) 6A uC (0 ) uC (0 _) 12V
第 7章 动态电路的时域分析
第三步, 作t=0+等效电路如 图（c）所示, 这时电感L相当 于一个 6 A的电流源, 电容C相 当于一个 12 V的电压源。
第四步, 根据t=0+等效电路, 计 算其它的相关初始值:
位置2。设换路前电路已经稳定, 求换路后的初始值i1(0+)、i2(0+) 和uL(0+)。
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解 (1）作t=0-等效电路如 图（b）所示。则有 （2） 作t=0+等效电路如图（c）所 示。由此可得
i1 (0 )
US 9 iL (0 ) iL (0 ) 3A R1 3
进去的代文宁等效电阻。
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例 如 图 （ a ） 所 示 为 一 测 量 电 路 , 已 知 L=0.4H, R=1 Ω,US=12 V, 电压表的内阻RV=10kΩ, 量程为 50 V。开关S原来 闭合, 电路已处于稳态。在t=0时, 将开关打开, 试求: （1） 电流i(t)和电压表两端的电压uV(t); （2） t=0时（S刚打开）电压表两端的电压。
解 第一步, 作t=0-等效电 第二步, 根据t=0-等效电路, 计算 路如图（b）所示, 这时电感相 换路前的电感电流和电容电压: 当于短路, 电容相当于开路。 US 18 i2 (0 _) 6A R1 R2 1 2 uC (0 _) R2i2 (0 _) 2 6 12A 根据换路定律, 可得
duC U o - RC i (t ) C e dt R uR (t ) uC (t ) U o e
t RC
t
(t 0) (t 0)
电压uC(t)、 uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的, 它们随 时间变化的曲线如图（a）、（b）所示。
uC、uR Uo i Uo R
R2 6 iL (0 ) 3 2A R1 R2 3 6
i2 (0 ) i1 (0 ) iL (0 ) 2 3 1A uL (0 ) R2i2 (0 ) 6 (1) 6 V
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7.2 一阶电路的零输入响应
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7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：就是电路在初始状态为零的条件下，由外 加激励所产生的响应。
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7.3.1 RC电路的零状态响应
S(t＝0) ＋ U S － R ＋ u － R i ＋ uC －
C
根据换路定律，有uC(0-)=uC(0+)=0, 电容相当于短路, 电流值 为最大, 即i(0+)=UＳ/R。
Ioe
-
t
( t 0)

L R
是电路的时间常数
u、 i Io
R - t L t
uR (t ) RiL RIo e uL ( t ) L
RIo e
R - t L
-
(t 0) RI o
t
diL RIo e dt
RIo e
( t 0)
uR 0 uL
ucp US
其中, 特解是电路达到稳态时的解
uch Ae
-
t RC
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因此uC的全解为
uC (t ) US Ae
S(t＝0)
＋ U S －
R
C
L
电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫 做电路的过渡过程。
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7.1.2 换路定律及初始值的计算
换路： 就是电路工作状况的改变。
通常把换路瞬间定在t=0, 且把t=0-记为换路前的最终时刻,
这时的电流为i(0-), 电压为u(0-); 把t=0+记为换路后的最初时刻,
uL RiL 0
(t 0)
d iL 将电感的伏安关系 u L L 代入上式, 可得 dt di L L Ri L 0 (t 0) dt
上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程。
通解：iL (t ) Ae
特征方程为
pt
Lp R 0 R p L
第 7章 动态电路的时域分析
第 7章 动态电路的时域分析
独立初始值, 可通过作换路前t=0-等效电路求得。具体步骤
为： (1) 作t=0-等效电路, 求出uC(0-)和iL(0-); (2) 根据换路定律确定出uC(0+)及iL(0+)。 相关初始值, 可通过作换路后t=0+等效电路来计算。具体步
骤为：
(1) 用电压为uC(0+)的电压源和电流为iL(0+)的电流源取代原 电路中C和L的位置, 可得t=0+等效电路; (2) 以 t=0+等效电路求出相关初始值。
t
-
t
(t≥0) (t≥0)
uR (t ) Uoe
-
t
(t≥0)
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时间常数τ是表征电路过渡过程快慢的物理量。τ值越大, 过 渡过程的进展越慢。
uC Uo
1＜ 2＜ 3
0.368 o U 0
1 2 3
t
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例 如图（a）所示电路, 在t=0时刻开关S闭合, S闭合前电路
duC 将uR=Ri, i C （式中负号是因为电容电压和电流参考方 dt 向不一致）, 将其代入上式可得
duC RC uC 0 dt
上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程。
通解：uC=Aept （其中常数p是特征根, A为待定的积分常数）
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特征方程
特征根为 所以 RCp+1=0
0.368 o U 0
U 0.3 6 8 o R

t
0

t
(a)
(b)
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RC具有时间的量纲, 因为
库 安 秒 [RC] 欧 法 欧 欧 秒 伏 伏 所以称其为时间常数, 并令
τ=RC
引入时间常数τ后,
uC (t ) Uoe
Uo i (t ) e R
iL t
－RI o
第 7章 动态电路的时域分析
从以上的分析可见, RC电路和RL电路中所有的零输入响应 都是由初始值开始以指数规律衰减的, 而且都可写成相同的形 式, 即
t τ
f (t ) f (0 )e
(t 0)
式中, f(0+)为响应的初始值, τ是电路的时间常数, RC电路 的τ=RC, RL电路的τ=L/R。其中R为换路后, 从动态元件两端看
电压表两端的电压为
uV (t ) RVi(t ) 12 10 e
4 -2.5104 t
V
(t 0)
（2） 当t=0时
uV 12 104 V
该数值远远超过电压表的 L 0.4 4 105 s 量程, 将损坏电压表。 在断开 电感电路时, 必须先拆除电压 R RV 10 103 表。
这时的电流、 电压分别记为i(0+)和u(0+)。在动态电路分析中要
确定电流、 电压的初始值, 就是计算i(0+)和u(0+)。
第 7章 动态电路的时域分析
电容和电感的能量不能跃变, 所以电容电压和电感电流均不 能跃变, 即
uC (0 ) uC (0 ) iL ( 0 ) i L ( 0 )
上式表述的换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变, 通 常称为换路定律。 根据换路定律, 只有电容电压和电感电流在换路瞬间不能突 变。其它各量均不受换路定律的约束。把遵循换路定律的uC(0+)
和iL(0+)称为独立初始值, 而把其余的初始值如iC(0+)、uL(0+) 、
uR(0+)、iR(0+)等称为相关初始值。