2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一下学期期末数学试卷(带解析)
2016-2017年辽宁省实验中学分校高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣225°）的值是（）A．B．C．D．2．（5分）在△ABC中，，，则＝（）A．（3，7）B．（3，5）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位4．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在△ABC中，＝（）A．B．C．D．6．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+k的图象关于直线对称，且，则实数k的值等于（）（）A．﹣3或1B．1C．﹣1或3D．﹣37．（5分）已知3cos2θ＝tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin2θ等于（）A．B．C．D．8．（5分）在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A．若向量，向量（xy≠0），则B．若四边形ABCD为菱形，则C．点G是△ABC的重心，则D．△ABC中，和的夹角等于A9．（5分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（）A．B．C．D．10．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）A．1B．2C．D．311．（5分）已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468B．3501C．4032D．573912．（5分）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x+y的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．C．[﹣5，5]D．[﹣6，6]二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是．14．（5分）已知向量＝（3，2），＝（x，4），且∥，则x的值是．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B＝b cos A，则的最大值是．16．（5分）在下列结论中：①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为π；④若tan（π﹣x）＝2，则cos2x＝．其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题（共6小题）17．（10分）已知tan（α+）＝﹣3，求的值．18．（12分）若平面向量，满足||＝，||＝2，（﹣）⊥．（1）求与的夹角；（2）求|2+|．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．求：（1）角C大小；（2）a+b的值．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）＝2，a+b＝4，且△ABC 的面积为，求△ABC外接圆的半径．21．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．22．已知向量，把函数f（x）＝化简为f（x）＝A sin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y＝f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y＝f（x）在区间上的单增区间、单减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，求2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣225°）的值是（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【解答】解：sin（﹣225°）＝﹣sin225°＝﹣sin（180°+45°）＝﹣（﹣sin45°）＝sin45°＝．故选：A．2．（5分）在△ABC中，，，则＝（）A．（3，7）B．（3，5）C．（1，1）D．（1，﹣1）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【解答】解：＝﹣＝（2，4）﹣（1，3）＝（1，1），故选：C．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：y＝sin（2x+）＝sin2（x+），y＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），所以将y＝sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y＝sin（2x﹣）的图象，故选：B．4．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵已知，则＝cos[﹣（α+）]＝sin（α+）＝，故选：B．5．（5分）如图，在△ABC中，＝（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：由于，由于BD＝DC，故，，又因为，故，所以．故选：B．6．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+k的图象关于直线对称，且，则实数k的值等于（）（）A．﹣3或1B．1C．﹣1或3D．﹣3【考点】H7：余弦函数的图象．【解答】解：函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+k，其图象关于直线对称，∴cos（ω+φ）＝1或﹣1；又，∴2cos（ω+φ）+k＝﹣1，∴k＝﹣1﹣2cos（ω+φ）；当cos（ω+φ）＝1时，k＝﹣1﹣2×1＝﹣3；当cos（ω+φ）＝﹣1时，k＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1；综上，实数k的值等于﹣3或1．故选：A．7．（5分）已知3cos2θ＝tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin2θ等于（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：∵3cos2θ＝3×＝tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）＝0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ＝﹣3tanθ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝﹣，故选：D．8．（5分）在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A．若向量，向量（xy≠0），则B．若四边形ABCD为菱形，则C．点G是△ABC的重心，则D．△ABC中，和的夹角等于A【考点】9A：向量的三角形法则；9B：向量加减混合运算．【解答】解：对于A，若向量＝（x，y），向量＝（﹣y，x），则＝0，则⊥，故A 正确；对于B，由菱形是邻边相等的平行四边形，故四边形ABCD是菱形的充要条件是，且||＝||，故B正确；对于C，由重心的性质，可得⇔G是△ABC的重心，故C正确；对于D，在△ABC中，和的夹角等于角A的补角，故D不正确．∴关于向量的命题中，不正确的是D．故选：D．9．（5分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；H2：正弦函数的图象．【解答】解：当0时，y＝cos x tan x≥0，排除B，D．当时，y＝﹣cos x tan x＜0，排除A．故选：C．10．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）A．1B．2C．D．3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，由题意可知A（0，0），B（0，），E（1，），D（3，0），设F（3，a），则＝（1，），＝（0，），＝（3，a），＝（3，a﹣），∵＝a＝1，即a＝，∴＝（3，﹣）．∴＝3﹣1＝2．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【考点】H1：三角函数的周期性．【解答】解：∵函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1＝A•+1＝cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+＝3，可求：A＝2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，∴解得：ω＝．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，∴cos2φ＝0，2φ＝，解得：φ＝．∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2016）＝﹣（sin+sin+sin+…+sin）+2×2016＝504×0+4032＝4032．故选：C．12．（5分）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x+y的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．C．[﹣5，5]D．[﹣6，6]【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下；（1）∵＝，∴（x，y）＝（1，0）；（2）∵＝+＝+3，∴（x，y）＝（3，1）；（3）∵＝+＝+2，∴（x，y）＝（2，1）；（4）∵＝++＝++（+2）＝3+3，∴（x，y）＝（3，2）；（5）∵＝+＝+，∴（x，y）＝（1，1）；（6）∵＝，∴（x，y）＝（0，1）﹒∴x+y的最大值为3+2＝5﹒根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒故x+y的取值范围是[﹣5，5]，故选：C．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：对于函数y＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．14．（5分）已知向量＝（3，2），＝（x，4），且∥，则x的值是6．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【解答】解：根据题意，向量＝（3，2），＝（x，4），若∥，则有2x﹣12＝0，解得x＝6；故答案为：6．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B＝b cos A，则的最大值是1．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【解答】解：由a sin B＝b cos A以及正弦定理可知sin A sin B＝sin B cos A，⇒A＝，∴＝＝＝sin（B+），∴的最大值为：1．故答案为：1．16．（5分）在下列结论中：①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为π；④若tan（π﹣x）＝2，则cos2x＝．其中正确结论的序号为①③④（把所有正确结论的序号都填上）．【考点】HB：余弦函数的对称性；HH：正切函数的奇偶性与对称性．【解答】解：对于①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z），当k为奇数时，函数即y＝sin x，为奇函数．当k为偶数时，函数即y＝﹣sin x，为奇函数．故①正确．对于②，当x＝时，函数y＝tan＝≠0，故y＝tan（2x+）的图象不关于点（，0）对称，故②不正确．对于③，当x＝时，函数y＝cos（2x+）＝cos（﹣π）＝﹣1，是函数y的最小值，故③的图象关于直线x＝对称．对于④，若tan（π﹣x）＝2，则tan x＝2，tan2x＝4，cos2x＝，，故④正确．故答案为：①③④．三．解答题（共6小题）17．（10分）已知tan（α+）＝﹣3，求的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵tan（α+）＝﹣3＝，tanα＝2，∴＝＝＝＝．18．（12分）若平面向量，满足||＝，||＝2，（﹣）⊥．（1）求与的夹角；（2）求|2+|．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）设向量，的夹角为θ，且||＝，||＝2，（﹣）⊥，∴（﹣）•＝﹣•＝2﹣×2×cosθ＝0，解得cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴与的夹角为；（2）∵＝4+4•+＝4×2+4××2×cos+4＝20∴|2+|＝＝2．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．求：（1）角C大小；（2）a+b的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．（1）∵在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，【解答】解：∴2﹣2cos2C＝3cos C，解方程求得cos C＝﹣2（舍去），或cos C＝，∴C＝．（2）由△ABC的面积为可得ab•sin＝，∴ab＝6．再由余弦定理可得c2＝7＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，解得（a+b）2＝25，∴a+b＝5．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）＝2，a+b＝4，且△ABC 的面积为，求△ABC外接圆的半径．【考点】H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性；HR：余弦定理．【解答】解：（1）函数，故最小正周期；令，解得：，k∈Z．故函数的单调递减区间为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）由f（C）＝2，可得，又0＜C＜π，所以，所以，从而．由S＝＝ab sin，ab＝，由余弦定理有：c2＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝12，∴，由正弦定理有：．21．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，由正弦定理得到：，解得sin∠BDC＝＝，则∠BDC＝或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝．又由DA＝DC，则∠A＝．（Ⅱ）由于B＝，BC＝1，△BCD面积为，则•BC•BD•sin＝，解得BD＝．再由余弦定理得到CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos＝1+﹣2××＝，故CD＝，又由AB＝AD+BD＝CD+BD＝，故边AB的长为：．22．已知向量，把函数f（x）＝化简为f（x）＝A sin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y＝f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y＝f（x）在区间上的单增区间、单减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，求【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：（1）f（x）＝+＝sin tx cos tx﹣cos2tx+＝sin2tx﹣＝sin（2tx ﹣）．∵当x＝时，2tx﹣＝0，∴t＝1，∴当2x﹣＝时，x＝，∴①处应填的值为．单减区间，单增区间．（2）∵f（+）＝1，即sin（A+）＝1，∴A+＝，即A＝，由正弦定理得：，∴sin C＝＝，∵c＜a，∴C＜，∴cos C＝．∴cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＝．∴＝ac cos B＝2××＝1．。
辽宁省实验中学分校高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={2015，2016}，非空集合B满足A∪B={2015，2016}，则满足条件的集合B的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是（）A．（1，2] B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）3．已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或44．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．56+12 B．60+12 C．30+6D．28+65．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=06．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③8．函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f （x）=2x2﹣12x+16，则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．59．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．410．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=011．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）A．（9，49） B．（13，49）C．（9，25） D．（3，7）12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数y=log a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）= ．14．直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．（12分）已知如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且AB⊥AC，M是面CC1的中点，N 是BC的中点，点P在直线A1B1上．（Ⅰ）若P为A1B1中点，求证：NP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：PN⊥AM．20．（12分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．（12分）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿21．直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P 为AC的动点，根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）设函数，其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；（2）当x∈B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0，根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2最后取交集，解出函数的定义域．【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选B．【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围，同时考查了分数函数等来确定函数的定义域，属基础题．3．（5分）（2014•开福区校级模拟）已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或4【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据空间两点之间的距离公式，由|AB|=列出关于a的方程，解之即可得到实数a的值．【解答】解：∵点A（1，2，3），B（4，2，a），∴|AB|==，解这个方程，得a=2或4故选：D【点评】本题给出空间两点含有字母a的坐标形式，在已知两点间距离的情况下求实数a的值，着重考查了空间坐标的两点距离公式及其应用的知识，属于基础题．4．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．56+12 B．60+12 C．30+6D．28+6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==，由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6，又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2），设直线方程为﹣=b，利用直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，求出b，即可求出直线l的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2）设直线方程为﹣=b，∵直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，∴b=﹣=0，∴直线l的方程是2x﹣y=0，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•淇县校级一模）设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合．【分析】比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．【解答】解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知：∴a＜b＜c．故选A．【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．7．（5分）（2013•江门二模）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选D【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．（5分）（2010•宁波二模）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16，则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．5【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得．【解答】解：f（x+1）为奇函数，函数图象关于（0，0）对称函数f（x）的图象关于（1，0）对称当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16当x＜1时，f（x）=﹣2x2﹣4x令2x2﹣12x+16=2可得x1+x2=6令﹣2x2﹣4x=2可得x3=﹣1横坐标之和为5故选D【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．属于基础知识的综合运用，但难度都不大，只要掌握基本知识、基本方法，就可解题．9．（5分）（2009•辽宁）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间．10．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．11．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f （﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）A．（9，49） B．（13，49）C．（9，25） D．（3，7）【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+21）＜f（﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m ﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围，利用m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，即可求得m2+n2的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，∴f（m2﹣6m+21）＜﹣f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2﹣6m+21＜﹣n2+8n，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围为（5﹣2，5+2），即（3，7），∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，∴m2+n2的取值范围是（9，49）．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定圆内的点到原点距离的取值范围．12．（5分）（2005•黑龙江）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1 （1即小钢球的半径），所以可知正四棱锥的高的最小值为（+1）×4=4+，故选 C．【点评】小正四面体是由球心构成的，正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心到底面的距离再加上小钢球的半径1．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）函数y=log a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）= 27 ．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用y=log a1=0可得定点P，代入幂函数f（x）=xα即可．【解答】解：对于函数y=log a（x﹣1）+8，令x﹣1=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=log a（x﹣1）+8的图象恒过定点P（2，8）．设幂函数f（x）=xα，∵P在幂函数f（x）的图象上，∴8=2α，解得α=3．∴f（x）=x3．∴f（3）=33=27．故答案为27．【点评】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．14．（5分）（2015秋•内蒙古校级期末）直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径r，将直线方程变形后得到此直线恒过A（1，1），由题意得到直线被圆截得的弦所在的直线与直线OA垂直时，截取的弦长最短，利用两点间的距离公式求出|OA|的长，由半径r及|OA|的长，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长的最小值．【解答】解：由圆x2+y2=16，得到圆心（0，0），半径r=4，∵直线解析式变形得：（2m+1）（x﹣1）+（3m﹣2）（y﹣1）=0，∴直线恒过A（1，1），即|OA|=，则截得弦长的最小值为2=2．故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过顶点的直线方程，垂径定理及勾股定理，根据题意得出直线被圆截得的弦所在的直线与直线OA垂直时，截取的弦长最短是解本题的关键．15．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是①②③．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题；运动思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】由线面垂直证得两线垂直判断①；由线面平行的定义证得线面平行判断②；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断③；由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等．【解答】解：对于①，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正确；对于②，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确；对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故③正确；对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确，故④错误．∴正确命题的序号是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（10分）（2015秋•辽宁校级期末）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，17．a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题（1）先求出集合B的补集，再求出A∪（∁U B），得到本题结论；（2）由B∩C=C 得到C⊆B，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论．【解答】解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，∴∁u B={x|x≤2或x≥4}，∴A∩B={x|2＜x≤3}，A∪（∁U B）={x|x≤3或x≥4}．（2）∵B∩C=C，∴C⊆B．∵B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，∴2＜a，a+1＜4，∴2＜a＜3．【点评】本题考查了集合运算的知识，本题难度不大，属于基础题．18．（12分）（2015春•武进区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）（2015秋•辽宁校级期末）已知如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且AB⊥AC，M是面CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上．（Ⅰ）若P为A1B1中点，求证：NP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：PN⊥AM．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；向量法；立体几何．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出NP∥平面ACC1A1．（2）求出=（0，2，1），=（0，1，﹣2），利用向量法能证明PN⊥AM．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=AC=2，AB=2a，则B（2a，0，0），C（0，2，0），N（a，1，0），P（a，0，2），=（0，﹣1，2），平面ACC1A1的法向量=（1，0，0），=0，∵NP⊄平面ACC1A1，∴NP∥平面ACC1A1．（2）M（0，2，1），=（0，2，1），又=（0，1，﹣2），∴=0+2﹣2=0，∴⊥，∴PN⊥AM．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2013•桃城区校级一模）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，由条件求得M、N两点的坐标，即可求得以MN为直径的圆的方程．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），求得 M（4，）、N（4，），以及MN的值，求得MN的中点，坐标为（4，），由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为2，化简可得结果．【解答】解：（Ⅰ）以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如直角坐标系，由于⊙O的方程为x2+y2=4，直线L的方程为x=4，∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，），∴l AP：y=（x+2），l BP：y=﹣（x﹣2）．将x=4代入，得M（4，2），N（4，﹣2）．∴MN的中点坐标为（4，0），MN=4．∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣4）2+y2=12．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（x﹣4）2+y2=12．…（6分）（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），则+=4 （y0≠0），∴=4﹣．∵直线AP：y=（x+2），直线BP：y=（x﹣2），将x=4代入，得y M=，y N=．∴M（4，）、N（4，），MN=|﹣|=，故MN的中点坐标为（4，﹣）．以MN为直径的圆截x轴的线段长度为2=•=•==4为定值．再根据以MN为直径的圆O′的半径为2，AB的中点O到直线MN的距离等于4，故O′为线段MN的中点，可得⊙O′必过⊙O 内定点（4﹣2，0）．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．21．（12分）（2015秋•辽宁校级期末）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB 的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥B P；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（1）根据圆的性质求出△ABD的面积，利用面面垂直的性质得出OC⊥平面ABD，代入棱锥的体积公式计算；（2）利用三线合一和面面垂直的性质证明DE⊥平面ABC；（3）取的中点G，BD的中点M，连结FM，FG，MG，则可证平面FMG∥平面ACD，故而F G∥平面ACD．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=，BD=，∴S△ABD=AD•BD=．∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，∴V D﹣ABC=V C﹣ABD===．（2）∵OA=OD，∠DAB=，∴△OAD是等边三角形，∵E是OA中点，∴DE⊥OA，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，∵BP⊂平面ABC，∴DE⊥BP．（3）上存在一点G，满足=，使得FG∥平面ACD，理由如下：取BD中点M，连结FM，MG，FG，则MG⊥BD，∴MG∥AD，∵F，M分别是BC，BD的中点，∴FM∥CD，∵FM⊂平面FMG，MG⊂平面FMG，CD⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AD∩CD=D，FM∩MG=M，∴平面FMG∥平面ACD，∵FG⊂平面FMG，∴FG∥平面ACD．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22．（12分）（2015秋•辽宁校级期末）设函数，其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围；（3）若a∈R，试求函数y=f（x）的定义域．【考点】函数恒成立问题．【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接代入，解方程即可；（2）不等式可整理为，只需求出右式的最大值即可．利用换元法令t=2x，t∈[2，+∞）得出，根据定义法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值；（3）利用换元法m=2x（m＞0）即m2+a•m+1＞0，对二次不等式m2+a•m+1＞0分类讨论，求出函数的定义域即可．【解答】解：（1）．f（2）=f（1）+2⇒log2（1+4a+16）=log2（1+2a+4）+log24⇒log2（17+4a）=log24（5+2a）⇒17+4a=20+8a⇒…（3分）（2）1 +a•2x+4x≥2x﹣1⇒令t=2x∵x∈[1，+∞）∴t∈[2，+∞）设，2≤t1＜t2∴∵（t2﹣t1）＞0，t1t2﹣1＞0，t1t2＞0∴h（t1）＞h（t2）∴h（t）在[2，+∞）上为减函数，∴t=2时，有最大值为﹣2∴a≥﹣2…（8分）（3）1+a•2x+4x＞0⇒令m=2x（m＞0）即m2+a•m+1＞0①当△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2m∈R⇒x∈R②当△=a2﹣4=0⇒a=2或a=﹣2若a=2，（m+1）2＞0又m＞0⇒x∈R若a=﹣2，（m﹣1）2＞0又m≠1⇒x∈{x|x≠0，x∈R}③当△=a2﹣4＞0⇒a＞2或a＜﹣2设g（m）=m2+a•m+1而g（0）=1＞0若a＞2，而m＞0⇒x∈R若a＜﹣2，而m＞0⇒⇒⇒综上：①当a＞﹣2时 f（x）定义域为R②当a≤﹣2时f（x）定义域为…（14分）【点评】考查了利用换元法和根据函数单调性判断函数的最值，对复合函数，利用对二次不等式的分类讨论求函数的定义域问题．难点是分类讨论．。
辽宁实验中学2015-2016学年高一下学期6月月考数学试卷Word版含解析
2015-2016学年辽宁实验中学高一（下）6月月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=（）A．B． C．D．2．设表示向东走10km，表示向北走10km，则表示（）A．向南偏西30°走20km B．向北偏西30°走20kmC．向南偏东30°走20km D．向北偏东30°走20km3．在平面直角坐标系中O（0，0），P（1，2），将向量按逆时针旋转后，得向量，则Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）4．一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）A．50（+1）米B．100（+1）米C．50米D．100米5．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．116．求值：4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．2﹣1 D．7．函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．[2kπ﹣π，2kπ+π]（k∈Z）B．[4kπ﹣π，4kπ+π]（k∈Z）C．[2kπ+π，2kπ+π]（k∈Z）D．[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）8．函数y=3sin3x（≤x≤）与函数y=3的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是（）A．2πB．2 C．4πD．49．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（）C．（）D．（）10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=2，A=60°，若三角形两解，则b 的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，）C．（）D．（2，）11．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0﹣9）中随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11（如果m+k≥11），若第6组中抽取的号码为52，则m为（）A．6 B．7 C．8 D．912．在等腰三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1] C．[，1]D．[0，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=．14．在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．15．已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．16．若x是三角形内的一个最小角，则函数y=的取值范围．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．某校高一年级抽出100名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图频率分布直方图，由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：（1）这100名学生数学成绩在[60，90]的人数约为多少人；（2）这100名学生成绩的众数与中位数；（3）这100名学生的平均成绩．（四舍五入保留1位小数）19．已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=•cos2x．（1）求函数f（x）的解析式及在[0，2π]的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．20．在如图所示的程序框图中，记所有的x的值组成的集合为A，由输出的数据y组成的集合为B．（1）分别写出集合A、B；（2）在集合A中任取一个元素a，在集合B中任取一个元素b，求所得的两数满足a＞b的概率．21．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．22．已知函数f（x）=4sin cos，其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）若ω＜4，将函数y=f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）的图象，且过P（），求g（x）的解析式；（3）在（2）问下，若函数g（x）在区间[a，b]（a、b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含20个零点，在所以满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．2015-2016学年辽宁实验中学高一（下）6月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=（）A．B． C．D．【考点】诱导公式的作用．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式=cos（﹣3π﹣）=﹣cos（﹣）=﹣cos=﹣．故选：A．2．设表示向东走10km，表示向北走10km，则表示（）A．向南偏西30°走20km B．向北偏西30°走20kmC．向南偏东30°走20km D．向北偏东30°走20km【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】根据已知求出的模和与的夹角，即可得到表示几何意义．【解答】解：∵||=10，||=10，⊥，∴||2=||2+||2﹣2•=100+300=400，∴||=20，∴与的夹角为30°，∴则表示南偏西30°走20 km，故选：C3．在平面直角坐标系中O（0，0），P（1，2），将向量按逆时针旋转后，得向量，则Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】向量的几何表示．【分析】设Q（x，y），由题意可得：=，x+2y=0，联立解出即可得出．【解答】解：设Q（x，y），则=，x+2y=0，解得，∴Q（﹣2，1）．故选：A．4．一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）A．50（+1）米B．100（+1）米C．50米D．100米【考点】解三角形的实际应用．【分析】通过已知条件求出∠ACB，利用正弦定理求出BC，然后求解河的宽度．【解答】解：如图所示，在△ABC中∠BAC=30°，∠ACB=75°﹣30°=45°，AB=200由正弦定理，得BC==100所以，河的宽度为BCsin75°=100×=50（+1）米，故选：A．5．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件，跳出循环，计算输出s的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，s=﹣1+1=0，；第二次循环n=2，s=0+1+2=3；第三次循环n=3，s=3﹣1+3=5；第四次循环n=4，s=5+1+4=10．满足条件s＞9，跳出循环，输出s=10．故选：C．6．求值：4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．2﹣1 D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简，同角三角函数间的基本关系切化弦，再利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°====•=•=，故选：B．7．函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．[2kπ﹣π，2kπ+π]（k∈Z）B．[4kπ﹣π，4kπ+π]（k∈Z）C．[2kπ+π，2kπ+π]（k∈Z）D．[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）【考点】余弦函数的图象．【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式为y=cos（﹣），再根据余弦函数的单调性求出它的单调区间．【解答】解：函数y=﹣cos（﹣）=cos（π+﹣）=cos（﹣），令2kπ﹣π≤﹣≤2kπ，k∈z，求得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[4kπ+π，4kπ+π]，k∈z，故选：D．8．函数y=3sin3x（≤x≤）与函数y=3的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是（）A．2πB．2 C．4πD．4【考点】定积分．【分析】利用正弦函数图象的对称性可把所要求图形的面积转化为矩形，代入数据计算即可．【解答】解：根据正弦函数的对称性可得，曲线从x=到x=与x 轴围成的面积与从x=到x=与x 轴围成的面积相等，把x 轴下方的阴影部分补到x 轴上方函数y=3sin3x 的图象与函数y=2的图象围成一个封闭图形可转化为以3及为边长的矩形所求的面积S=3×=2π，故选：A9．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．（3，5）B ．（）C ．（）D ．（） 【考点】三角形中的几何计算．【分析】由△ABC 的三边长，根据余弦定理的推论得到△ABC 为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a 的取值范围．【解答】解：∵△ABC 三边长分别为1、2、a ， 且△ABC 为锐角三角形，当2为最大边时2≥a ，设2所对的角为α，根据余弦定理得：cos α=＞0，∵a ＞0， ∴a 2﹣3＞0，解得2≥a ＞；当a 为最大边时a ＞2，设a 所对的角为β，根据余弦定理得：cos β=＞0，∴5﹣a 2＞0，解得：2＜a ＜，综上，实数a 的取值范围为（，）．故选：B ．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=2，A=60°，若三角形两解，则b 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（1，） C ．（） D ．（2，）【考点】解三角形．【分析】△ABC 有两解时需要：bsinA ＜a ＜b ，代入数据，求出b 的范围． 【解答】解：由题意得，△ABC 有两解时需要：bsinA ＜a ＜b ，则bsin60°＜2＜b ，解得2＜b ＜；故选：D ．11．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0﹣9）中随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11（如果m+k≥11），若第6组中抽取的号码为52，则m为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】系统抽样方法．【分析】利用系统抽样，而第6组中抽取的号码为52，则k为6，再根据第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11，从而可得m的值．【解答】解：第6组中抽取的号码为52，∴k=6，∵第k组中抽取的号码的个位数为m+k﹣1或m+k﹣11，∴m+6﹣11=2或m+6﹣1=2，解得m=7或m=﹣3（舍），∴m=7．故选：B12．在等腰三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1] C．[，1]D．[0，1]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，分别求得A，B，C，E的坐标，再设M的坐标，求出向量ME，MC的坐标，再由数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法即可得到．【解答】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，0），E（，），设M（0，m），（0≤m≤1）．则=（，﹣m），=（1，﹣m），=﹣m（﹣m）=m2﹣m+=（m﹣）2+，由于∈[0，1]，则取得最小值，且为，当m=1时，取得最大值，且为1．则有•的取值范围是[，1]．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=3．【考点】向量的模．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．【解答】解：=9=9，∴||=3，故答案为：3．14．在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是从5个点取三个有C53种取法，要求三点能构成三角形不好判断，我们从它的对立事件来考虑，先观察出共线的点，用总事件数减去，最后用古典概型公式得到结果．【解答】解析：从5个点取三个有C53种取法，由已知：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）得A、C、E三点都在直线y=x上即三点共线，B、C、D三点都在直线y=﹣x+2上即三点共线，∴五点中任选三点能构成三角形的概率为故答案为：．15．已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，利用面积为原来三角形面积，可得长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC∵a，b，c为三角形的三边∴sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积，∴长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．故答案为：．16．若x是三角形内的一个最小角，则函数y=的取值范围．【考点】三角函数的最值．【分析】本题属于三角函数求值域类型．利用换元法设t=sinx+cosx，且求出t的范围，再利用对勾函数的性质得出y=在1＜t≤上为增函数．【解答】解：由题意知，x是三角形内的一个最小内角，∴0＜x≤60°令t=sinx+cosx，等式两边平方得：sinxcosx=∵t=sinx+cosx （0＜x≤60°）=sin（x+45°）∴1＜t≤∴y===∵在1＜t≤上是增函数∴y=的取值范围为（1，]故答案为：（1，]三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC18．某校高一年级抽出100名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图频率分布直方图，由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：（1）这100名学生数学成绩在[60，90]的人数约为多少人；（2）这100名学生成绩的众数与中位数；（3）这100名学生的平均成绩．（四舍五入保留1位小数）【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分别直方图，求出成绩在[60，90]的频率，即可求出对应的人数；（2）由众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由中位数是所有数据中的中间值，在频率分布直方图中是左右两边频数应相等，即频率也相等，即小矩形的面积和相等；在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求；（3）样本平均值是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．【解答】解：（1）根据频率分别直方图，学生数学成绩在[60，90]的频率为0.02×10+0.03×10+0.024×10=0.74，所求的学生人数约为100×0.74=74（人）；（2）由众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为=75；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等；∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7；（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可；∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．19．已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=•cos2x．（1）求函数f（x）的解析式及在[0，2π]的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的最值．【分析】（1）根据向量的数量积公式和两角和与差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，化简即可求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可求出答案，（2）根据正弦函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：（1）∵向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），∴函数f（x）=•cos2x=cos（2x+）+sin2x﹣cos2x=cos2x+sin2x+（1﹣cos2x）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）上单调递增，又x∈[0，2π]，∴f（x）在[0，]，[，]上单调递增；（2）由（1）可知，f（x）在[0，]上单调递增，∴f（0）=sin（﹣）+=0，f（）=sin（﹣）+=，∴当x∈[0，]时，函数f（x）的值域为[0，]．20．在如图所示的程序框图中，记所有的x的值组成的集合为A，由输出的数据y组成的集合为B．（1）分别写出集合A、B；（2）在集合A中任取一个元素a，在集合B中任取一个元素b，求所得的两数满足a＞b的概率．【考点】程序框图．【分析】（1）根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A和集合B即可；（2）先求出基本事件的总数，然后讨论满足“a＞b”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．【解答】解：（1）由框图可知A={2，6，8，10}，B={1，5，7，9}．（2）其中基本事件的总数为4×4=16，设两数中满足“a＞b”为事件E，当a=2时，b=1；当a=6时，b=1，5；当a=8时，b=1，5，7；当a=10时，b=1，5，7，9；事件E包含基本事件为11，则P（E）=．21．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．22．已知函数f（x）=4sin cos，其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）若ω＜4，将函数y=f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）的图象，且过P（），求g（x）的解析式；（3）在（2）问下，若函数g（x）在区间[a，b]（a、b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含20个零点，在所以满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间[﹣，]是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，结合已知中函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上单调递增，推出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．（2）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换g（x）=2sin（ωx+ω）+1，由g（x）的图象过P（），可解得ω=2k，k∈Z，结合范围0＜w＜4，可求ω，即可得解g（x）的解析式．（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求出x的值，可得b﹣a的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=4sin cos=2sinωx，由正弦函数的性质，在ω＞0时，当x=﹣，函数取得最小值，x=函数取得最大值，所以，区间[﹣，]是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上单调递增，则﹣≤，且≥，解得0＜ω≤，（2）∵由（1）可得：f（x）=2sinωx，∴将函数y=f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）=2sin（ωx+ω）+1的图象，∵g（x）的图象过P（），∴1=2sin（ω+ω）+1，可得：2sinω=0，解得：ω=kπ，k∈Z，即：ω=2k，k∈Z，∵0＜w＜4，∴ω=2，可得g（x）的解析式为：g（x）=2sin（2x+）+1．（3）∵g（x）=2sin（2x+）+1．∴g（x）的周期为T==π，在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少有20个零点，即sin（2x+）=﹣在[a，b]上至少有20个解．∴有2x+=2kπ﹣，或2x+=2kπ﹣，解得：x=kπ﹣，或x=kπ﹣，令k从0取到9，可得x的最小值为a=﹣，x的最大值b=，在所有满足上述条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为+=．2016年12月1日。
2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学等高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学、大连八中、二十四中等校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则下列结论正确的是（）A．﹣1∈A B．3∉B C．A∪B＝B D．A∩B＝B 2．（5分）已知复数z＝（）A．|z|＝2B．＝1﹣iC．z的实部为1D．z+1为纯虚数3．（5分）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A．①﹣综合法，②﹣分析法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法4．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（5，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数5．（5分）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于定义域内可导函数f（x），如果总有f′（x）＜0，那么f（x）在定义域内单调递减；因为函数f（x）＝满足在定义域内导数值恒负，所以，f（x）＝在定义域内单调递减，以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确7．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m＝4C．可以预测，当x＝11时，y＝2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）8．（5分）设函数f（x）＝（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（）A．|a|＝4B．a＝﹣4且b2+16c＞0C．a＜0且b2+4ac≤0D．以上说法都不对9．（5分）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2＝|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）A．|AB|2+|AC|2+|AD|2＝|BC|2+|CD|2+|BD|2B．S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB＝S2△BCDC．S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2D．|AB|2×|AC|2×|AD|2＝|BC|2×|CD|2×|BD|210．（5分）已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|＝，若|f[f（f（x，y））]|＝8，则|（x，y）|的值为（）A．4B．8C．16D．3211．（5分）已知函数f（x）＝，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f′（2016）+f（﹣2016）﹣f′（﹣2016）＝（）A．2016B．0C．1D．212．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f′（x）满足＞0，y＝关于直线x＝1对称，则不等式＜f（0）的解集是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形，它有一定的规律性，第2016个三角形与第2015个三角形的差为．14．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．（5分）正偶数列有一个有趣的现象：①2+4＝6②8+10+12＝14+16；③18+20+22+24＝26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第个等式中．16．（5分）若函数f（x）＝x4+2x3+4x2+cx的图象关于直线x＝m对称，则f（x）的最小值是．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知x为实数，复数z＝（x2+x﹣2）+（x2+3x+2）i．（Ⅰ）当x为何值时，复数z为纯虚数？（Ⅱ）当x＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝﹣mx+n上，其中mn＞0，求+的最小值及取得最值时的m、n值．18．（12分）我国人口老龄化问题已经开始凸显，只有逐步调整完善生育政策，才能促进人口长期均衡发展，十八届五中全会提出“二胎全面放开”政策．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，其中男女比例为3：2，被调查的男性公务员中，表示有意愿生二胎的占；被调查的女性公务员中表示有意愿要二胎的占．（1）根据调查情况完成下面2×2列联表（2）是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由：参考公式：K2＝．其中n＝a+b+c+d．临界值表19．（12分）设常数a∈R，函数f（x）＝（﹣x）|x|．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判断函数F（x）＝在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，P A、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC＝AB•DC；（2）已知PB＝2，P A＝3，求△ABC与△ACD的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学、大连八中、二十四中等校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵2x＞0，∴y＝2x﹣1＞﹣1，∴集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝（﹣1，+∞）．B＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则下列结论正确的是A∩B＝B．故选：D．2．【解答】解：z＝＝，∴z+1＝i为纯虚数．故选：D．3．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：A．4．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）经过点（5，），∴5α＝，∴α＝，∴f（x）＝，∴f（x）是非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：D．5．【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，可得f（2）＝f（0）＝0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．6．【解答】解：∵对于定义域内连续且可导函数f（x），如果总有f′（x）＜0，那么f（x）在定义域内单调递减，∴大前提错误，故选：A．7．【解答】解：＝＝9，∴＝﹣0.7×9+10.3＝4．∴，解得m＝5．故B选项错误．故选：B．8．【解答】解：设y＝ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．则，x1x2＝．∴|x1﹣x2|＝＝＝．由题意可得：，由＝，解得a＝﹣4．∴实数a，b，c满足a＝﹣4，△＝b2+16c＞0，故选：B．9．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD2＝S ABC2+S ACD2+S ADB2．故选：C．10．【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），∴f[f（f（x，y））]＝f（f（，））＝f（，）＝（，），∵定义|（x，y）|＝，若|f[f（f（x，y））]|＝8，∴|（，）|＝8，∴＝8，∴|（x，y）|的值为16，故选：C．11．【解答】解：f（x）＝＝1+，∴f′（x）＝，∵设h（x）＝∴h（﹣x）＝﹣h（x），∵f′（﹣x）＝f′（x），∴f′（﹣x）为偶函数，∴f（2016）+f′（2016）+f（﹣2016）﹣f′（﹣2016）＝1+h（2016）+1+h（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2，故选：D．12．【解答】解：令g（x）═，∴，∵＞0，当x＞1时，f′（x）﹣f（x）＞0则g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单增；当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0则g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单减；∵g（0）＝f（0），∴不等式＜f（0）即为不等式g（x2﹣x）＜g（0），∵y＝关于直线x＝1对称，∴0＜x2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜0或1＜x＜2故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：由已知中：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，…故a n＝1+2+3+…+n＝，∴第2016个三角形与第2015个三角形的差为2016．故答案为；2016．14．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）＝2x+a，为增函数，当x≤2时，函数f（x）＝+a2，为增函数，若f（x）的值域为R，则满足当x＞2时的范围小于或等于当x≤2时的最大值，即22+a≤（﹣2）+a2，即4+a≤+a2＝2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，得a≥2或a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）15．【解答】解：①2+4＝6；②8+10+12＝14+16；③18+20+22+24＝26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]＝2n2，当n＝31时，等式的首项为1922，所以2016在第31个等式中故答案为：31．16．【解答】解：一般地，四次函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（x﹣d）＝x4﹣（a+b+c+d）x3+mx2+nx+abcd的图象，关于直线x＝（a+b+c+d）对称，故函数f（x）＝x4+2x3+4x2+cx的图象关于直线x＝﹣对称，由函数解析式的常数项为0，可得函数有一零点为0，则﹣1也必为函数的一个零点，故c＝3，∴函数f（x）＝x4+2x3+4x2+3x＝（x2+x）（x2+x+3）＝[（x2+x）+]2﹣，由x2+x≥得：当x2+x＝，即x＝﹣时，函数取最小值﹣，故答案为：﹣．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（Ⅰ）复数z为纯虚数，∴，解得x＝1．（Ⅱ）当x＝0时，复数z（﹣2，2），复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝﹣mx+n上，∴2m+n＝2，∵mn＞0，∴+＝（+）（m+）＝当且仅当n2＝2m2等号成立，又2m+n＝2，∴m＝2﹣，n＝2﹣2．18．【解答】解：（1）∵某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，其中男女比例为3：2，被调查的男性公务员中，表示有意愿生二胎的占；被调查的女性公务员中表示有意愿要二胎的占．∴被调查的男性公务员，有60人，表示有意愿生二胎的占，有50人；被调查的女性公务员，40人，表示有意愿要二胎的占，有15人，2×2列联表（2）K2＝≈22.16＞6.635∴有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．19．【解答】解（1）当a＝1，时，f（x）＝（1﹣x）|x|＝；当x≥0时，f （x）在内是增函数，在内是减函数；x＜0时，f（x）在（﹣∞，0）内是减函数．综上所述，f（x）的单调递增区间，单调减区间为；（2）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1），解得a＝0；f（x）＝﹣x|x|，f[f（x）]＝x3|x|，即m＞对所有的x∈[﹣2，2]恒成立x2+1∈[1，5]；∴m＞20．【解答】解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）＝，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）＝在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）＝在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，x n∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．∵x1＞0，x2＞0，…，x n＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+x n．由（Ⅰ），知F（x）＝在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+x n），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+x n）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+x n），f（x3）＜f（x1+x2+…+x n），…f（x n）＜f（x1+x2+…+x n），以上n个不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．21．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）＝，∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）＝0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a＝0的判别式△＝4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2＝1，x1•x2＝＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）＝0，得a＝2x2﹣2x22，∴f（x2）＝x22﹣2x2+（2x2﹣2x22）lnx2，令F（t）＝t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F′（t）＝2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）＝，∴f（x2）＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（1）∵P A是⊙O的切线，由弦切角定理得∠P AB＝∠ADB，∵∠APB为△P AB与△P AD的公共角，∴△P AB∽△PDA，∴＝，同理＝，又P A＝PC，∴，∴AD•BC＝AB•DC；（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC＝π，∴S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，S△ADC＝AD•DC•sin∠ADC，∴＝＝＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．【解答】解：（1）∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2＝8x．（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2＝8x得3t2＝8（2+t），即3t2﹣16t﹣64＝0．设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。
辽宁省实验中学分校高一数学下学期期末考试试题
辽宁省实验中学分校2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一．选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）A.x y sin =B.x y sin 2=C.2cos xy = D.x y tan =2．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050==16，即每16人抽取一个人。
在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A ．39B ． 40C ．37D ． 383．已知2)tan(-=-απ，则αα22cos 2sin 1-=（ ）A ．2B ．52 C ． 25D ．3 4.设向量(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b →→==oooo,若()c a t b t R →→→=+∈,则2()c r 的最小值为A ．2 B.1 C.22D.215．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A ． 3,1- B . 2,2- C. 33,2- D. 32,2- 6.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）．A ．2B ．1C ． 3D ．4 7.已知31)6sin(=+απ，则)232cos(απ-的值等于（ ） A ．－59 B ．－79 C ．59 D ．798．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：(1)豆子落在红色区域概率为49； (2)豆子落在黄色区域概率为13；(3)豆子落在绿色区域概率为29； (4)豆子落在红色或绿色区域概率为13；(5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．若函数R x x x x f ∈+=,cos 3sin )(ωω，又0)(,2)(=-=βαf f ，且βα-的最小值为43π，则正数ω的值是（ ） A. 31 B. 23 C.34 D.32.10．设函数()sin +4f x x πωω=（）(>0)与函数()cos(2)(||)2g x x πφφ=+≤的对称轴完全相同，则φ的值为 A ．4πB ．4π-C ．2πD ．2π-11. 在ABC ∆中，点P 是AB 上一点，且2133CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r, Q 是BC 中点，AQ 与CP 交点为M ，又CP t CM =，则t 的值为（ ）A ．21 B ．32 C ．54 D ．4312. 在ABC ∆中，若23()5CA CB AB AB +⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r ,则tan tan AB的值( )3 D. 23第Ⅱ卷 （主观题，共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）13．已知,2.1cos cos ,4.0sin sin =+=+y x y x 则cos()x y -=14. 在2012～2013赛季NBA 季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：场次i 1 2 3 4 5 6 7 得分i x100104981059796100为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中x 是这7场比赛的平均得分)，输出的σ的值 = ．15．在ABC ∆中,2cos 22A b c c +=（c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），则cos 2A B+= 16.在ABC ∆中，①若A B >，则cos 2cos 2A B <；②tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ∆是锐角三角形； ③若ABC ∆是锐角三角形，则cos sin A B <； ④若,2)tan 1)(tan 1(=++B A 则42ππ+=+k B A .以上命题的正确的是__________________.三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）甲有大小相同的两张卡片，标有数字2,3；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1,2,3,4； （1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为奇数的概率：（2）甲乙分别取出一张卡，比较数字，数字大者获胜，求乙获胜的概率。
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一上学期期末数学试卷 含解析
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一（上）期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=｛2015，2016}，非空集合B满足A∪B=｛2015，2016｝,则满足条件的集合B 的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是( ）A．(1，2] B．(1，2) C．（2，+∞）D．(﹣∞，2）3．已知空间中两点A（1，2,3），B(4,2，a），且|AB｜=，则a=( )A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或44．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．56+12 B．60+12 C．30+6D．28+65．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=06．设a,b，c均为正数，且2a=，，，则（) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β,α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α,则m⊥β③若m⊥α,m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③8．函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪(1，+∞）,且f（x+1）为奇函数，当x＞1时,f（x)=2x2﹣12x+16,则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．59．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1)=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．410．过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=011．设f(x）是定义在R上的增函数,且对任意x，都有f（﹣x）+f（x)=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f(m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n)＜0,那么m2+n2的取值范围是（)A．（9，49） B．(13，49) C．(9，25) D．（3，7）12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．函数y=log a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1)的图象恒过定点P,P在幂函数f（x）的图象上，则f（3)= ．14．直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为．15．已知函数f(x）=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是．16．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．三、解答题（本大题共6小题,共70分。
2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题（解析版）
2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题（解析版）2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题一、选择题1．sin1470?=（）A.B. 12C. 12-D. 【答案】B【解析】()1sin1470sin 144030sin302?=+==，故选B. 2．设向量a 与b 的夹角为θ，且()()2,1,22,3a a b =-+=，则cos θ=（）A. 35-B. 35C.D. 【答案】A【解析】试题分析：因为()()224,2a b a b +-==，所以()2,1b = ，所以c o s 5a b a bθ?===-，故选A.【考点】1、平面向量的坐标运算；2、向量的夹角公式.3．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（） A. 16 B. 17 C. 18 D.19 【答案】C【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C ．【考点】系统抽样法4．已知，则（）A.B.C.【答案】C【解析】.5．已知下列命题：（）①向量a， b不共线，则向量a b +与向量a b -一定不共线②对任意向量a， b，则||a b a b -≥-恒成立③在同一平面内，对两两均不共线的向量a ， b ， c ，若给定单位向量b 和正数λ，总存在单位向量c 和实数μ，使得a c b λμ=+则正确的序号为（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①② 【答案】D【解析】对于①，假设向量a b +与向量a b -共线，故存在常数λ使得()a b a bλ+=-成立，即()()11a b λλ-=+ ，由于向量a， b 不共线，故10{ 10λλ-=+=无解，故假设不成立，即向量a b + 与向量a b -一定不共线，故①正确；2222cos a b a a b b θ-=-+，2222a b a a b b-=-+ ，由于2c o s 2a b a b θ-≥- ，故||a b a b -≥-恒成立，即②正确；对于③，取()4,4a = ，2λ=， ()1,0b = ，无论μ取何值，向量b μ 都平行于x 轴，而向量c λ的模恒等于2，要使a c b λμ=+成立，根据平行四边形法则，向量c λ 的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故③错误；故选D.6．已知,,O A B 三地在同一水平面内， A 地在O 地正东方向2km 处， B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A. 12-B. 2C. 1-D. 12【答案】A【解析】试题分析：如图,当点设在线段上测绘结果不准确,由于,因此,由于,所以,因此测绘时得到不准确数据的概率为,所以测绘时得到准确数据的概率为,应选A.【考点】几何概型的计算公式．【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解答时充分借助题设中提供的有效信息,以点为圆心半径为画圆,记交点为,从而将问题转化为求线段的长的问题.由于,点到的距离为,运用勾股定理求出了.然后依据题设求出得到准确数据的概率为.7．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（）A. 38m =， 12n =B. 26m =， 12n =C. 12m =， 12n =D. 24m =， 10n = 【答案】B【解析】试题分析：分析程序框图可知，n 为50名学生中成绩在[)80,+∞的人数，m 为50名学生中成绩在[)60,80的人数，而分析茎叶图即可知12n =， 26m =，故选B.【考点】1.统计的运用；2.程序框图．8．在ABC ?中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ，c .已知a b >， 5a =，6c =， 3sin 5B =，则sin 2A π?+= ??（）A.B. 45C.D.【答案】A【解析】在ABC 中，∵a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =，由已知及余弦定理，有22242cos 2536256135b ac ac B =+-=+-=，∴b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==sin cos 2A A π??+=== ??故选A.9．若将函数8sin2y x =的图像向左平移(0)??>个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则44cos sin ??+=（）A. 1B. 12C. 14D. 18【答案】A【解析】试题分析：将函数8sin2y x =的图像向左平移(0)??>个单位长度，得，由其图象关于原点对称得，即，当为偶数时，，当为奇数时，，故选A ．【考点】三角函数的图象变换．10．有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上，如图.设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】连结，，在中，，，∴，∴，，，令，则，，∴，令，则在上单调递增，∴当，即时，取得最大值，故选B.点睛：本题考查了函数模型的应用，考查函数最值的计算及其几何意义，属于中档题；连结，用表示出，，代入梯形面积公式即可得出，则，令，利用换元法求出的最值及对应的. 11．已知向量,,a b c满足2,3a b a b==?=，若()2203c a c b-?-=，则b c-的最小值是（）A. 2B. 2C. 1D. 2【答案】B【解析】试题分析：建立如所示的平面直角坐标系,则由题设得(()2,60,,24,03a b OM b OD a=====, 再由题设()2203c a c b-?-=可得点（向量c对应的点,其中）在以为直径的圆上,圆心坐标为,半径,向量b对应的点为,b c -的几何意义是圆上动点与点的连线段的最小值.由于,所以b c -的最小值为.【考点】向量的知识和综合运用．【易错点晴】本题以向量的坐标形式为背景，考查的是向量的有关知识在解题中的运用.解答本题的难点是搞清b c -的几何意义,也解答好本题的关键,求解时充分借助题设条件,将所提供的有效信息进行合理的分析和利用,最后使得问题化难为简避繁就简,体现数学中转化与化归数形结合的的数学思想的理解和巧妙运用.本题中的隐含信息()2203c a c b ??-?-= ??的利用是非常关键的.12．设ABC ?中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c o s c o s 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为（） A. 35 B. 13 C. 38 D. 34【答案】D【解析】∵3cos cos 5a Bb Ac -=，即3s i n c o ss i n c o s s i n 5A B B A C -=①∵[]s i n s i n s i n s i n c o s c o s s i nC A B A B A B A B π=-+=+=+（）（）②，将②代入①中，整理得s i nc o s4c o A B A B =，∴s i n s i n4c o s c o s A B A B =，即t a n4t a A B =；∵2t a n t a n3t a n 33t a n 11t a n t a n14t a n 44t a nt a nA B B A B A B B B B --====+++（），∴()tan A B -的最大值为34，故选D. 点睛：本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、两角差的正切公式、同角的三角函数的基本关系式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力；首先利用正弦定理化边为角，，然后利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得tan 4tan A B =，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可.。
辽宁省实验中学分校高一数学下学期期末考试试题
辽宁省实验中学分 校2014—2015学年度下学期期末考试数学学科 高一年级第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式2230x x -->的解集为 （ ）A ．3{|1}2x x x ><-或 B ．3{|1}2x x -<< C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x ><-或2．若2013321,,,x x x x 的方差为3，则)2(3),2(3),2(3),2(32013321----x x x x 的方差为 （ ）A ．3B ．9C ．18D ．273．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．2316D ．-23164．下表为某班5位同学身高x （单位：cm ）与体重y （单位kg ）的数据，若两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+，则a 的值为 （ ） A ．-122．2 B ．-121．04 C ．-91． D ．- 92．3 5．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720=S ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A ． ?6≥kB ． ?7≥kC ． ?8≥kD ． ?9≥k6．已知,x y 为正数，且2x y +=，则21x y+的最小值为 （ ）A ． 2B ．32+．2 D ．22- 7．已知向量)2,cos 3(α=→a 与向量)sin 4,3(α=→b 平行，则锐角α等于 （ ） A ．4π B ．6π C ．3π D ．125π8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为 （ ）A ．）（32sinπ+=x y B. ）（322sin2π+=x y C ．）（32sin π-=x y D.）（654sin 2π+=x y9．已知点(1,1)A =-、(1,2)B =、(3,2)C =-,则向量AB 在AC 方向上的正射影的数量为 （ ）A ．35-BC ．D ．3510．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且ab b a c ++=222222,则ABC ∆是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 11.已知354s i n )6co s (=+-απα则)67sin(πα+的值是( )A ． 532- B. 532 C ． 54- D. 5412．已知x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则32+++=x y x z 的最小值 （ ）A ．23-B ．13C ．136 D ．4第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
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绝密★启用前2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一下学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：132分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ )A ．B ．C ．D ．2、中，边的高为，若，，，，，则（ )A ．B ．C ．D ．3、从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ )A ．B ．C ．D ．4、已知函数（，，均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ )A ．<<B ．< <C ．<<D ．<<[]5、某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6、不等式的解集是（ )A ．B ．C ．D ．7、已知，则的值为（ )A ．B ．C ．D ．8、若满足约束条件则的最大值为（ )A ．B ．C ．D ．9、某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元)的数据如下表：若y 关于t 的线性回归方程为＝0.5t ＋a,则据此该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为（ )A ．6．6千元B ．6．5千元C ．6．7千元D ．6．8千元10、设且，则下列结论中正确的是（ )A ．B ．C ．D ．11、某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ )A ．k ＞4B ．k ＞5C ．k ＞6D ．k ＞712、若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为（)A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设为实数，若则的最大值是14、已知函数和的图象的对称轴完全相同。
若，则的取值范围是15、的内角的对边分别为，若，则等于16、设，向量且，则三、解答题（题型注释）17、已知函数，（Ⅰ)求的单调递增区间（Ⅱ)若对任意恒成立，求实数的取值范围18、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ)求角C的值；（Ⅱ)若，求的周长的取值范围．19、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之积不大于4的概率；（Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求的概率.20、（本小题满分12分)已知.（Ⅰ)求的值；（Ⅱ)求的值.21、沈阳统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)．（Ⅰ)求居民月收入在的频率；（Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（Ⅲ)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？22、已知两向量的夹角为，，（Ⅰ)求的值（Ⅱ)求向量夹角的余弦值。
参考答案1、D2、D3、C4、D5、B6、D7、A8、C9、D10、A11、A12、C13、14、15、16、217、（Ⅰ)（Ⅱ)18、（Ⅰ)（Ⅱ)19、（Ⅰ)（Ⅱ)20、（Ⅰ)（Ⅱ)21、（Ⅰ)0.15（Ⅱ)2400（Ⅲ)2522、（Ⅰ)7（Ⅱ)【解析】1、试题分析：因为将函数f（x)=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜)个单位后得到函数g（x)的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有，不妨，即g（x)在，取得最小值，sin（2×-2φ)=-1，此时φ=-，不合题意，，即g（x)在，取得最大值，sin（2×-2φ)=1，此时φ=，满足题意考点：函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换2、试题分析：由，，可知考点：平面向量基本定理3、试题分析：由题意得考点：几何概型4、试题分析：依题意得，函数f（x)的周期为π，∵ω＞0，∴ω=2．又∵当时，函数f（x)取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x)=Asin（2x+2kπ+)=Asin（2x+)．∴f（-2)=Asin（-4+)=Asin（-4+2π)＞0．f（2)=Asin（4+)＜0，f（0)=Asin=Asin＞0，又∵＞-4+2π＞＞，而f（x)=Asinx在区间（，)是单调递减的所以<<[]考点：三角函数的周期性及其求法5、试题分析：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P=考点：几何概型6、试题分析：且且，化简得解集为考点：分式不等式解法7、试题分析：考点：同角间三角函数关系8、试题分析：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大，由，得，即A（1，3)，故OA的斜率k=3考点：线性规划问题9、试题分析：，所以中心点为，代入回归方程得，代入得考点：线性回归方程10、试题分析：由同向不等式的可加性可知有考点：不等式性质11、试题分析：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4考点：程序框图12、试题分析：：∵样本数据，，，的标准差为8，∴即DX=64，数据，，，的方差为D（2X-1)=4DX=4×64，则对应的标准差为考点：极差、方差与标准差13、试题分析：∵∴令t=2x+y则y=t-2x∴即∴解得∴2x+y的最大值是考点：基本不等式14、试题分析：：∵函数和的图象的对称轴完全相同，∴由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x)的最小值为3sin（−)＝−，最大值为3sin＝3，所以f（x)的取值范围是考点：函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换15、试题分析：由余弦定理可得考点：余弦定理解三角形16、试题分析：由得考点：向量坐标运算17、试题分析：（Ⅰ)将函数式展开化简得，由此求解函数单调区间；（Ⅱ)将不等式化简后分离参数为，通过求解的最值得到实数的取值范围试题解析：（Ⅰ)因为所以的单调增区间为（Ⅱ)由题意，原不等式等价于，即恒成立令，时，的最大值为因此，考点：三角函数化简及单调性等性质；不等式与函数的转化18、试题分析：（I)由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；（II)利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出试题解析：（Ⅰ)由正弦定理得：∵，∴∴，∵∴（Ⅱ)由余弦定理得：则，又，，周长的取值范围为考点：余弦定理的应用19、试题分析：（1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2)有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做试题解析：（Ⅰ)从袋中随机取两球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个从袋中取出的球的编号之积不大于4的共有1和2，1和3，1和4，有3个……因此，所求事件的概率（Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，其一切可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个…………………………………………….8分满足条件的事件为，，，，，，共有6个因此，所求事件的概率考点：互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件20、试题分析：（Ⅰ)利用结合两角和的正弦公式求解；（Ⅱ)由已知求得的值，将展开求解试题解析：（Ⅰ)因为，所以，于是（Ⅱ)因为，故考点：两角和差的正余弦公式21、试题分析：（1)根据频率=小矩形的高×组距来求；（2)根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数；（3)求出月收入在[2500，3000)的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案试题解析：（Ⅰ)月收入在的频率为（Ⅱ)，，，所以，样本数据的中位数（元)；（3)居民月收入在的频率为，所以人中月收入在的人数为（人)，再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的这段应抽取人．考点：频率分布直方图22、试题分析：（Ⅰ)求向量的模时利用转化为向量运算求解；（Ⅱ)求向量夹角主要利用求解，本题中利用求解试题解析：（1)依题意，得=，7（Ⅱ)依题意，得考点：向量的模及夹角。