22_2第二型曲面积分

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数学分析22-2222 第二型曲面积分

R( i
,i
,
i
)( Si
) xy
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念
定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,
把Σ分成n块小曲面Si (Si 同时又表示第
i 块小曲面的面积),Si 在 xoy面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,
如果当各小块曲面的直径的最大值 0时,
n
lim
0
i 1
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ 上连续, 求在单位
时间内流向Σ 指定侧的流
体的质量.
o
y
x
v
A
n
0
如果流体流过平面上面积为 A 的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v 又设 n 为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为 A、斜高为|v| 的斜柱体
该ni0点处co曲s面i iΣ
的单位法向量
cos i j cos
i
k
,
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
vi niSi (i 1,2,, n).
2. 求和通过Σ 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i 1 n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
〖提示〗把Si 看成是一小块平面其法线向量为 ni 则通过Si 流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积
此斜柱体的斜高为|vi| 高为|vi|cos(vi^ni)vi·ni 体积为 vi·niSi

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)

的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分（2）由对称性知只需计算其中之一即可。由于
因此原积分＝3 × 8＝24。（3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向；其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向；其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分组成，其中面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积，而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为

22-3高斯公式与斯托克斯公式

七斯托克斯公式
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
(
P z
R x
1
Dxy
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z2( x, y)]dxdy,
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0.
3
于是 R( x, y, z)dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
四通量与散度
1) 通量的定义: 设有向量场
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
A
dS
A
n 0 dS
Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
一问题的提出
格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。
二高斯公式
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函
数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、R( x, y, z)在上具有
2. 是封闭曲面； 3. P,Q, R在上具有一阶连续偏导数.

22-2第二型曲面积分

D( xy )
π
2 2 d
1 r 3 cos sin
在 x 0 , y 0 部分并取球面
的外侧(图 22-6).
x
解曲面 S 在第一、五卦限部
分的方程分别为
z
S1
O
y
S2
图 22 6
S1 : z1 1 x2 y2 , S2 : z2 1 x2 y2 .
前页后页返回
它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象
3 （有向性）如果表示与有向光滑曲面取反向侧的
有向曲面,那么 Pdydz Pdydz

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三．第二型曲面积分的计算
定理22.2 设 R( x, y, z) 是定义在光滑曲面
z
S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
上的连续函数, 以 S 的上侧为正
S
前页后页返回
据此定义, 某流体以速度 v ( P, Q, R ) 从曲面S 的负侧流向正侧的总流量即为
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy.
S
又如, 若空间中的磁场强度为
E P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) ,
S
D( yz )
这里 S 是取法线方向与 x 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
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注2 当 Q( x, y, z)在光滑曲面
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)

-第二型曲面积分ppt课件

n {cos ,
cos,
cos} ，则
A( x, y,z)ndS (PcosQcos Rcos)dS
其中dS是曲面的面积元素。
记
dS
ndS
{cos
dS
,cosdS
,cos
dS
}{dy
dz,dz
dx,dx
dy}
，
称 dS 为曲面的面积微元向量。
则
AndS AdS PdydzQdzdx
Rdxdy
，
从而
AndS
Pdydz
Qdz
dx
Rdx
dy
。
A(x, y,z)ndS PdydzQdzdx Rdxdy
dydz 是 dS 在 yoz 面上的投影；dzdx 是 dS 在
zox 面上的投影；dxdy 是 dS 在 xoy 面上的投影。
它们的取值可正、可负、也可为零。如当 cos 0 时， dxdy 取正号；当 cos 0 时，dxdy 取负号。
))i
D
R(
xy
x,
y,z(
x,
y))dxdy
。
若取下侧，则cos i 0 ， i cos i Si ，
R( x, y,z)dxdy R( x, y,z( x, y))dxdy 。
Dxy
定理 2.1：设函数 R( x, y,z) 在有向光滑曲面： zz( x, y) ，
(x, y)Dxy 上连续，则有
x
6 ： z0 (0 xa, 0 ya) 的下侧；
I y( xz)dydz x2dzdx( y2 xz)dxdy
∵除 1 、 2 外，其余四片曲面在yoz 面上的投影均为零，

第二型曲面积分

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的计算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy

第二型曲面积分

D( xy )
类似地, 类似地,当 P ( x , y , z ) 在光滑曲面
S : x = x ( y , z ) , ( y , z ) ∈ D( yz )
上连续时, 上连续时,有
∫∫ P ( x , y , z )dydz = ∫∫ P ( x( y, z ), y, z )dydz .
S D( yz )
S Dzx
(4)
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧. 侧为正侧.
前页后页返回
例1 计算 ∫∫ xyzdxdy ,
S
z
其中 S 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 在 x ≥ 0 , y ≥ 0 部分并取球面的外侧( 的外侧(图 22-6). ) 在第一、解曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为
i =1 ||T ||→0 i =1
n
n
+Q(ξ i ,η i , ζ i )Si ( zx ) + R(ξ i ,ηi , ζ i )S i ( xy ) .
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第
前页后页返回
二型曲面积分. 二型曲面积分定义1 上的函数. 定义设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数对 S 作分割 T , 它把 S 分为 S1 , S 2 , L , S n , 分割 T 的细度为
前页后页返回
≥ 0, Si ( yz ) ≤ 0, ≥ 0, Si ( zx ) ≤ 0,
I = lim
n
Si 取前侧 , Si 取后侧; Si 取右侧 , Si 取左侧 .
)S i ( yz )
(ξ i ,η i , ζ i ) ∈ S i , i = 1, 2, L , n . 若

第二型曲面积分【高等数学PPT课件】

Σ
其中是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
y
原式 3 (z x)d x d y
x
Σ
的顶部
1 : z

a 2
(
x

a 2
,
y

a 2
)
取上侧

的底部
2
:
z

a 2
(
x

a 2
,
y

a 2
)
取下侧
(z x)d xdy]
2
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n

i1 Q(i ,i , i )(Si )zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上第二型曲面积分。
记作
dx
Pd y d z Qd z d x Rd x d y
Σ
dy dz
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;

n
{( x, y) x2 y2 R2 }
o y Dxy R
z d x d y R2 x2 y2dxdy
x

D
2
d
R
R2 r 2 rdr
0
0

2
[
1 3
(
R2

r
2
3
)
2
]0R
2 R3
3
例2. 计算 ( x d x d y
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y)

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其中 S 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用(轮换)对称性.
y
原式 3S (z x)d xd y
x
S 的顶部
S1
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
S 的底部
S2
:
z
Байду номын сангаас
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
S2 (z x)d xd y
( a x)d x dy Dxy 2
定义:
n
•
S
f (x, y, z)d S
lim
0 i1
f (i , i , i
) Si
• S P d y d z Q d z d x R d x d y
n
lim
0
P(i
i 1
, i
,
i
) Si
y
z
Q(i , i , i ) Si z x
R(i , i , i ) Si x y
n
lim
0
i 1
P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )zx
R(i ,i , i )(Si )xy
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
lim 0 i1
S Pcos Qcos Rcos d S
数学分析
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19
S Pdydz Qdzdx Rdxdy
分析: 若 S 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
S
数学分析
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5
对一般的有向曲面S , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
n
进行分析可得
E lim 0 i1
vi
ni Si
S
设 ni (cosi , cos i , cos i ), 则
第2节
第二型曲面积分
一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算四、两类曲面积分的联系
第22章
一、曲面的侧
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和外侧
数学分析
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
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2
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
数学分析
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n
E
lim
0
i 1
P(i
,i
,
i
)
cosi Q(i ,i , i R(i ,i , i )
) cos
cos
i
i Si
n
lim 0 i1
数学分析
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6
2. 定义. 设 S 为光滑的有向曲面, 在 S 上定义了一个
向量场 A (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), 若对S的任
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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10
说明: 如果积分曲面 S 取下侧, 则
S R(x, y, z)d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
•若
则有
S P(x, y, z)d ydz
Dyz
P(x(
y,
z)
,
y, z) d y d z
S
Dxy
（上侧取“+”, 下侧取“”)
类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .
数学分析
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28
思考与练习
1. 设
是平面
在第四卦限部分的上侧 , 计算
I S f (x, y, z) x dy dz
f (x, y, z) z dx dy
提示: 求出 S 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分
若记 S 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
数学分析
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20
例5. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
求E 通过球面 S : r = R 外侧的电通量 .
解: S E d S
S E nd S
S
q r3
r
rdS r
S
q r2
d
S
q R2
S
dS
q。
数学分析
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21
例6. 设夹成的锐角, 计算
解: I S z2 cos d S
3
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧内侧
• 设 S 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S )xy ,
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13
例2.计算I xd ydz ydzdx zdxd y,
z 1 (x2 y2 ), z 0 的上侧.
其中 :
z
解：
zdxd y
1 (x2 y2) dxd y
Dx y
2
d
1
(1
r
2
)
r
d
r
0
0
2
数学分析
oy x
: z 1 (x2 y2 ) 上侧
的面积为
则规定:
(S)xy
( )xy , ( )xy ,
0,
当cos 0时当cos 0时当cos 0时
类似可规定:
(S) yz , (S)zx
数学分析
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4
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 S 的流量E .
解: 利用两类曲面积分的联系, 有
S (z2 x)d y d z
S (z2 x) cos dS
S (z2 x)
cos d xd y cos
cos cos
oy x x 1 x2 y2 1 1 x2 y2
∴ 原式 = S ( z2 x) (x) z d x d y
数学分析
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7
S P d y d z 称为P 在有向曲面S上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面S上对 z, x 的曲面积分;
S Rd xd y 称为R 在有向曲面S上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 S 的流体的流量为
E S Pdy d z Qd z d x Rdx dy
取上侧,
S R(x, y, z)d xd y
R(x, y, z(x, y)) d x d y
Dxy n
证:
S R(x, y, z)d x d y
lim 0 i1
∵S 取上侧, (Si )xy ( i )xy
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
数学分析
第二类：有向投影
(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面
注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.
数学分析
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27
当
时，
f (x, y, z)d S
f (x, y, z(x, y))
1
zx2
z
2 y
d
x
d
y
S
Dxy
R(x, y, z)d x d y R(x, y, z(x, y)) d xd y
S Pcos Qcos Rcos d S
令 A (P, Q, R), n (cos , cos , cos )
dS n dS (dydz, dzdx, dxdy)
向量形式 S A d S S A nd S
An A n ( A 在 n 上的投影)
S An dS
数学分析
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xy ( 1 x2 y2 )d x d y Dx y
xy 1 x2 y2 d x d y
Dx y
z
2 xy 1 x2 y2 d x d y Dx y
S2
2 r 2 sin cos
Dxy
2 sin 2 d
1r3
1 r2 rd rd
1r2 dr
x
o
Dx y
1
S1
y
0
0
2 15
数学分析
1
2 dy
1 y2
1 y2 zdz
1
0
3
8
1
(1
y2
)
2
d
y
30
数学分析
2
1 y 1
Dyz
:
0
z
1
y
2
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