木工必会——圆周九等分画法
24.3.2等分圆周法
O
C
A
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正方形．
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正六角形．
探ห้องสมุดไป่ตู้新知
如何用等分圆周的方法画正多边形？ 其一：依次画出相等的中心角来等分圆． 其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上 依次截取等于该中心角所对弧的等弧， 于是得到圆的等分点．
巩固练习
课本第108页：练习1.
课堂小结
如何用等分圆周的方法画正多边形？ 其一：依次画出相等的中心角来等分圆． 其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上 依次截取等于该中心角所对弧的等弧， 于是得到圆的等分点．
测试作业
课本第108页：练习2（任选一个图案）．
九年级
上册
24.3 正多边形和圆（第2课时）
情境导入
借助圆画一个正多边形.
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
度量法： 用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． B
O A
C
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 尺规法： 用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径 （2 cm）的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可．
圆周及弧的实用精确等分
圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的[费马大定理的一个初等证明]的[试论作图题的重要性]一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的2n倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。
故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。
究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。
众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。
《一》：准备一个顶角为060、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为060，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。
我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。
《二》：准备一根已标记有n个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意n 边形，规定这个n边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。
《三》：将任意n边形套在等分工具锥上。
《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。
常用的几何图形画法
用圆弧连接两圆弧作图依据的是几何中两圆相切的基本关系。
圆与圆相切分为内切和外切。
作图步骤： 例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2) 连接圆弧的半径为R，试完成连接作图(外切)。
作图步骤： 例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2)连接圆弧的半径为R，试完成连接作图(内切)。
作图步骤： 例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2)连接圆弧的半径为R，试完成连接作图(与O1外切，O2内切)。
作图步骤：
3.用圆弧连接直线和圆弧 连接直线和圆弧的作图方法同前面介绍的两种连接情况类似，即分别按照连接直线和圆弧的方法求出圆心和切点，下面举例说明。
例：已知一直线和圆O1（半径R1）连接圆弧半径为R，试作出光滑连接（与圆切）。
连接作图的注意事项： 1.为能准确、迅速地绘制各种几何图形应熟练地掌握求圆心和切点的方法 2.为保证图线连接光滑作连接圆弧前应先用圆规试画，若有误差可适当调整圆心位置或连接圆弧半径大小
作图步骤如图示：
例：已知长轴AB、短轴CD，试用四心法作出椭圆。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
3—4 圆弧连接 从扳手的图形可以看出，圆弧连接的实质是几何要素间相切的关系。
02
圆弧连接的形式有：
用圆弧连接两已知直线 用圆弧连接两已知圆弧 用圆弧连接一直线和一圆弧
作图时需要解决的两个问题：
3—5平面图形的尺寸分析及画法
这一节将以前面所介绍的几何作图方法为基础，着重对平面图形中的尺寸和线段进行分析，目的在于确定绘制平面图形的步骤。 一、平面图形的尺寸分析 平面图形中的尺寸按其作用不同，分为定形尺寸和定位尺寸两大类。 1.定形尺寸 指确定平面图形上几何要素大小的尺 寸。如线段的长度（80）、半径（R18） 或直径（φ15）大小等。 2.定位尺寸 确定几何要素相对位置的尺寸。如图中 的70、50。 3.尺寸基准 定位尺寸的起点称为尺寸基准。 对平面图形而言，有长和宽两个不同 方向的基准。 通常以图形中的对称线、中心线以及 底线、边线作为尺寸基准。
九分割统合绘画法定（精）
九分割统合绘画这是日本森谷宽之独创的一种艺术治疗方法，其想法产生于1983年。
森谷对中井的“框格法”产生了很浓的兴趣，觉得通过画格子能对描画空间起到保护的作用，而且因为描画空间更具有层次性，能让缺乏描画意欲的人更容易下笔。
同时，森谷从偶然翻到的一本介绍曼陀罗的书中受到启发，曼陀罗特别是密教的金刚界曼陀罗是呈九分割的布局，因此想到了九分割统合绘画法。
九分割统合绘画的方法是：1、劳教人员在A4纸上画上框，再分成9个小方格。
2、顺时针或逆时针地用画、文字、图形或者记号等把自己头脑中的想法自由地表现在小方格里。
3、可以根据情况制定一个方向，比如说“我的过去”，“最近思考的事情”，“我喜欢和不喜欢的事情”等。
4、在治疗的初期，自我防卫比较强的阶段，有时会发生画不完9个小方格和情况。
可以适当地停止。
5、画完了以后，可以加上说明文字，并涂上彩色。
6、完成作品以后，尽量使得想法得到充分地展开。
7、让劳教人员给自己的作品加上标题。
8、把参加团体的劳教人员分成6人一个小组，分享、讨论。
操作步骤：1、治疗者当着来访者的面，在A4画纸上用水彩笔手画出边框，再把画面分割成3*3格（对团体实施时可通知事先印制好9个格子的纸）。
2、指示语：从右下角按逆时针顺序画到中心，或者从中心开始按顺时针画到右下角，这两种顺序都可以，请依顺序一格一格地把脑海中浮现的事物自由地画出来。
实在不能用图表达时，用文字，图形，符号也可以。
3、以上的指示方法是用不命题的自由联想法，依据实际情况，也可以应用在命题画上。
例如可以给出“我”“最近的一些想法”“我爱的和我厌恶的”一类的命题，要伺机而行。
例如，当治疗接近尾声，来访者开始回顾至今为止的整个过程时，就可指定“印象深刻的事”这个题目让来访作画。
4、在治疗关系还不够稳定的初期，有强烈焦虑的来访者和防备心强、缺乏幻想的来访者有可能不能画满九个格子，这时候可以告诉他们不画满也没关系（在治疗初期，或许有必要先用涂鸦法等唤醒来访者的潜意识，在来访者积累了一定的潜意识的意象后再操作本方法。
最新人教版初中数学九年级上册《24.3 正多边形和圆(第2课时)》精品教学课件
C
B
使∠BAO=∠CAO=30°．
探究新知
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、
正六边形吗？
A
A D
F E
B E
O
·
90°
C B
O
·
A
72°
C D
O D
·
60°
B C
探究新知
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O
·
B
C
只要作出已知⊙O的互相垂直 的直径即得圆内接正方形，再 过圆心作各边的垂线与⊙O相 交，或作各中心角的角平分线 与⊙O相交，即得圆接正八边 形，照此方法依次可作正十六 边形、正三十二边形、正六十
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.
巩固练习
画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正 五边形的各条对角线，画出一个五角星.
链接中考
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下 列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六 个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两 弧的一个交点；③连结OG． 问：OG的长是多少？ 大臣给出的正确答案应是（ D ）
探究新知
几种常见的正多边形
探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性， 所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
A
①用量角器度量，使
120 ° O
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板度量，
圆周及弧的实用精确等分
圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的［费马大定理的一个初等证明］的［试论作图题的重要性］一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的〃倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。
故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。
究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。
众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。
《一》：准备一个顶角为600、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为600，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。
我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。
《二》：准备一根已标记有几个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意几边形，规定这个几边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。
《三》：将任意八边形套在等分工具锥上。
《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。
《五》：将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意八边形。
第1章1.4.1.2等分圆周
1＇ 2＇ H M 3＇
1
2
3 4＇ 4 5＇ 5 6＇ 6 7＇ L 7 N
三、椭圆的画法
长轴AB 短轴CD 切点4
椭圆有两条相互垂直而且对称的轴，即长轴和短轴
F O4 E C 切点3
四圆心法 切点
A
O1
O
O3
B
切点2 切点1
D
O2
四、斜度和锥度
1、斜度 是指一直线相对于另一直线或一平面相对
30°
1﹕80
1﹕80
h=字体高度
h
四、斜度和锥度
1、斜度 是指一直线相对于另一直线或一平面相对
另一平面的倾斜程度。其间夹角用正切值来表示。
公式:斜度 = tan a = H/L = (H-h)/l 1 ：3
1
a
1 2 3
（3）. 斜度的画法
20
1：6
36
B K
1等分
A
6等分
C
80
12
2.锥度 是指正圆锥体底圆直径与锥高之比。
另一平面的倾斜程度。其间夹角用正切值来表示。
公式:斜度 = tan a = H/L = (H-h)/l 斜度的标注 1 ：n (H : L)
H H h
a
h
a
l L
四、斜度和锥度
1、斜度 是指一直线相对于另一直线或一平面相对
另一平面的倾斜程度。其间夹角用正切值来表示。
公式:斜度 = tan a = H/L = (H-h)/l 斜度的标注 1 ：n (H : L)
公式：锥度=2tan a =D/L =(D-d) / l
锥度符号 D-d d
D
15° l
2
L 1∶3 1∶3
关于圆周九等分的尺规作图技巧探究
关于圆周九等分的尺规作图技巧探究作者：贺健琪来源：《陕西教育·高教版》2012年第10期[摘要] 在《机械制图》的几何作图部分，圆周质数等分（7、9、11……）的尺规绘图技巧一直以来是几何作图的一个盲区，在普通《机械制图》教材中只介绍圆周五等分的尺规近似作图方法和技巧，受圆周五等分的尺规作图方法的启发，本人对圆周的质数等分的尺规作图技巧产生了浓厚的兴趣，借助AutoCAD软件，经过大量试验和实践，2011年发现了圆周7等分的比较精准的尺规作图方法，论文发表在《陕西教育》2011年第9期，之后着手开始寻找圆周9等分的作图技巧，现将具体等分方法演示如下。
[关键词] 圆周等分尺规作图技巧引言凡是参与绘制图样的工作人员和参与绘图教学的教师，在实际工作和教学过程中，经常会遇到将圆周等分的问题，特别是需要将圆周作质数等分（7、9、11……）的时候，离开了计算机和量角器，我们将感到无从下手，自从大量试验并总结出圆周7等分的作图技巧之后，我就坚信一定可以找到圆周9等分的作图技巧，试验的主要思路依然是：将圆周直径作等分，绘制某段圆弧或圆弧的弦长，在圆周上产生交点，求得正9边形的边长。
试验中不断出现误差、失败，再不断地进行修正、逼近，正是：功夫不负有心人，有付出就有回报，我终于找到了一种圆周9等分的简捷作图技巧，现将我发现的圆周9等分的尺规作图技巧及步骤演示如下：以和大家商榷！圆周九等分作图步骤1.如（图1.1）所示，绘制直径为200mm的圆，作圆周横向直径MN，过N点作射线并将其做九等分，求出MN的九分之一点F，A为圆周上象限点。
2.如（图1.2）所示，以点F为圆心、以FO为半径画圆，并与等分圆的圆周交于B点，则AB即为圆内接九边形的边长。
3.如（图1.3）所示，以AB为弦长在等分圆周上依次截出分点B、C、D、E、B1、C1、D1、E1，完成圆内接九边形。
4.验证：如（图1.4）所示，以上作图是用AutoCAD准确作图，对于直径为200mm的圆来说，最后一边EE1的长度为68.34mm，其余各边的长度为68.41mm，误差仅为0.07mm。
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木工必会——圆周九等分画法
一、找圆心（方法很多，暂举二法）
说明：辅助线划线略微看得见即可，目的是找到圆心。
方法1：在圆上画两条互相垂直的弦，再将另外两点连成一个直角三角形，那么斜边就是圆的直径。
斜边中点即为圆心。
方法2：两条弦的中垂线交点即为圆心；
二、直径九等分
1、绘制过圆心的水平直径MN;
2、过N点作射线并将其做九等分，求出直径MN的九分之一点F；
3、以点F为圆心，OF为半径画弧，并与等分圆的圆周交于B点，则AB即为等分圆内接九边形的边长。
4、以A为圆心，AB为半径画弧，与圆的交点即为等分点。
5、依次取点即可九等分。