高考数学每日一练(2)-人教版高三全册数学试题
高考数学一轮复习 基础题每日一练2(含解析)文
江西省吉安市永新县永新五中2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)02一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )．A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案 A2．若直线a ∥直线b ，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( )A ．一定平行B ．不平行C ．平行或相交D ．平行或在平面内解析 直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≤0，f x －3x >0，则f (2012)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3 解析： f (2012)＝f (2009)＝f (2006)＝……＝f (2)＝f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1. 答案： A4．给定函数①y ＝x12 ，②y ＝log 12 (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析： ①y ＝x 12 为增函数，排除A 、D ；④y ＝2x ＋1为增函数，排除C ，故选B.答案：B∵f (x )在[0,1]上单调递减，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75. 答案：B5.已知偶函数y ＝f (x )对任意实数x 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：由条件知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，∵f (x )为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35二．填空题。
高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第六周)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
每日一题 规X 练(第六周)星期一 2020年4月27日[题目1] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.星期二 2020年4月28日[题目2] 已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值． 解：(1)令n ＝1，则a 1－2a 2＋a 3＝0，得a 2＝5. 又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *)， 故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列． 所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. 于是b n ＝a 2n －1＝2·2n －1＋1＝2n＋1.(2)由(1)可知，b n ＝2n＋1.于是b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋n ＝2（1－2n）1－2＋n ＝2n ＋1＋n －2.令f (n )＝2n ＋1＋n －2，易知f (n )是关于n 的递增函数．又f (9)＝210＋9－2＝1031，f (10)＝211＋10－2＝2056. 故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值是10.星期三 2020年4月29日[题目3] 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．(1)求四棱锥P-ABCD 的体积； (2)求证：AG ∥平面PEC ； (3)求证：平面PCD ⊥平面PEC .(1)解：易知V 四棱锥P-ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×2×2×2＝83.(2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ， 则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ， 所以AG ∥平面PEC .(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG .易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AG ⊥平面PCD ，所以EF ⊥平面PCD . 又EF ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .星期四 2020年4月30日[题目4] 2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：(1)(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)因为K 2＝120×（60×20－20×20）280×40×80×40＝7.5＞6.635，所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关． (2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有6060＋20×4＝3(人)，女生有2060＋20×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．(ⅱ)设选取的3名男生分别为A ，B ，C ，1名女生为甲．从4人中随机选取2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，甲)，(B ，C )，(B ，甲)，(C ，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种情形．所以所求概率P ＝36＝12.星期五 2020年5月1日[题目5] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且|F 1F 2|＝2.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆的下顶点为B ，过右焦点F 2作与直线BF 2关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．解：(1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，e ＝c a ＝22，解之得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，直线l 与直线BF 2关于x 轴对称， 所以k l ＋k BF 2＝0.由(1)问的椭圆方程x 22＋y 2＝1，知F 2(1，0)，B (0，－1)．所以k BF 2＝－1－00－1＝1，从而k l ＝－1，所以直线l 的方程为y －0＝－1×(x －1)， 即x ＋y －1＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 22＋y 2＝1⇒3x 2－4x ＝0. 解得x ＝0或x ＝43.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 不妨设x 1＝0，x 2＝43.所以当x 1＝0时，y 1＝1；当x 2＝43时，y 2＝－13.所以M (0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13.因此|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＝423.设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝12 .故S △OMN ＝12·|MN |·d ＝12×423×12＝23.星期六 2020年5月2日[题目6] 已知函数f (x )＝x 2－a 2ln x 的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，某某数m 的取值X 围．解：(1)f (x )的定义域(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －a2x.因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 2－12ln x ，f ′(x )＝2x －12x＝（2x －1）（2x ＋1）2x.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)g (x )＝x 2－12ln x ＋12mx ，由g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2＋mx －12x ＝0，得x ＝－m ±m 2＋168，设x 0＝－m ＋m 2＋168，所以g (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数． 因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点， 所以g (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 由g (x )＞0，得12m ＞ln x2x－x .令h (x )＝ln x 2x －x ，则h ′(x )＝2－2ln x －4x24x 2. 当x ＞1时，h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减； 所以当x ＝1时，h (x )的最大值为－1， 所以m2≥－1，即m ≥－2. 所以实数m 的取值X 围是[－2，＋∞)．星期日 2020年5月3日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．以质点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ. (1)求曲线E 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：(1)E 的方程可化为ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3， 将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入得x 2＋3y 2＝3. 所以曲线E 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 过定点P (1，0)，将直线l 的参数方程代入曲线E 的方程得3t 2＋23t －4＝0.t 1＋t 2＝－233，t 1t 2＝－43. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2153. 2．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x |，g (x )＝m |x －3|.(1)若m ＝2，且f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)若当x ＞5时，函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方，某某数m 的取值X 围． 解：(1)当m ＝2时，f (x )－g (x )＝|x |－2|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －6，x ＜0，3x －6，0≤x ＜3，6－x ，x ≥3.若f (x )－g (x )≥0，解得2≤x ≤6，要使得函数f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，必须满足[a ，a ＋1]⊆[2，6]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤6，解得2≤a ≤5.所以实数a 的取值X 围是[2，5]．(2)当x ＞5时，若函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方， 即g (x )－f (x )＞0在(5，＋∞)上恒成立， 所以m |x －3|－|x |＞0，即m ＞|x ||x －3|恒成立．当x ＞5时，因为|x ||x －3|＝x x －3＝x －3＋3x －3＝1＋3x －3＜1＋35－3＝52，所以m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.。
高考数学每日一练(4)-人教版高三全册数学试题
高三数学每日一练（8）——集合（2）1．已知集合}2{<=x x A ，}012{>+=x xB ，则B A =（ ） A ．Φ B ．}21{<<-x xC ．}12{-<<-x xD ．12{<<-x x 或}2>x 2．[2014·某某高考]设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则)(B C A R ＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3) 3．设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于（ ）A ．{|1}x x ≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x <<4．已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则N M 为( )A ．()2,1B ．()+∞,1C ．[)+∞,2D ．[)+∞,15．(选做)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)高三数学每日一练（9）——导数（4）1．已知曲线1ln 342+-=x x y 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．212．设函数()f x 的导函数为()f x '，如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上,顶点坐标为 , 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值X 围是( ) A ．π(0,]3 B ．π2π(,]23 C ．ππ[,)32D ．π[,π)3 3．函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A ．)1(2-=x e y B ．1-=ex y C ．)1(-=x e y D ．e x y -=4．直线(1)y k x =+与曲线()ln f x x ax b =++相切于点(1,2)P ，则2a b +=．5．曲线：12323-+-=x x x y 的切线的斜率的最小值是。
(高考题 模拟题)高考数学 基础巩固练(二)理(含解析)-人教版高三全册数学试题
基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。
高考数学二轮复习 每日一题规范练(第四周)文-人教版高三全册数学试题
每日一题 规X 练(第四周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(导学号 55410158)(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，所以ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，故函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋38π，k ∈Z.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，取k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38π， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38π.由2k π＋π2＜2x －π4≤2k π＋32π，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 取k ＝0，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤38π，π2，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤3π8，π2. [题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，a 10＝4a 3，a 4＝3a 1＋7. (1)求通项公式a n ；(2)若b n ＝a n －2a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝4（a 1＋2d ），a 1＋3d ＝3a 1＋7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2(n ∈N *)． (2)b n ＝a n －2a n ＋2＝3n －2－23n＝3n －2－8n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1＋4＋7＋…＋3n －2)－(81＋82＋ (8)) ＝n （1＋3n －2）2－81－8(1－8n) ＝3n 2－n 2＋87(1－8n )．[题目3] (本小题满分12分)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．文理科是否获奖文科生理科生总计获奖 5 不获奖 总计(1)求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写题中的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？解：(1)a ＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(2)文科生人数为200×14＝50，获奖学生人数为200×(0.15＋0.05)＝40，故2×2列联表如下：文理科是否获奖文科生理科生总计获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 总计50150200因此K 2＝200（5×115－35×45）40×160×50×150＝256≈4.167＞3.841.所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．[题目4] (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .(1)求证：MN ∥平面PAB ； (2)求点M 到平面PAN 的距离．(1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，所以NH ∥AM 且NH ＝AM ， 所以四边形AMNH 为平行四边形， 所以MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)解：连接AC ，MC ，PM ，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h .由题意可得CD ＝22，AC ＝23，所以S △PAC ＝12PA ·AC ＝43，所以S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M PAC ＝V P AMC ，得13S △PAC ·h ＝13S △AMC ·PA ， 即43h ＝2×4，所以h ＝63， 所以点M 到平面PAN 的距离为63. [题目5] (本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1与抛物线y2＝－4x 的焦点重合，椭圆E 的离心率为22，过点M (m ，0)作斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于A 、C 两点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，且PA →·PC →为定值．(导学号 55410159) (1)求椭圆E 的方程； (2)求m 的值．解：(1)因为y 2＝－4x 的焦点为(－1，0)，所以c ＝1. 又因为e ＝22，所以a ＝2，b ＝1， 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，k 存在且不为零，设直线l 方程为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －m ）消y ，得(1＋2k 2)x 2－4mk 2x ＋2k 2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4mk 21＋2k 2，x 1x 2＝2m 2k 2－21＋2k 2.PA →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋k 2(x 1－m )(x 2－m )＝(1＋k 2)x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋mk 2(x 1＋x 2)＋2516＋k 2m 2＝（3m 2－5m －2）k 2－21＋2k 2＋2516. 因为PA →·PC →为定值，所以3m 2－5m －2＝－4，即3m 2－5m ＋2＝0， 所以m 1＝1，m 2＝23，此时点M (m ，0)在椭圆E 内部，故m 的值为1或23.[题目6] (本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝12x |x |.(1)求g (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)令F (x )＝x ·f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(3)若任意x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＞x 2，都有m [g (x 1)－g (x 2)]＞x 1f (x 1)－x 2f (x 2)恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)x ＜0时，g (x )＝－12x 2，g ′(x )＝－x ，故g (－1)＝－12，g ′(－1)＝1，故切线方程是y ＋12＝(x ＋1)，即x －y ＋12＝0.(2)F (x )＝x ln x －12x |x |＝x ln x －12x 2(x ＞0)，F ′(x )＝ln x －x ＋1，令t (x )＝F ′(x )＝ln x －x ＋1，则t ′(x )＝1x－1.令t ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，令g ′(x )＜0，解得x ＞1， 故F ′(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )≤F ′(1)＝0， 故F (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)已知可转化为x 1＞x 2≥1时，mg (x 1)－x 1f (x 1)≥mg (x 2)－x 2f (x 2)恒成立． 令h (x )＝mg (x )－xf (x )＝m2x 2－x ln x ，则h (x )为单调递增的函数，故h ′(x )＝mx －ln x －1≥0恒成立，即m ≥ln x ＋1x恒成立，令H (x )＝ln x ＋1x ，则H ′(x )＝－ln x x2，所以当x ∈[1，＋∞)时，H ′(x )≤0，H (x )单调递减，H (x )≤H (1)＝1，故m ≥1，实数m 的取值X 围是[1，＋∞)．[题目7] 请在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 1．(本小题满分10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求μ＝3x ＋y 的取值X围．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρ⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ所以圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－23x －2y ＝0.(2)由圆C 的方程x 2＋y 2－23x －2y ＝0，得(x －3)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心是(3，1)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t y ＝1＋12t ，代入μ＝3x ＋y ，得μ＝4－t ，又直线l 过C (3，1)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 故μ＝3x ＋y 的取值X 围是[2，6]．2．(本小题满分10分)设函数f (x )＝|2x －a |，g (x )＝x ＋2. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋f (－x )≤g (x )的解集； (2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中至少有一个不小于12.(1)解：当a ＝1时，|2x －1|＋|2x ＋1|≤x ＋2， ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－4x ≤x ＋2无解；⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜12，2≤x ＋2，解得0≤x ＜12； ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，4x ≤x ＋2，解得12≤x ≤23. 综上可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤23.(2)证明：(反证法)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12都小于12，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＜a －b ＜12，－12＜a ＋b ＜12，－12＜1－a ＜12，前两式相加得－12＜a ＜12与第三式12＜a ＜32矛盾．因此假设不成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中至少有一个不小于12.。
高考数学一轮复习 题组层级快练2(含解析)-人教版高三全册数学试题
题组层级快练(二)1．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b是无理数，则ab 是无理数”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B2．(2015·某某质检)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 答案 D解析 a ＝b ＝0是a ＝0，且b ＝0的意思，含有“且”“或”语句在否定时的规律是“且”变为“或”，“或”要变为“且”．3．“a >1”是“1a<1”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B4．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ab ＝0⇒/ a ＝0，但a ＝0⇒ab ＝0，因此，p 是q 的必要不充分条件，故选B. 5．(2013·某某)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分而不必要条件． 6．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.7．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0 B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y | C ．甲：xy ＝0 乙：x ，y 至少有一个为零 D ．甲：x <y 乙：x y<1 答案 B解析 选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0， 乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲/⇒乙，乙⇒甲． 选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x ，y 至少有一个为0或同号． 故甲⇒乙且乙/⇒甲．选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲/⇒乙． 8．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca＝k .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c .则q ：△ABC 是正三角形成立．反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝csin A .因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C.9．(2015·《高考调研》原创题)“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0，故选B.10．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝b|b |成立的充分条件为C 项．11．(2014·某某理)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y .(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．13．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．答案 必要不充分解析 可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是〈x 〉＝〈y 〉的必要不充分条件．14．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________． 答案 2解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝12×4×1＝2.15．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的________条件．答案 充分不必要解析 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x≥2x ·14x ＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋ax≥1，只需f (x )＝x ＋a x 的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x ＋a x的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．16．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围．答案 0<a ≤5－2解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②.由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.17．已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 答案 略 解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0. (用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看，故假设不成立． 从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0. 原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－b )＋f (－a )＝f (－a )＋f (－b )． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题．18．(2015·某某兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1)某某数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，某某数a 的取值X 围． 答案 (1){m |－14≤m <2}(2)(－∞，－14)∪(94，＋∞)解析 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值X 围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m |－14≤m <2}．(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.1．0＜x ＜2是不等式|x ＋1|＜3成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x ＋1|<3，得－4<x <2.2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )，知2α＝π3＋4k π(k ∈Z )，则cos2α＝cos π3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2k π±π3，即α＝k π±π6(k ∈Z )，故选A.3．(2015·某某一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由已知，a ＋b ＝(2,2＋m )．若m ＝－6，则a ＋b ＝(2，－4)，a ∥(a ＋b )成立；若a ∥(a ＋b )，则2－1＝m ＋22，m ＝－6，所以“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，选A. 4．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件，故选A.5．(2015·某某一模)以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 在等比数列中，若a 1>0，则由a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1.由“q >1”可推得“q >1或q <－1”成立，但是反之不成立，故“a 1<a 3”是“q >1”的必要而不充分条件，故选A.6．(2015·东北三省一模)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B 解析 ∵q ：3x ＋1<1，∴3x ＋1－1<0，∴2－xx ＋1<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B.7．已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题 B ．逆否命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题答案 D解析f′(x)＝e x－m≥0，∴m≤e x.又∵x>0，∴e x>1.∴m≤1，故原命题正确，因此选D.8．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题有________个．答案 2解析逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b且c＝d，则a＋c＝b＋d.逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.取a＝1，b＝2，c＝3，d＝2，则有a≠b或c≠d为真，但a＋c＝b＋d，知原命题为假；逆命题的真假不易判断，但否命题显然为真命题．根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题都是互为逆否关系，真假性相同，可知4个命题中的真命题有2个．9．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．答案－1解析由x2>1，得x<－1或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.。
高考数学 专题02 分段函数及其应用(第二季)压轴题必刷题 理-人教版高三全册数学试题
专题02分段函数及其应用第二季1．已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值X围是，故选A..2．设f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值X围是A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，)【答案】B3．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.4．已知函数，则函数的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.5．已知，若恰有两个根，，则的取值X围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1．不妨设x1＜x2，则x12=e=，令=t（t＞1），则x1=﹣，x2=lnt，∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣ =，∴当1＜t＜4时，g′（t）＞0，当t＞4时，g′（t）＜0，∴当t=4时，g（t）取得最大值g（4）=ln4﹣2=2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：C．6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是( )．A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C．∪D．∪【答案】B表示为区间形式即.本题选择B选项.7．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，有，所以在的图像与上的图像一致，故的图像如下图所示：因为直线与有两个不同的交点，故，选A．8．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B ＝( )A．16 B．－16C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16【答案】B【解析】令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．9．若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.10．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（）个①的定义域为；②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．11．已知函数，若，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，即；当时0，即；当时，由图可知；综上的取值X围是，选D．12．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，则，得，结合图象可知，则，故选C．13．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】14．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数的图像与轴有个不同的交点，则方程有三个根，故函数与的图象有三个交点．由于函数，则其图象如图所示，从图象可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，设图中切点的坐标为，则斜率，又满足：，解得，∴斜率，故选B．15．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.16．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值X围是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C. 17．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知，且，，，因为所以当时，函数等号成立，又因为在递减，在递增，所以，所以的取值X围是，故选D.18．著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.现有如下四个命题：①；②函数为奇函数；③，恒有；④，恒有. 其中真命题的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，时，，，故①错误；对于②，时，，时，，不是奇函数，故②错误；对③，时，，，时，，，故③正确.对④，时，，，④错误，故真命题个数为，故选A.19．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B20．设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值X围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值X围为. 故选D.。
高考数学 专题2.4 导数的应用(二)同步单元双基双测(B卷)文-人教版高三全册数学试题
专题2.4 导数的应用（二）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( ) A ．eB.e C ．e 2D ．2 【答案】A考点：导数的几何意义2. 已知函数y =2x 3＋ax 2＋36x －24在x =2处有极值，则该函数的一个递增区间是 A.(2，3)B.(3，＋∞)C.(2,＋∞)D.(－∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数，可导函数f ′(x )=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y ′=6x 2＋2ax ＋36.∵函数在x =2处有极值，∴y ′|x =2=24＋4a ＋36=0，即－4a =60.∴a =－15. ∴y ′=6x 2－30x ＋36=6(x 2－5x ＋6)=6(x －2)(x －3). 由y ′=6(x －2)(x －3)＞0，得x ＜2或x ＞3. 考点：导数与函数的单调性。
3.如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=（ ）A ．23 B ．43 C ．83 D ．123【来源】【百强校】2015-2016学年某某某某高级中学高二下期期末理数学试卷（带解析） 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象()0f x =的根为0,1,2，求出函数的解析式，再利用12,x x 是方程23620x x -+=的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.4.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解，则实数m 的最小值为（ ） A.1ln22 B. 1ln33 C. 1ln23 D. 1ln32【来源】【全国校级联考】某某省百校联盟2018届高三九月联考数学（文）试题 【答案】A【解析】由ln mx x <，得：ln m x x <,令()ln g x x x =，∴()21ln g?xx x -=，()g?0,x <得到减区间为()e ∞+，；()g?0,x >得到增区间为()0e ，，∴()max 1g x e =，()1g 2ln22=，()1g 3ln33=，且()()g 2g 3<,∴要使不等式ln mx x <有唯一整数解，实数m 应满足11ln2m ln323≤<,∴实数m 的最小值为1ln22.故选：A点睛：不等式ln mx x <有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察y m =与()ln g xx x=的图象的高低关系，只要保证y m =上方只有一个整数满足ln m xx<即可. 5.若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值X 围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国市级联考】2018黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题 【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞（，），由()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =， 故选C.点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义，()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设函数()ln g x x x =，利用导数研究函数的极值即可得到结论.6.对任意x ∈R，函数f (x )的导数存在，若f′(x )＞f(x)且 a ＞0，则以下正确的是（ ▲） A ．)0()(f e a f a⋅> B ．)0()(f e a f a⋅< C ．)0()(f a f > D ．)0()(f a f < 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x e x f x g =，那么()()()()02>-'='x xx ee xf e x f xg ，所以()x g 是单调递增函数，那么当0>a 时，()()0g a g >，即()()0f ea f a>，即)0()(f e a f a⋅< 考点：根据函数的单调性比较大小7. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2) C . (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 【答案】D 【解析】故选D考点：利用导数求不等式的解集。
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高三数学每日一练（22）——值域（2）1．若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]2. 函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( )A. 45B. 54C. 34D. 433．[2015·某某某某模拟]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．4．规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________． 5．函数f (x )＝x 2＋x －14.（1）若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；（2）若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．高三数学每日一练（23）——值域（3）1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈ [a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[－1，0]2．已知函数()()21,43,xf x eg x x x =-=-+- 若存在()()f a g b =，则实数b 的取值X围为（ ）A ．[]1,3B ．()1,3C ．22⎡+⎣D ．(23．若函数y ＝kx 2－6kx ＋（k ＋8）的值域为[0，＋∞)，则k 的取值X 围是_______ 4．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数y ＝f (x 2－2)的值域．5．已知函数f (x )的值域为[38，49]，求函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）的值域．高三数学每日一练（24）——单调性（1）1．下列函数中，既是偶函数又是在区间(,0)-∞上单调递增的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C ．tan y x =D ．2xy -=2．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x＋sin x ，则( )A ．f (1)＜f (2)＜f (3)B ．f (2)＜f (3)＜f (1)C ．f (3)＜f (2)＜f (1)D ．f (3)＜f (1)＜f (2)3．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f (3x －2)<f (1)，则实数x 的取值X 围是( )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞) 4．函数f (x )＝log 12(－x 2＋2x ＋3)的增区间为( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C．(－∞，1) D ．(1,3)5．已知函数3)3()(2+++=x k kx x f 其中k 为常数，且满足3)2(=f （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求函数)(x f 在[]4,1-上的最大值和最小值；（3）设函数mx x f x g -=)()(，若)(x g 在区间[]2,2-上是单调函数，某某数m 的取值X 围；高三数学每日一练（25）——单调性（2）1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定 ( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2] D ．[138，2) 3．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值X 围是 ( )A ．m >－2 2B ．m ≥－22C ．m <2 2D ．m ≤2 24．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．5．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.（1）求f (1)的值；（2）判断f (x )的单调性并证明；（3）若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜2.高三数学每日一练（26）——单调性（3）1．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A ．14B ．12C ．22D ．322．(2015·某某调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －10x ≤2log 3x －1－6x ＞2若f (6－a 2)＞f (5a )，则实数a 的取值X 围是__________．4．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x ⋅+⋅>⋅+⋅，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数：①2y x =；②1xy e =+；③2sin y x x =-；④()ln ,01,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为_________（把所有正确命题的序号都填上）. 5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.（1）求f (1)的值；（2）证明：f (x )为单调递减函数；（3）若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．高三数学每日一练（27）——单调性（4）1．若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(xa f x g = (0<a <1)的单调递减区间是( )A ．[]0,3log a ，[)+∞,1 B ．(]),0[,3log ,+∞∞-a C ．[]a a ,3D ．[]1,3log a 2．已知)(x f 在R 上是增函数，且对任意R x ∈，都有[]43)(=-xx f f ，则=)(x f 283．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=)1(4)1()21()(x xa x a x f x 是R 上的增函数，则a 的取值X 围是．4．已知定义域为R 的偶函数()x f 在(]0,∞-上是减函数,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,则不等式()22>x f 的解集为____.5．（2015某某市七校联考）已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，某某数a 的取值X 围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值X 围．高三数学每日一练（28）——奇偶性（1）1．同时满足两个条件：（1）定义域内是减函数；（2）定义域内是奇函数的函数是（ ）A ．()x x x f -=B ．()x x x f 1+= C ．()x x f tan = D ．()xx x f ln = 2．(2015·某某统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )．则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )3．(2015·某某调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A ．23B ．－23C ．43D ．－434．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5． (2014·某某模拟)已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，在[0,1]上f (x )＝2x＋ln(x ＋1)－1.（1）求函数f (x )的解析式，并判断f (x )在[－1,1]上的单调性(不要求证明)． （2）解不等式f (2x －1)＋f (1－x 2)≥0.高三数学每日一练（22）BD 3．(－∞，1] 4．(2，＋∞) 5．∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]，即[－14，474]．(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.高三数学每日一练（23） BD 3．[1，＋∞)4．(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．5．解：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f （x ）≤12，令t ＝1－2f （x ），则f (x )＝12(1－t 2)，令y ＝g (x )，∴y ＝－12(t 2－1)＋t .∴当t ＝13时，y 有最小值79，当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78. 高三数学每日一练（24）—— DDBD5．解：（1）32)(,12++-=-=x x x f k （2）5)(,4)(min max -==x f x f （3）62≥-≤m m 或 高三数学每日一练（25）——DBB 4．35．解析：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0.(2)设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，∴f (36)＝2.原不等式化为：f (x 2＋3x )＜f (36)，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1x ＞0，x 2＋3x ＜36，解得0＜x ＜317－32.高三数学每日一练（26）——CC 3．－6＜a ＜1 4．②③5．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2. 高三数学每日一练（27）——B 2．28 3．[)0,1- 4．),1(+∞-5．（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,11,12)(2x x x x f当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x当1-<x 时，1)(=x f 恒成立，∴方程的解集为1|{-≤x x 或}1=x ．（2）⎩⎨⎧<-+≥++-=a x ax a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2若)(x f 在R 上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0141a aa ，解得31≥a ，（3）设)32()()(--=x x f x g ，则⎩⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a ax a x a x x g 3)1(,3)3(2)(2即不等式0)(≥x g 对一切实数R x ∈恒成立， ∵1<a ，∴当a x <时，)(x g 单调递减，其值域为),32(2∞++-a a ， ∵22)1(3222≥+-=+-a a a ，∴0)(≥x g 恒成立， 当a x ≥时，∵1<a ，∴43+<a a ， ∴08)3(3)43()(2min≥+-+=+=a a a g x g ，得53≤≤-a ，∵1<a ，∴13<≤-a ，高三数学每日一练（28）——ACCC5．[解析] (1)设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， 所以f (－x )＝2－x＋ln(1－x )－1＝12x ＋ln(1－x )－1，又f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (x )＝－f (－x )＝－12x －ln(1－x )＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －ln 1－x ＋1，－1≤x <0，2x ＋ln x ＋1－1，0≤x ≤1，f (x )是[－1,1]上的增函数．(2)∵f (2x －1)＋f (1－x 2)≥0，f (x )为奇函数，∴f (2x －1)≥f (x 2－1)， ∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x －1≤1，－1≤x 2－1≤1，2x －1≥x 2－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，－1≤x ≤1，0≤x ≤2.∴0≤x ≤1.∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤1}．。