高三数学一轮复习每日一练10(解析版)
最新高考数学一轮复习-第三周-每日一练【含答案】
第三周[周一]1．(2023·长春模拟)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i3＋i a 等于()A ．－3 B.13C ．3D ．－13答案A 解析因为a －i 3＋i ＝(a －i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3a －1－(a ＋3)i 10＝3a －110－a ＋310i 为实数，则－a ＋310＝0，即a ＋3＝0，所以a ＝－3.2．(2023·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3－12sin x ，若θa ＝f ((cos θ)sin θ)，b ＝f ((sin θ)sin θ)，c＝－fa ，b ，c 的大小关系为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案A解析因为f (－x )＝(－x )3－12sin(－x )3－12sin f (x )，所以f (x )在R 上是奇函数．所以c ＝－f f 对f (x )＝x 3－12sin x 求导得，f ′(x )＝3x 2－12cos x ，令g (x )＝3x 2－12cos x ，则g ′(x )＝6x ＋12sin x ，当12<x <1时，g ′(x )>0，所以g (x )则当12<x <1时，g (x )>＝34－12cos 12>34－12×1>0，即f ′(x )>0，所以f (x )因为θ所以cos θ>12>sin θ，因为y ＝xsin θ(0，＋∞)上单调递增，所以(cos θ)sin θ>(sin θ)sin θ.令h (x )＝x ln x ＋ln 2，则h ′(x )＝ln x ＋1，所以当0<x <1e 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x >1e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h (x )≥＝1e ln 1e ＋ln 2＝ln 2－1e ，而2e >e ，即2>1ee ，所以ln 2>1e ，即ln 2－1e >0.所以x ln x >－ln 2，即x x >12，则(sin θ)sin θ>12，所以(cos θ)sin θ>(sin θ)sin θ>12且(cos θ)sin θ<1，所以f ((cos θ)sin θ)>f ((sinθ)sin θ)>即a >b >c .3．(多选)(2023·锦州模拟)如果有限数列{a n }满足a i ＝a n －i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则称其为“对称数列”，设{b n }是项数为2k －1(k ∈N *)的“对称数列”，其中b k ，b k ＋1，…，b 2k －1是首项为50，公差为－4的等差数列，则()A ．若k ＝10，则b 1＝10B ．若k ＝10，则{b n }所有项的和为590C．当k＝13时，{b n}所有项的和最大D．{b n}所有项的和可能为0答案BC解析{b n}的和S2k－1＝50k－k(k－1)2×4×2－50＝－4k2＋104k－50＝－4(k－13)2＋626，对于选项A，k＝10，则b1＝b19＝50－4×9＝14，故A错误；对于选项B，k＝10，则所有项的和为－4×9＋626＝590，故B正确；对于选项C，{b n}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626，当k＝13时，和最大，故C正确；对于选项D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程无正整数解，故D错误．4．(2023·大连模拟)甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，k(0<m<n<k)的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了N(N≥2)次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么N＝________.答案5解析N次游戏所取卡片数字总和为N(m＋n＋k)＝22＋9＋9＝40，又m＋n＋k≥1＋2＋3＝6，且m＋n＋k为40的因数，所以(m＋n＋k)min＝8，且N＝2,4,5.当N＝2时，m＋n＋k＝20，因为丙得9粒石子，则k≤8，所以甲得石子数小于16，不符合题意；当N＝4时，m＋n＋k＝10，因为丙得9粒石子，则k≤6，为了使甲获得石子数最多，k＝6，m＝1，n＝3，此时甲最多得21粒石子，不符合题意；当N＝5时，m＋n＋k＝8，因为丙得9粒石子，则k≤5，为了使甲获得石子数最多，k＝5，m＝1，n＝2，此时甲最多得22粒石子，甲、乙、丙三人每次得石子数如表所示，第1次第2次第3次第4次第5次甲55552乙22221丙11115故做了5次游戏，N＝5.5．(2023·大连模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bc(1＋cos A)＝4a2.(1)证明：b＋c＝3a；(2)若a＝2，cos A＝79，角B的角平分线与边AC交于点D，求BD的长．(1)证明因为bc (1＋cos A )＝4a 2，所以4a 2，所以bc ＋b 2＋c 2－a 22＝4a 2，即(b ＋c )2＝9a 2，所以b ＋c ＝3a .(2)解如图，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22＝b 2＋c 2－2bc ·79＝(b ＋c )2－2bc －149bc ，又b ＋c ＝3a ＝6，所以bc ＝9，b ＝c ＝3，由角平分线定理可得AB BC ＝AD DC ＝32，所以AD ＝35×3＝95，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＋32－2×953×79，所以BD ＝465.[周二]1．(2023·娄底模拟)某地春节联欢晚会以“欢乐中国年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为()A ．48B ．72C ．120D ．240答案C解析若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有A 22·A 44＝48(种)不同的分配方法，若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有A 33·A 24＝72(种)不同的分配方法，综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法．2．(2023·保山模拟)折纸艺术起源于中国．折纸艺术是用一张完整的纸用折叠的方法而成就的各种人物、动物或草木的形态的方法．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动．现有一张半径为6，圆心为O 的圆形纸片，在圆内选定一点P 且|OP |＝4，将圆翻折一角，使圆周正好过点P ，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O ，P 两点距离之和最小的点为M ，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点M 的轨迹为曲线C ，在C 上任取一点Q ，则△QOP 面积的最大值是()A ．22B ．25C ．23D ．4答案B解析如图所示，设折痕为直线l ，点P 与P ′关于折痕对称，l ∩OP ′＝M ，在l 上任取一点B ，由垂直平分线的性质可知|PB |＋|BO |＝|BP ′|＋|BO |≥|OM |＋|MP ′|＝|OP ′|，当且仅当M ，B 重合时取等号．即折痕上到O ，P 两点距离之和最小的点为M ，且|PM |＋|MO |＝|OP ′|＝6>|OP |＝4.故M 的轨迹是以O ，P 为焦点，且长轴长为2a ＝6的椭圆，焦距2c ＝|OP |＝4，c ＝2，故短半轴长b ＝5，所以当Q 为椭圆上(下)顶点时，△QOP 的面积最大，最大值为12×2c ×b ＝2 5.3．(多选)(2023·湛江模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点A (x 1，y 1)为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B (x 2，0)，则下列结论正确的有()A ．0<x 2<aB ．∠F 1AB ＝∠F 2ABC ．x 1x 2＝abD ．若cos ∠F 1AF 2＝13，且F 1B —→＝3BF 2—→，则双曲线C 的离心率e ＝2答案AB解析由x 2a 2－y 2b2＝1，得y ＝b 2a2x 2－b 2(x >a )，所以y ′＝b 2a 2x b 2a2x 2－b 2，则在点A (x 1，y 1)处的切线斜率为y ′＝b 2a 2x 1b 2a 2x 21－b 2＝b 2x 1a 2y 1，所以在点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －y 1＝b 2x 1a 2y 1(x －x 1)，又x 21a 2－y 21b 2＝1，化简得切线方程为x 1x a 2－y 1yb 2＝1，所以x 1x 2a 2－y 1×0b2＝1，所以x 1x 2＝a 2，故C 错误；由x 1x 2＝a 2，得x 2＝a 2x 1，又x 1>a ，所以0<x 2<a ，故A正确；由F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，得|F 1B |＝a 2x 1＋c ，|BF 2|＝c －a 2x 1，故|F 1B ||BF 2|＝a 2x 1＋cc －a 2x 1＝cx 1＋a 2cx 1－a 2，由x 21a 2－y 21b 2＝1，得y 21＝b 2x 21a 2－b 2，所以|AF 1|＝(x 1＋c )2＋y 21＝(x 1＋c )2＋b2x 21a2－b 2＝c 2a2x 21＋2cx 1＋a 2＝cax 1＋a ，所以|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝cax 1－a ，所以|AF 1||AF 2|＝ca x 1＋aca x 1－a ＝cx 1＋a 2cx 1－a 2＝|F 1B ||BF 2|，设点A 到x 轴的距离为h ，则1AF B S △＝12|F 1B |h＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ，2AF B S △＝12|F 2B |h＝12|AF 2||AB |sin ∠F 2AB ，12AF BAF BS S △△＝|F 1B ||F 2B |＝|AF 1|sin ∠F 1AB|AF 2|sin ∠F 2AB，又|AF 1||AF 2|＝|F 1B ||BF 2|，所以∠F 1AB ＝∠F 2AB ，故B 正确；由上可得F 1B —→c ，BF 2—→－a 2x 1，因为F 1B →＝3BF 2—→，则a2x 1＋c ＝得x 1＝2a 2c，|AF 1|＝c a x 1＋a ＝c a ×2a 2c ＋a ＝3a ，|AF 2|＝c a x 1－a ＝c a ×2a 2c －a ＝a ，所以cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝9a 2＋a 2－4c 26a 2＝53－23e 2＝13，解得e ＝2，故D 错误．4．(2023·白山模拟)在正四棱锥S －ABCD 中，M 为SC 的中点，过AM 作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V2V 1的最大值是________．答案2解析记正四棱锥S －ABCD 的体积为V ，求V2V 1的最大值，由V 1＋V 2＝V 为定值知，只需求V 1的最小值，设过AM 的截面分别交SB 和SD 于E ，F ，平面SAC 与平面SBD 的交线为SO ，SO 与AM 相交于G ，如图，则SG ＝23SO ，令SE SB ＝x ，SFSD ＝y ，则SG →＝13(SD →＋SB →)＝13x SE →＋13y SF →，即有13x ＋13y＝1，V 1＝V S －AFM ＋V S －AEM ＝V F －SAM ＋V E －SAM ＝SF SD ·V D －SAM ＋SESB·V B －SAM ＝y ·12V D －SAC ＋x ·12V B －SAC＝V4(x ＋y )＝V4(x ＋y＋y x ＋≥V 3，当且仅当x ＝y ＝23时取等号，此时V 2V 1＝V －V 1V 1＝VV 1－1≤V V 3－1＝2，所以V 2V 1的最大值是2.5．(2023·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和T n .1b 1，a 1b 2，a 1b 3，…，a 12b 1，a 2b 2，a 2b 3，…，a 23b 1，a 3b 2，a 3b 3，…，a 3…n b 1，a n b 2，a n b 3，…，a n 解(1)因为S n ＝2n ＋1－2，当n ＝1时，S 1＝22－2＝2，即a 1＝2，当n ≥2时，S n －1＝2n －2，所以S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)，即a n ＝2n ，经检验，当n ＝1时，a n ＝2n 也成立，所以a n ＝2n ，则b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n .(2)由数阵可知T n ＝a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n )＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )，因为S n ＝2n ＋1－2，b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋2＋…＋n ＝n (1＋n )2＝n 2＋n2，所以T n ＝(2n ＋1－2)·n 2＋n 2＝(2n －1)·(n 2＋n )．[周三]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＋B ＝2π3，a ＝23，c ＝5，则sin A等于()A.45B.35C.34D.23答案B解析因为A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即23sin A ＝5sin π3，所以sin A ＝35.2．已知A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若OP →＝mAP →＋(2m －3)OB →(m ∈R )，则|PB →||PA →|等于()A ．2 B.12C ．3D.13答案A 解析∵AP →＝OP →－OA →，OP →＝mAP →＋(2m －3)OB →＝m (OP →－OA →)＋(2m －3)OB →，整理得(m －1)OP →＝mOA →＋(3－2m )OB →，当m ＝1时，0＝OA →＋OB →显然不成立，故m ≠1，∴OP →＝m m －1OA →＋3－2m m －1OB →，∵A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，∴m m －1＋3－2m m －1＝1，解得m ＝2，∴OP →＝2OA →－OB →，设PB →＝λPA →，λ≠1，∴OB →－OP →＝λ(OA →－OP →)，∴OP →＝λλ－1OA →－1λ－1OB →，∴λλ－1＝2，解得λ＝2，即|PB →||PA →|＝2.3．(多选)(2023·保山模拟)已知函数f 3g (x )的图象关于直线x ＝π3对称，若f (x )＋g (x )＝sin x ，则()A ．函数f (x )为奇函数B ．函数g (x )的最大值是32C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称D ．函数f (x )的最小值为－32答案BC解析因为f3所以f－x )3f 3令t ＝x 3＋π3，则f f (t )，即f f (x )，由g (x )的图象关于直线x ＝π3对称，可得g (x )，－f (x )＋g (x )＝f＝联立f (x )＋g (x )＝sin x ，得g (x )＝32sinf (x )＝12sin 故函数f (x )不是奇函数，函数g (x )的最大值是32，函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，函数f (x )的最小值为－12.4．(2023·鞍山质检)冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜．已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A 为其在前两次射击中没有被罚时，事件B 为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么P (A |B )＝________.答案13解析由题意得P (B )＝C 13C 15C 25C 320，P (AB )＝C 15C 25C 320，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 15C 25C 320÷C 13C 15C 25C 320＝13.5．(2023·延边模拟)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4.将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如图2.(1)求证：A 1O ⊥BD ；(2)求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；(3)若点F 在A 1C 上，是否存在点F ，使得直线DF 和BC 所成角的余弦值为357若存在，求出A 1FA 1C的值；若不存在，请说明理由．(1)证明因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ，AD ＝AE .所以A 1D ＝A 1E ，又O 为DE 的中点，所以A 1O ⊥DE .因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，且A 1O ⊂平面A 1DE ，所以A 1O ⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ，所以A 1O ⊥BD .(2)解取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE ⊥OG .由(1)得A 1O ⊥OE ，A 1O ⊥OG .以O 为原点，OG ，OE ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，A 1(0,0,2)，B (2，－2,0)，C (2,2,0)，D (0，－1,0)．所以A 1B —→＝(2，－2，－2)，A 1D —→＝(0，－1，－2)，A 1C —→＝(2,2，－2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．n ·A 1B —→＝0，n ·A 1D —→＝0，2x －2y －2z ＝0，－y －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝－1，所以n ＝(1,2，－1)．设直线A 1C 和平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C —→〉|＝|n ·A 1C —→||n ||A 1C —→|＝|2＋4＋2|1＋4＋1·4＋4＋4＝223故所求角的正弦值为223.(3)解存在点F 符合题意．设A 1F —→＝λA 1C —→，其中λ∈[0,1]．设F (x 1，y 1，z 1)，则有(x 1，y 1，z 1－2)＝(2λ，2λ，－2λ)，所以x 1＝2λ，y 1＝2λ，z 1＝2－2λ，从而F (2λ，2λ，2－2λ)，所以DF →＝(2λ，2λ＋1,2－2λ)，又BC →＝(0,4,0)，所以|cos 〈DF →，BC →〉|＝|DF →·BC →||DF →||BC →|＝4|2λ＋1|4(2λ)2＋(2λ＋1)2＋(2－2λ)2＝357，整理得16λ2－24λ＋9＝0，解得λ＝34，所以线段A 1C 上存在点F 符合题意，且A 1F A 1C ＝34.[周四]1．(2023·青岛模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x ||x －2|<4}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |－2<x ≤3}B ．{x |－2<x <3}C ．{－1,0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}答案A解析|x －2|<4⇒－4<x －2<4⇒－2<x <6，∴B ＝{x |－2<x <6}．则A ∪B ＝{x |－2<x <7}，图中阴影部分为∁(A ∪B )A ＝{x |－2<x ≤3}．2．(2023·郴州、湘潭联考)已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为()A.53π3B ．53πC.73π3D ．73π答案C解析设圆台的上底面的圆心为O 1，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点，则O 1A ＝1，设圆台的高为h ，球的半径为R ＝OA ＝2，则h ＝OO 1＝R 2－O 1A 2＝4－12＝3，所以圆台的体积V ＝13(4π＋4π·π＋π)×3＝73π3.3．(多选)(2023·白山模拟)某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．成绩60657075808590人数2335421下列结论正确的是()A ．这20人成绩的众数为75B ．这20人成绩的极差为30C ．这20人成绩的25%分位数为65D ．这20人成绩的平均数为75答案AB解析根据表格可知，这20人成绩的众数为75，故A 正确；极差为90－60＝30，故B 正确；20×25%＝5，所以25%分位数为12×(65＋70)＝67.5，故C 错误；平均数为60×2＋65×3＋70×3＋75×5＋80×4＋85×2＋9020＝74，故D错误．4．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n是它的前n项和，若a3a5＝64，且a5＋2a6＝8，则S6＝______.答案126解析设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a3a5＝64，得a24＝a3a5＝64，而a4>0，解得a4＝8，又a5＋2a6＝8，则a4q＋2a4q2＝8，于是2q2＋q－1＝0，而q>0，解得q＝12，a1＝a4q3＝64，所以S61－12126.5．(2023·大连模拟)国学小组有编号为1,2,3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23，答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该同学答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．(1)令随机变量X n表示n名同学在第X n轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Y n表示n名挑战者在第Y n轮比赛结束．①求随机变量Y n(n∈N*，n≥2)的分布列；②证明：随机变量Y n的数学期望E(Y n)单调递增，且小于3.(1)解由题设，X3的可能取值为1,2,3，P(X3＝1)＝23×12＝13，P(X3＝2)＝23×12×12＋13×23×12＝518，P(X3＝3)＝1－13－518＝718，因此X3的分布列为X3123P13518718(2)①解Y n 的可能取值为1,2，…，n ，每位同学两题都答对的概率为p ＝23×12＝13，则答题失败的概率为1－23×12＝23，所以当Y n ＝k (1≤k ≤n －1，k ∈N *)时，P (Y n ＝k)－1×13；当Y n ＝n 时，P (Y n ＝n)－1，故Y n 的分布列为②证明由①知，E (Y n )＝错误－1×13＋－1(n ∈N *，n ≥2)．E(Y n ＋1)－E (Y n )＝－1×13＋(n ＋－－1>0，故E (Y n )单调递增．又E (Y 2)＝53，所以E (Y n)＝E (Y 2)＋[E (Y 3)－E (Y 2)]＋[E (Y 4)－E (Y 3)]＋…＋[E (Y n )－E (Y n －1)]，所以E (Y n )＝53＋＋…－1＝531－233－2－1<3，故E (Y 2)<E (Y 3)<E (Y 4)<E (Y 5)<…<E (Y n )<3.[周五]1．(2023·淄博模拟)已知集合A ＝{x |2x >1}，B ＝{x |ln x >1}，则下列集合为空集的是()A ．A ∩(∁RB ) B.(∁R A )∩BC ．A ∩B D.(∁R A )∩(∁R B )答案B解析集合A ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，集合B＝{x|ln x>1}＝{x|x>e}，所以∁R A＝{x|x≤0}，∁R B＝{x|x≤e}，对于A，A∩(∁R B)＝{x|0<x≤e}，故选项A不满足题意；对于B，(∁R A)∩B＝∅，故选项B满足题意；对于C，A∩B＝{x|x>e}，故选项C不满足题意；对于D，(∁R A)∩(∁R B)＝{x|x≤0}，故选项D不满足题意．2．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，且对∀x∈R，f(x＋4)＝f(－x)恒成立，则下列选项中不正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(3)＝0C．f fD．f(x)是以8为周期的函数答案D解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)x＋2)＝－f(－x)，2－x)＝－f(x)，又f(x＋4)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，故－f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，A正确；f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(3)＝f(1)＝0，B正确；f f f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f f所以f f C正确；又f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，D错误．3．(多选)(2023·邵阳模拟)若函数f(x)＝2cosωx(cosωx－sinωx)－1(ω>0)的最小正周期为π，则()A．f＝－62B．f(x)在π2，3π4上单调递增C．f(x)在0，5π2内有5个零点D ．f (x )在－π4，π4上的值域为[－1，1]答案BC解析f (x )＝2cos ωx (cos ωx －sin ωx )－1＝2cos 2ωx －2cos ωx sin ωx －1＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝2cos ωx 由最小正周期为π，可得π＝2π2ω，解得ω＝1，故f (x )＝2cos x对于A ，f ＝2cos －π12＋＝2cosπ6＝62，故A 错误；对于B ，当x ∈π2，3π4时，2x ＋π4∈5π4，7π4⊆[π，2π]，此时f (x )单调递增，故B 正确；对于C ，令f (x )＝2cos x 0，即x 0，所以2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，当x ∈0，5π2时，满足要求的有x ＝π8，x ＝5π8，x ＝9π8，x ＝13π8，x ＝17π8，故有5个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈－π4，π4时，2x ＋π4∈－π4，3π4，则x ∈－22，1，故f (x )∈[－1，2]，所以D 错误．4．(2023·齐齐哈尔模拟)一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新数据的方差相比原数据的方差的增加值为________．答案2解析一个数由4改为2，另一个数由6改为8，故该组数据的平均数x 不变，设没有改变的6个数分别为x 1，x 2，…，x 6，原数据的方差s 21＝18[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 6－x )2＋(4－x )2＋(6－x )2]，新数据的方差s 22＝18[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 6－x )2＋(2－x )2＋(8－x )2]，所以s 22－s 21＝18[(2－x )2＋(8－x )2－(4－x )2－(6－x )2]＝2.5．(2023·苏州调研)已知抛物线y 2＝a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点F .(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交椭圆于C ，D 两点，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设r ＝|AC |，s ＝μ|CD |，t ＝|DB |.①当μ＝2时，是否存在直线l ，使得r ，s ，t 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得r ，s ，t 成等差数列，求μ的范围．解(1)由题意知抛物线的焦点F (c ,0)，由于e ＝c a ＝32，即，则有a 24＝32a ，因此a ＝23，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝3，故抛物线的标准方程为y 2＝12x ，椭圆的标准方程为x 212＋y 23＝1.(2)设l ：x ＝my ＋3(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将直线与抛物线联立，2＝12x ，＝my ＋3，整理得y2－12my－36＝0，Δ＝144m2＋36×4>0，1＋y2＝12m，1y2＝－36，于是x1x2＝(my1＋3)(my2＋3)＝m2y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝9，2＋4y2－12＝0，＝my＋3，得到一元二次方程(m2＋4)y2＋6my－3＝0，Δ>0，3＋y4＝－6mm2＋4，3y4＝－3m2＋4，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋m2·(y1＋y2)2－4y1y2＝12(m2＋1)，|CD|＝(x3－x4)2＋(y3－y4)2＝1＋m2·(y3＋y4)2－4y3y4＝1＋m236m2(m2＋4)2＋12m2＋48(m2＋4)2＝43(m2＋1)m2＋4，|AC|＋|DB|＝|AB|－|CD|＝12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4.①当μ＝2时，s＝2|CD|，假设存在直线l，使得r，s，t成等差数列，即|AC|＋|DB|＝4|CD|，即有12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4＝4×43(m2＋1)m2＋4，整理得12m2＝203－48，方程无解，因此不存在l满足题设．②若存在直线l，使得r，s，t成等差数列，只需使得方程12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4＝2μ×43(m 2＋1)m 2＋4有解即可．整理得m 2＝3＋23μ－123，故m 2＝3＋23μ－123>0，解得μ[周六]1．(2023·泉州质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝4i ，则z ·z 等于()A ．－8B ．0C ．8D ．8i 答案C 解析因为(1－i)z ＝4i ，所以z ＝4i 1－i ＝4i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋4i 2＝－2＋2i ，所以z ＝－2－2i ，因此，z ·z ＝(－2＋2i)(－2－2i)＝4＋4＝8.2．(2023·娄底模拟)已知夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积之比为k (常数)，那么这两个几何体的体积之比也为k .则椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为(注：椭圆的面积S ＝πab ，其中a ，b 分别为长半轴、短半轴的长)()A.43πa 2b B.43πab 2C.43πa 3 D.43πb 3答案B 解析如图所示，直线y ＝h 交半椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(y ≥0)于A ，B 两点，交半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≥0)于C ，D 两点，由题意可得|AB ||CD |＝＝abb2－h2b2－h2＝ab，将半椭圆x2a2＋y2b2＝1(y≥0)和半圆x2＋y2＝b2(y≥0)绕着x轴旋转一圈后，利用垂直于y轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S，S′，由题意可知SS′＝14π·|AB|·|CD|14π·|CD|2＝ab，设半椭圆x2a2＋y2b2＝1(y≥0)绕x轴旋转一圈所得的几何体体积为V，半圆绕x轴旋转一圈所得的几何体体积为V′，则VV′＝ab，所以V＝abV′＝ab·4πb33＝4πab23.3．(多选)(2023·青岛模拟)在x的展开式中，下列说法正确的是()A．常数项是1120B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为256D．各项的系数之和为256答案AC解析x的通项公式为T k＋1＝C k828－k(－1)k x8－2k，对于A，常数项为C4824(－1)4＝1120，故A正确；对于B，第四项的系数为C3828－3(－1)3＝－1792，第六项的系数为C5828－5(－1)5＝－448，故B错误；对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；对于D，令x＝1，得各项的系数之和为1，故D错误．4.如图是甲烷的球棍结构，它的分子结构为正四面体结构(正四面体是每个面都是正三角形的四面体)，碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点．已知相邻的两个氢原子之间的距离为7，若不计原子大小，该正四面体内放入一个圆柱，使得圆柱的下底面在正四面体的底面内，则当该圆柱的表面积取得最大值时，圆柱的底面半径为____________．答案233＋66解析如图，不计原子大小后，设5个原子所确定的四面体为正四面体ABCD ，则其棱长为7，若使圆柱最大，则圆柱的上底面为一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆，设截面正三角形边长为x ，x ∈(0,7)，设正四面体的高AO 交截面于F ，连接EF ，BO ，圆柱的高为h ，则EF ＝32x ×23＝33x ，BO ＝32×7×23＝733，AO ＝763，由几何关系可得AF AO ＝EF BO ，则AO －h AO ＝EF BO ＝x 7，则圆柱的高h＝AO ＝6(7－x )3，圆柱底面半径为r ＝13×32x ＝36x ，所以圆柱表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝＋2π×36x ×6(7－x )3＝x 2＋723πx ，故当x72π4＋2时，S 取得最大值，此时r ＝36x ＝36×(4＋2)＝233＋66.5．(2023·柳州模拟)已知函数f (x )＝2sin x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求g (x )＝f (x )－ln(x ＋1)在区间0，π6上的最小值；(2)证明：sin 12＋sin 13＋sin 14＋…＋sin 1n >ln n ＋12(n>1且n ∈N *)．(1)解由题意知当a＝1时，g (x )＝2sin x －x －ln(x ＋≤x 则g ′(x )＝2cos x －1－1x ＋1，令u (x )＝2cos x －1≤x 则u ′(x )＝－2sin x ＋1(x ＋1)2，令v (x )＝－2sin x ≤x 则v ′(x )＝－2cos x －2(x ＋1)3<0，所以v (x )在区间0，π6上单调递减，即u ′(x )在区间0，π6上单调递减．又u ′(0)＝1，u 1＋1<0，所以u ′(0)·u ，故存在x 0u ′(x 0)＝0，所以u (x )(即g ′(x ))在区间(0，x 0)上单调递增，0又g ′(0)＝0，g ＝3－1－1π6＋1>0，g ′(x )>0，所以g (x )在区间0，π6上单调递增，最小值为g (0)＝0.(2)证明由(1)可知g (x )＝2sin x －x －ln(x ＋1)≥g (0)＝0在区间0，12上恒成立，所以2sin x ≥x －ln(x ＋1)，令h (x )＝x －ln(x ＋≤x 则h (0)＝0，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1≥0，所以h (x )在区间0，12上单调递增，所以当0<x ≤12时，h (x )>0，即x －ln(x ＋1)>0，x >ln(x ＋1)，所以2sin x≥x＋ln(x＋1)>2ln(x＋1)，即sin x>ln(x＋1)，12上恒成立，所以sin 12sin13＋sin14＋…＋sin1n>ln32＋ln 43＋…＋lnn＋1n＝·43·…ln n＋12.。
高三数学一轮复习解析几何(解析版)
数 学H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 22，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 22．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与 y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．22．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 22，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.H3 圆的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.17．[2014·湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________； (2)λ＝________．17．(1)－12 (2)12[解析] 设点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[]（cos θ＋2）2＋sin 2θ，即－2b cos θ＋b 2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝4λ2，b 2＋1＝5λ2.又由|MB |＝λ|MA |，得λ>0，且b ≠－2，解得⎩⎨⎧b ＝－12，λ＝12. 18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 20．、、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-5所示)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0，其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0. 又x 1，x 2是方程的根，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3，得|AB |＝4 63|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32|AB |＝2，得|AB |＝4 63，即b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6，从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 5．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－85．B [解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B.6．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π36．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．47．B [解析] 由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.11．，[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.21．[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 6．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.9．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．9.25 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2555 .18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12C. [－2，2]D. ⎣⎡⎦⎤－22，22 12．A [解析] 点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON ||MN |≥tan 45°，得0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.14．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．14．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [解析] 因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b >0，圆的半径是2b .由勾股定理可得b 2＋(3)2＝4b 2，解得b ＝±1.又因为b >0，所以b ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4.14．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．14．0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1，2)，半径为 3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝29－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝3 2，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 22，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.H5 椭圆及其几何性质21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 22，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.20．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 19．[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以 |AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 2＋4 ＝x 202＋8x 20＋4 (0＜x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．20．、、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝⎛⎭⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程．(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB | ？证明你的结论.20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝⎛⎭⎫2332－1b 21＝1，故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋（1＋1）2＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．(i)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.(ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3.因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线．17．、[2014·江苏卷] 如图1-5所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图1-517．解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F 1(－c, 0), F 2(c, 0)．(1)因为B (0, b ), 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2， 故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0, b ), F 2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b ，所以点 A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴， 由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2.因为直线 F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2，故e 2＝15， 因此e ＝55. 14．[2014·江西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．14.33[解析] 由题意A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，F 1(－c ，0)，则直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a 2c(x ＋c )． 令x ＝0，得y ＝－b 22a，即D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，则向量DA ＝⎝⎛⎭⎫c ，3b 22a ，F 1B →＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a .因为AD ⊥F 1B ，所以DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a2＝0，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，整理得(3e －1)(e ＋3)＝0，所以e ＝33(e >0)．故椭圆C 的离心率为33.20．、、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-5所示)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0，其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0. 又x 1，x 2是方程的根，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3，得|AB |＝4 63|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32|AB |＝2，得|AB |＝4 63，即b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6，从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.9．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 9．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；(ii)求△OMN 面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2， 所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)． 可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立， 此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.20．、[2014·陕西卷] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．图1-520．解： (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝2|m |5.由d <1，得|m |<52，(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3， ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[]m 2－4（m 2－3）＝1524－m 2.由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.20．、[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．20．解：(1)由已知可得，c a ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6.又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0.所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m .解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S 四边形OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2 ⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3. 18．、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝22，求椭圆的方程．18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，。
高考数学一轮复习多选题专项训练(讲义及答案)含答案
高考数学一轮复习多选题专项训练(讲义及答案)含答案一、数列多选题1．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦答案：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭()11515()n F F n n -+=++， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+， 所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确；对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.3．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0答案：AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误， 所以，，所以C 正确，D 错误， 故选：AC解析：AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.5．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值答案：ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.6．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由，可得，令， ，所以是奇函数，且在上单调递减，所以， 所以当数列为等差数列时，；解析：AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 8．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅答案：ABC 【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．由题知，只需， ，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，所以，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+答案：AC 【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ACD 【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ； 【详解】 由已知解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21答案：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ． 【详解】由公差，可得，即，① 由a7是a解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．二、等差数列多选题13．题目文件丢失！14．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()aa a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.15．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 17．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin 2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC18．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.19．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．170S <解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 20．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅< B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅解析：ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】 由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩，()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ）A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212nn n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．24．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！ 26．题目文件丢失！27．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为400解析：AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=；综上所述，AC 正确 故选：AC28．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1 解析：AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.29．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列 解析：AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确；因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 31．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.32．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+解析：CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.33．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516S =C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+ 解析：AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．34．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<解析：BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 35．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列解析：ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 36．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-解析：AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，。
高三数学一轮复习每日一练8(解析版)
3 的是（ 2
D ）
(0， 1)
1) C． (，
(1， ) D． (1， 0) (0， 1)
3.下列各式中，值为
B ） （D） sin2 15 cos 2 15
（A） 2 sin15 cos 15 （B） cos 2 15 sin2 15 （C） 2 sin2 15 1 4.函数 f ( x) cos x 2 cos
解： （I）我们有
x x f ( x) cos 2 x 4t sin cos 4t 3 t 2 3t 4 2 2 2 2 sin x 1 2t sin 4t t 2 3t 4 sin 2 x 2t sin x t 2 4t 3 3t 3 (sin x t )2 4t 3 3t 3 ． 2 由于 (sin x t ) ≥ 0 ， t ≤1 ，故当 sin x t 时， f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ，即
1 1 ， 2
0
极大值 g
1 2
1 2
由此可见， g (t ) 在区间 1 ，
1 1 1 1 1 1 单调增加，在区间 ， 单调减小，极小值为 g 2 ，极大值为 和 ， 2 2 2 2 2
2 2
x 的一个单调增区间是（ A ） 2
C． 0，
A． ，
2 3 3
B． ，
6 6
5.在数列 {an } 中， a1 2 ， an 1 an ln(1 ) ，则 an (A) A． 2 ln n B． 2 (n 1) ln n C． 2 n ln n .-72 D． 1 n ln n
2021年高三数学一轮复习 滚动测试十 理
2021年高三数学一轮复习滚动测试十理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设集合，则等于（）A．B． C． D．2、“”是“直线垂直”的（）A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3、向量, 若,则实数的值为（）A. B. C. D.4、设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A.1B. 2C. 3D. 45、圆与直线的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定6、函数的最小正周期为 ( )A .π B. C .2π D .4π7、已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（）A.3B.C.D.28、函数与函数的图象如图,则函数的图象可能是（）9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位10. 已知表示两条直线，表示一平面，给出下列四个命题：①②③④则正确命题的序号为（）A. ①②B. ①④C. ②④D. ②③11.设分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与的切点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=1,四边形ABCD为边长为1的正方形,且四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上,则该球面积为( )(A)3π (B)2π(C)14π (D)6π第II卷二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13. 设，其中满足若的最大值为6，则的最小值为 .14、数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.15、已知直线平分圆，则的最小值为 .16.已知命题，命题，若“且”为真命题，则实数的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分）17、（本小题满分12分）如图，角的始边OA落在x轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A、C(),为等边三角形。
最新高考数学一轮复习-第四周-每日一练【含答案】
第四周[周一]1．(2023·钦州模拟)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 5＋a 8是一个定值，则下列各数也是定值的是()A ．a 1B ．a 6C ．S 9D ．S 10答案C解析由a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝3a 1＋12d ＝3(a 1＋4d )＝3a 5，可知a 5为定值，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5也为定值．2．(2023·湖南四大名校联考)若当x x 的不等式e x －x cos x ＋cos x ln cos x ＋ax 2≥1恒成立，则满足条件的a 的最小整数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析关于x 的不等式e x －x cos x ＋cos x ln cos x ＋ax 2≥1恒成立，因为x cos x >0，即e x cos x －x ＋ln cos x ＋ax 2cos x ≥1cos x，即e x cos x －ln e x cos x ≥1－ax 2cos x ，即ln e x cos x ≤e x cos x －1－ax 2cos x ，令g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以g (x )max ＝g (1)＝0.所以ln x ≤x －1(x >0)，且当x 时，e xcos x>0，所以lne x cos x ≤e x cos x－1，所以1－ax 2cos x ≤1，即1－ax 2≤cos x .令h (x )＝cos x －1＋x 22，x 则h ′(x )＝－sin x ＋x >0，h (x )>h (0)＝0，所以cos x >1－x 22，x a >12时不等式成立，故满足条件的a 的最小整数为1.3．(多选)(2023·邯郸模拟)已知O 为坐标原点，抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，C (－3，－2)，则下列叙述正确的是()A ．E 的准线方程为x ＝－1B.OA →·OB →＝－4恒成立C ．若k ＝2，则|FA |＋|FB |＝20D ．若∠CFA ＝∠CFB ，则k ＝－32答案BD解析因为抛物线x 2＝2py 的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y ，其准线方程为y ＝－1，A 错误；由题意知直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，2＝4y ，＝kx ＋2，消去y 可得x 2－4kx －8＝0，方程x 2－4kx －8＝0的判别式Δ＝16k 2＋32>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8，所以y 1y 2＝x 214·x 224＝4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－4，B 正确；当k ＝2时，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－8，所以y 1＋y 2＝2x 1＋2＋2x 2＋2＝20，所以|FA |＋|FB |＝y 1＋y 2＋2＝22，C 错误；由∠CFA ＝∠CFB 可得〈FC →，FA →〉＝〈FC →，FB →〉，所以cos 〈FC →，FA →〉＝cos 〈FC →，FB →〉，故FC →·FA →|FC →|·|FA →|＝FC →·FB →|FC →|·|FB →|，又C (－3，－2)，所以FC →＝(－3，－3)，FA →＝(x 1，y 1－1)，FB →＝(x 2，y 2－1)，|FA →|＝y 1＋1，|FB →|＝y 2＋1，所以－3x 1－3y 1＋3y 1＋1＝－3x 2－3y 2＋3y 2＋1，所以－3x 1＋6－3y 1－3y 1＋1＝－3x 2＋6－3y 2－3y 2＋1，所以x 1－2kx 1＋3＝x 2－2kx 2＋3，所以3x 1－2kx 2＝3x 2－2kx 1，又x 1≠x 2，所以k ＝－32，D 正确．4.(2023·深圳模拟)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案722－165解析若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－36,0)，O (36,72)，F (－4,0)，E (4,0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP 1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0,72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m－72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m ＋1280m －72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x ＝810－36时，等号成立，此时，|OP |＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以，若选择线路OB →，则甲带球(722－165)码时，到达最佳射门位置．5．(2023·兰州模拟)某省农科院为支持省政府改善民生，保证冬季蔬菜的市场供应，深入开展了反季节蔬菜的相关研究，其中一项是冬季大棚内的昼夜温差x (℃)与反季节蔬菜种子发芽数y (个)之间的关系，经过一段时间观测，获得了下列一组数据(y 值为观察值)：温差x (℃)89101112发芽数y (个)2324262730(1)在所给坐标系中，根据表中数据绘制散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系(不需要说明理由)；(2)用直线l 的方程来拟合这组数据的相关关系，若直线l 过散点图中的中间点(即点(10,26))，且使发芽数的每一个观察值与直线l 上对应点的纵坐标的差的平方之和最小，求出直线l 的方程；(3)用(2)中求出的直线方程预测当温度差为15℃时，蔬菜种子发芽的个数．解(1)作出数据分布的散点图，如图所示，由散点图知五个点明显分布在某条直线的附近，因此由散点图可以判断y 与x 有线性相关关系．(2)设直线的方程为y －26＝k (x －10)，即y ＝k (x －10)＋26，则五个x 值对应的直线l 上的纵坐标分别为－2k ＋26，－k ＋26，k ＋26,2k ＋26，若设观察值与纵坐标差的平方和为D ，则D ＝(－2k ＋3)2＋(－k ＋2)2＋(k －1)2＋(2k －4)2＝10k 2－34k ＋30＝＋1110，所以当k ＝1710时D 取最小值，此时直线l 的方程为y ＝1710x ＋9.(3)由直线l 的方程为y ＝1710x ＋9，令x ＝15，可得y ＝1710×15＋9＝34.5≈35，所以可预测当温度差为15℃时，蔬菜种子发芽的个数约为35.[周二]1．(2023·南京模拟)在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为()A ．丙参加了铅球B ．乙参加了铅球C ．丙参加了标枪D ．甲参加了标枪答案A解析由①乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步．综上可得，甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球．2.(2023·浙江金丽衢十二校联考)数学里有一种证明方法叫做Proof without words ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅和有条理．如图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB ＝θ，则由tan ∠BCH ＝BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A ．tan θ2＝sin θ1－cos θB ．tan θ2＝sin θ1＋cos θC ．tan θ2＝1－cos θsin θD ．tan θ2＝1＋cos θsin θ答案C解析由已知∠COB ＝θ，则∠CBO ＝π2－θ2，∠BCH ＝θ2，又tan θ2＝BH CH，sin θ＝CH OC ，cos θ＝OHOC，BH ＋OH ＝OB ＝OC ，因此1－cos θsin θ＝1－OHOC CHOC＝BH CH ＝tan θ2.3．(多选)(2023·青岛模拟)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝1，AC ＝2，点M ，N 分别为PB ，AC 的中点，W 是线段PA 上的动点，则()A ．平面PAC ⊥平面ABCB ．△WMN 面积的最小值为624C ．平面WMN 截该三棱锥所得截面不可能是菱形D ．若三棱锥P －ABC 可以在一个正方体内任意转动，则此正方体体积的最小值为22答案ABD解析对于A ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，BA 2＋BC 2＝AC 2，故PC ⊥PA ，AB ⊥BC ，则PN ＝BN ＝22，又因为PB ＝1，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，故PN ⊥NB ，因为PA ＝PC ，N 为AC 的中点，所以PN ⊥AC ，又AC ∩NB ＝N ，AC ，NB ⊂平面ABC ，所以PN ⊥平面ABC ，又PN ⊂平面PAC ，则平面PAC ⊥平面ABC ，故A 正确；对于B ，因为PN ⊥平面ABC ，BN ⊥AC ，故以点N 为坐标原点，NA 所在直线为x 轴，NB 所在直线为y轴，NP 所在直线为z 轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，图1则N (0,0,0)，0，，22，，0，24，设AW →＝λAP →，0≤λ≤1，所以NW →＝NA →＋AW →＝NA →＋λAP→0，－22，1－λ)，0，22λNM→，24，设NM →与NW →的夹角为θ，则NM →·NW →＝|NM →|·|NW →|·cos θ＝12cos θλ2－λ＋12，又NM →·NW →＝14λ，故cos θ＝12λλ2－λ＋12，sin θ＝1－cos 2θ＝34λ2－λ＋12λ2－λ＋12，所以△WMN 的面积为S ＝12|NM →|·|NW →|sin θ＝1434λ2－λ＋12＝14×≥14×32×23＝624，故B 正确；对于C ，当W 为PA 的中点时，取BC 的中点D ，连接MD ，ND ，如图2所示．图2因为MW ∥AB ∥ND ，MW ＝12AB ＝ND ＝12，故M ，W ，N ，D 四点共面，且四边形MWND 为平行四边形，又因为WN ＝12PC ＝MD ＝12，故四边形MWND 为菱形，所以当W 为PA 的中点时，平面WMN 截该三棱锥所得截面MWND 是菱形，故C 不正确；对于D ，因为PC ⊥PA ，AB ⊥BC ，所以NC ＝NA ＝NB ＝NP ＝22，故三棱锥P －ABC 的外接球半径为22，故该外接球的外切正方体的棱长为2，若三棱锥P －ABC 可以在一个正方体内任意转动，则此正方体体积的最小值为V ＝(2)3＝22，故D 正确．4．(2023·蚌埠质检)已知a ＝(1,2)，b ＝(2，m )，a ⊥(a －3b )，则m ＝________.答案－16解析由已知可得a －3b ＝(1,2)－3(2，m )＝(－5，2－3m )，由题意可得a ·(a －3b )＝－5＋2(2－3m )＝0，解得m ＝－16.5．(2023·邢台模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,22a 2cos B ＋b 2＝2ab cos C ＋a 2＋c 2.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a ＝4，求△ABC 面积的取值范围．解(1)由余弦定理得22a 2cos B ＋b 2＝a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2，即22a 2cos B ＝2a 2，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，则B ＝π4.(2)方法一因为△ABC 为锐角三角形，A ＋C ＝π－B ＝3π4，A <π2，0<3π4－A <π2，可得π4<A <π2，又a ＝4，则a sin A ＝csin C ，故c由S △ABC ＝12ac sin B ＝2c即S △ABC ＝4tan A＋4，而tan A >1，所以S △ABC ∈(4,8)，故△ABC 面积的取值范围为(4,8)．方法二由B ＝π4，a ＝4，画出如图所示的三角形，因为△ABC为锐角三角形，所以点A落在线段A1A2(端点A1，A2除外)上，其中CA1⊥A1B于点A1，CA2⊥BC交BA1的延长线于点A2，S△A1BC＝12×22×22＝4，S△A2BC＝12×4×4＝8，所以S∈(4,8)．[周三]1．(2023·白山模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(－1,0)，且|a－b|＝a·b＋6，则|a|等于() A.5B．23 C.22D．26答案C解析因为向量a＝(1，m)，b＝(－1,0)，所以a－b＝(2，m)，a·b＝－1，又因为|a－b|＝a·b＋6，所以22＋m2＝5，解得m2＝21，所以|a|＝12＋m2＝22.2．已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，若f(x＋1)f(x－1)＝4，函数f(x－2)为偶函数，f(2024)＝1，则错误!(n)等于()A．4050B．4553C．4556D．4559答案B解析由f(x＋1)f(x－1)＝4可得f(x＋2)f(x)＝4，①f(x＋4)f(x＋2)＝4，②对任意的x∈R，f(x)>0，所以由①②可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x－2)为偶函数，则f(－x－2)＝f(x－2)，因为f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，由f (x ＋2)f (x )＝4可得f (2)＝4f (0)＝4，且f (4)＝f (0)＝1，由f (x －2)f (x )＝4可得f (－x －2)f (－x )＝4，因为f (－x －2)＝f (x －2)，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数，因为f (x ＋2)f (x )＝4，则f (1)f (－1)＝4＝[f (1)]2，所以f (1)＝2，由f (1)f (3)＝4可得f (3)＝2，因为2023＝4×505＋3，所以错误!(n )＝505错误!(n )＋错误!(n )＝505×(2＋4＋2＋1)＋(2＋4＋2)＝4553.3．(多选)(2023·永州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，MN 垂直于准线于点N ，则下列结论正确的是()A ．若AF →＝3FB →，则直线l 的倾斜角为π3B ．点M 到准线的距离为|AB |2C ．若直线l 经过焦点F 且OA →·OB →＝－12，则p ＝4D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB ||MN |的最小值为2答案ACD 解析对于A 选项，因为AF →＝3FB →，所以A ，F ，B 三点共线，即直线l 经过抛物线焦点．当直线l 的斜率为0时，此时直线l 与C 只有1个交点，不符合题意，故设直线l ：x ＝p 2＋my ，与y 2＝2px 联立，得y 2－2pmy －p 2＝0，故y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2，因为点A 在第一象限，所以y 1>0，故y 2<0，即－pm <0，m >0，解得m ＝33，故直线l 的斜率为1m＝3，设直线l 的倾斜角为θ(0<θ<π)，则tan θ＝3，解得θ＝π3，A 正确；对于B 选项，当直线l 不经过焦点F |AF |＝m ，|BF |＝n ，由三角形三边关系可知|AF |＋|BF |>|AB |，由抛物线定义可知|AF |＋|BF |＝2|MN |>|AB |，即|MN |>|AB |2，B 不正确；对于C 选项，由题意得准线方程为x ＝－p 2，当直线l 的斜率为0时，此时直线l 与C 只有1个交点，不符合题意，故设直线l ：x ＝p 2＋my ，与y 2＝2px 联立得y 2－2pmy －p 2＝0，故y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，则x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－12，解得p ＝4，C 正确；对于D 选项，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，过点A 作AQ ⊥准线于点Q ，过点B 作BP ⊥准线于点P ，因为以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，所以AF ⊥BF ，则|AB |＝m 2＋n 2，由抛物线定义可知，|MN |＝|AQ |＋|BP |2＝|AF |＋|BF |2＝m ＋n 2，由基本不等式得m 2＋n 2≥2mn ，则2(m 2＋n 2)≥2mn ＋m 2＋n 2＝(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时，等号成立，故m 2＋n 2≥m ＋n 2，即|AB ||MN |＝m 2＋n 2m ＋n 2＝2m 2＋n 2m ＋n ≥2，D 正确．4．(2023·温州模拟)平面内有四条平行线，相邻两条间的距离为1，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是________．答案4解析如图，四边形ABCD 为矩形，令∠EAB ＝θ则AB ＝1sin θ，AD ＝2cos θ，所以S ＝212sin 2θ≥4，当且仅当θ＝π4时等号成立，故面积的最小值是4.5.(2023·江苏八市模拟)如图，在圆台OO 1中，A 1B 1，AB 分别为上、下底面直径，且A 1B 1∥AB ，AB ＝2A 1B 1，CC 1为异于AA 1，BB 1的一条母线．(1)若M 为AC 的中点，证明：C 1M ∥平面ABB 1A 1；(2)若OO 1＝3，AB ＝4，∠ABC ＝30°，求平面OCC 1与平面ACC 1夹角的正弦值．(1)证明如图，连接A 1C 1，因为在圆台OO 1中，上、下底面直径分别为A 1B 1，AB ，且A 1B 1∥AB ，所以AA 1，BB 1，CC 1为圆台母线且交于一点P ，所以A ，A 1，C 1，C 四点共面．在圆台OO 1中，平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，由平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，平面AA 1C 1C ∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，得A 1C 1∥AC .又A 1B 1∥AB ，AB ＝2A 1B 1，所以PA 1PA ＝A 1B 1AB ＝12，所以PC 1PC ＝PA 1PA ＝12，即C 1为PC 中点．在△PAC 中，M 为AC 的中点，所以C 1M ∥PA ，即C 1M ∥AA 1.因为AA 1⊂平面ABB 1A 1，C 1M ⊄平面ABB 1A 1，所以C 1M ∥平面ABB 1A 1.(2)解以O 为坐标原点，OB ，OO 1分别为y ，z 轴，过O 且垂直于平面ABB 1A 1的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为∠ABC ＝30°，所以∠AOC ＝60°.则A (0，－2,0)，C (3，－1,0)，O 1(0,0,3)．因为OC →＝(3，－1,0)，所以O 1C 1→＝12OC →，－12，所以C ，－12，所以C 1C →，－12，－设平面OCC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1·OC →＝0，1·C 1C →＝0，1－y 1＝0，1－12y 1－3z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝0，所以n 1＝(1，3，0)，又AC →＝(3，1,0)，设平面ACC 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·AC →＝0，2·C 1C →＝0，2＋y 2＝0，2－12y 2－3z 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝－3，z 2＝33，所以n 2，－3所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1×1＋3×(－3)＋0×331＋3×1＋3＋13＝－3913.设平面OCC 1与平面ACC 1的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝3913，所以sin θ＝1－cos 2θ＝13013.所以平面OCC 1与平面ACC 1夹角的正弦值为13013.[周四]1.(2023·青岛模拟)龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm ，盆口直径40cm ，盆底直径20cm.现往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为()A ．1824cm 3B ．2739cm 3C ．3618cm 3D ．4512cm 3答案B 解析如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC 与FD 交于点G .根据题意，AB ＝20cm ，CD ＝10cm ，AC ＝15cm ，EC ＝6cm ，设CG ＝x cm ，EF ＝y cm ，所以1020＝x x ＋15，10y ＝x x ＋6，解得x ＝15，y ＝14，所以V ＝13(π×142＋π×102＋π×14×10)×6＝872π≈2739(cm 3)．2．(2023·漳州质检)已知函数f (x )＝2x ＋ln x ＋1－a 和函数g (x )＝x －a e 2x具有相同的零点x 0，则02e x ln x 20的值为()A ．2B ．－eC ．－4D ．e 2答案C 解析由题意知f (x 0)＝2x 0＋ln x 0＋1－a ＝0，g (x 0)＝x 0－a 02e x ＝0，联立两式可得x 002e x －2x 0－ln x 0－1＝0，令h (x )＝x e 2x －2x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝(1＋2x )e 2x －2x ＋1x＝(1＋2x )e 2x －1x 令m (x )＝e 2x －1x，则m (x )在(0，＋∞)上单调递增，又m 14＝e －4<0，m (1)＝e 2－1>0，∴m (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点t ，且t ∈14，1∴e 2t ＝1t，2t ＝－ln t ，∵当x ∈(0，t )时，h ′(x )<0；当x ∈(t ，＋∞)时，h ′(x )>0，∴h (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，∴h (x )min ＝h (t )＝t e 2t －2t －ln t －1＝1＋ln t －ln t －1＝0，又x 002ex －2x 0－ln x 0－1＝0，∴t ＝x 0，∴02e x ln x 20＝e 2t ln t2＝2e 2t ln t ＝2t·(－2t )＝－4.3．(多选)(2023·石家庄质检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是AB ，CC 1的中点，则()A ．AC 1∥MNB ．B 1D ⊥MNC ．平面MND 截此正方体所得截面的周长为55＋172D ．三棱锥B 1－MND 的体积为3答案BC 解析如图1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，图1则A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，M (2,1,0)，N (0,2,1)，D (0,0,0)，B 1(2,2,2)，AC 1→＝(－2,2,2)，MN →＝(－2,1,1)，DB 1→＝(2,2,2)．因为－2－2≠21，所以AC 1与MN 不平行，A 不正确；因为DB 1→·MN →＝2×(－2)＋2×1＋2×1＝0，所以B 1D ⊥MN ，B 正确；如图2，取BB 1的中点P ，BP 的中点Q ，连接AP ，MQ ，NQ ，图2由正方体的性质可知，AP ∥DN .因为M ，Q 分别为AB ，BP 的中点，所以AP ∥MQ ，所以DN ∥MQ ；平面MND 截正方体所得截面为梯形DMQN ，因为正方体的棱长为2，所以DM ＝DN ＝5，MQ ＝52，QN ＝172，所以平面MND 截此正方体所得截面的周长为55＋172，C 正确；由上面分析可知，DN ∥MQ ，DN ⊂平面B 1DN ，MQ ⊄平面B 1DN ，所以MQ ∥平面B 1DN ，即点M 到平面B 1DN 的距离等于点Q 到平面B 1DN 的距离，如图3，1111B MND M B ND Q B ND D B NQ V V V V ----＝＝＝，图3而1113D B NQ B NQ V S -△·DC ＝13×12×32×2×2＝1，所以三棱锥B 1－MND 的体积为1，D 不正确．4．(2023·漳州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为32，P ，Q 为C 上的两个动点，且直线OP 与OQ 斜率之积为－14(O 为坐标原点)，则椭圆C 的短轴长为________，|OP |2＋|OQ |2＝________.答案25解析∵椭圆C 的长轴长为2a ＝4，∴a ＝2，又离心率e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的短轴长为2b ＝2，∴椭圆C ：x 24＋y 2＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，4y21＝4，4y22＝4，·y2x2＝－14，y21＝4－x21，①y22＝4－x22，②y1y2＝－x1x2，③①×②得16y21y22＝16－4(x21＋x22)＋x21x22，④将③代入④得x21＋x22＝4，由①＋②得y21＋y22＝2－14(x21＋x22)＝1，∴|OP|2＋|OQ|2＝x21＋y21＋x22＋y22＝5.5．(2023·福州质检)已知数列{a n}满足：a1＝1，a2＝8，a2n－1＋a2n＋1＝log2a2n，a2n a2n＋2＝16a2n＋1.(1)证明：数列{a2n－1}是等差数列；(2)记{a n}的前n项和为S n，S n>2023，求n的最小值．(1)证明方法一由a2n－1＋a2n＋1＝log2a2n，得a2n＝21212n na a－＋＋，则a2n＋2＝21232n na a＋＋＋，从而a2n a2n＋2＝2121212322n n n na a a a－＋＋＋＋＋＝21212322n n na a a－＋＋＋＋.又a2n a2n＋2＝21214162n na a＋＋＝，所以a2n－1＋2a2n＋1＋a2n＋3＝4a2n＋1，即a2n－1＋a2n＋3＝2a2n＋1，所以数列{a2n－1}是等差数列．方法二由a2n>0，且a2n a2n＋2＝2116n a＋，得log2(a2n a2n＋2)＝log22116n a＋，则log2a2n＋log2a2n＋2＝4a2n＋1，因为a2n－1＋a2n＋1＝log2a2n，a2n＋1＋a2n＋3＝log2a2n＋2，所以(a2n－1＋a2n＋1)＋(a2n＋1＋a2n＋3)＝4a2n＋1，即a2n－1＋a2n＋3＝2a2n＋1，所以数列{a2n－1}是等差数列．(2)解设等差数列{a2n－1}的公差为d.当n ＝1时，a 1＋a 3＝log 2a 2，即1＋a 3＝log 28，所以a 3＝2，所以d ＝a 3－a 1＝1，所以数列{a 2n －1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a 2n －1＝n .又a 2n ＝21212n n a a －＋＋＝2n ＋(n ＋1)＝22n ＋1.当k ∈N *时，S 2k －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2k －1＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2k －2)＝(1＋2＋3＋…＋k )＋(23＋25＋27＋…＋22k －1)＝k (k ＋1)2＋＝k (k ＋1)2＋8(4k －1－1)3，所以S 9＝S 2×5－1＝5×62＋8(44－1)3＝695<2023，S 10＝S 9＋a 10＝695＋22×5＋1＝2743>2023.又a n >0，则S n <S n ＋1，且S 9<2023<S 10，所以n 的最小值为10.[周五]1．(2023·邵阳模拟)已知集合A ＝[－2,5]，B ＝[m ＋1,2m －1]．若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A ．(－∞，3]B ．(2,3]C ．∅D ．[2,3]答案B 解析若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则BA ，＋1<2m －1，＋1≥－2，m －1≤5，(两个等号不同时取到)解得2<m ≤3，即m 的取值范围是(2,3]．2．(2023·长春模拟)已知函数f (x )＝1(其中ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是()，53，53C.53，D.53，＋∞答案A解析因为x ∈(0，2π)，ω>0，所以ωx －π3∈－π3，2ωπ画出y ＝2cos z ＋1的图象，要想函数f (x )的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴，则2ωπ－π3∈－π3，3π，解得ω，53.3．(多选)(2023·宁德质检)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，其产量比为2∶3.从两个车间中各随机抽取了10个样品进行测量，其数据(单位：mm)如下：甲车间：9.410.19.810.210.010.110.29.610.39.8乙车间：10.39.29.610.010.39.810.49.410.210.3规定数据在(9.5,10.5)内的产品为合格品．若将频率作为概率，则以下结论正确的是()A ．甲车间样本数据的第40百分位数为9.8B ．从样本数据看，甲车间的极差小于乙车间的极差C ．从两个车间生产的产品中任取一件，取到合格品的概率为0.84D ．从两个车间生产的产品中任取一件，若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率为0.4答案BC解析对于A ，甲车间样本数据从小到大排列为9.4,9.6,9.8,9.8,10.0,10.1,10.1,10.2,10.2,10.3，又10×40%＝4，所以第40百分位数为第4,5两个数的平均数，即9.8＋102＝9.9，故A 错误；对于B ，甲车间的极差为10.3－9.4＝0.9，乙车间的极差为10.4－9.2＝1.2，故B 正确；对于C ，从样本数据可知甲车间合格品的概率P 1＝910，乙车间合格品的概率P 2＝810＝45，甲、乙两车间产量比为2∶3，若从两个车间生产的产品中任取一件，取到合格品的概率P ＝25×910＋35×45＝2125＝0.84，故C正确；对于D ，由C 可知取到不合格品的概率P 3＝1－P ＝1－0.84＝0.16，所以若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率P 4＝25×0.16＝0.25，故D 错误．4．(2023·宁德质检)已知函数f (x )满足如下条件：①定义域为R ；②存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝f ′(x 0)＝0；③f (x )≤0，试写出一个符合上述要求的函数f (x )＝______________.答案－x 2(答案不唯一)解析设f (x )＝－x 2，则函数定义域为R ，f ′(x )＝－2x ，f (0)＝f ′(0)＝0，f (x )≤0.5．(2023·台州模拟)已知k ∈R ，a >0，设函数f (x )＝e x －a －k a x 2，其中e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1，k ＝12时，证明：函数f (x )在R 上是增函数；(2)若对任意正实数a ，函数f (x )均有三个零点x 1，x 2，x 3，其中x 1<x 2<x 3.求实数k 的取值范围，并证明x 2＋x 3>4.(1)证明当a ＝1，k ＝12时，f (x )＝e x －1－12x 2，f ′(x )＝e x －1－x ，设g (x )＝f ′(x )＝e x －1－x ，所以g ′(x )＝e x －1－1，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，所以函数f (x )在R 上是增函数．(2)解易知当x ＝0时，不满足题意，由题得，方程k ＝a e x －ax2有三个解x 1，x 2，x 3，设φ(x )＝a e x －ax 2，则φ′(x )＝a e x －a (x －2)x3，当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当x ∈(0,2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，又当x →0时，φ(x )→＋∞，当x →－∞时，φ(x )→0，当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，φ(2)＝a e 2－a4>0，所以当k >φ(2)＝a e 2－a4时，方程k ＝a e x －ax2有三个解，且x 1<0<x 2<2<x 3，设h (a )＝a e 2－a4，若对任意正实数a ，函数f (x )均有三个零点x 1，x 2，x 3，所以k >h (a )max ，因为h ′(a )＝(1－a )e 2－a4，所以h (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h (a )≤h (1)＝e4，所以实数k 因为0<x 2<2<x 3，由方程k ＝a e x －a x2，得ln k ＝ln a ＋x －a －2ln x .即方程x －2ln x ＝ln k －ln a ＋a 在(0，＋∞)上有两个解x 2，x 3，即x 2－2ln x 2＝x 3－2ln x 3，且0<x 2<2<x 3，设x 3＝tx 2，t >1，则x 2－2ln x 2＝tx 2－2ln tx 2，即x 2＝tx 2－2ln t ，解得x 2＝2ln t t －1，所以x 3＝2t ln tt －1，要证x 2＋x 3>4，即证2ln t t －1＋2t ln tt －1>4，即证ln t >2(t －1)t ＋1，设m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，t >1，m ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，所以m (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以m (t )>m (1)＝0，即ln t －2(t －1)t ＋1>0得证，所以x 2＋x 3>4得证．[周六]1．(2023·武汉调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |2x ＋3>0}，则A ∩B 等于()2－32，－32，答案C解析由题意得A ＝(－2，3)，B －32，＋A ∩B －32，2．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t 年后，碳14所剩质量C (t )＝5730012t C ⎛⎫⎪⎝⎭，其中C 0为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为(参考数据：lg 2≈0.301)()A ．西汉B ．东汉C ．三国D ．晋朝答案B解析由题意知5730012t C ⎛⎫⎪⎝⎭＝0.8C 0，所以t 5730lg 12＝lg 810，所以t ＝5730×1－3lg 2lg 2，所以t ≈5730×1－0.9030.301≈1847.2023－1847＝176，故对应死亡的朝代为东汉．3．(多选)(2023·青岛模拟)若关于x 的方程x 2＝－4的复数解为z 1，z 2，则()A ．z 1·z 2＝－4B ．z 1与z 2互为共轭复数C ．若z 1＝2i ，则满足z ·z 1＝2＋i 的复数z 在复平面内对应的点在第二象限D ．若|z |＝1，则|z －z 1·z 2|的最小值是3答案BD解析因为(±2i)2＝－4，因此不妨令方程x 2＝－4的复数解z 1＝2i ，z 2＝－2i ，对于A ，z 1·z 2＝2i·(－2i)＝4，A 错误；对于B ，z 1与z 2互为共轭复数，B 正确；对于C ，z 1＝2i ，由z ·z 1＝2＋i ，得z ＝2＋i 2i ＝(2＋i )·(－i )2i·(－i )＝1－2i 2＝12－i ，则复数z C 错误；对于D ，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z |＝1，得x 2＋y 2＝1，显然有－1≤x ≤1，由选项A 知z 1·z 2＝4，因此|z －z 1·z 2|＝|(x －4)＋y i|＝(x －4)2＋y 2＝17－8x ≥3，当且仅当x ＝1，即z ＝1时取等号，D 正确．4．(2023·安庆模拟)设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%,35%,20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为________．答案5%解析令A 表示“取到的是一件次品”，B 1，B 2，B 3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然B 1，B 2，B 3是样本空间Ω的一个划分，且有P (B 1)＝0.45，P (B 2)＝0.35，P (B 3)＝0.2.由于P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.03，设P (A |B 3)＝m ，由全概率公式得P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3)＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋m ×0.2，而P (A )＝2.95%，故m ＝5%.5．(2023·安徽江南十校模拟)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆C 1：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)，双曲线C 2是椭圆C 1的“姊妹”圆锥曲线，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，且e 1e 2＝154，点M ，N 分别为椭圆C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)设过点G (4,0)的动直线l 交双曲线C 2的右支于A ，B 两点，若直线AM ，BN 的斜率分别为k AM ，k BN .①试探究k AM 与k BN 的比值k AMk BN是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；②求w ＝k 2AM ＋23k BN 的取值范围．解(1)由题意可设双曲线C 2：x 24－y 2b2＝1，则e 1e 2＝4－b 22×4＋b 22＝154，解得b 2＝1，所以双曲线C 2的方程为x 24－y 2＝1.(2)①如图，由题意知，M (－2,0)，N (2,0)，直线l 斜率不为0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty ＋4，ty ＋4，y 2＝1，消元得(t 2－4)y 2＋8ty ＋12＝0.则t ≠±2，Δ＝16t 2＋192>0，1＋y 2＝－8tt 2－4，1y 2＝12t 2－4，∴k AM k BN ＝y 1x 1＋2y 2x 2－2＝y 1x 1＋2×x 2－2y 2＝y 1(ty 2＋2)y 2(ty 1＋6)＝ty 1y 2＋2y 1ty 1y 2＋6y 2＝ty 1y 2＋2(y 1＋y 2)－2y 2ty 1y 2＋6y 2＝12t t 2－4－16t t 2－4－2y 212t t 2－4＋6y 2＝－4tt 2－4－2y 212tt 2－4＋6y 2＝－13.②方法一设直线AM ：y ＝k (x ＋2)，代入双曲线方程并整理得(1－4k 2)x 2－16k 2x －16k 2－4＝0(1－4k 2≠0)，由于点M 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为－2，由－2x 1＝－16k 2－41－4k 2，解得x 1＝2(4k 2＋1)1－4k 2.因为点A 在双曲线的右支上，所以x 1＝2(4k 2＋1)1－4k 2>0，解得k －12，即k AM －12，同理可得k BN∞由①中结论可知k BN＝－3k AM∞所以k AM －12，－故w ＝k 2AM ＋23k BN ＝k 2AM ＋23(－3k AM )＝k 2AM －2k AM .设h (x )＝x 2－2x ，其图象对称轴为x ＝1，则h (x )＝x 2－2x－12，－故h (x )－34，－故w ＝k 2AM ＋23k BN－34，－方法二由于双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，如图，过点M 作两渐近线的平行线l 1与l 2，由于点A 在双曲线x 24－y 2＝1的右支上，所以直线AM 的斜率介于直线l 1与l 2之间(含x 轴，不含直线l 1与l 2)，所以k AM －12，同理，过点N 作两渐近线的平行线l 3与l 4，由于点B 在双曲线x 24－y 2＝1的右支上，所以直线BN 的斜率介于直线l 3与l 4之间(不含x 轴，不含直线l 3与l 4)，所以k BN ∞由①中结论可知k BN ＝－3k AM ∞所以k AM －12，－故w ＝k 2AM ＋23k BN ＝k 2AM ＋23(－3k AM )＝k 2AM －2k AM .设h (x )＝x 2－2x ，其图象对称轴为x ＝1，则h (x )＝x 2－2x －12，－故h (x )－34，－w ＝k 2AM ＋23k BN －34，－。
专题10 数列 10.4数列求和 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
专题十《数列》讲义10.4数列求和知识梳理.数列求和1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．题型一.裂项相消1．数列{a n}的通项公式a n=1or1)，已知它的前n项和S n=99100，则项数n＝（）A．98B．99C．100D．101【解答】解：列{a n}的通项公式a n=1or1)=1−1r1，所以=1−12+12−13+⋯+1−1r1=1−1r1，由于前n项和S n=99100，所以1−1r1=99100，解得n＝99．故选：B．2．已知等差数列{a n}满足a3＝10，a1+a4＝17．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=3r1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列，满足a3＝10，a1+a4＝17．所以3=101+4=17，解得1=4=3，所以a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1．（2）由（1）得b n=3r1=13r1−13r4，所以S n＝b1+b2+…+b n=14−17+17−110+⋯+13r1−13r4=14−13r4．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设=1(+2)，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）在4S n＝（2n﹣1）a n+1+1中，令n＝1，得a2＝3，∵4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，∴当n≥2时，4S n﹣1＝（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n＝（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），∴（2n+1）a n＝（2n﹣1）a n+1，即r1=2r12K1(≥2)．∴=K1⋅K1K2⋅K2K3⋯⋅32⋅21⋅1=2K12K3⋅2K32K5⋅2K52K7⋯53⋅31⋅1=2−1，故a n＝2n﹣1．（2）=1(+2)=1(2K1)(2r1)=12(12K1−12r1)，T n＝c1+c2+…+c n=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12K1−12r1)]=12(1−12r1)=2r1，所以=2r1．题型二.错位相减1．已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1＝2，a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设=3，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由题，1=222=15，即(1+p2=1(1+4p，解得d＝4．∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（Ⅱ）=3=（4n﹣2）•3n＝2（2n﹣1）•3n，设数列{b n}的前n项和为T n，=2×1×31+2×3×32+2×5×33+⋯+2（2n﹣1）×3n，①3=2×1×32+2×3×33+2×5×34+⋯2（2n﹣1）×3n+1，②①﹣②，得：−2=2×1×3+2×2×32+2×2×33+⋯+2×2×3n﹣2（2n﹣1）×3n+1=6+4×32(1−3K1)1−3−2(2−1)×3r1=−12﹣4（n﹣1）•3n+1，∴=6+2(−1)⋅3r1．∴数列{b n}的前n项和=6+2(−1)⋅3r1．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2=13，b2b3=127．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5＝30，S7＝56，得51+5×42=3071+7×62=56，解得1=2=2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），由b1b2=13，b2b3=127，得12=13123=127，解得1=1=13．∴=(13)K1；（2）a n•b n=23K1=2⋅3K1．令{3K1}的前n项和为R n，则=130+231+332+⋯+3K1，13=13+232+333+⋯+K13K1+3两式作差可得：23=1+13+132+⋯+13K1−3=1×(1−13)1−13−3=32−2r32⋅3，∴=94−2r34⋅3K1．则=2=92−2r32⋅3K1．3．（2015·山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n＝3n+3，所以2a1＝31+3＝6，故a1＝3，＝3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，即a n＝3n﹣1，所以a n=3，=13K1，＞1.．（Ⅱ）因为a n b n＝log3a n，所以b1=13，当n＞1时，b n＝31﹣n•log33n﹣1＝（n﹣1）×31﹣n，所以T1＝b1=13；当n＞1时，T n＝b1+b2+…+b n=13+[1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n]，所以3T n＝1+[1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n]，两式相减得：2T n=23+[30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n]=23+1−31−1−3−1−（n﹣1）×31﹣n=136−6r32×3，所以T n=1312−6r34×3，经检验，n＝1时也适合，综上可得T n=1312−6r34×3．题型三.分组求和1．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n﹣2，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a2＝2+d，a4＝2+3d，∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1•a4，即（2+d）2＝2（2+3d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，设b n＝a n﹣2=2n﹣22n＝2n﹣4n，故S n＝b1+b2+…+b n＝（2×1﹣41）+（2×2﹣42）+…+（2n﹣4n）＝2×（1+2+…+n）﹣（41+42+…+4n）＝2×or1)2−4(1−4)1−4＝n2+n+43−4r13．2．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{b n}满足=2，=2−1，2，=2，（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，可得a32＝a1a9，a3＝a1a3，可得（a1+2d）2＝a1（a1+8d），a1＝1，化简可得a1＝d＝1，即有a n＝n，n∈N*；（2）由（1）可得b n=2，=2−12，=2，k∈N*；前2n项和T2n＝（2+8+16+…+22n﹣1）+（4+8+12+…+4n）=2(1−4)1−4+12n（4+4n）=2(4−1)3+2n（n+1）．3．已知数列{a n}、{b n}满足：a n+1＝a n+b n，{b n+2}为等比数列，且b1＝2，a2＝4，a3＝10．（1）试判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{b n}不是等差数列．理由如下：由a n+1﹣a n＝b n，且a2＝4，a3＝10，b1＝2，得b2＝a3﹣a2＝6，又∵数列{b n+2}为等比数列，∴数列{b n+2}的首项为4，公比为2．∴3+2=4×22=16，得b3＝14，显然2b2＝12≠b1+b3＝16．故数列{b n}不是等差数列；（2）结合（1）知，等比数列{b n+2}的首项为4，公比为2．故+2=4⋅2K1=2r1，∴=2r1−2．∵a n+1﹣a n＝b n，b1＝2，a2＝4，∴a1＝2，∴−K1=2−2（n≥2）．令n＝2，…，（n﹣1）．得2−1=22−2，3−2=23−2，…−K1=2−2（n≥2），累加得−2=(22+23+⋯+2)−2(−1)（n≥2）．∴=(2+22+23+⋯+2)−2+2=2(2−1)2−1−2+2=2r1−2（n≥2）．又a1＝2满足上式，∴=2r1−2．∴=(22−2×1)+(23−2×2)+⋯+(2r1−2p＝（22+23+…+2n+1）﹣2（1+2+…+n）=4(2−1)2−1−2×or1)2=2r2−2−−4．题型四.讨论奇偶、绝对值求和1．数列{a n}的前n项和记为S n，对任意的正整数n，均有4S n＝（a n+1）2，且a n＞0．（1）求a1及{a n}的通项公式；（2）令=(−1)K14r1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，41=(1+1)2，则a1＝1；当n≥2时，由4S n＝（a n+1）2，知4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2，联立两式，得4a n＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，化简得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即{a n}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，故a n＝2n﹣1；（2）=(−1)K14r1=(−1)K14(2K1)(2r1)=（﹣1）n﹣1（12K1+12r1），下面对n分奇偶数讨论：当n为偶数时，T n＝（1+13）﹣（13+15）+…+（12K3+12K1）﹣（12K1+12r1）=1−12r1=22r1，当n为奇数时，T n＝（1+13）﹣（13+15）+…﹣（12K3+12K1）+（12K1+12r1）=1+12r12r22r1，所以T n=为奇数为偶数．2．已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5＝9，S5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）设=(−1)，求{b n}前2n项和T2n．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则5=1+4=95=51+5×42=25，整理，得1+4=91+2=5，解得1=1=2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，=o1+2K1)2=2．（2）由（1）知，设=(−1)=（﹣1）n•n2．T2n＝b1+b2+…+b2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＝（﹣12+22）+（﹣32+42）+…+[﹣（2n﹣1）2+（2n）2]＝[（2﹣1）×（2+1）]+[（4﹣3）×（4+3）]+…+[2n﹣（2n﹣1）]×[2n+（2n﹣1）]＝1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n=2δ(1+2p2＝2n2+n．3．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，a n+1＝2a n+4．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式并加以证明；（3）求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知，易得a2＝0，a3＝4，a4＝12．（2）猜想=2−4．因为a n+1＝2a n+4，所以a n+1+4＝2（a n+4），r1+4+4=2，则{a n+4}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以+4=2，所以==2−4．（3）当n＝1时，a1＝﹣2＜0，S1＝|a1|＝2；当n≥2时，a n≥0，所以=−1+2+⋯+=2+(22−4)+⋯+(2−4)=2+22+⋯+2−4(−1)=2(1−2)1−2−4(−1)=2r1−4+2，又n＝1时满足上式．所以，当n∈N*时，=2r1−4+2．题型五.数列求和选填综合1．首项为正数的等差数列{a n}中，34=75，当其前n项和S n取最大值时，n的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵首项为正数的等差数列{a n}中，34=75，∴5（a1+2d）＝7（a1+3d），整理，得：1=−112，∵a1＞0，∴d＜0，∴=−112B+oK1)2=2（n﹣6）2﹣18d，∴当其前n项和S n取最大值时，n的值为6．故选：B．2．在等比数列{a n}中，a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n＝a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为112(1−42)．【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：23=214+27=34，整理得：13=213+216=34，解得：1=14=2．则：=1K1=2K3，所以：b n ＝a 2n ﹣1﹣a 2n =22K32−22K3=−22n ﹣4，则：T 2n =−14(1−42)1−4=112(1−42)．故答案为：112(1−42)．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2且对于任意n ＞1，n ∈N *满足S n +1+S n ﹣1＝2（S n +1），则（）A ．a 4＝7B ．S 16＝240C ．a 10＝19D ．S 20＝381【解答】解：当n ≥2时，S n +1+S n ﹣1＝2（S n +1）⇒S n +1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2⇒a n +1＝a n +2．所以数列{a n }从第2项起为等差数列，a n =1，=12−2，≥2，所以，a 4＝6，a 10＝18．S n ＝a 1+(2+)(K1)2=n （n ﹣1）+1，S 16＝16×15+1＝241，S 20＝20×19+1＝381．故选：D ．4．已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系11+22+33+⋯+=12−1，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为（）A ．﹣454B ．﹣450C ．﹣446D ．﹣442【解答】解：数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，可得a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，由11+22+33+⋯+=12−1，可得11=12−1=−12，可得b 1＝﹣2，又11+22+⋯+K1K1=12K1−1，且11+22+33+⋯+=12−1，两式相减可得=12−12K1=−12，可得b n＝﹣（2n﹣1）•2n，则S5＝﹣2﹣3•4﹣5•8﹣7•16﹣9•32＝﹣454，故选：A．5．已知数列{a n}满足1=32，r1=3+3，若=3，则c1+c2+⋅⋅⋅+c n＝(2r1)⋅3−14．【解答】解：因为1=32，r1=3+3，所以1r1=+33=13+1，即1r1−1=13，所以数列{1}是首项11=23，公差为13的等差数列，所以1=23+13(−1)=r13，则=3=(+1)3K1，则1+2+⋅⋅⋅+=2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+(+1)×3K1，设T＝2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+（n+1）×3n﹣1①，则3T＝2×3+3×32+……+n×3n﹣1+（n+1）×3n②，①﹣②可得：﹣2T＝2+3+32+……+3n﹣1﹣（n+1）×3n＝1+3−13−1−（n+1）×3n，则=(2r1)⋅3−14．即1+2+⋅⋅⋅+=(2r1)⋅3−14．故答案为：(2r1)⋅3−14．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝λa n﹣2，其中λ为常数，若a n b n＝13﹣n，则数列{b n}中的项的最小值为−1214．【解答】解：根据题意，数列{a n}的满足a1＝2，S n＝λa n﹣2，当n＝1时，有a1＝S1＝λa1﹣2，即2＝2λ﹣2，解可得λ＝2，则S n＝2a n﹣2，①＝2a n﹣1﹣2，②则有S n﹣1①﹣②：a n＝2a n﹣2a n﹣1，变形可得a n＝2a n﹣1，则数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ，又由a n b n ＝13﹣n ，则b n =13−2，当n ≤13时，b n ≥0，当n ≥14时，b n ＜0，且{b n }为递增数列，则当n ＝14时，b n 取得最小值，此时b 14=−1214；故答案为：−1214．7．已知数列{a n }和{b n }首项均为1，且a n ﹣1≥a n （n ≥2），a n +1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n +1+a n b n +1＝0，则S 2019＝（）A ．2019B ．12019C ．4037D ．14037【解答】解：∵a n ﹣1≥a n （n ≥2），a n +1≥a n ，∴a n ≥a n +1≥a n ，∴a n ＝a n +1，另外：a 1≥a 2≥a 1，可得a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1．∵2S n S n +1+a n b n +1＝0，∴2S n S n +1+b n +1＝0，∴2S n S n +1+S n +1﹣S n ＝0，∴1r1−1=2．∴数列{1}是等差数列，首项为1，公差为2．∴1=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n =12K1．∴S 2019=14037．故选：D ．8．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2=13，11+22+⋅⋅⋅+=r1K1+6（n ≥2且n ∈N +），等比数列{b n }公比q ＝2，令c n =为奇数，为偶数，则数列{c n }的前n 项和S 2n ＝2n 2﹣n +4r1−43．【解答】解：因为a1＝1，a2=13，11+22+⋅⋅⋅+=r1K1+6（n≥2且n∈N+），①可得n＝2时，11+22=31+6，即b1+3b2＝b3+6，由等比数列的{b n}的公比为q＝2，即b1+6b1＝4b1+6，解得b1＝2，所以b n＝2n，当n＝3时，11+22+33=42+6，即2+3×4+83=3×16+6，解得a3=15，又11+22+⋯+K1K1=K2+6（n≥3，且n∈N+），②①﹣②可得，=r1K1−K2，即2=2r1K1−2K2，化为1+1K2=2K1，又11+13=6=22，所以{1}为等差数列，且公差d=12−11=2，则1=11+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以c n=2−1，为奇数2，为偶数，所以S2n＝1+22+5+24+…+（4n﹣3）+22n＝（1+5+…+4n﹣3）+（22+24+…+22n）=o1+4K3)2+4(1−4)1−4＝2n2﹣n+4r1−43．故答案为：2n2﹣n+4r1−43．9．已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2＝0，其中1=−12，设=K+1，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是（5，7）【解答】解：∵2a n a n+1+a n+3a n+1+2＝0，∴a n+1=−(+2)2+3，∴r1+1=−(+2)2+3+1=+12+3，∴1r1+1=2+3+1=2+1+1，即1r1+1−1+1=2，所以数列{1+1}是公差为2的等差数列，∵11+1=2，∴1+1=2+(−1)×2=2n，∴b n＝2n（n﹣λ），∴b n+1﹣b n＝2（n+1）（n+1﹣λ）﹣2n（n﹣λ）＝4n+2﹣2λ，因为b3为数列{b n}中唯一最小项，所以b1＞b2＞b3＜b4＜b5＜…，∴当n＝1时，b2﹣b1＝6﹣2λ＜0，得λ＞3，当n＝2时，b3﹣b2＝10﹣2λ＜0，得λ＞5，当n≥3时，4n+2﹣2λ＞0恒成立，即λ＜2n+1，即有λ＜7．所以5＜λ＜7．故答案为：（5，7）．课后作业.数列求和1．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1r1}的前n项和，若λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比．设公差为d，由已知得：41+6=14(1+2p2=1(1+6p，，联立解得d＝1或d＝0（舍去），a1＝2，故：a n＝n+1．（2）由（1）得：1r1=1(r1)(r2)=1r1−1r2，所以：=12−13+13−14+⋯+1r1−1r2．=12−1r2，=2(r2)．由于：λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，所以：2(r2)≤+2，解得：≤2(r2)2+4)+8，由于：+4≥≥4故：2(+4)+8≥16，即：λ≤16．故λ的最大值为16．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，a7＝14．（1）求数列{a n}的通项公式及S n；（2）若_____，求数列{b n}的前n项和T n．在①b n＝2•a n；②b n=2+r12；③b n＝（﹣1）n•a n这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3＝6，a7＝14．得4d＝a7﹣a3＝14﹣6＝8，解得d＝2，所以a1＝a3﹣2d＝6﹣4＝2，所以a n＝2+2（n﹣1）＝2n；S n=2（2+2n）＝n2+n．（2）若选择条件①：由（1）可知a n＝2n，则b n＝2•a n＝2n•4n，所以T n＝b1+b2+…+b n＝2×41+4×42++6×43…+（2n）•4n；4T n＝2×42+4×43+6×44+…+（2n）•4n+1，两式相减得：﹣3T n＝2×41+2×42+2×43+…+2×4n﹣2n•4n+1＝2×4(1−4)1−4−2n•4n+1=−83（1﹣4n）﹣2n•4n+1，所以T n=89（1﹣4n）+23•4n+1；若选择条件②：由a n＝2n，S n＝n2+n，得b n=2+r12=82+8r4or1)=8+4or1)=8+4（1−1r1），所以T n＝b1+b2+b3+…+b n＝8n+4（1−12+12−13+⋯+1−1r1）＝8n+4r1=82+12r1；若选择条件③：由a n＝2n，得b n＝（﹣1）n•a n＝（﹣1）n•2n，所以T n＝﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n，当n为偶数时，T n＝（﹣2+4）+（﹣6+8）++[﹣2（n﹣1）+2n]=2×2＝n，当n为奇数时，T n＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+[﹣2（n﹣2）+2（n﹣1）]﹣2n=K12×2n ＝﹣n﹣1，所以T n=，为奇数−−1，为偶数．3．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=(+1)2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2(−2)(r1)，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．【解答】解：（1）S n=(+1)2（n∈N*），当n＝1时，1=1(1+1)2，∴a1＝1，当n≥2时，由S n=(+1)2，得2=2+①取n＝n﹣1，得2K1=K12+K1②①﹣②得：2=2(−K1)=2−K12+−K1，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1＝1，n≥2，∴数列{a n}是等差数列，则a n＝n；（2）由S n=(+1)2，a n＝n，∴=or1)2，则=2(−2)(r1)=(−2)，∴=1−2+2(−2)2+⋯+K1(−2)K1+(−2)，−2=1+2−2+⋯+K1(−2)K2+(−2)K1，两式作差得：∴−3=1+1−2+⋯+1(−2)K1−(−2)=1−(−12)1−(−12)−(−2)=2+(−12)K13−(−2)，∴=3(−2)−2+(−12)K19=3r29(−2)−29．4．在数列{a n}中，a1=12，对任意的n∈N*，都有1(r1)r1=B+1B成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；并求满足S n＜1516时n的最大值．【解答】解：（I）∵a1=12，对任意的n∈N*，都有1(r1)r1=B+1B成立，∴1(r1)r1−1B=1．∴1B=2+（n﹣1）＝n+1，∴a n=1or1)．（II）a n=1or1)=1−1r1．∴数列{a n}的前n项和S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1−1r1)=1−1r1，S n＜1516，即1−1r1＜1516，解得n＜15，因此满足S n＜1516时n的最大值为14．。
高三数学试题及答案一轮
高三数学试题及答案一轮一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 在等差数列{a_n}中，若a_1 + a_3 + a_5 = 9，a_2 + a_4 + a_6 = 15，则a_7的值为：A. 7B. 9C. 11D. 133. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线C的一条渐近线方程为y = √2x，则双曲线C的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, 2]D. [1, √2]5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的数量积为：A. -1B. 0C. 1D. 36. 若直线l的方程为y = kx + 1，且直线l与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k的值为：A. 1B. -1C. √3D. -√37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f'(x) = 0的根为x = 1或x = 2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = 2C. x = 1和x = 2D. 无极值点8. 已知抛物线C的方程为y^2 = 4x，若抛物线C上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为：A. 4B. 5C. 6D. 79. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，且a = 3，b = 4，则三角形ABC的面积为：A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且f(1) = 0，f(2) = 0，则a + b + c的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，其前n项和为S_n，则S_5 = ________。
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每日一练10
1．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得22222
214(1)(1)14(1)x m x x m m
---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立，即
2
2213241m m x x -≤--+在3[,)2
x ∈+∞上恒成立。
当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以2
21543
m m -≤-，即
22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 2．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 2 ，
AC 的取值范围为 .
解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=⇒=
由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，
又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos θθ<<⇒
<<，
2cos AC θ∴=∈
3．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,
n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++=
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2
n D. 2
(1)n -
【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 22
2=，
0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.
4．（2009湖北卷文）（本小题满分12分）
已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55, a 2+a 7＝16. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝＝)(2
...222n 33221为正整数n b b b b n +++，求数列{b n }的前n 项和S n
解（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d>0
由a 2+a 7＝16.得12716a d += ① 由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ②
由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=。
即2
2569220d -=
24,0,2,11(1)221
n d d d a n n ∴=>∴==∴=+-⋅=-1又代入得a ①
（2）令121121,,2n
n n n n n n
b c a c c c a c c c +-==+++=++
+则有
两
式
相
减
得
11
1
1
1
1
1
1
,(1
)1,
2
,2(2
)2,(
1
)
2(
2
)
n n n n n
n n n
n
n n a a c a a c c n n b n b n +++
+++-=
=
-
=∴==≥
≥
=
⎧∴=⎨≥
⎩由得即当时，
又当n=1时， 于是3411232222n n n S b b b b +=+++=+++
+
=2
3
4
1
22222
n +++++
+-4=
1222(21)
426,2621
n n n n S +++--=-=--即。