2019-2020学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题(解析版)
江苏省如皋市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题及答案
江苏省如皋市2019~2020学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数学试题一､单项选择题1.已知过抛物线y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2,则实数的值为( ) A .4B .2C .1D .2.下列选择支中,可以作为曲线221y ax x =−−与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A .()1,−+∞B .()()1,00,−+∞C .()1,0−D .()2,−+∞3.气象资料表明,某地区每年七月份刮台风的概率为35,在刮台风的条件下,下大雨的概率为910,则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A .23B .2750C .910D .3104.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ,男生的人数为变量Y ,则()()22P X P Y =+=等于( )A .221020330C C CB .221020330C C C + C .211210101020330C C C C C +D .()()211210101020330C C C C C+⋅+5.某设备的使用年限x (单位:年)与所支出的维修费用y (单位:万元)如下表所示.已知y 与x 具有线性相关关系,且线性回归方程为1y ax =+,则实数a 的值为( )A .6B .4D .16.在直角坐标系x o y 中,双曲线C :221169x y −=的右支上有一点P ,该点的横坐标为5,12F F 是C 的左､右焦点,则12PF F △的周长为( ) A .452B .18C .814D .3527.由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A .288B .360C .480D .6008.已知a ,b 是平面α外的两条不同直线,它们在平面α内的射影分别是直线a ',b '(a '与b '不重合),则下列命题正确的个数是( ) (1)若ab ,则a b '';(2)若a b ⊥,则a b ''⊥; (3)若a b ''⊥,则a l1b ; (4)若a b ''⊥,则a ⊥b . A .0个B .1个C .2个D .3个二､多项选择题9.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是( ) A .这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B .这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C .这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D .这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为8112810.若随机变量()0,1N ξ,()()x P x φξ=≤,其中0x >,下列等式成立有( )A .()()1x x φφ−=−B .()()22x x φφ=C .()()21Px x ξφ<=−D .()()2Px x ξφ>=−11.在正三棱锥A BCD −中,侧棱长为3,底面边长为2,E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点,则下列命题正确的是( )A .EF 与AD 所成角的正切值为32B .EF 与AD 所成角的正切值为23C .AB 与面ACD 所成角的余弦值为12D .AB 与面ACD 所成角的余弦值为7912.如图,矩形ABCD 中,8AB =,6BC =,E ,F ,G ,H 分别是矩形四条边的中点,R ,S ,T 是线段OF 的四等分点,R ',S ',T '是线段CF 的四等分点,分别以HF ,EG 为x ,y 轴建立直角坐标系,设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ,2L ,ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ,2M ,ET 与GT '交于点N ,则下列关于点1L ,2L ,1M ,2M ,N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=,2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( ) A .三点1L ,1M ,N 在1Γ,点2M 在2Γ上B .1L ,1M 不在1Γ上,2L ,N 在1Γ上C .点2M 在2Γ上,点1L ,2L ,1M 均不在2Γ上D .1L ,1M 在1Γ上,2L ,2M 均不在2Γ上三､填空题13.采用随机数表法从编号为01,02,03,……,30的30个个体中选取7个个体,指定从下面随机数表的第一行第5列开始,由左向右选取两个数字作为应取个体的号码,则选取的第6个个体号码是______. 03 47 43 86 36 16 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 2636 7797 74 24 67 62 42 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 7989 7314.一个球的直径为2,则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______.15.已知双曲线22221x y a b−=(0a >,0b >),其右焦点为F ,过点F 作双曲线渐近线的垂线,垂足为Q ,线段PQ 的中点恰好在双曲线上,则双曲线的离心率为______. 16.已知()()10292190121911x x xx a a x a x a x −+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+,则18a =______;6a =______.四､解答题17.为了了解居民消费情况,某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额,根据所得数据绘制了样本频率分布直方图,如图所示,每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元,其中第六组､第七组､第八组尚未绘制完成,但是已知这三组的频率依次成等差数列,且第六组户数比第七组多500户, (1)求第六组､第七组､第八组的户数,并补画图中所缺三组的直方图;(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭,定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B 类家庭,定义月消费6千元以上的小家庭为C 类家庭,现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会,间A ,B ,C 各层抽取的户数分别是多少?18.在直三棱柱ABC A B C '''−中,1AC BC ==,90ACB ∠=︒,12CC =,M ,N 分别是1AB ､1BC 上的点,且::1:2BM MA BN NC ==. (1)求证:MN平面11ACC A ;(2)求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.19.已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,1A ,且它的右焦点为).(1)求椭圆E 的方程;(2)过A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E 于点B ､C (不同于点A ),且12AC AB =,求直线AB 的方程. 20.农机公司出售收割机,一台收割机的使用寿命为五年,在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务,费用为每次100元,每次维修时公司维修人员均上门服务,实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次;若实际维修次数少于购买的维修次数,则未提供服务的订购费用退还50%;如果维修次数超过了购买的次数,农机公司不再提供服务,收割机的维修只能到私人维修店,每次维修费用为400元,无须支付餐饮费;--位农机手在购买收割机时,需决策一次性购买多少次维修服务｡为此,他拟范收集､整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表:(1)这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次,农机手的花费总费用又是多少?(2)农机手购买了一台收制机,试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中,根据使用期内维修时花费的总费用期望值,帮助农机手进行决策.21.如图,ABC △是边长为3的正三角形,D ,E 分别在边AB ,AC 上,且1BD AE ==,沿DE 将ADE △翻折至A DE '△位置,使二面角A DE C '−−为60°. (1)求证:A C '⊥平面A DE '△; (2)求四棱锥A BDEC '−的体积.22.抛物线M :28y x =的焦点为F ,过焦点F 的直线l (与x 轴不垂直)交抛物线M 于点A ,B ,A 关于x 轴的对称点为1A .(1)求证:直线1A B 过定点,并求出这个定点;(2)若1A B 的垂直平分线交抛物线于C ,D ,四边形1A CBD 外接圆圆心N 的横坐标为19,求直线AB 和圆N 的方程.参考答案:一､单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D6.A7.A8.B二､多项选择题 9.ACD10.AC11.BC12.AC三､填空题 13.2014.1516.-9 8417.(1)设第六､七､八组的户数分别是x ,y ,z ,它们的频率之和为:()10.02520.050.150.200.250.30−⨯++++=, 所以这三组的户数之和为:100000.33000⨯=.由于这三组的频率依次成等差数列,所以x ,y ,z 也成等差数列,2y x z =+, 又3000x y z ++=,500x y −=,解得:1500x =,100y =,500z =. 所以第六､七､八组的小矩形高度分别为:15000.1510000=,10000.1010000=,5000.0510000=.补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10,第六､八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A 类家庭的频率之和为:0.0250.050.150.225++=; B 类家庭的频率之和为:0.200.250.150.60++=; C 类家庭的频率之和为:0.100.050.0250.175++=.故A ,B ,C 类家庭分别抽取的人数分别为:800.22518⨯=,800.648⨯=,800.17514⨯=. 答:(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户; (2)从A ,B ,C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户. 18.(1)方法一以C 为原点,CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()0,0,2C ,()11,0,2A ,()0,1,2B 设()111,,M x y z ,因为123AM AB =,所以()()11121,,1,1,23x y z −=−, 故111124333x y z ===,得:124,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 同理求得220,,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以12,0,33MN ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭.因为()0,1,0CB =是平面11ACC A 的一个法向量,且120010033CB MN ⎛⎫⎛⎫⋅=−⨯+⨯+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以CB MN ⊥,又MN ⊄平面11ACC A ,所以MN 平面11ACC A .方法二 延长1BN 交1CC 的延长线于L ,联结AL . 因为11//B B C L ,所以11::1:2B N NL BN NC ==, 又1:1:2B M MA =,所以11::B N NL B M MA =, 所以MN AL ,又AL ⊂平面11ACC A ,MN ⊄平面11ACC A ,所以MN平面11ACC A .(2)1112,,333B M ⎛⎫=−−⎪⎝⎭,12,0,33MN ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,设平面1MNB 的--个法向量为(),,n x y z =, 则1112033312033B M n x y z MN n x z ⎧⋅=−−=⎪⎪⎨⎪⋅=−−=⎪⎩即20,20,x y z x z −−=⎧⎨+=⎩令1z =,则2x =−,4y =−, 所以()2,4,1n =−−.又平面111A B C 的一个法向量为()10,0,2OC =, 设θ表示平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角,则()()12212041221212412n OC cos n OC θ⋅−⨯+−⨯+⨯===⋅−+−+⨯. 19.(1)由条件知:22226,411a b a b⎧−=⎪⎨+=⎪⎩. 解得:2282a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆E 的方程为:22182x y +=. (2)设直线AB :()12y k x −=−,将直线AB 的方程代入椭圆方程:22480x y +−=得:()2242180x k x +−+−=⎡⎤⎣⎦,即()()()2224280x x k x k ⎡⎤−++−+=⎣⎦,解得:2x =或2288241p k k x k −−=+.故2212241k AB k +=−==+.同理:AB ==因为2AB AC =,所以221241k k +=⨯+.化简得:21221k k +=−, 解得:32k =或16, 所以直线AB 的方程为:()3122y x −=−或()1126y x −=− 即3240x y −−=或640x y −+=.20.(1)购买6次维修,而实际维修次数为5次时的维修总费用为:610050550800⨯−+⨯=(元);购买6次维修,而实际维修次数为8次时的维修总费用为:610050624001700⨯+⨯+⨯=(元).(2)购买6次维修时:实际维修次数为6次时的维修总费用为:6100650900⨯+⨯=(元); 实际维修次数为7次时的维修总费用为:9004001300+=(元); 实际维修次数为9次时的维修总费用为:17004002100+=(元). 综合(1)的计算,订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表:()18000.39000.313000.217000.121000.11150E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元);若订购维修次数为7次时,维修总费用的概率分布表为:()28500.39500.310500.214500.118500.11080E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).因为()()12E E ξξ>,所以选订购7次维修较划算. 21.(1)在ADE △中,2AD =,1AE =,60DAE ∠=︒,所以222222cos 21221cos603DE AD AE AD AE DAE =+−⋅∠=+−⨯⨯⨯︒=,B所以2224DE AE AD +==,90AED ∠=︒即DE AE ⊥,DE EC ⊥;翻折后,DE A E '⊥,DE EC ⊥,又EA EC E '=,EA ',EC ⊂平面A EC ',所以DE ⊥平面A EC ',且60A EC '∠=︒, 又A C '⊂平面A EC ',所以DE A C '⊥①;在A EC '△中,1A E '=,2EC =,60A EC '∠=︒,与证明90AED ∠=︒同理可得:90EA C '∠=︒. 所以A C A E ''⊥②; 由于①②及A EDE E '=,A E ',DE ⊂平面A ED ',所以A C '⊥平面A DE '.(2)由(1)可知:DE ⊥平面A EC ',又DE ⊂平面BDEC ,所以平面BDEC ⊥平面A EC '. 在平面A EC '内过A '作A H EC '⊥于H ,由于平面A EC '平面BDEC EC =,所以A H '⊥平面BDEC ,又sin 602A H A E ''=︒=,且21321sin 602BDEC ABC ADE S S S =−=−⨯⨯⨯︒=△△所以117338A BDEC BDEC V S A H '−'=⋅==. 22.(1)设直线AB :2my x =−(0m ≠),代入抛物线方程得:28160y my −−=, 所以128y y m +=,1216y y =−, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()111,A x y −, 从而1A B :()121121y y y y x x x x ++=−−,令0y =得:()()()21122112121212122221622228my y my y m x y x y my y x y y y y y y m+++⨯−+===+=+=−+++,所以直线AB 过定点()2,0−. (2)由(1)知:()()()121212112=22A B y y y y k my my m y y ++=+−++, 且21y y −==当21y y −=,1A B k =直线1AB :)2y x =+,设线段1A B 的中点为()00,E x y ,则()01212y y y =−+=, 所以200242x y m −=+,所以(24E m +,从而CD:)242y x m −=−−即)246y x m =−−,上述方程代入28y x =得:()()2222212464601x m x m m ⎡⎤−++++=⎢⎥+⎣⎦(*), 因为CD 是1A B 的垂直平分线,所以线段CD 是圆N 的直径,所以()2212462191C D x x m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+=++=⨯+,解得:m =所以直线AB :20x −=.此时CD :236y x =−+,19x =时,2y =−,方程(*)化简为:2383240x x −+=,求得CD =圆N :()()22192185x y −++=;当21y y −=−,同理求得AB :20x −=,圆N :()()22192185x y −++=. 综上,直线AB :20x ±−=,圆N :()()22192185x y −+±=.。
2019-2020学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷+详解
2019-2020学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1A =，2}，{B a =，3}a -，若{1}A B = ，则实数(a =)A ．1-B ．1C ．4D ．1或42．（5分）已知复数z 满足(12)5z i +=，则复数(z =)A ．12i--B ．12i-+C ．12i-D ．12i+3．（5分）已知3log 4a =，1331log ,45b c -==，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>4．（5分）如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈，则2(λμ+=)A ．1B ．32C ．43D ．25．（5分）函数()cos f x x x =的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知两圆的方程分别是22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=，则这两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切7．（5分）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(páo )、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹“三类乐器，其中“土”包括“缶(fǒu )、埙(x ūn )“2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋“3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有()A ．24种B ．72种C ．144种D ．288种8．（5分）已知22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，直线11A B 与直线2B F 相交于点T ．若2A T 垂直于x 轴，则椭圆的离心率(e =)A ．13B C ．12D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】
（1）设 AC 中点为 G ， BC 的中点为 H ，连接 EG 、 FG 、 AH 、 DH ，
因为 AE BE ， AG GC ， CF DF ，
所以 EG//BC ， FG//AD ，
所以ÐEFG 就是直线 EF 与 AD 所成的角或补角，
FG 3
在三角形 EFG 中， EG 1，
字不能为 0，可得其取法数目，再选 3 个数字，排在中间，有 A43 种排法，由分步计数原理，
计算可得答案
【详解】根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有 A31 种取法，首位数字不能为 0，有 A41 种取
法，再选
3 个数字，排在中间，有 A43 种排法，则五位奇数共有 A31 A41 A43 288 ，
)
A. 1,
B. 1, 0 0, C. 1, 0
D.
2,
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据曲线 y ax2 2x 1 与 x 轴有两个交点得到 a 1 且 a 0 ，再根据充分不必要条件
的定义得解.
【详解】当
a=0
时，
x
1 2
，曲线
y
ax2
2x
1
与
x
轴有一个交点；
当 a≠0 时，
因为曲线 y ax2 2x 1 与 x 轴有两个交点，
故选：B 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二､多项选择题 9.如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，若从如城镇 中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是( )
243 A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 1024
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A ．1 B ．2 C ．π D ．2π【答案】C【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】 平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2．命题：“1x ∀≥，220x x +->”的否定是( ) A ．1x ∃<，220x x +-> B ．1x ∀≥，220x x +-≤ C ．1x ∃<，220x x +-≤ D ．1x ∃≥，220x x +-≤【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项. 【详解】由于原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到否定结论而不是否定条件，所以AC 选项错误，D 选项正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3．已知直线l 的方向向量a ＝(﹣1，1，2)，平面α的法向量b ＝(12，λ，﹣1)．若l ∥α，则实数λ的值为( )A ．﹣2B ．12-C ．52D ．25【答案】C【解析】由于线面平行，所以0a b ⋅=，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于//l α，所以0a b ⋅=，即1202λ-+-=，解得52λ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的向量表示，考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题.4．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )A ．224199x y += B ．221369y x +=C ．224199x y +=或221369y x += D ．224199x y +=或224199y x += 【答案】C【解析】分成3a =或3b =两种情况，求得椭圆的标准方程.【详解】当椭圆焦点在x 轴上时，3a =，则322a b ==，所以椭圆方程为224199x y +=. 当椭圆焦点在y 轴上时，3b =，则26a b ==，所以椭圆方程为221369y x +=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆长轴、短轴关系.5．已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是( )A ．2a b +B ．11a b +C D 【答案】B【解析】令1,2a b ==，代入选项，由此判断出最大的数. 【详解】令1,2a b ==，则22113,32a b a b =+===+11a b+最大. 由于,a b 为互不相等的正实数，所以a b +>2a b <<+而222a b ab +><<.而11a b +>所以11a b+最大.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题. 6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分， 光源放在焦点F 处．己知灯口直径为60cm ，光源距灯口的深度为40cm ，则光源到反射镜的顶点的距离为( )A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】A【解析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，由此求得光源到反射镜的顶点的距离. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则抛物线上一点的坐标为40,302p ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入抛物线方程()220y px p =>得2302402p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得10,52pp ==，所以光源到反射镜的顶点的距离为5cm . 故选：A【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题. 7．直线12y x b =+能作为下列函数图象的切线的是( )A ．1y x=B ．2cos y x x =-C ．ln(1)y x =-D ．2x y e =-【答案】C【解析】对四个选项逐一分析函数的导函数的值能否为12，由此确定正确选项. 【详解】 对于A选项，'210y x =-<，切线的斜率不可能为12，故A 选项错误. 对于B选项，'2sin 1y x =+≥，切线的斜率不可能为12，故B选项错误.对于C 选项，'11,312y x x ===-，故切线的斜率可能为12，故C 选项正确. 对于D选项，'220x y e =-<，切线的斜率不可能为12，故D选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数导数的运算，考查切线的斜率，属于基础题.8．已知x ，y 均为正实数，且x ＋y ＝1，若1ax y+的最小值为9，则正实数a 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．80【答案】B【解析】利用“1的代换”的方法，利用基本不等式，以1ax y+的最小值为9列式，由此求得a 的值. 【详解】 依题意()111119a a y ax x y a a a x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++=++= ⎪⎝⎭，)420=，解得4a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9．设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”时，如{}{}{}{}{}U U 1,2,3,1,2,1,2,2,3,U A C B C B C =====⊆，但{}2A B ⋂=，所以不能推出“A B ＝∅”.当“A B ＝∅”时，则A 的非空子集C 的补集UC ，必包含B ，也即“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”.故“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，BU ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的必要不充分条件. 故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查集合子集、补集等知识的运用，属于基础题.10．设等比数列{}n a 共有2n ＋1(N n *∈)项，奇数项之积为S ，偶数项之积为T ，若S ，T ∈{100，120}，则1n a +＝( ) A ．65 B ．56C ．20D ．65或56【答案】A【解析】分别求得奇数项之积S ，偶数项之积T ，由此求得1n a +的值. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .则()()11102421113211111n n n n nn n n n n S a a a a q a q a q a +++++++++++=⋅⋅⋅=⋅=⋅==，()2135212421111nn n n n n nn n T a a a a qa q a qa ++++-+=⋅⋅⋅=⋅=⋅==，1n S T a +=⋅ 由于{},100,120S T ∈，所以1T >，而n 为正整数，所以11n a +>，1n S T a T+=⋅>，即120,100S T ==，所以112061005n S a T +===. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式，考查分析、思考与解决问题的能力，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于A选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A选项错误.对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a+=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理，考查基底的概念，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．已知双曲线C ：2214y x -=，则()A ．双曲线C 的离心率等于半焦距的长B ．双曲线2214x y -=与双曲线C 有相同的渐近线C ．双曲线C 的一条准线被圆x 2＋y 2＝1D ．直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2 【答案】ACD【解析】根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】双曲线2214y x -=焦点在x 轴上，且1,2,a b c ===2y x =±，准线方程为25a x c =±=±.对于A 选项，双曲线C的离心率为cc a==，所以A 选项正确. 对于B选项，双曲线2214x y -=的渐近线为12y x =±，与曲线C的渐近线不相同，故B 选项错误.对于C 选项，双曲线C的一条准线方程为5x =代入221x y +=，解得5y =±，所以弦长为255=，所以C选项正确.对于D 选项，直线y kx b =+与双曲线C 的公共点个数可能为0,1,2，故D 选项正确.故选：ACD 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题. 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则()A ．60a >B ．2437d -<<- C ．0n S <时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD【解析】将已知条件化简，根据6770,0a a a +><判断出60a >.由此判断A 是否正确.利用将已知条件转化为1,a d 的形式列不等式组，解不等式组求得d 的取值范围.由此判断B 是否正确.利用13120,0S S <>，判断出0n S <时，n 的最小值，由此判断C 是否正确.根据数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中项的符号和分子分母的变化规律，判断D是否正确. 【详解】依题意得()1123111267212,122,12602a a a a d a d S a a +=+==-=⨯=+>，而70a <，所以610,0,0a a d >><，A选项正确.且716167161240512302112470a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩，解得2437d -<<-，B 选项正确.由于113137131302a a S a +=⨯=<，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13.由上述分析可知，[]1,6n ∈时，0n a >，7n ≥时，0n a <；当[]1,12n ∈时，0n S >，当13n ≥时，0n S <.所以当[]7,12n ∈时，0,0n n a S <>，0nnS a <，且当[]7,12n ∈时，na 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项.故选：ABCD 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查数列的单调性，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.三、填空题14．已知函数()()ln f x x a x =+，()f x '是函数()f x 的导函数．若(1)(1)f f '=，则实数a 的值为_______．【答案】1-【解析】利用()()'11f f =列方程，解方程求得a 的值.【详解】 依题意()()''ln ,11x a f x x f a x+=+=+，()10f =，由()()'11f f =得10,1a a +==-.故答案为：1- 【点睛】本小题主要考查导数的计算，属于基础题.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3m ，则该椭圆的离心率为_______．【答案】45【解析】根据题意求得2,2a c ，由此求得椭圆的离心率. 【详解】依题意可知2 2.4,23c a ==，所以椭圆离心率为2 2.44235c a ==. 故答案为：45 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的计算，属于基础题. 16．今年10月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km /h ．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v (m /s )与行使时间t (s )的关系v ＝0.4t ＋0.6t 2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24m /s 时加速度为_______(m /s 2)． 【答案】7.6【解析】先求得24/m s 时对应的时间，然后利用导数求得此时的加速度. 【详解】当24v =时，20.40.624t t +=，解得6t =（负根舍去）.'0.4 1.2v t =+，当6t =时，'0.4 1.267.6v =+⨯=2/m s .故答案为：7.6 【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题.17．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°．△ABD 中，∠ADB ＝90°，∠ABD ＝45°，且AC ＝1．将△ABD 沿边AB 折叠后，（1）若二面角C —AB —D 为直二面角，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为_______；（2）若二面角C —AB —D 的大小为150°，则线段CD 的长为_______．2【解析】作出二面角C AB D --的平面角.（1）当二面角C AB D --为直角时，判断出直线CD 与平面ABC 所成的角，解直角三角形求得线面角的正切值.（2）当二面角C AB D --大小为150时，结合余弦定理进行解三角形，由此求得CD 的长. 【详解】依题意∆ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°．△ABD 中，∠ADB ＝90°，∠ABD ＝45°，且AC ＝1．所以2,BC AB ==，2AD BD AB ===.设,E F 分别是,AB BC的中点，所以1//,2EA EB DE CE EF AC EF ======,,EF AB ⊥DE AB ⊥，所以DEF ∠是二面角C AB D --的平面角，1FB FC ==.（1）当二面角C AB D --为直角时，由于DE AB ⊥，根据面面垂直的性质定理可知DE ⊥平面ABC ，所以ECE ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角.在Rt DEC ∆中tan DE ECE CE ∠===. （2）当二面角C AB D --大小为150时，即150DEF ∠=，在三角形DEF中，由余弦定理得DF==.在三角形DBF 和三角形DBC 中，cos cos DBF DBC ∠=∠，由余弦定理得22222222BD FB DF BD BC CD BDFB BD BC +-+-=⋅⋅⋅⋅，26761444412CD +-+-=，24,2CD CD ==.故答案为：(1).217(2). 2【点睛】本小题主要考查根据二面角求线面角、线段长度，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查余弦定理，属于中档题.四、解答题 18．已知命题p ：方程2213x y m m+=-表示焦点在y 轴的椭圆；命题q ：关于x 的不等式x 2﹣mx ≤2m 2(m ＞0)的解集中恰有两个正整数解．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）判断p 是q 成立什么条件?并说明理由．【答案】（1）302m <<；（2）命题p 是命题q 成立的必要不充分条件，理由见解析.【解析】（1）利用焦点在y 轴上的椭圆的条件，求得p 为真命题时，m 的取值范围.（2）求得命题q 中m 的取值范围，由此判断p 是q 成立的必要不充分条件. 【详解】（1）由于方程2213x y m m+=-表示焦点在y 轴的椭圆，所以30m m ->>，记得302m <<.所以当p 为真命题时，302m <<. （2）不等式()2220x mx m m -≤>，即()()22220x mx m x m x m --=-+≤，由于0m >，所以不等式解得2m x m -≤≤，由于不等式()2220x mx m m -≤>的解集中恰有两个正整数解，所以223m ≤<，解得312m ≤<.所以当q 为证明题时，312m ≤<.所以命题p 是命题q 成立的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查椭圆的焦点与标准方程，考查一元二次不等式的解法，考查充分、必要条件的段，属于基础题. 19．已知数列{}n a 满足：11a =，前n 项和23n S n pn =-，N n *∈． （1）求实数p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，121b b a =，434b a a =+．若{}n b 的前n项和为nT ，求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列． 【答案】（1）2,65n p a n ==-.（2）详见解析. 【解析】（1）利用1a 求得p 的值.利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用基本元的思想求得等比数列{}n b 的首项和公比，由此求得n T ，进而证得16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【详解】（1）依题意1131a S p ==-=，所以2p =.所以232n S n n =-.当2n ≥时，()()221323121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦65n =-.11a =也符合上式，所以65n a n =-.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由1211b b a ==，得211b q =①，由434b a a =+，得3132b q =②，联立①②解得11,42b q ==，所以()()1141241146nn n T ⋅-==⋅--，所以11466n nT +=⋅.所以当2n ≥时，1111466411466nn n n T T --+⋅==+⋅，又11263T +=，所以数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以23为首项，4为公比的等比数列. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等比数列前n 项和公式，考查等比数列的证明，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的焦点F 在y轴上，其准线与双曲线2y -213x =的下准线重合．（1）求抛物线的标准方程； （2）设A (0x ，0y )(0x ＞0)是抛物线上一点，且AF ＝52，B是抛物线的准线与y 轴的交点．过点A 作抛物线的切线l ，过点B 作l 的平行线l ′，直线l ′与抛物线交于点M ，N ，求△AMN 的面积． 【答案】（1）22x y =；（2）332【解析】（1）根据双曲线的下准线求得抛物线的准线方程，由此求得抛物线的标准方程.（2）根据抛物线的定义求得A 点的坐标，由此求得切线l 的方程，求得B 点的坐标，进而求得直线'l 的方程，由此求得弦长MN ，利用点到直线距离公式求得A 到直线'l 的距离，进而求得三角形AMN 的面积. 【详解】（1）双曲线2213x y -=的下准线方程为12y.设抛物线的标准方程为()220xpy p =>，由题意，122p -=-，所以1p =，所以抛物线的标准方程为22x y =.（2）由01522AF y =+=，得02y =，所以()2,2A .由22x y =即212y x =，得'y x =，所以抛物线在A 点处的切线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为()222y x -=-，即220x y --=.因为抛物线的准线与y 轴的交点B 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的平行线'l 的方程为122y x =-，由22122x yy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得2410x x -+=.设,M N 的横坐标分别为12,x x ，则12124,1x x x x +==，所以221244523215MN =+⋅-=⋅=.点A 到直线'1:202l x y --=的距离为213422252512d --===+，所以113321522225AMN S MN d ∆=⋅⋅=⋅⋅=.【点睛】本小题主要考查双曲线的准线方程，考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积的求法，属于中档题.21．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，N 为AD 的中点．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段PC 上且满足PM PC λ=，直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为15，求实数λ的值．【答案】（1）10；（2）12.【解析】以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系. （1）利用向量法计算出异面直线PB 与CD 所成角的余弦值.（2）由PM PC λ=求得NM ，结合平面PBC 的法向量，利用直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又因为90BAD ∠=，所以,,AB AD AP 两两垂直.以A 为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.由4,2AD AP AB BC ====，N为AD 的中点，得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,4,0A B C D ，()()0,0,4,0,2,0P N .所以()()2,0,4,2,2,0PB CD =-=-，设异面直线PB 与CD 所称的角的大小为θ，则cos cos ,20PB CD PB CD PB CDθ⋅====⋅.所以异面直线PB 与CD （2）设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，因为()()0,2,0,2,0,4BC BP ==-，由00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20240y x z =⎧⎨-+=⎩，取1z =，得2,0x y ==，所以()2,0,1n =.因为()2,2,4PC =-，所以PM PC λ=()2,2,4λλλ=-，所以()2,22,44NM NP PM λλλ=+=--.依题意cos ,NM n NM n NMn⋅=⋅()()()222444230222445λλλλλ-+==+-+-⋅，化简得2122070λλ-+=，解得12λ=或76λ=，由于M 在线段PC 上，所以12λ=.【点睛】本小题主要考查线线角的求法，考查根据线面角求参数值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 22．设等差数列{}n a 的公差d 大于0，前n 项的和为n S ．已知3S ＝18，1a ，3a ，7a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，都有k (n S ＋18)≥n a 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设22n n nS b -=(*n N ∈)．若s ，t *N ∈，s ＞t ＞1，且s t b b =，求s ，t 的值．【答案】（2）22n a n =+；（2）29k ≥；（3）2,3t s == 【解析】（1）结合等比中项的性质列方程，将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S ，将不等式()18n n k S a +≥分离常数k ，利用换元法，结合基本不等式，求得k 的取值范围. （3）求得n b 的表达式，利用1n n b b +-判断出数列n b 的项的大小关系，由此确定,t s 的值. 【详解】（1）由于137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅，依题意有()()312111331826S a d a d a a d =+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，由于0d >，故方程组解得14,2a d ==，所以22n a n =+.即{}n a 的通项公式为22n a n =+. （2）由（1）得()214232n n n n S n n -=+⨯=+，由于对任意的*n N ∈，都有()18n n k S a +≥恒成立，所以222318n k n n +≥++对任意的*n N ∈恒成立.设()*222,318n f n n N n n +=∈++，令1t n =+，则()()22216161t f n g t t t t t===++++()*,2t N t ∈≥.因为168t t +≥=，当且仅当16,4t t t ==时等号成立，所以()g t 的最大值为29，即()f n 的最大值为29，此时*3n N =∈，所以实数k 的取值范围是29k ≥. （3）由条件，2322n n n n b +-=，则()()221113123222n nn n n n n n b b +++++-+--=-()()1322n n n +-+-=，所以12345b b b b b <=>>>.因为*,,1s t N s t ∈>>，所以2,3t s ==.即符合条件的,s t 的值分别为2,3t s ==. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的离心率为12，且椭圆E 的短轴的端点到焦点的距离等于2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）己知A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过x 轴上一点P （异于原点）作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆E 相交于C ，D 两点，且直线AC 与BD 相交于点Q ．①若k ＝1，求线段CD 中点横坐标的取值范围；②判断OP OQ ⋅是否为定值，并说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）①,00,77⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②为定值4，理由见解析【解析】（1）根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，由此求得椭圆的标准方程. （2）①当1k =时，设直线l 的方程为y x m =+，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列不等式求得m 的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得CD 中点的横坐标，根据m 的取值范围，求得CD 中点的横坐标的取值范围. ②将,C D 两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线l 的方程为y kx m =+，求得P 点的坐标，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理.利用直线AC 和直线BD 的方程进行化简，求得Q 点的横坐标，由此求得4OP OQ =⋅ 【详解】（1）由于椭圆离心率为12，且椭圆E 的短轴的端点到焦点的距离等于2，所以222122c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）①当1k =时，设直线l 的方程为y x m =+，()()1122,,,C x y D x y ，CD 中点坐标为()00,x y ，由22143y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22784120x mx m ++-=.所以1287mx x +=-.由()2264284120m m ∆=-->，解得m <<故CD中点横坐标为1204,2777x x m x ⎛+==-∈- ⎝⎭，当0m =时，即CD 的中点为原点时，AC 与BD 重合，不满足条件.所以线段CD中点横坐标的取值范围是0,77⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. ②OP OQ ⋅为定值，理由如下：因为,A B 分别为椭圆E 的左右顶点，所以()()2,0,2,0A B -，因为()()1122,,,C x y D x y 在椭圆上，所以2222112214343x y x y +=+=，所以221222123444y y x x ==---，所以()()121211223232,2424x x y y x y x y ++=-=---.设直线l 的方程为y kx m =+，则,0m P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，，也是要()()221212231234m k y y kx m kx m k -=++=+，又直线AC 与直线BD的方程分别为()1122y y x x =++与()2222yy x x =--，两方程相除得()()()()1212211222322224Q Q x x y x x x x y y y ++++==---()1212122434x x x x y y +++=-⋅()()()222222k m k mk m k m k m--==+-+，解得4Q k x m =-，所以OP OQ ⋅44P Q m k x x k m ⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆的离心率和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆交点坐标，考查直线和直线交点坐标，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}，则()(U M N =I ð)A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，3}D ．{0，1}2．（5分）已知向量(1,)a m =r ，(2,1)b =-r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数(m = ) A ．3B ．12C ．12-D ．3-3．（5分）函数2()43x f x x x=+-的定义域为( )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{|4}x x >D ．{|1}x x <-4．（5分）函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()4g π的值为( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 5．（5分）函数()||x f x e ln x =g（其中e 是自然对数的底数）的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，则()(f a b += )A ．2-B ．1-C ．1D ．27．（5分）已知tan()6πα-=sin (sin()3απα=+ ) A ．52B ．72C． D8．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>…的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，且()f x 在(,)2ππ不存在最值，则ϕ的值为( )A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在第小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．（5分）下列4个结论中，正确的结论是( ) A ．对任意角α，使得cos()cos παα+=B ．存在角α和β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．存在无穷多个角α和β，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D ．对任意角α和β，都有tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-g10．（5分）关于函数()y f x =，()y g x =，下述结论正确的是( ) A ．若()y f x =是奇函数，则(0)0f =B ．若()y f x =是偶函数，则|()|y f x =也为偶函数C ．若()()y f x x R =∈满足f （1）f <（2），则()f x 是区间[1，2]上的增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+也是R 上的增函数 11．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列结论正确的是( )A ．12AC a b =+u u u r r rB ．12BC a b =-+u u u r r rC ．1233BM a b =-+u u u u r r rD ．14EF a b =-+u u u r r r12．（5分）设函数()|sin |f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在(0,)2π上是单调增函数C ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 D ．函数()f x 的值域是[0，2]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan2α=，则cos2α=．14．（5分）已知函数12()sin221xf x x=-+，则()()1g x f x=+是函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式2()(410)2f x x f x-+--„的解集为．15．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则AG DFu u u r u u u rg的值为．16．（5分）已知函数21,0()2,02xa xf x sin x xπ⎧-⎪=⎨<<⎪⎩„其中0a>，且1a≠，若函数()1y f x=-有3个不同的零点1x，2x，3x，且123x x x++>，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合1|02xA xx-⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{|3xB y y==，}x a„．（1）若1a=，求A BU；（2）若()RB A≠∅Ið，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q的右侧），点O为半圆的圆心，已知2AB=，点43(,)55P，设POQα∠=．（1）若2πα=，求AQ AOu u u r u u u rg的值；（2）若点Q的纵坐标为12，求cosα的值．19．（12分）已知函数2()log (1)1mf x x =+-，其中m 为实数． （1）若1m =，求证：函数()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值．20．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，)C ，点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1AB dm =，设ABC θ∠=． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大．当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值．21．（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，3AC =，D 是BC 的中点，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，BE 与AD 交于点G ． （1）设AG AD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值；（2）设H 是BE 上一点，且HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，求GH BC u u u u r u u u rg 的值．22．（12分）已知函数2()|3|1f x x ax =---，其中0a >． （1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x -…对任意的实数(1,0)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}，则()(U M N =I ð)A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，3}D ．{0，1}【解答】解：全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}， 则{1U M =ð，2，3}， 所以(){1U M N =I ð，2}． 故选：A ．2．（5分）已知向量(1,)a m =r ，(2,1)b =-r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数(m = ) A ．3B ．12C ．12-D ．3-【解答】解：向量(1,),(2,1)a m b ==-r r， 则(1,1)a b m -=-+rr ，又()a b b -⊥r r r ，则()0a b b -=r rr g ， 即121(1)0m -⨯-⨯+=， 解得3m =-． 故选：D ．3．（5分）函数()x f x =的定义域为( )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{|4}x x >D ．{|1}x x <-【解答】解：由2310430x x x ⎧->⎨+->⎩，解得04x <<． ∴函数()x f x =的定义域为{|04}x x <<．故选：B ．4．（5分）函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()4g π的值为( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 【解答】解：数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()sin(2)3y g x x π==+的图象，所以1()42g π=．故选：B ．5．（5分）函数()||x f x e ln x =g（其中e 是自然对数的底数）的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ， 当x →+∞，()f x →+∞，排除B ， 故选：A ．6．（5分）已知函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，则()(f a b += )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：根据题意，函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，其定义域为R ，设0x >，则0x -<，则2()2f x ax x =-，22()()()f x x b x x bx -=--+-=--，则有222()()(2)()(1)(2)0f x f x ax x x bx a ax b x +-=-+--=--+=，分析可得1a =，2b =-， 故2()(1)121f a b f +=-=-+=； 故选：C ．7．（5分）已知tan()6πα-=sin (sin()3απα=+ ) A ．52B ．72C． D【解答】解：Q tan()6πα-=∴tan tantan 61tan tan 6πααπα-==+，解得tan α=，∴sin sin 72sin()sin coscos sin333ααπππααα===++． 故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，且()f x 在(,)2ππ不存在最值，则ϕ的值为( )A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【解答】解：函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，sin()06πωϕ∴-+=，sin()13πωϕ+=±．16k πωϕπ∴-+=，232k ππωϕπ+=+．1k ，2k Z ∈．212()1k k ω∴=-+．()f x Q 在(,)2ππ不存在最值，22()2T πππω∴=>-，可得：02ω<<． 1ω∴=．则16k πϕπ=+，||2πϕ…．6πϕ∴=．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在第小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．（5分）下列4个结论中，正确的结论是( ) A ．对任意角α，使得cos()cos παα+=B ．存在角α和β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．存在无穷多个角α和β，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D ．对任意角α和β，都有tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-g【解答】解：对于A 选项，由诱导公式可得，cos()cos παα+=-，即A 错误； 对于B 选项，当0αβ==时，有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+，即B 正确； 对于C 选项，当2k απ=，22k πβπ=-+，k Z ∈时，符合题意，即C 正确；对于D 选项，当2παβ==时，tan α，tan β均无意义，即D 错误．故选：BC ．10．（5分）关于函数()y f x =，()y g x =，下述结论正确的是( ) A ．若()y f x =是奇函数，则(0)0f =B ．若()y f x =是偶函数，则|()|y f x =也为偶函数C ．若()()y f x x R =∈满足f （1）f <（2），则()f x 是区间[1，2]上的增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+也是R 上的增函数 【解答】解：对于A 选项，只有当函数()f x 的定义域包含0 时，若()y f x =是奇函数，则(0)0f =，即A 错误；对于B 选项，当x x =-时，|()||()|y f x f x y =-==，所以|()|y f x =是偶函数，即B 正确； 对于C 选项，f （1）f <（2）不代表对于任意的1x ，2[1x ∈，2]，均有12()()f x f x <，即C 错误；对于D 选项，增函数+增函数=增函数，即D 正确． 故选：BD ．11．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC与BD 交于M ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列结论正确的是( )A ．12AC a b =+u u u r rrB ．12BC a b =-+u u u r r r C ．1233BM a b =-+u u u u r r rD ．14EF a b =-+u u u r r r【解答】解：由题意可得，12AC AD DC b a =+=+u u u r u u u r u u u r r r，故A 正确；1122BC BA AC a b a b a =+=-++=-u u u r u u u r u u u r r r r r r，故B 正确；2212233333BM BA AM a AC a b a b a =+=-+=-++⨯=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r r r r r r r，故C 错误；111244EF EA AD DF a b a b a =++=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r，故D 正确．故选：ABD ．12．（5分）设函数()|sin 3|f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在(0,)2π上是单调增函数C ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 D ．函数()f x 的值域是[0，2]【解答】解：()|sin 3cos ||2sin()|3f x x x x π=+=+，对于选项A ，最小正周期为1221ππ⨯=，所以A 正确；对于选项B ，()|2sin()|2663f πππ=+=，()|2sin()|3333f πππ=+显然()()63f f ππ>，即B错误；对于C 选项，令3x k ππ+=，则,3x k k Z ππ=-+∈，当1k =时，有23x π=，即C 正确； 对于D 选项，因为sin()[1,1]3x π+∈-，所以()|2sin()|[03f x x π=+∈，2]，即D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan 2α=，则cos2α= 35- ．【解答】解：tan 2a =Q ，221143cos21145tan a tan αα--∴===-++． 故答案为：35-．14．（5分）已知函数12()sin 221x f x x =-+，则()()1g x f x =+是 奇 函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式2()(410)2f x x f x -+--„的解集为 ．【解答】解：根据题意，函数12()sin 221x f x x =-+，其定义域为R ，则2()()1sin 1221x x g x f x =+=-++，则222()()1sin()1sin 1221212xx xx x g x f x ---=-+=-+=--+++g ，有222222()()(sin 1)(sin 1)2()022********x xx x x xx x g x g x +-=-++--+=-+=++++g g ，即()g x 为奇函数，不等式2()(410)2f x x f x -+--„，变形可得2()1(410)10f x x f x -++-+„，即2()(410)0g x x g x -+-„，又由2()()1sin 1221x x g x f x =+=-++，()g x 为R 上的增函数，则22222()(410)0()(410)()(104)1043100g x x g x g x x g x g x x g x x x x x x -+-⇒---⇒--⇒--⇒+-剟剟?，解可得：52x -剟，即不等式的解集为[5-，2]； 故答案为：奇，[5-，2]．15．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点，则AG DF u u u r u u u rg 的值为 0 ．【解答】解：Q 窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点； 设小正方形EFGH 的边长为2，则1EF GF ==；∴()()21cos021cos1800AG DF AF FG DE EF AF DE AF EF FG DE FG EF AF EF FG DE =++=+++=+=⨯⨯︒+⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g g g g ；故答案为：0．16．（5分）已知函数21,0()2,02x a x f x sin x x π⎧-⎪=⎨<<⎪⎩…其中0a >，且1a ≠，若函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1230x x x ++>，则实数a 的取值范围是 2(0,)2． 【解答】解：根据题意可判断01a <<，否则不会有3个不同零点，且函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x 等价于函数()f x 与1y =的图象有3个不同的交点，不妨设123x x x <<，作图如下：由图可知，当02x <<时，2sin()12x π=有两个根2x ，3x ，解得213x =，353x =，因为1230x x x ++>，所以123()2x x x >-+=-，而111x a -=，即有1log 22a x =>-，因为01a <<，所以22a -<，即122a -<，解得a <，所以a 的取值范围是，故答案为2． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{|3x B y y ==，}x a „．（1）若1a =，求A B U ；（2）若()R B A ≠∅I ð，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）依题意，1|0{|(1)(2)0}{|21}2x A x x x x x x x -⎧⎫=>=-+>=-<<⎨⎬+⎩⎭，当1a =时，{|3x B y y ==，1}{|03}x y y =<剟， 所以{|23}A B x x =-<U „． （2）由（1）知{|21}A x x =-<<，则{|2R A x x =-„ð，或1}(x =-∞…，2][1-U ，)+∞，(0B =，3]a ， 因为()R B A ≠∅I ð，所以31a …，解得0a …； 所以实数a 的取值范围是[0，)+∞．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，点43(,)55P ，设POQ α∠=．（1）若2πα=，求AQ AO u u u r u u u r g 的值；（2）若点Q 的纵坐标为12，求cos α的值．【解答】解：（1）设POB β∠=，则3sin 5β=，4cos 5β=． 所以3cos()cos()sin 25Q x παβββ=+=+=-=-，2((1),)(0(1),0)15Q Q Q AQ AO x y x =----=+=u u u r u u u r g g ．（2）由题意可得：13sin()sin 25αββ+=<=，且(0,)αβπ+∈，(0,)2πβ∈， 所以(,)2παβπ+∈，所以56παβ+=，56παβ=-． 所以5553413343cos cos()cos cos sin sin 666525πππαβββ-=-=+=+g g ． 19．（12分）已知函数2()log (1)1mf x x =+-，其中m 为实数．（1）若1m =，求证：函数()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值．【解答】（1）证明：由题意，当1m =时，221()log (1)log ()11xf x x x =+=--． 对于1x ∀，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 121212112222212121221()()log log log ()log 111x x x x x x xf x f x x x x x x x x ---=-==----g 12x x <Q ，12x x ∴->-，121122x x x x x x ∴->-．又1x Q ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 12221(1)0x x x x x ∴-=->，即1211221x x x x x x ->-，∴1212122log ()0x x x x x x ->-，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数．（2）解：依题意，221()log (1)log ()11m x m f x x x +-=+=--， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=． 211()()log ()log()11x m x m f x f x x x -+-+-∴-+=+---211log ()()11x m x m x x -+-+-=---g2(1)1log ()()11x m x m x x --+-=+- 2222(1)log ()01x m x --==-， 222(1)1x m x ∴--=-， 2(1)1m ∴-=， 解得0m =或2m =．20．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，)C ，点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1AB dm =，设ABC θ∠=． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大．当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值．【解答】解：设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ABC ∆中，sin AC θ=，cos BC θ=； 在直角PBC ∆中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ===g g ，sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ===g g ； （1）222sin cos sin 1sin sin sin 1AC CP θθθθθθ+=+=+-=-++，(0,)3πθ∈，所以当1sin 2θ=，即6πθ=，AC CP +的最大值为54； （2）在直角ABC ∆中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆==g g ，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ==g g ；在直角PBC ∆中，sin()cos (sin cos cos sin )333PC BC πππθθθθ=-=-g g ，所以312sin cos 2cos (cos sin )2CH CP θθθθθ+=+-，(0,)3πθ∈， 所以21333sin 23cos sin cos sin 2cos2sin(2)23CH CP πθθθθθθθ+=+-=++=++， 所以当6πθ=，CH CP +达到最大．21．（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，3AC =，D 是BC 的中点，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，BE 与AD 交于点G ． （1）设AG AD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值；（2）设H 是BE 上一点，且HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，求GH BC u u u u r u u u rg 的值．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xAy ，则(0,0)A ，(0,2)B ，(3,0)C ．（1）由2AE EC =u u u r u u u r，得(2,0)E ，所以(2,2)BE =-u u u r ．由D 是BC 的中点，得3(,1)2D ，所以3(,1)2AD =u u u r ．设(,)G x y ，则(,)AG x y =u u u r ，(,2)BG x y =-u u u r．因为A 、G 、D 三点共线，所以//AG AD u u u r u u u r ，即32x y =，①因为B 、G 、E 三点共线，所以//BG BE u u u r u u u r，即2(2)2y x -=-，②联立①②得解得故点G 的坐标为64(,)55，所以64(,)55AG =u u u r ．所以45AG AD =u u u r u u u r ，所以实数λ的值为45． （2）设(,2)H t t -+，则(,2)HA t t =--+u u u r ，(,)HB t t =-u u u r ，(32)HC t t =--u u u rg． 因为HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，所以22()(2)(3)(2)t t t t t t -+-=--+-，解得45t =，所以H 的坐标为46(,)55，所以22(,)55GH =-u u u u r ．又(3,2)BC =-u u u r，所以223(2)255BC GH =-⨯+⨯-=-u u u r u u u u r g ．22．（12分）已知函数2()|3|1f x x ax =---，其中0a >． （1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x -„对任意的实数(1,0)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，222324,2()|23|1322,2x x x f x x x x x x ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+⎪⎩…，当32x <时，22()24(1)5f x x x x =+-=+-， 所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在3(1,)2-上单调递增．当32x …时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，所以()f x 在3[,)2+∞上单调递增．因为函数()f x 的图象在R 上不间断，所以()f x 的单调减区间是(,1)-∞-，单调增区间是(1,)-+∞． （2）依题意，2|3|123x ax x ----„对任意(1,0)x ∈-恒成立． 因为(1,0)x ∈-，0a >，所以30ax -<， 故不等式可化为23123x ax x +---„，即12a x x-++…，所以问题转化为不等式12a xx-++…对任意(1,0)x∈-恒成立．又12y xx=-++在(1,0)-上单调递减，所以121122y xx=-++<-+=，所以2a…．（3）22234,()|3|132,x ax xaf x x axx ax xa⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+⎪⎩…，其中0a>．显然，当3xa<时，2()3f x x ax=+-至多有2个不同的零点，且当3xa…时，2()2f x x ax=-+至多有2个不同的零点，又()f x有4个不同的零点，所以()f x在3(,)a-∞和3[,)a+∞上都各有2个不同的零点，所以()023()0affa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩且32()023()0aaaffa⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，即222()40423()10322042a aaaaaa aa⎧+--<⎪⎪⎪->⎪⎪⎨⎪>⎪⎪⎪-+<⎪⎩gg，又0a>，解得3a<<，所以实数a的取值范围是3a<<．。
江苏省如皋市2019_2020学年高二数学上学期教学质量调研试题(一)(含解析)
精品文档，欢迎下载！江苏省如皋市2019-2020学年高二数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1.抛物线22x y =-的准线方程为（ ） A. 18x =B. 18y =C. 12x =D. 12y =【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ，再直接求出其准线方程． 【详解】解：因为抛物线的标准方程为：22x y =-，焦点在y 轴上；所以：22p =，即1p =， 所以：122p =， 所以准线方程12y =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．2.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==， 由12=PF ，可得2|2|||4PF -=， 解得26PF =（−2舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．3.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)4x y b b-=>经过点，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. y =B. 2y x =±C. 12y x =±D. y x =±【答案】D 【解析】 【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【详解】解：∵双曲线22214x y b -=经过点，∴224614b-=，解得b =又2a =，∴该双曲线的渐近线方程是y x =． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．4.已知椭圆22:1(0)y C x n n +=>的离心率为2，则n 的值为（ ）A.14或4 B.14C.12或2 D.12【答案】A 【解析】 【分析】通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．【详解】解：椭圆22:1(0)y C x n n +=>可得：椭圆的焦点坐标在x =， 解得14n =；椭圆的焦点坐标在y =， 解得4n =． 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．5.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等【答案】D 【解析】【详解】09k <<Q ，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-实半轴长为5，焦距为=双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选：D.6.已知椭圆2212:1x C y m +=(1m >)与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的值为（ ）A. 1B.35C.53【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得22111,3m n n m -=+=，解方程可得,m n ，再由离心率公式，化简计算可得所求值．【详解】解：椭圆2212:1x C y m +=(1m >)与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，可得2211m n -=+，即222n m =-，①若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13n m =，② 由①②可得31,22m n ==，则1253e m n e ⋅====．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A. B. ±1C. 34±D. ±【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出M 的横坐标，代入抛物线方程解出M 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，Q 点M 到焦点F 的距离等于M 到准线2px =-的距离， 所以22M px p +=， 32M x p ∴=代入抛物线方程解得M y =，2MMFM y k p x ∴==-A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..8.已知直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则b 的取值范围是（ ） A. (1,2) B. ()1,+∞C. [)1,+∞D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M ，要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内，代入可求． 【详解】解：由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x y b b+=>总有公共点， 则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内， 则211b≤且24b < ∴12b ≤<． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在x 轴上的条件的考虑，误认为只有211b≤． 9.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A. B.C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长．【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩， 化简得()222214420kxk x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k ---+==--， 因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k -+==-， 解得22k =，所以2242101A B k x x k--==-， 则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===故选：D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设出12,l l 的方程，分别与抛物线24x y =联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 的坐标，进而可以求出OM ON ⋅u u u u r u u u r，利用基本不等式求其最小值． 【详解】解：由F 是抛物线24x y =的焦点，得(0,1)F ， 设1:1l y kx =+， 1122(,),(,)A x y B x y联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 12441kx x k -∴+=-=, ()221211112y y kx kx k x x ∴+=+++=++242k =+()22,21M k k ∴+设21:1y x l k=-+， 3344(,),(,)C x y D x y 联立2114y x kx y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2440x x k -=+， 344x k x ∴+=-,334434112x x x x y y k k k +∴+=-+-+=-+242k =+222,1N k k ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭()()22222222,21,14211OM ON k k k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r222121k k =++≥+5=． 故选：C ．【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A.C.D. 7【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为故选C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.过点()1,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，若2AM MB =则直线l 的斜率为（ ）A.2B.7C. 2±D. 7±【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-，与椭圆方程联立．由2AM MB =，可得122y y =-，将其与韦达定理联立，即可解出直线l 的斜率． 【详解】解：设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-．联立22122my x x y =-⎧⎨+=⎩，化为：()222210m y my ++-=，>0∆， 12122221,22m y y y y m m ∴+=-=-++． 2AM MB =Q ，即2AM MB =u u u u r u u u r()12020y y ∴-=-，即122y y =-．联立1221221222122m y y m y y m y y -⎧+=⎪+⎪⎪=-⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =．m ∴= ∴直线l的向斜率1k m == 故选：C ．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12F PF ∆的面积为_________.【解析】 【分析】依题意，在12F PF ∆中，123F PF π∠=，12||||24PF PF a +==，122F F =，利用余弦定理可求得12||||F P P F ⋅的值，从而可求得12F PF ∆面积．【详解】解：∵椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ∴===．又∵P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，12,F F 为左右焦点，∴12||||24PF PF a +==，122F F =，()221212121222cos3F F PF PF PF PF PF PF π∴=+-⋅-⋅12163PF PF =-⋅4=，124P P F F ∴⋅=，121211sin 4232PF F S PF PF π∆∴=⋅=⨯=．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的，则双曲线的标准方程为_________.【答案】22144x y -=【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，则221b a-=-，即a b =，则双曲线的渐近线方程为y x =±， 设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =， 所以双曲线的方程为22144x y -=．故答案为：22144x y-=．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.如图，已知OAP∆和ABQ∆均为等边三角形，它们的边长分别,m n，抛物线()220y px p=>恰好经过点,P Q，则mn=_________.【答案】12【解析】【分析】根据已知写出,P Q坐标，代入抛物线方程，即可求出结果．【详解】解：由已知(,0),(,0)A m B m n+，得33(,),(,)2222m m n n P Q m-+，因为抛物线()220y px p=>恰好经过点,P Q，223222322m m p n n p m⎧⎛⎫⎪-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪⎛⎫=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎩，两式相除可得222m m n m n=+，设(0)m t t n=>，则221t t t=+，解得：12t=，即m n=12．故答案：12． 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O到直线AB 的距离为1时，则OAB ∆面积的最大值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB 长度，利用二次函数求AB 长度最值，最后写出OAB ∆的面积．【详解】解：当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =±， 不妨取1x =来计算，将1x =代入椭圆方程得：2y =±，AB \=；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y 当O 到直线AB1=，整理得221m k =+，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，21212228441414kmm x x x x k k-∴+=-=++， ()()()22222212122281616||1411414km m AB kx x x x k k k ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫=++-+- ⎪++=⎢⎥⎣⎦⎢⎝⎭⎥⎣⎦()()()()()()22222222222264161614641616111414k m m k k mk k k k --++-+=+++=⋅⋅()()()()()222222222641616*********k k k k k k k +-+=+=+++⋅设2,)4(11t k t =>+，则214k t -=， ()222224813(1)963||311344(1)4t t t AB t t t t tt ⋅+-===-+--⎛⎫⋅ ⎪⋅+⎝+=--+⎭， 当31t=，即3t =时，2AB 取最大值4， 综上，AB 的最大值为2，OAB ∴∆面积的最大值为11212⨯⨯=． 故答案为：1．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共82分）17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程； （2）求OA OB ⋅u u u r u u u r的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=u u u r u u u r【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ， 则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=u u u r u u u r ．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y x m =+与抛物线交于,A B 两点，(1,6)P -是抛物线准线上的点，连结,PA PB . （1）若1m =-，求AB 长；（2）若PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形，求m 的值. 【答案】（1）8AB =（2）1m =- 【解析】 【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出12x x +，利用弦长公式12AB x x p =++即可求出结果；（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出AB 的中点为M 的坐标，利用PM AB ⊥，斜率乘积为-1，列方程求解即可．【详解】解（1）设()()1122,,,A x y B x y 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+= 则126x x +=， 则1262822p pAB AF BF x x =+=+++=+=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M 联立24y x m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+= 则124y y +=，则1222M y y y +== 则(2,2)M m -.又PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形 ∴PM AB ⊥ ∴1PM AB k k ⋅=- ∴4113m⨯=--+∴1m =-.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．19.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴222c a =∴212e = 又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．20.如图，马路l 南边有一小池塘，池塘岸MN 长40米，池塘的最远端O 到l 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路,,AB BC CD ，且,,AB BC CD 均与小池塘岸线相切，记BAD θ∠=.（1）求小路的总长，用θ表示；（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，tan θ的值.【答案】（1）tan 800(0tan 40)2sin AB BC CD θθθ++=+<<（2）当tan 202θ=时，所需铺草坪面积最小 【解析】 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线AB 的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出,B C 的坐标，表示出AB BC CD ++，变形即可得结果；（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．【详解】解：（1）以O 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 作垂直于x 轴的直线为y 轴，建立直角坐标系，所以(20,400),(20,400)M N -，因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为22(0)x py p =>， 因为(20,400)M -是曲线上一点，所以12p =，即抛物线方程为2y x =. 设AB 所在的直线方程：(tan )y kx t k θ=+=，联立2y kx t y x=+⎧⎨=⎩，即20x kx t --=， 因为AB 与抛物线相切， 所以240k t ∆=+=①. 记直线AB 与抛物线切于点Q ， 所以Q 点的横坐标为(0,20)2k∈，即(0,40)k ∈. 易得点,0t B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点400,400t A k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对称性可知,0t C k ⎛⎫⎪⎝⎭，点400,400t D k -⎛⎫-⎪⎝⎭. 所以小路总长为2240022400t AB BC CD k k ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭由①及tan θk =可知tan 800(0tan 40t 2an in )2s AB BC CD θθθθ++=+=+<<； （2）记草坪面积为S ，梯形面积为1S ，小池塘面积为2S ，所以12S S S =-，因为小池塘面积2S 为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小111400()400240022t t S BC AD k k -⎛⎫=+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，由①知1800200S k k ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭(0,40)k =”取得“＝”所以当tan θ=【点睛】本题考查抛物线的应用，建立适当坐标系，将长度，面积问题的计算都转化为坐标运算，是中档题．21.已知椭圆222:1(3x y C a a +=>的焦距为2，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点（异于,A B ），连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出直线,AM AN ，和椭圆联立，利用韦达定理，求出,M N 的坐标，利用点斜式写出直线MN 的方程，观察直线，得出直线恒过定点．【详解】解：（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线:(2)AM y k x =+，22(2)34120y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，即()2222341616120k x k x k +++-=， 所以221122161216,3434A A k k x x x x k k--⋅=+=++， 所以2126834k x k-=+，代入直线:(2)AM y k x =+，得21234k y k =+， 所以点2226812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设直线:3(2)BN y k x =-，223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，即()2222112484840k x k x k +-+-= 所以22222248448112112B B k k x x x x k k-⋅=+=++， 所以222242112k x k -=+，代入直线:3(2)BN y k x =-，得212112k y k -=+ 所以点22224212,112112k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 当MN 斜率不存在时，22226824234112k k k k--=++， 解得214k =，此时121x x ==，直线MN 过点(1,0)； 当MN 斜率存在时， 所以22222221212434112682421434112MN k k k k k k k k k k k +++==----++， 直线22222468124:(1)14343414k k k k MN y x x k k k k⎛⎫-=-+=- ⎪-++-⎝⎭， 所以直线恒过定点(1,0)．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和点斜式方程，求出直线过定点，对学生计算能力要求较高，难度比较大．22.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>经过点，(0,1)F 是C 的一个焦点，过F 点的动直线l 交椭圆于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有0MA MB k k +=，若存在求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在这样的定点M ，坐标为()0,2，详见解析 【解析】【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出点,,M A B ，联立直线l 和椭圆C ，将0MA MB k k +=用韦达定理和斜率公式变形整理，利用恒成立的意义，即可求出点M 的坐标． 【详解】解（1）由题意得2222211121c a b a b c =⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 所以1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即椭圆C 的方程为：2212y x +=. （2）假设存在这样的点M ，设点()00,M x y ，点()()1122,,,A x y B x y ，设直线:1l y kx =+，联立221220y kx y x =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()222210k x kx ++-=， 所以12122221,22k x x x x k k --+=⋅=++.因为010201020MA MB y y y y k k x x x x --+=+=--， ()()()()010022010y y x x y y x x ∴--+--=，()000120121212()20y x y x x x y y y x y x ∴-+-+++=，()()()()00120111221022011y x y x x x k x x kx x kx x ⎡⎤∴-+-++++++⎦=⎣， ()()00000121222120y x x y x k x x kx x ∴--+-++=，()000002221222022k y x k k y x x k k +-∴-+-=++ 整理得：()2000000224440x y k y k x y x +-+-=.因为任意的直线l （斜率存在）都成立，所以00000020240440x y y x y x =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0002x y =⎧⎨=⎩， 所以存在这样的定点M ，坐标为()0,2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对条件等式变形，对学生计算能力要求较高，难度比较大．。
2019-2020年江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
2019-2020学年江苏省如皋市高二上学期教学质量调研(一)数学试题(解析版)
则 ，
∴
将 代入得
.
∴直线 与直线 的斜率之和为2.
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．
20．如图，马路 南边有一小池塘，池塘岸 长40米，池塘的最远端 到 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 ，且 均与小池塘岸线相切，记 .
7．已知抛物线 上一点 到抛物线焦点 的距离等于 ，则直线 的斜率为()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义可求出 的横坐标，代入抛物线方程解出 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 到焦点 的距离等于 到准线 的距离，
所以 ，
代入抛物线方程解得 ，
当 到直线 的距离 ，
整理得 ，
联立 ，消去 得 ，
，
设 ，则 ，
，
当 ，即 时， 取最大值4，
综上， 的最大值为2，
面积的最大值为 ．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．
三、解答题
17．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，直线 交双曲线于 两点，连结 .
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形 为等腰直角三角形，可得 ，可得 ，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，进而可得到所求双曲线的方程．
【详解】
解：设双曲线 的右焦点为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由三角形 为等腰直角三角形，
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2019-2020学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知过抛物线2y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．2C ．1D ．3【答案】B【解析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出弦长即得解. 【详解】由题得抛物线的焦点坐标为(,0)4a ，当x=4a 时，所以2244a a y a =⨯=，所以|y|=2a所以弦长为2=22aa ⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．下列选择支中，可以作为曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A ．()1,-+∞ B ．()()1,00,-+∞U C ．()1,0- D ．()2,-+∞【答案】C【解析】先根据曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点得到1a >-且0a ≠，再根据充分不必要条件的定义得解. 【详解】当a=0时，12x =-，曲线221y ax x =--与x 轴有一个交点；当a≠0时，因为曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点，所以=4+40,1a a ∆>∴>-.所以1a >-且0a ≠. 由于选择支是充分不必要条件，所以选择支对应的集合是()()1,00,-⋃+∞的真子集， 只有选项C 满足题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，考查二次函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35，在刮台风的条件下，下大雨的概率为910，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A ．23 B ．2750C ．910D ．310【答案】B【解析】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB ，由题得9(|)10P B A =，化简即得解. 【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB ，由题得39(),(|)510P A P B A ==, 所以9()()(|)=310()5P AB P AB P B A P A ==, 所以9327()10550P AB =⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ，男生的人数为变量Y ，则()()22P X P Y =+=等于( )A．221020330C CCB．221020330C CC+C．211210201020330C C C CC+D．()()211210201020330C C C CC+⋅+【答案】C【解析】求出(X2),P(Y2)P==,即得解.【详解】由题得211210201020333030(2),(2)C C C CP X P YC C====,所以(X2)P(Y2)P=+==211210201020330C C C CC+.故选：C.【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．某设备的使用年限x(单位:年)与所支出的维修费用y(单位:万元)如下表所示.已知y 与x具有线性相关关系，且线性回归方程为ˆ1y ax=+，则实数a的值为( )A．6 B．4 C．2 D．1【答案】D【解析】先求出样本中心点，代入回归直线方程即得解.【详解】由题得23456246674,555x y++++++++====，所以样本中心点为（4,5），所以5=4a+1,所以a=1.故选：D.【点睛】本题主要考查回归直线方程的样本中心点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．在直角坐标系x o y中，双曲线C:221169x y-=的右支上有一点P，该点的横坐标为5，1F、2F是C的左､右焦点，则12PF F△的周长为( )A ．452B ．18C ．814D ．352【答案】A【解析】先求出29||4PF =，再利用双曲线的几何性质求出12PF F V 的周长. 【详解】由题得5c ==，因为P 点的横坐标为5,所以212PF F F ⊥,所以29||4PF =， 所以1941||+24=44PF =⨯， 所以12PF F V 的周长为94145++10=442. 故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A ．288 B ．360 C ．480 D ．600【答案】A【解析】根据题意，首先分析末位数字，易得末位数字可以为1、3、5，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，由分步计数原理，计算可得答案 【详解】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有13A 种取法，首位数字不能为0，有14A 种取法，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，则五位奇数共有113344288A A A =， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位数字不能为0，属于基础题．8．已知a ，b 是平面α外的两条不同直线，它们在平面α内的射影分别是直线a '，b '(a '与b '不重合)，则下列命题正确的个数是( ) (1)若//a b ，则//a b ''；(2)若a b ⊥r r，则a b '⊥'；(3)若a b '⊥'，则//a b ； (4)若a b '⊥'，则a ⊥b . A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】（1）直接判断得解；（2）举出一个反例//a b ''即可判断错误；（3）举出一个反例，,a b 相交即可判断错误；（4）举出反例，a,b 不垂直即可判断错误. 【详解】(1)若//a b ，则//a b ''，是正确的；(2)若a b ⊥r r，则a b '⊥'是错误的，因为a b 、''有可能平行或者相交；(3)若a b '⊥'，则a //b 是错误的，因为a,b 有可能相交、异面；(4)若a b '⊥'，则a ⊥b 是错误的，因为a,b 可能不垂直.故选：B 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多选题9．如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD【解析】利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解. 【详解】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．若随机变量()0,1N ξ:，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( ) A ．()()1x x φφ-=- B ．()()22x x φφ= C ．()()21P x x ξφ<=- D ．()()2P x x ξφ>=-【答案】AC【解析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，得到正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=„，0)x >，由此可解决问题． 【详解】Q 随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=Q „，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ． 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．在正三棱锥A BCD -中，侧棱长为3，底面边长为2，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则下列命题正确的是( ) A ．EF 与AD 所成角的正切值为32B ．EF 与AD 所成角的正切值为23C ．AB 与面ACD 所成角的余弦值为7212D ．AB 与面ACD 所成角的余弦值为79【答案】BC【解析】如图所示，先找出EF 与AD 所成角再求解，再找出AB 与面ACD 所成角求解. 【详解】（1）设AC 中点为G ，BC 的中点为H ，连接EG 、FG 、AH 、DH ， 因为AE BE =，AG GC =，CF DF =， 所以//EG BC ，//FG AD ，所以EFG Ð就是直线EF 与AD 所成的角或补角， 在三角形EFG 中，1EG =，32FG =， 由于三棱锥A BCD -是正三棱锥，BC DH ⊥，BC AH ⊥，又因为,AH HD ⊂平面ADH ，AH DH H ⋂=，所以BC ⊥平面ADH ，AD⊂Q平面ADH，所以BC AD⊥，所以EG FG⊥，所以12tan332EGEFGFG∠===，所以A错误B正确.（2）过点B作BO垂直AF，垂足为O.因为CD BF⊥，CD AF⊥，,,BF AF F BF AF=⊂I平面ABF，所以CD⊥平面ABF，BO⊂Q平面ABF，所以CD BO⊥，因为BO AF⊥，,,AF CD F AF CD=⊂I平面ACD，所以BO⊥平面ACD，所以BAO∠就是AB与平面ACD所成角.由题得3,2,3BF AF AB===，所以7cos2122322122BAO∠===⋅⋅所以C正确D错误.故答案为：BC.【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．如图，矩形ABCD中，8AB=，6BC=，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R'，S'，T'是线段CF的四等分点，分别以HF，EG为x，y轴建立直角坐标系，设E R与GR'､ER与GT'分别交于1L，2L，ES 与GS'､ES与GT'交于1M，2M，ET与GT'交于点N，则下列关于点1L，2L，1M，2M，N与两个椭圆:1Γ:221169x y+=，2Γ:2231329x y+=的位置关系叙述正确的是( )A ．三点1L ，1M ，N 在1Γ，点2M 在2Γ上B ．1L ，1M 不在1Γ上，2L ，N 在1Γ上C ．点2M 在2Γ上，点1L ，2L ，1M 均不在2Γ上D ．1L ，1M 在1Γ上，2L ，2M 均不在2Γ上 【答案】AC【解析】求出1L 的坐标，证明1L 在1Γ上；求出2M 的坐标，证明点2M 在2Γ上.即得解. 【详解】由题得E （0，-3），R （1,0），所以直线ER 的方程为1,333yx y x +=∴=--. 由题得G （0,3），9(4,)4R '，所以9334416GR k '-==-， 所以直线GR '的方程为3316y x =-+， 联立13396135,(,)16515133y x L y x ⎧=-+⎪∴⎨⎪=-⎩,1L 的坐标满足椭圆1Γ:221169x y +=，所以1L 在1Γ上.由题得ES 的方程为1,32623x y x y +=∴-+=--. 由题得3(0,3),(4,)4G T ',所以3394,416GT k '-==- 所以直线GT '的方程为9316y x =-+， 联立直线ES 和GT '方程得23215(,)1111M ,23215(,)1111M 满足2Γ:2231329x y +=，所以点2M 在2Γ上.所以选项BD 错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确. 故选：AC【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题13．采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是______.03 47 43 86 36 16 47 80 45 69 11 14 16 95 36 61 46 98 63 71 62 33 26 36 77 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 52 24 52 79 89 73 【答案】20【解析】利用随机数表写出依次选取的号码即得解. 【详解】指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的号码依次是：16,11,14,26,24,20,27.所以第6个号码是20. 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______.【答案】【解析】设底面正方形的边长为2x ，棱柱高为2y ，则棱柱侧面积16S xy =．根据2．化简得2221x y +=，进而结合基本不等式可得S 的最值．【详解】设底面正方形的边长为2x ，棱柱高为2y ，则棱柱侧面积16S xy =．Q 正四棱柱为半径为R 的球的内接正四棱柱，∴2=．即2221x y +=，由基本不等式得：222x y +…， 即22xy „，16S xy ∴=„即内接正四棱柱的侧面积的最大值是，故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式，由基本不等式得到2xy „是解答的关键．15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】由题意设(),0F c ，相应的渐近线方程为b y x a =，根据题意得PF ak b=-，设,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入PF a k b =-得2a x c =，则2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则线段PF 的中点为21,22a ab c c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入双曲线方程得2211144a c a c a c ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221111144e e e ⎛⎫⎛⎫+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22e =，∴e =16．已知()()10292190121911x x xx a a x a x a x -+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则18a =______；6a =______.【答案】9- 84【解析】求出186,x x 的系数即得解.【详解】设()101x -的通项为1010110(1)rrr r T C x --+=-，令r=0,则010101110;T C xx ==令r=1,则1101991010(1)=10T C x x -=--， 所以18a =()11+1109⨯⨯-=-；令r=4,则466510210;T C x x ==令r=5,则510555610(1)=252T C x x -=--， 令r=6,则644710210;T C x x ==令r=7,则710733810(1)=120T C x x -=--，令r=8,则82291045;T C x x ==令r=9，则91091010(1)=10T C x x -=--，令r=10,则10011101;T C x ==所以621012521210112014511011184a =⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=. 故答案为：(1). 9-；(2). 84. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题17．为了了解居民消费情况，某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额，根据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元，其中第六组､第七组､第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次成等差数列，且第六组户数比第七组多500户，(1)求第六组､第七组､第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图；(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭，定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B 类家庭，定义月消费6千元以上的小家庭为C 类家庭，现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会，间A ，B ，C 各层抽取的户数分别是多少?【答案】(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户，直方图见解析；(2)从A ，B ，C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户.【解析】（1）设第六､七､八组的户数分别是x ，y ，z ，再通过已知求出它们即得解，再求出第六､七､八组的小矩形高度，补充完整频率分布直方图；（2）求出A 类家庭的频率之和、B 类家庭的频率之和、C 类家庭的频率之和，即得解. 【详解】(1)设第六､七､八组的户数分别是x ，y ，z ，它们的频率之和为:()10.02520.050.150.200.250.30-⨯++++=， 所以这三组的户数之和为:100000.33000⨯=.由于这三组的频率依次成等差数列，所以x ，y ，z 也成等差数列，2y x z =+， 又3000x y z ++=，500x y -=，解得:1500x =，100y =，500z =. 所以第六､七､八组的小矩形高度分别为:15000.1510000=，10000.1010000=，5000.0510000=.补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10，第六､八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A 类家庭的频率之和为:0.0250.050.150.225++=； B 类家庭的频率之和为:0.200.250.150.60++=； C 类家庭的频率之和为:0.100.050.0250.175++=.故A ，B ，C 类家庭分别抽取的户数分别为:800.22518⨯=，800.648⨯=，800.17514⨯=.答:(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户； (2)从A ，B ，C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．在直三棱柱ABC A B C '''-中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，12CC =，M ，N 分别是1AB ､1BC 上的点，且::1:2BM MA BN NC ==.(1)求证://MN 平面11ACC A ；(2)求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2)2121【解析】（1）以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明//MN 平面11ACC A ；（2）利用向量法求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 【详解】(1) 以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()11,0,2A ，()10,1,2B ， 设()111,,M x y z ，因为123AM AB =u u u u r u u u r ，所以()()11121,,1,1,23x y z -=-，故111124,,,333x y z ===得:124,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理求得220,,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12,0,33MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r .因为()0,1,0CB =uu r是平面11ACC A 的一个法向量， 且120010033CB MN ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，所以CB MN ⊥u u u r u u u u r，又MN ⊄平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A .(2)1112,,333B M ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，12,0,33MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，设平面1MNB 的--个法向量为(),,n x y z =r，则1112033312033B M n x y z MN n x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩u u u u v v u u u u v v即20,20,x y z x z --=⎧⎨+=⎩ 令1z =，则2x =-，4y =-，所以()2,4,1n =--r. 又平面111A B C 的一个法向量为()10,0,2OC =u u u u r，设θ表示平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角，则()()11222041221cos 212412n OC n OC θ-⨯+-⨯+⨯===⋅-++⨯⋅-r u u u u rr u u u u r . 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,1A ，且它的右焦点为)6,0.(1)求椭圆E 的方程；(2)过A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E 于点B ､C (不同于点A )，且12AC AB =，求直线AB 的方程.【答案】(1)22182x y +=；(2)3240x y --=或640x y -+=【解析】(1)由条件知22226,411a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解方程即得解；（2）设直线AB :()12y k x -=-，利用弦长公式求出|AB|,|AC|，根据|AB|=2|AC|得解. 【详解】(1)由条件知22226,411a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩. 解得:2282a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为:22182x y +=.(2)设直线AB :()12y k x -=-，将直线AB 的方程代入椭圆方程:22480x y +-=得:()2242180x k x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，即()()()2224280x x k x k ⎡⎤-++-+=⎣⎦，解得:2x =或2288241B k k x k --=+. 故2212241k AB k +=-=-=+. 同理:AC ==.因为2AB AC =，所以221241k k -=⨯+.化简得:21221k k +=-，解得:32k =或16，所以直线AB 的方程为:()3122y x -=-或()1126y x -=- 即3240x y --=或640x y -+=. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；如果维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费；--位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务. 为此，他拟范收集､整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表:(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少?(2)农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策.【答案】(1)800元，1700元；(2)选订购7次维修较划算【解析】（1）根据已知条件直接求出购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用，购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用；（2）先求出购买维修次数为6次和7次的总费用期望值，再帮助农机手进行决策.【详解】(1)购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为:⨯-+⨯=(元)；610050550800购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为:610050624001700⨯+⨯+⨯=(元).(2)购买6次维修时:⨯+⨯=(元)；实际维修次数为6次时的维修总费用为:6100650900+=(元)；实际维修次数为7次时的维修总费用为:9004001300+=(元).实际维修次数为9次时的维修总费用为:17004002100综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表:维修次数 5 6 7 8 9维修总费用1ξ800 900 1300 1700 2100P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1()18000.39000.313000.217000.121000.11150E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)；若订购维修次数为7次时，维修总费用的概率分布表为: 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用1ξ 850 950 1050 1450 1850 P 0.30.30.20.10.1()28500.39500.310500.214500.118500.11080E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).因为()()12E E ξξ>，所以选订购7次维修较划算. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．如图，ABC V 是边长为3的正三角形，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且1BD AE ==，沿DE 将ADE V 翻折至A DE 'V 位置，使二面角A DE C '--为60°.(1)求证:A C '⊥平面A DE 'V ； (2)求四棱锥A BDEC '-的体积. 【答案】(1)见解析；(2)78【解析】（1）先证明DE A C ⊥'和A C A E '⊥'，则A C '⊥平面A DE ∆'即得证； （2）先求出A H '和S 四边形BDEC ，即得四棱锥A BDEC '-的体积. 【详解】 (1)在ADE ∆中，2AD =，1AE =，60DAE ∠=o ，所以222222cos 21221cos603DE AD AE AD AE DAE =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=o ， 所以2224DE AE AD +==，90AED ∠=o ，即DE AE ⊥，DE EC ⊥； 翻折后，DE A E ⊥'，DE EC ⊥，又EA EC E '⋂=，EA '，EC ⊂平面A EC '， 所以DE ⊥平面A EC '，且60A EC ∠='o ， 又A C '⊂平面A EC '，所以DE A C ⊥'①； 在A EC '∆中，1A E '=，2EC =，60A EC ∠='o ，与证明90AED ∠=o 同理可得:90EA C ∠='o ，所以A C A E '⊥'②；由于①②及A E DE E '⋂=，A E '，DE ⊂平面A ED '，所以A C '⊥平面A DE ¢. (2)由(1)可知:DE ⊥平面A EC '，又DE ⊂平面BDEC ，所以平面BDEC ⊥平面A EC '. 在平面A EC '内过A '作A H EC '⊥于H ，由于平面A EC '⋂平面BDEC EC =，A H '⊂平面A EC '，所以A H '⊥平面BDEC ，又3sin60A H A E ='='o 2317321sin60324ABC ADE BDEC S S S ∆=-=-⨯⨯⨯=o 四边形 所以B 1173733348A BDEC DEC V S A H '-='=⋅=四边形. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．抛物线M :28y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线l (与x 轴不垂直)交抛物线M 于点A ，B ，A 关于x 轴的对称点为1A .(1)求证:直线1A B 过定点，并求出这个定点；(2)若1A B 的垂直平分线交抛物线于C ，D ，四边形1A CBD 外接圆圆心N 的横坐标为19，求直线AB 和圆N 的方程.【答案】(1)见解析，定点()2,0-；(2)直线AB:20x ±-=，圆N :()()22192185x y -+±=【解析】(1)设直线AB :2my x =-(0m ≠)，求出1A B :()121121y y y y x x x x ++=--，令0y =即得定点坐标；（2）求出21y y -=±再分类讨论，先求出CD方程为：)246y x m =--，再根据线段CD 是圆N 的直径，求出直线AB 和圆N 的方程.【详解】(1)设直线AB :2my x =-(0m ≠)，代入抛物线方程得:28160y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,A x y -，所以128y y m +=，1216y y =-，从而1A B :()121121y y y y x x x x ++=--，令0y =得: ()()()21122112121212122221622228my y my y m x y x y my y x y y y y y y m+++⨯-+===+=+=-+++， 所以直线1A B 过定点()2,0-.(2)由(1)知:()()()121212112=22A B y y y y k my my m y y ++=+-+-+， 且21y y -==±当21y y -=1A B k =直线1AB :)2y x =+，设线段1A B 的中点为()00,E x y ，则()01212y y y =-+=所以200242x y m =-=+，所以(24E m +，从而CD :)242y x m -=--即)246y x m =--， 上述方程代入28y x =得:()()2222224646014x m x m m ⎡⎤-++++=⎢⎥+⎣⎦()，因为CD 是1A B 的垂直平分线，所以线段CD 是圆N 的直径，所以()2242462191C D x x m m ⎡⎤+=++=⨯⎢⎥+⎣⎦，解得:m =所以直线AB :20x -=.此时CD :236y x =-+，19x =时,2y =-，方程()化简为:2383240x x -+=，求得CD =圆N :()()22192185x y -++=；当21y y -=-AB :20x ±-=，圆N :()()22192185x y -+-=.综上，直线AB :20x ±-=，圆N :()()22192185x y -+±=.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题，考查直线方程和圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。