线性系统辨识经典方法
系统辨识方法
系统辨识方学习总结一．系统辨识的定义关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。
L.Ljung也给“辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。
出了一个定义：二．系统描述的数学模型按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。
经典控制理论中微分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程和离散状态空间方程也如此。
一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控制论中则采用时域状态空间方程建模。
三．系统辨识的步骤与内容(1)先验知识与明确辨识目的这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。
首先从各个方面尽量的了解待辨识的系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。
对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。
(2)试验设计试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。
主要涉及以下两个问题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔(3)模型结构的确定模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的，对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。
为了讨论模型和类型和结构的选择，引入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。
所谓模型结构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。
在单输入单输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。
当具有一定阶次的模型的所有参数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。
(4)模型参数的估计参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶段就称为模型参数估计。
(5)模型的验证一个系统的模型被识别出来以后，是否可以接受和利用，它在多大程度上反映出被识别系统的特性，这是必须经过验证的。
系统辨识经典辨识方法
经典辨识方法报告1. 面积法辨识原理分子多项式为1的系统 11)(111++++=--s a sa s a s G n n nn Λ……………………………………………（）由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。
在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。
大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似1)()()()(a 111=++++--t y dtt dy a dt t y d a dt t y d n n n nK ……………………………（） 面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。
以n=3为例，注意到1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dtt y dt t y dt t y …………………………（） 将式（）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得⎰-=++t dt t y t y a dtt dy a dt t y d a 01223)](1[)()()(…………………………………（） 定义⎰-=tdt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………（）则由式（）给出的条件可知，在t →∞⎰∞-=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（）将式a 1y(t)移到等式右边，定义 )()]()([)()(a 201123t F dt t y a t F t y a dtt dy t =-=+⎰…………………………………（）利用初始条件（）当t →∞时)(a 22∞=F …………………………………………………………………… （）同理有a 3=F 3(∞)以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞)分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统当传递函数的形式如下所示时111111)()(11)(u h K m n s a s a s a s b s b s b K s G n n n n m m m m ∞=≥++++++++=----ΛΛ…………………………………定义∑∞=----+=++++++++==1111111111)()(1)(i ii m m m m n n nn s c s b s b s b s a s a s a s P s P Ks G ΛΛ………………………………由于⎰∞--=-0**)](1[)](1[dte t h t h L st …………………………………………则)](1[*t h -的Laplace 变换为： ∑∑∞=∞=-+=-=-111*1)(11)](1[i iii i i s C sC s sP s t h L ……………………………………定义一阶面积1A 为：11110011lim )](*1[lim )](*1[c sC sC t h L dt t h A i ii i i i s s =+=-=-=∑∑⎰∞=∞=-→∞→………令 )1(1)]([1*1s c s t h L +=……………………………………………………………定义二阶面积为：2122**0012)1)(1()]()([limc s c s c sc dtd h h A i i i i i i is t=++=-=∑∑⎰⎰∞=∞=-→∞τττ…同理，令 )...1(1)]([11221*1---++++=i i i s c s c s c s t h L ……………………………………定义i 阶面积为i i c A =。
现代控制理论第13章线性系统的经典辨识方法
2
第一节 脉冲响应的确定方法――相关法
1
伪随机测试信号是六十年代发展起来的一种用于系统辨识的测试信号，这咱信号的抗干扰性能强；为获得同样的信号量，对系统正常运行的干扰程度比其他测试信号低。目前已有用来做这种试验的专用设备。如果系统设备有数字计算机在线工作，伪随机测试信号可用计算机产生。实践证明，这是一种很有效的方法，特别对过渡过程时间长的系统，优点更为突出。
1
(13-2)
2
设 ，则
或
(13-3)
根据维纳－霍夫方程可得 如果输入 是白噪声，则可很容易求脉冲响应函数 。这时 的自相关函数为
01
03
02
这说明，对于白噪声输入， 与 只差一个常数倍。这样，只要记录 与 之值，并计算它们的互相关函数 ，可立即求得脉冲响应函数 。用白噪声辨识系统的模型方块图如图13-2所示。
概率性质2：在序列中总的游程个数平均为 个，1的游程与-1的游程大约各占一半。即大约为个 （N为奇数，表示序列的个数）。
概率性质1：在序列中1出现的次数与-1出现的次数几乎相等。
概率性质3：对于离散二位式无穷随机序列 ，它的相关函数为
01
被辨识系统的数学模型，可以分成参数和非参数模型两类。
02
参数模型 是由传递函数、微分方程或差分方程表示的数学模型。如果这些模型的阶和系数都是已知的，则数学模型是确定的。采用理论推导的方法得到的数学模型一定是参数模型。建立系统模型的工作，就是在一定的模型结构条件下，确定它的各个参数。因此，系统辨识的任务就是选定一个与实际系统相接近的数学模型，选定模型的阶，然后根据输入和输出数据，用最好的估计方法确定模型中的参数。
3
1
(13-8)
3
2
系统辨识课件方崇智
e
ˆ (假设的数学关系) f
系统的 实际输 出
(1)数学模型
• 数学模型和真实系统的区别
不可测干扰 可测 输入
u, d , f z
可测 输出
可测 输入
e
综合误差
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ , e拟合u, z关系 u, z f
可测 输出
(1)数学模型
• 数学模型的两类形式及其用途
可测 输入
第6章 模型阶次辨识 内 容：Hankel矩阵法、F-Test定阶法。
第7章 系统辨识在实际中注意的问题
参考书：
1.方崇智、萧德云编著，《过程辨识》，清华大学出版社，北京 2.李言俊，张科编著，《系统辨识理论及应用》，国防工业出版社，北京 3.蔡季冰编著，《系统辨识》，北京理工大学出版社，北京
预修课程：自动控制原理，概率统计与随机过程
e
综合误差
可测 输出 •系统分析 •系统设计
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ f
•预测(预测控制) •性能监测与故障诊断 •仿真
ˆ z
•在线估计和软测量 •模型评价与系统辨识
(1)数学模型
• 数学模型的近似性和外特性等价
u u
d f
e ˆ f u
z
近似性
ˆ f
ˆ z
d
u u
从黑箱角度出 发,外特性等价 (统计意义)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
数据集是辨识的三要素之一
min J fˆ , K ( z (1)
z ( L), u(1)
u( L), )
数据集性质→影响辨识结果，u →数据集，因 此要设计辨识实验(重点设计u)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
系统辨识的经典方法
⎧T
⎨⎩τ
= 2(t2 − t1) = 2t1 − t2
对于以上结果，也可在
⎧⎪⎨tt34
≤τ,
= 0.8T
+τ
,
⎪⎩t5 = 2T +τ ,
y(t3 ) = 0 y(t4 ) = 0.55 y(t5 ) = 0.87
这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验。
系统辨识的经典方法
频率响应法
频率响应法－1
; 阶跃响应法辨识原理
¾ 在系统上施加一个阶跃扰动信号，并测定出对象的响应随时间 而变化的曲线，然后根据该响应曲线，通过图解法而不是通过 寻求其解析公式的方法来求出系统的传递函数，这就是阶跃响 应法系统辨识。
¾ 如果系统不含积分环节，则在阶跃输入下，系统的输出将渐进 于一新的稳定状态，称系统具有自平衡特性，或自衡对象。
+ b1s + a1s
+ +
b0 a0
,
n>m
¾ 对应的频率特性可写成：
G(
jω)
=
bm ( an (
jω)m +" + b2 ( jω)2 + b1( jω)n +" + a2 ( jω)2 + a1(
jω) + b0 jω) + a0
=
(b0 − b2ω 2 (a0 − a2ω 2
+ b4ω 4 + a4ω 4
系统辨识的经典方法
肖志云
内蒙古工业大学信息工程学院自动化系
系统辨识的经典方法
1
引言
2
阶跃响应法
3
频率响应法
4
相关分析法
系统辨识综述
系统辨识课程综述作者姓名：王瑶专业名称：控制工程班级：研硕15-8班系统辨识课程综述摘要系统辨识是研究建立系统数学模型的理论与方法。
虽然数学建模有很长的研究历史，但是形成系统辨识学科的历史才几十年在这短斩的几十年里，系统辨识得到了充足的发展，一些新的辨识方法相继问世，其理论与应用成果覆盖了自然科学和社会科学的各个领域。
而人工神经网络的系统辨识方法的应用也越来越多，遍及各个领域。
本文简单介绍了系统辨识的基本原理，系统辨识的一些经典方法以及现代的系统辨识方法，其中着重介绍了基于神经网络的系统辨识方法：首先对神经网络系统便是方法与经典辨识法进行对比，显示出其优越性，然后再通过对改进后的算法具体加以说明，最后展望了神经网络系统辨识法的发展方向。
关键字：系统辨识；神经网络；辨识方法0引言辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。
辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。
随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。
然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。
所以说系统辨识是自动化控制的一门基础学科。
图1.1 系统辨识、控制理论与状态估计三者之间的关系随着社会的进步 ,越来越多的实际系统变成了具有不确定性的复杂系统 ,经典的系统辨识方法在这些系统中应用 ,体现出以下的不足 :(1) 在某些动态系统中 ,系统的输入常常无法保证 ,但是最小二乘法的系统辨识法一般要求输入信号已知，且变化较丰富。
(2) 在线性系统中，传统的系统辨识方法比在非线性系统辨识效果要好。
(3) 不能同时确定系统的结构与参数和往往得不到全局最优解，是传统辨识方法普遍存在的两个缺点。
1系统辨识理论综述1.1系统辨识的基本原理根据L.A.Zadel的系统辨识的定义:系统辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。
系统辨识原理及其应用(第二章)
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
系统辨识方法
新疆大学电气工程学院
3/13/2010
白噪声
白噪声是一种均值为零、谱密度为非零常数 的平稳随机过程。
自相关函数
Rw
(
)
2
(
)
0
0 0
谱密度 Sw (w) 2
以白噪声为输入，最小二乘辨识是无偏的
有色噪声可利用白噪声通过一个成形滤波器获 得白噪声序列的产生方法
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3/13/2010
n(t)
U(t)
y(t) g(t)
z(t)
Ruz ( ) g(t)Ruu ( t)dt
0
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3/13/2010
Wiener-Hopf方程表明：当系统的输入是原输入信号的自相 关函数时，系统的输出是原输入信号和它对应的输出信号的互相 关函数。
Wiener-Hopf方程是一个积分方程，要想解出脉冲响应的是很 困难的，但是当Ruu等于冲激函数时， Wiener-Hopf化简为：
C1
CP
C2
C3
4级M序列
C4
M序列
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最小二乘批处理方法
差分方程：
z(k)+a1z(k-1)+...+anz(k-n) b1u(k 1) b2u(k 2) ... bnu(k n) e(k)
z(k)=-a1z(k-1)-...-a n z(k-n) +b1u(k 1) b2u(k 2) ... bnu(k n) e(k)
0t t
归一化：
y(t)
0
t
(1 e T )
y(t)
1.0
0 t 0.632
t
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3-2 阶跃响应法
阶跃响应曲线的测取 方波输入：u(t) u(t)=u1(t)+u2(t) u1(t)：阶跃输入 u2(t)=-u1(t-∆) 方波输出：y*(t) y(t)：阶跃输出 y(t)=y*(t) t≤∆ y(t)=y*t+y(t-∆) t≥∆
3-2 阶跃响应法
T
0 T
y (t ) cos ntdt y (t ) sin ntdt
0
3-3 频率特性法
矩形波法 若难以产生正弦波，则可以使用矩形波输入信号 输入信号的傅立叶级数分解：高次谐波可以忽略
u (t ) 4H 1 1 (sin ωt sin 3ωt sin kωt ) π 3 k
K
y0 u0
y0
0.63y0
u0
y(t) u(t)
对T的检验
T 2T 3T
3-2 阶跃响应法
带纯滞后的一阶惯性环节
G( s) K exp( s ) Ts 1
3-2 阶跃响应法
二阶环节
G( s) K KG * ( s) 2 2 T s 2Ts 1
1 * G ( s) 2 T ( s 1 )(s 2 )
幅相特性求传递函数 带纯滞后的一阶惯性环节
3-3 频率特性法
幅相特性求传递函数 带纯滞后的二阶环节，阻尼系数为1
3-3 频率特性法
对数频率特性求传递函数 一阶环节或一阶滞后环节 K G (s) Ts 1 K G (s) exp( τs) Ts 1 b 1 20 T K 10 c ' arct an( T ) 1 n i i ' n i i
1 ( 2 1) / T 2 ( 1) / T 2
阶跃响应：
y * (t ) 1
T 1
1
exp(2t )
12
1 2 2 12
3-3 频率特性法
u(t)
H t T
3-3 频率特性法
幅相特性求传递函数 一阶惯性环节
K G (s) Ts 1
K G( j ) r ( ) exp( j ( )) r ( ) exp( j arctan( T )) jT 1
K G( j 0) r (0)
T
tan( k )
白噪声输入信号的优良特性：激发所有频段；通常 与过程噪声无关
3-4 相关分析法
伪随机二位式序列 通常不希望系统输入为白噪声 实际系统均为有限频谱，故构造在有限频段内满 足白噪声要求的信号即可 伪随机二位式序列：离散、周期、准白噪声 序列只取值a，-a，故称为二位式；出现次数近 似相等，可以满足均值为零的要求 自相关函数在原点最大，离开原点迅速下降，可 以近似为冲击函数 典型实例：M序列和逆重复M序列
3-4 相关分析法
相关分析法的基本原理
过程噪声
ξ (t)
可测输入
u(t)
g(t)
z(t) +
+
y(t)
可测输出
辨识要解决的问题是：从u(t)，y(t)估计g(t)
z (t ) g ( )u (t )d
y(t ) z (t ) (t )
0
3-4 相关分析法
3-4 相关分析法
那么有：
z( t ) g ( )u (t )dτ g ( )u (t )dλ
y(t) z(t) (t) g ( )u (t )dλ ( t )
则u(t)与y(t)的互相关函数为：
R uy ( ) E u ( t ) g ( )u (t )dλ ( t )
E
E u ( t ) g ( )u (t )dλ Eu ( t ) ( t )
u ( t ) g ( )u (t )dλ
由阶跃响应确定系统的传递函数 假设传递函数的结构已知 利用少量特征参数确定传递函数的参数 试探法 阶跃曲线形状分析：一阶惯性环节、二阶惯性环 节、具有纯滞后的一阶惯性环节 确定传递函数的参数，并检查数据拟合情况 如拟合不理想，则重新试探
3-2 阶跃响应法
一阶惯性环节
G (s) K Ts 1
相关分析法的基本原理 假设u(t)为具有各态历经性的平稳随机过程，则因 为系统为线性定常系统，故u(t)的响应y(t)在过渡过 程结束后也是平稳随机过程。 若噪声ξ (t)与u(t)统计独立，且有：
Eu ( t ) m u Ey( t ) m y T R uu ( ) Eu ( t )u ( t - ) lim 1 u ( t )u ( t - )dt T 2T T 1 T R ( ) E y ( t ) u ( t ) lim y( t )u ( t - )dt uy T T 2T
频率特性是描述动态系统的非参数模型 频率特性的测取 正弦波法 矩形波法 从频率特性得到系统传递函数 幅相特性 对数频率特性
3-3 频率特性法
单一正弦波法 在待测系统输入端加上某个频率的正弦信号，记 录输出达到稳态后输出的振荡波形 对于线性系统，得到的是一个与输入同频率的、 但幅值与相位发生变化的正弦波，根据幅值比和 相位移，可得到线性系统的频率特性 使用正弦波法可测出系统的带宽，当增加输入正 弦信号频率至max时，系统输出幅值将趋近于零 此法对缓慢响应过程非常费时，此时可利用线性 系统符合叠加原理的特点，采用组合正弦信号
3-3 频率特性法
组合正弦波法 在待测系统输入端加上频率、幅值均已知的组合 正弦波 在稳态下测取输出组合波，再利用傅氏变换对输 出组合波作分解
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
1 A0 T
n 1
T
0
y (t ) dt
2 An T 2 Bn T
3-2 阶跃响应法
阶跃响应法 在被辨识对象上施加确定的瞬变扰动测取阶跃响应 曲线 允许阶跃输入：阶跃扰动 不允许阶跃输入：矩形脉冲扰动 试验往往不允许大幅度扰动，所测信号的信噪比 一般比较小，测得的曲线混有干扰，难以分辨 实际过程的辨识中，阶跃响应法通常能够提供对所 辨识对象的初始估计
k
3-3 频率特性法
幅相特性求传递函数 二阶环节 幅相特性分布在两个象限 φ'=π/2, r(w')≤r(0)/2
K G(s) 2 2 T s 2ξTs 1 K G( jω) 2 2 r (ω)exp(j ( )) -T ω j 2ξTω 1
3-3 频率特性法
3-3 频率特性法
对数频率特性求传递函数 二阶环节或二阶滞后环节 K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
K 10
b 20
T1
1
1
T2
1
T1 T2
1
2
1
3-4 相关分析法
阶跃响应法、频率特性法 对于高信噪比情况比较有效，而工程实际中噪声 不可避免 采用阶跃输入、矩形脉冲输入、正弦波输入、矩 形波输入 得到阶跃响应、频率特性 相关分析法 具有抗干扰性 采用伪随机输入 得到脉冲响应
3-4 相关分析法
利用伪随机二位式序列辨识的步骤 估计辨识对象的频率宽度、过渡过程时间、线性 工作范围，用于设计测试信号 设计所需的伪随机二位式序列，如M序列或逆重 复M序列 测试若干个随机二位式序列 理论上系统的输出为输入信号的平均功率谱密度 乘以系统的脉冲响应函数。由此估计系统的脉冲 响应函数 利用系统的脉冲响应函数计算传递函数
3-4 相关分析法
因为g(λ)为确定性的，故：
R uy ( ) Eu(t )u(t )g( )dλ R uu ( )g( )dλ
称为Wiener-Hopf方程。因u(t)与ξ(t)统计独立，故 有Ruy(т)=Ruz(т)，以此为基础的方法具有抗扰性 若输入u(t)为白噪声信号，那么： R uu ( ) K ( ) R uy ( ) Kg ( )